第02讲 数轴、相反数与绝对值(4个知识点+6个考点+4个易错分析）新教材【暑假自学课】-2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

第02讲 数轴、相反数与绝对值(4个知识点+6个考点+4个易错分析） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握数轴的概念,准确把握数轴的三要素,并能正确地画出数轴 2.掌握数轴上的点与有理数的关系,能将有理数在数轴上表示出来，能写出数轴上的点所表示的有理数， 3.能借助数轴理解相反数的概念,会求一个有理数的相反数. 4.通过数轴理解绝对值的概念,会求一个有理数的绝对值 知识点1：数轴（重点） 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 要点诠释： （1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可. （2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等． （3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动． 【例1】下列图形中是数轴的是(　　) A. B. C. D. 方法总结：要判断一条直线是不是数轴，要抓住它的三要素：原点、正方向和单位长度，三者缺一不可． 【变式1-1】．（23-24七年级上·天津·期中）如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1-2】．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）在数轴上，原点和原点右边的点表示的数是（    ） A．零 B．正数 C．非负数 D．非正数 【变式1-3】数轴上点A，B，C分别表示数，m，，下列说法正确的是（　  　） A．点C一定在点A的右边 B．点C一定在点A的左边 C．点C一定在点B的右边 D．点C一定在点B的左边 知识点2：数轴上的点与有理数的关系（重点） 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他数，比如. 要点诠释： （1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示. （2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 【例2】指出如图中所表示的数轴上的A、B、C、D、E、F各点所表示的数． 方法总结：在确定数字时，要认真观察已知点是在原点的左边还是右边，对于A、D这种情况，要注意它们所表示的数是在哪两个数之间． 【变式2-1】画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： －5，2.5，3，－，0，－3，3. 方法总结：用数轴上的点表示数时，首先由数的性质符号确定该数应在原点的左边还是右边，然后再根据该数到原点的距离，确定位置． 【变式2-2】数轴上的点A表示的数是＋2，那么与点A相距5个单位长度的点表示的数是(　　) A．5 B．±5 C．7 D．7或－3 方法总结：解答此类问题要注意考虑两种情况，即要求的点在已知点的左侧或右侧．另外，点在数轴上移动时也要分向左、向右两种情况． 【变式2-3】．（23-24七年级下·河南安阳·期中）数轴上表示整数的点叫整点，某数轴单位长度为，若在数轴上随意画一条长为线段，则线段盖住的整点的个数为(    ) A．100 B．99 C．99或100 D．100或101 知识点3：相反数 1.定义 只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 要点诠释： （1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同. （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉. （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数. （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. 2.相反数的性质 （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）. （2）互为相反数的两数和为0. 【例3】写出下列各数的相反数：16，－3，0，－，m，－n. 方法总结：求一个数的相反数，只需改变它前面的符号，符号后面的数不变；0的相反数是0. 【变式3-1】(1)数轴上离原点3个单位长度的点所表示的数是________，它们的关系为____________． (2)在数轴上，若点A和点B分别表示互为相反数的两个数，点A在点B的左侧，并且这两个数的距离是12.8，则A＝______，B＝______． 方法总结：本题考查了相反数的几何意义，解题时应从相反数的意义入手，明确互为相反数的两数到原点距离相等，这种“利用概念解题，回到定义中去”是一种常用的解题技巧． 【变式3-2】如图，图中数轴(缺原点)的单位长度为1，点A、B表示的两数互为相反数，则点C所表示的数为(　　) A．2 B．－4 C．－1 D．0 方法总结：先在数轴上找到原点，从而确定点C所表示的数，同时牢记互为相反数的两个点到原点的距离相等． 【变式3-3】下列说法中正确的个数为（    ） 符号不相同的两个数互为相反数； 一个数的相反数一定是负数； 两个相反数的和等于； 若两个数互为相反数，则这两个数一定一正一负． A．个 B．个 C．个 D．个 方法总结：本题考查相反数的知识，解题的关键是掌握相反数的定义和性质． 知识点4：绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|. 要点分析： （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 2.绝对值的性质 1.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 2.求法 （1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 【例4】－3的绝对值是(　　) A．3 B．－3 C．－ D. 方法总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 【变式4-1】如果一个数的绝对值等于，则这个数是__________． 方法总结：解答此类问题容易漏解、考虑问题不全面，所以一定要记住：绝对值等于某一个数的值有两个，它们互为相反数，0除外． 【变式4-2】化简：|－|＝______；－|－1.5|＝______；|－(－2)|＝______． 方法总结：根据绝对值的意义解答．即若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝－a. 【变式4-3】若|a－3|＋|b－2015|＝0，求a，b的值． 方法总结：如果几个非负数的和为0，那么这几个非负数都等于0. 易错点1：画数轴时缺少要素、不统一单位长度或数字的排列顺序有误 1．下列所示的数轴中，画得正确的是（  ） A． B． C． D． 易错点2：对有理数与数轴上的点的关系理解不透彻 2．下列说法正确的是（    ） A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示 B．数轴上表示的点有两个 C．数轴上的点表示的数不是正数就是负数 D．数轴上原点两边的点表示同一个数 易错点3：求相反数及化简多重符号时出现错误 3．的相反数是________；的相反数是_______． 易错点4：忽略了0的绝对值 4．对于任意有理数，下列结论正确的是（　　） A．是正数 B．是负数 C．是负数 D．不是正数 5.如果，那么a一定是（    ） A．正数 B．负数 C．零和负数 D．零和正数 考点1：多重符号的化简 1．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）若，a的相反数为 ，若与互为相反数，则a为 2．（23-24七年级上·吉林长春·期中）若x是最大负整数，则 ． 3.(1)－(－8)＝________； (2)－(＋15)＝________； (3)－[－(＋6)]＝________； (4)＋(＋)＝________． 考点2：含绝对值符号的式子的化简与运算 4．若，那么_____． 5．已知：数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简|b﹣a|+|b﹣c|＝　 　． 6.化简：|－|＝______；－|－1.5|＝______；|－(－2)|＝______． 7．若实数a，b满足|a|＝2，|4﹣b|＝1﹣a，则a+b＝　 　． 8.计算：（1） （2）|-4|+|3|+|0| （3）-|+(-8)| 9.(1)|a-4|(a≥4)；(2)|5-b|(b＞5)． 考点3：绝对值的非负性的应用 10．（2022秋·北京朝阳·七年级校考期中）式子取最小值时，x等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 11．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知b、c满足，则的值是 ． 12．（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，求的值． 13.若|a－3|＋|b－2015|＝0，求a，b的值． 14.已知|2-m|+|n-3|＝0，试求m-2n的值． 考点4：数轴、相反数、绝对值的综合题 15．（23-24七年级上·贵州黔西·期末）小宇是七年级（1）班数学学习小组长，他想带领本小组同学一起复习绝对值的相关知识，整理了以下题目： (1)_______； (2)若，则x的值为_______； (3)若与互为相反数，则_______； (4)若，则所有符合条件的整数x的和为_______； (5)有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简的结果是_______；    (6)若你是学习小组成员，请针对绝对值的复习给大家提一条复习建议． 16．（2022秋·吉林长春·七年级长春外国语学校校考期中）如图，已知数轴上有、两点（点在点的左侧），且两点距离为个单位长度，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为（）秒．    (1)图中如果点、表示的数是互为相反数，那么点表示的数是________； (2)当秒时，点与点之间的距离是_________个长度单位； (3)当点为原点时，点表示的数是_________；（用含t的代数式表示） (4)求当为何值时，点到点的距离是点到点的距离的倍． 考点5：数轴上点的移动 17.在一条不完整的数轴上有A、B两点，A、B表示的两个数a、b是一对相反数． (1)如果A、B之间的距离是3，写出a、b的值 (2)有一点P从B向左移动5个单位，到达Q点，如果Q点表示的数是，写出a、b的值 18．（2022秋·内蒙古通辽·七年级校考阶段练习）如图，数轴的单位长度为1． (1)如果点B，D表示的数互为相反数，那么图中点A、点D表示的数分别是 、 ； (2)当点B为原点时，在数轴上有一点M，使得点M到点A的距离是点M到点D的距离的2倍，点M所表示的数是 ． (3)当点A为原点时，B、C两点分别以2个单位长度/秒和0．5个单位长度/秒同时向右运动，经过_____秒B、C两点在点P相遇，此时点P表示的数是 ． 19．在数轴上有两个点A，B，回答下列问题. (1)将A点向左平移个单位长度后，表示的数是 (2)将B点向右平移3个单位长度后，表示的数是 (3)B点做怎样的平移可以与A点表示的数互为相反数? (4)A点和B点相距 个单位长度，若把图中数轴的原点移到B点，则在新的数轴上，A点表示的数是 (5)怎样移动才能使A点表示的数永远都大于B点表示的数? 考点6：绝对值的实际应用 20.正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由． 21.某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002L的误差．现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表： +0.0018 -0.0023 +0.0025 -0.0015 +0.0012 +0.0010 请用绝对值知识说明： (1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)? (2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量？ 22.一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻? 一、单选题 1．（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）下列图形是数轴的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列各数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）下列说法中，错误的是（   ） A．在一个数前面添加一个“”号，就变成原数的相反数 B．与互为相反数 C．若两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数 D．的相反数是 4．（22-23七年级上·海南海口·期中）下列化简，正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·河南信阳·阶段练习）小宇同学在数轴上表示时，由于粗心，将画在了它相反数的位置并确定原点，要想把数轴画正确，原点应（    ） A．向左移6个单位 B．向右移6个单位 C．向左移3个单位 D．向右移3个单位 6．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）为有理数，若，那么是（    ） A．非正数 B．非负数 C．负数 D．不为0的数 二、填空题 7．（23-24七年级上·河南许昌·期中）数轴上，点表示的数是，将点向右移动6个单位长度后，点表示的数是 ． 8．（23-24七年级下·湖北孝感·阶段练习）若，则 ． 9．（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）关于的方程的解是 ． 三、解答题 10．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）请把下面不完整的数轴画完整，并在数轴上标出下列各数： ，，4，．    11．（23-24七年级上·新疆阿克苏·阶段练习）（1）化简下列各式： ①___________； ②__________； ③___________； ④__________； ⑤______________； ⑥____________ （2）根据你所发现的规律，猜想当前面有2022个负号时，化简后结果是多少?当前面有2022个负号时，化简后结果是多少? （3）结合（2）中的规律，用文字叙述你所得到的结论. 12．（23-24七年级上·山西临汾·阶段练习）阅读与思考 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示的数是．参照图中所给的信息，完成填空： 已知A，B都是数轴上的点． (1)若点A表示数．将点A向右移动5个单位长度至点．则点表示的数是________； (2)若点A表示数2，将点A先向左移动7个单位长度，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数是________； (3)若将点B先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，终点表示的数恰好是0，则点B所表示的数是________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 数轴、相反数与绝对值(4个知识点+6个考点+4个易错分析） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握数轴的概念,准确把握数轴的三要素,并能正确地画出数轴 2.掌握数轴上的点与有理数的关系,能将有理数在数轴上表示出来，能写出数轴上的点所表示的有理数， 3.能借助数轴理解相反数的概念,会求一个有理数的相反数. 4.通过数轴理解绝对值的概念,会求一个有理数的绝对值 知识点1：数轴（重点） 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 要点诠释： （1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可. （2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等． （3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动． 【例1】下列图形中是数轴的是(　　) A. B. C. D. 解析：A中的没有单位长度，错误；B中没有正方向，错误；C中满足原点，正方向，单位长度，正确；D中没有原点，错误．故选C. 方法总结：要判断一条直线是不是数轴，要抓住它的三要素：原点、正方向和单位长度，三者缺一不可． 【变式1-1】．（23-24七年级上·天津·期中）如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴的知识，熟练掌握数轴的基本要素是解题关键．规定了原点、正方向和规定长度的直线叫数轴，数轴的三要素缺一不可，据此分析判断即可． 【详解】解：A.没有原点，故此选项错误，不符合题意； B.单位长度不统一，故此选项错误，不符合题意； C.没有正方向，故此选项错误，不符合题意； D.符合数轴的概念，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式1-2】．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）在数轴上，原点和原点右边的点表示的数是（    ） A．零 B．正数 C．非负数 D．非正数 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，根据数轴上表示数的特点即可求解，熟练掌握数轴上表示数的特点是解题的关键． 【详解】解：原点和原点右边的点表示的数是非负数， 故选：C． 【变式1-3】数轴上点A，B，C分别表示数，m，，下列说法正确的是（　  　） A．点C一定在点A的右边 B．点C一定在点A的左边 C．点C一定在点B的右边 D．点C一定在点B的左边 【答案】D 【详解】解：∵m的数值未知， ∴点A与点C，点A与点B的位置关系未知， ∵点B，C分别表示数m，， 即点B向左移动一个单位得到C， ∴点C一定在点B的左边， 故选：D． 【点睛】本题主要考查数轴，掌握在数轴上，右边的数总比左边大是解题关键． 知识点2：数轴上的点与有理数的关系（重点） 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他数，比如. 要点诠释： （1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示. （2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 【例2】指出如图中所表示的数轴上的A、B、C、D、E、F各点所表示的数． 解析：要确定数轴上的点所表示的数可利用以下方法：(1)确定符号，在原点右边为正数，在原点左边为负数；(2)确定数字，即距离原点是几个单位长度． 解：由图可知，A点表示：－4.5；B点表示：4；C点表示：－2；D点表示：5.5；E点表示：0.5；F点表示7. 方法总结：在确定数字时，要认真观察已知点是在原点的左边还是右边，对于A、D这种情况，要注意它们所表示的数是在哪两个数之间． 【变式2-1】画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： －5，2.5，3，－，0，－3，3. 解析：(1)画数轴必须具备“三要素”，三者缺一不可；单位长度必须一致，不能长短不一；正方向向右；(2)用数轴上的点表示数时，注意数的符号和该数到原点的距离． 解：如图： 方法总结：用数轴上的点表示数时，首先由数的性质符号确定该数应在原点的左边还是右边，然后再根据该数到原点的距离，确定位置． 【变式2-2】数轴上的点A表示的数是＋2，那么与点A相距5个单位长度的点表示的数是(　　) A．5 B．±5 C．7 D．7或－3 解析：与点A相距5个单位长度的点表示的数有2个，分别是7或－3，故选D. 方法总结：解答此类问题要注意考虑两种情况，即要求的点在已知点的左侧或右侧．另外，点在数轴上移动时也要分向左、向右两种情况． 【变式2-3】．（23-24七年级下·河南安阳·期中）数轴上表示整数的点叫整点，某数轴单位长度为，若在数轴上随意画一条长为线段，则线段盖住的整点的个数为(    ) A．100 B．99 C．99或100 D．100或101 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴的实际应用，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点的个数可能正好是个，也可能不是整数，而是有两个半数那就是个． 【详解】解：依题意得： ①当线段起点在整点时覆盖个数， ②当线段起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖个数． 故选：D． 知识点3：相反数 1.定义 只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 要点诠释： （1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同. （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉. （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数. （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. 2.相反数的性质 （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）. （2）互为相反数的两数和为0. 【例3】写出下列各数的相反数：16，－3，0，－，m，－n. 解析：只需将各数前面的正、负号换一下即可，但要注意0的相反数是0. 解：－16，3，0，，－m，n. 方法总结：求一个数的相反数，只需改变它前面的符号，符号后面的数不变；0的相反数是0. 【变式3-1】(1)数轴上离原点3个单位长度的点所表示的数是________，它们的关系为____________． (2)在数轴上，若点A和点B分别表示互为相反数的两个数，点A在点B的左侧，并且这两个数的距离是12.8，则A＝______，B＝______． 解析：(1)左边距离原点3个单位长度的点是－3；右边距离原点3个单位长度的点是3，∴距离原点3个单位长度的点所表示的数是3或－3.它们互为相反数；(2)∵点A和点B分别表示互为相反数的两个数，∴原点到点A与点B的距离相等，∵A、B两点间的距离是12.8，∴原点到点A和点B的距离都等于6.4.∵点A在点B的左侧，∴这两点所表示的数分别是－6.4，6.4. 方法总结：本题考查了相反数的几何意义，解题时应从相反数的意义入手，明确互为相反数的两数到原点距离相等，这种“利用概念解题，回到定义中去”是一种常用的解题技巧． 【变式3-2】如图，图中数轴(缺原点)的单位长度为1，点A、B表示的两数互为相反数，则点C所表示的数为(　　) A．2 B．－4 C．－1 D．0 解析：由题意如图， 数轴向右为正方向，数轴(缺原点)的单位长度为1，∴点C所表示的数为－1，故应选C. 方法总结：先在数轴上找到原点，从而确定点C所表示的数，同时牢记互为相反数的两个点到原点的距离相等． 【变式3-3】下列说法中正确的个数为（    ） 符号不相同的两个数互为相反数； 一个数的相反数一定是负数； 两个相反数的和等于； 若两个数互为相反数，则这两个数一定一正一负． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【详解】∵只有符合不同的两个数叫做相反数 ∴，不是相反数 ∴错误； ∵的相反数是， ∴一个数的相反数一定是负数，错误； ∵互为相反数的两个数，相加等于， ∴两个相反数的和等于，正确； ∵的相反数是， ∴错误； ∴正确的只有． 方法总结：本题考查相反数的知识，解题的关键是掌握相反数的定义和性质． 知识点4：绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|. 要点分析： （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 2.绝对值的性质 1.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 2.求法 （1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 【例4】－3的绝对值是(　　) A．3 B．－3 C．－ D. 解析：根据一个负数的绝对值是它的相反数，所以－3的绝对值是3.故选A. 方法总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 【变式4-1】如果一个数的绝对值等于，则这个数是__________． 解析：∵或－的绝对值都等于，∴绝对值等于的数是或－. 方法总结：解答此类问题容易漏解、考虑问题不全面，所以一定要记住：绝对值等于某一个数的值有两个，它们互为相反数，0除外． 【变式4-2】化简：|－|＝______；－|－1.5|＝______；|－(－2)|＝______． 解析：|－|＝；－|－1.5|＝－1.5；|－(－2)|＝|2|＝2. 方法总结：根据绝对值的意义解答．即若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝－a. 【变式4-3】若|a－3|＋|b－2015|＝0，求a，b的值． 解析：由绝对值的性质可知|a－3|≥0，|b－2015|≥0，则有|a－3|＝|b－2015|＝0. 解：由绝对值的性质得|a－3|≥0，|b－2015|≥0，又因为|a－3|＋|b－2015|＝0，所以|a－3|＝0，|b－2015|＝0，所以a＝3，b＝2015. 方法总结：如果几个非负数的和为0，那么这几个非负数都等于0. 易错点1：画数轴时缺少要素、不统一单位长度或数字的排列顺序有误 1．下列所示的数轴中，画得正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、没有正方向，故错误，不合题意； B、单位长度不一致，故错误，不合题意； C、符合数轴的定义，故正确，符合题意； D、负数排列顺序不正确，故错误，不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴，熟练掌握数轴的三要素是解题的关键． 易错点2：对有理数与数轴上的点的关系理解不透彻 2．下列说法正确的是（    ） A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示 B．数轴上表示的点有两个 C．数轴上的点表示的数不是正数就是负数 D．数轴上原点两边的点表示同一个数 【答案】A 【详解】解：A、所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，说法正确，故此选项符合题意； B、数轴表示的点只有1个，故原说法错误，此选项不符合题意； C、数轴上的点表示的数不是正数就是负数，还有0，故原说法错误，此选项不符合题意； D、数轴上原点两边的点表示不同的数，故原说法错误，此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了数轴，正确把握数轴的定义是解题关键． 易错点3：求相反数及化简多重符号时出现错误 3．的相反数是________；的相反数是_______． 【答案】 【详解】解：的相反数是， 的相反数是， 故答案为：①，②． 【点睛】本题考查求一个数的相反数，掌握相反数的定义是解题的关键． 易错点4：忽略了0的绝对值 4．对于任意有理数，下列结论正确的是（　　） A．是正数 B．是负数 C．是负数 D．不是正数 【答案】D 【详解】解：A、时，既不是正数也不是负数，故本选项错误； B、是负数时，是正数，故本选项错误； C、时，，既不是正数也不是负数，故本选项错误； D、不是正数，故本选项正确． 5.如果，那么a一定是（    ） A．正数 B．负数 C．零和负数 D．零和正数 【答案】C 【详解】解：由题意知：a为负数或零， 考点1：多重符号的化简 1．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）若，a的相反数为 ，若与互为相反数，则a为 【答案】 1 【分析】本题考查了相反数及化简多重符号，先根据化简多重符合得，则可得a的相反数，根据相反数的性质得，进而可得，熟练掌握相反数的定义及化简多重符合的运算法则是解题的关键． 【详解】解：若，则，即：， a的相反数为：， 若与互为相反数，则，即：， 故答案为：；1． 2．（23-24七年级上·吉林长春·期中）若x是最大负整数，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查有理数的相反数，多重括号的化简，结果正负与“”号的个数有关，当负号“”个数为奇数个时，结果为负；当“”号个数为偶数个时，结果为正，据此解答即可． 【详解】解：， 为最大负整数， 因此原式， 故答案为：1． 3.(1)－(－8)＝________； (2)－(＋15)＝________； (3)－[－(＋6)]＝________； (4)＋(＋)＝________． 解：(1)－(－8)＝8； (2)－(＋15)＝－15； (3)－[－(＋6)]＝－(－6)＝6； (4)＋(＋)＝. 考点2：含绝对值符号的式子的化简与运算 4．若，那么_____． 【答案】7 【详解】解：， ，， ， 5．已知：数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简|b﹣a|+|b﹣c|＝　 　． 【解答】解：由图示可知，a＜b＜c， ∴b﹣a＞0，b﹣c＜0， ∴|b﹣a|＝b﹣a，|b﹣c|＝c﹣b， ∴原式＝b﹣a+c﹣b＝c﹣a． 故答案为：c﹣a． 6.化简：|－|＝______；－|－1.5|＝______；|－(－2)|＝______． 解析：|－|＝；－|－1.5|＝－1.5；|－(－2)|＝|2|＝2. 7．若实数a，b满足|a|＝2，|4﹣b|＝1﹣a，则a+b＝　 　． 【解答】解：∵|a|＝2， ∴a＝±2， 当a＝2时，|4﹣b|＝1﹣2＝﹣1，此时b不存在； 当a＝﹣2时，|4﹣b|＝3， 所以4﹣b＝3或4﹣b＝﹣3， 即b＝1或b＝7， 当a＝﹣2，b＝1时，a+b＝﹣1； 当a＝﹣2，b＝7时，a+b＝5， 故答案为：﹣1或5． 8.计算：（1） （2）|-4|+|3|+|0| （3）-|+(-8)| 解：(1) ， (2)|-4|+|3|+|0|＝4+3+0＝7， (3)-|+(-8)|＝-[-(-8)]＝-8． 9.(1)|a-4|(a≥4)；(2)|5-b|(b＞5)． 【答案与解析】(1)∵ a≥4，∴a-4≥0，∴ |a-4|＝a-4． (2)∵ b＞5，∴ 5-b＜0，∴ |5-b|＝-(5-b)＝b-5． 考点3：绝对值的非负性的应用 10．（2022秋·北京朝阳·七年级校考期中）式子取最小值时，x等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】A 【分析】由，可得式子取最小值时，则，再解方程即可． 【详解】解：∵， ∴式子取最小值时，， 解得：． 故选A． 【点睛】本题考查的是绝对值的非负性的应用，掌握的最小值是0是解本题的关键． 11．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知b、c满足，则的值是 ． 【答案】// 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据，得到, 代入计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 故答案为：或或． 12．（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，求的值． 【答案】，，． 【分析】解：本题考查了非负数的性质，根据几个非负数的和等于，那么这几个非负数都等于，得到，，，解之即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，． 13.若|a－3|＋|b－2015|＝0，求a，b的值． 解：由绝对值的性质得|a－3|≥0，|b－2015|≥0，又因为|a－3|＋|b－2015|＝0，所以|a－3|＝0，|b－2015|＝0，所以a＝3，b＝2015. 14.已知|2-m|+|n-3|＝0，试求m-2n的值． 【思路点拨】由｜a｜≥0即绝对值的非负性可知，｜2-m｜≥0，｜n-3｜≥0，而它们的和为0．所以｜2-m｜＝0，|n-3|＝0．因此，2-m＝0，n-3＝0，所以m＝2，n＝3． 【答案与解析】因为|2-m|+|n-3|＝0 且|2-m|≥0，|n-3|≥0 所以|2-m|＝0，|n-3|＝0 即2-m＝0，n-3＝0 所以m＝2，n＝3 故m-2n＝2-2×3＝-4． 考点4：数轴、相反数、绝对值的综合题 15．（23-24七年级上·贵州黔西·期末）小宇是七年级（1）班数学学习小组长，他想带领本小组同学一起复习绝对值的相关知识，整理了以下题目： (1)_______； (2)若，则x的值为_______； (3)若与互为相反数，则_______； (4)若，则所有符合条件的整数x的和为_______； (5)有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简的结果是_______；    (6)若你是学习小组成员，请针对绝对值的复习给大家提一条复习建议． 【答案】(1)5； (2)； (3)1； (4)； (5)； (6)一个正数的绝对值等于它本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0． 【分析】本题考查了绝对值的相关知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用绝对值的性质直接求解即可． （2）利用绝对值的性质直接求解即可． （3）利用绝对值的非负性求解即可． （4）分情况讨论，化简绝对值求值即可． （5）根据数轴判断式子的正负，化简绝对值求值即可． （6）根据绝对值的性质求解即可． 【详解】（1）解： （2）解：， ． （3）解：∵与互为相反数， ∴，， 解得：， （4）解： 当时，原式（舍去）， 当时，原式（舍去）， 当时，原式， ∴符合条件的整数x有 故所有符合条件的整数x的和为． （5）解：由数轴可知， （6）一个正数的绝对值等于它本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0． 16．（2022秋·吉林长春·七年级长春外国语学校校考期中）如图，已知数轴上有、两点（点在点的左侧），且两点距离为个单位长度，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为（）秒．    (1)图中如果点、表示的数是互为相反数，那么点表示的数是________； (2)当秒时，点与点之间的距离是_________个长度单位； (3)当点为原点时，点表示的数是_________；（用含t的代数式表示） (4)求当为何值时，点到点的距离是点到点的距离的倍． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)或． 【分析】（1）设点表示的数为，点表示的数为，根据两点距离为个单位长度，则，，即可； （2）根据点运动的速度和时间计算，即可； （3）根据题意，当点为原点，点表示的数为； （4）根据点运动的距离分类讨论：当点在线段上；当点在线段的延长线，即可． 【详解】（1）设点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． （2）∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴点与点之间的距离为：， ∴当时，点与点之间的距离为个长度单位， 故答案为：． （3）∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴点为原点时，点表示的数为：， 故答案为：． （4）∵点到点的距离是点到点的距离的倍， ∴， 当点在线段上， ∴， 解得：； 当点在线段的延长线， ∴， 解得：， ∴当秒或秒时，点到点的距离是点到点的距离的倍． 【点睛】本题考查数轴，绝对值的知识，解题的关键是掌握数轴的性质，绝对值的运用，动点问题与几何的结合． 考点5：数轴上点的移动 17.在一条不完整的数轴上有A、B两点，A、B表示的两个数a、b是一对相反数． (1)如果A、B之间的距离是3，写出a、b的值 (2)有一点P从B向左移动5个单位，到达Q点，如果Q点表示的数是，写出a、b的值 【答案】(1)、； (2)， 【详解】（1）∵点A、B表示互为相反数的两个数，a，，且A、B之间的距离为3， ∴、； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， 18．（2022秋·内蒙古通辽·七年级校考阶段练习）如图，数轴的单位长度为1． (1)如果点B，D表示的数互为相反数，那么图中点A、点D表示的数分别是 、 ； (2)当点B为原点时，在数轴上有一点M，使得点M到点A的距离是点M到点D的距离的2倍，点M所表示的数是 ． (3)当点A为原点时，B、C两点分别以2个单位长度/秒和0．5个单位长度/秒同时向右运动，经过_____秒B、C两点在点P相遇，此时点P表示的数是 ． 【答案】(1)，2 (2)2或10 (3)2，6 【详解】（1）解：∵点B，D表示的数互为相反数，点B和点D距离4个单位长度， ∴点B和点D距离原点2个单位长度， ∴点B表示，点D表示2， ∵点A在点B左边两个单位长度， ∴点A表示的数为：， 故答案为：，2． （2）∵点B为原点， ∴点A表示，点D表示4， ①当点M在点A和点D之间时： 点M到点A的距离为：， 点M到点D的距离为：， ∴，解得：， ②当点M在点D右边时： 点M到点A的距离为：， 点M到点D的距离为：， ∴，解得：， 故答案为：2或10． （3）由图可知，点B和点C距离3个单位长度， 设经过t秒后相遇， ∵B、C两点分别以2个单位长度/秒和0．5个单位长度/秒同时向右运动， ∴，解得：， 此时点P表示的数为：， 故答案为：2，6． 19．在数轴上有两个点A，B，回答下列问题. (1)将A点向左平移个单位长度后，表示的数是 (2)将B点向右平移3个单位长度后，表示的数是 (3)B点做怎样的平移可以与A点表示的数互为相反数? (4)A点和B点相距 个单位长度，若把图中数轴的原点移到B点，则在新的数轴上，A点表示的数是 (5)怎样移动才能使A点表示的数永远都大于B点表示的数? 【答案】(1)； (2)5； (3)点向左平移一个单位； (4)3，； (5)A点移动到B点右侧． 【详解】（1）解：，即表示的数是 故答案为：； （2）解：，即表示的数是5， 故答案为：5； （3）解：点的相反数是1， 点向左平移一个单位后与A点表示的数互为相反数， （4）解：，即A点和B点相距3个单位长度， 将图中数轴的原点移到B点，A点表示的数是， 故答案为：3，； （5）解：A点表示的数永远都大于B点表示的数，即A点移动到B点右侧． 考点6：绝对值的实际应用 20.正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由． 【答案】 因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛． 【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好．这个偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大． 21.某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002L的误差．现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表： +0.0018 -0.0023 +0.0025 -0.0015 +0.0012 +0.0010 请用绝对值知识说明： (1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)? (2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量？ 【答案】(1)绝对值不超过0.002的有4瓶，分别是检查结果为+0.0018，-0.0015，+0.0012，+0.0010的这四瓶． (2)第6瓶净含量与规定的净含量相差最少，最接近规定的净含量． 22.一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻? 【答案】小虫爬行的总路程为： |+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm) ． 小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒) ． 一、单选题 1．（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）下列图形是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是数轴的定义，数轴是规定了原点，正方向和单位长度的直线；根据上述定义，逐一判断各选项，即可得到结论． 【详解】解：A．没有规定正方向，不是数轴，故本选项不符合题意； B．有了原点，正方向和单位长度，是数轴，故本选项符合题意； C．没有负半轴，且不是直线，故不是数轴，故本选项不符合题意； D．单位长度不均匀，不是数轴，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列各数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的概念，解题的关键是注意：两个数符号不同，但是绝对值相等，就是互为相反数．根据相反数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．与互为相反数，符合题意； B．两个数的绝对值不同，不是互为相反数，不符合题意； C．两个数的绝对值不同，不是互为相反数，不符合题意； D．，即两个数相等，不是互为相反数，不符合题意． 故选：A． 3．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）下列说法中，错误的是（   ） A．在一个数前面添加一个“”号，就变成原数的相反数 B．与互为相反数 C．若两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数 D．的相反数是 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0． 根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数． 【详解】解：A．在一个数前面添加一个“”号，就变成原数的相反数，说法正确，故本选项不合题意； B．与2.2互为相反数，说法正确，故本选项不合题意； C．如果两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数，说法正确，故本选项不合题意； D．的相反数是，所以原说法错误，故本选项符合题意． 故选：D． 4．（22-23七年级上·海南海口·期中）下列化简，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数，掌握一个数的前面加上负号就是这个数的相反数成为解题的关键． 根据相反数的定义逐层去括号，然后判断即可解答． 【详解】解；A、，故A选项正确，符合题意； B、，故B选项错误，不符合题意； C、，故C选项错误，不符合题意； D、，故D选项错误，不符合题意． 故选：A． 5．（23-24七年级上·河南信阳·阶段练习）小宇同学在数轴上表示时，由于粗心，将画在了它相反数的位置并确定原点，要想把数轴画正确，原点应（    ） A．向左移6个单位 B．向右移6个单位 C．向左移3个单位 D．向右移3个单位 【答案】B 【分析】根据互为相反数的两个数到原点的距离相等解答． 【详解】解：∵的相反数是3，与3到原点的距离相等， ∴要想把数轴画正确，原点应向右移6个单位． 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数的定义，数轴，熟练掌握互为相反数的两个数到原点的距离相等是解题的关键． 6．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）为有理数，若，那么是（    ） A．非正数 B．非负数 C．负数 D．不为0的数 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的性质，一个数的绝对值等于他的相反数，这个数为非正数．根据绝对值的性质即可求解． 【详解】解：为有理数，且， 那么是负数或者， 故选：A． 二、填空题 7．（23-24七年级上·河南许昌·期中）数轴上，点表示的数是，将点向右移动6个单位长度后，点表示的数是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上原点左边的点均为负数，原点右边的数为正数，当数a在数轴上表示的点向正方向移动n个单位时，可以得到 【详解】解：根据题意得：， 故表示的数是3． 故答案为：3． 8．（23-24七年级下·湖北孝感·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的化简，先根据题意确定，然后化简绝对值后合并解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）关于的方程的解是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解绝对值方程．分，和时三种情况讨论，分别列得方程，再解方程可得． 【详解】解：当时， ，解得； 当时, ，此方程无解； 当时, ，解得； 故答案为：或． 三、解答题 10．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）请把下面不完整的数轴画完整，并在数轴上标出下列各数： ，，4，．    【答案】见详解 【分析】此题考查了数轴的基本知识，根据数轴的三要素，原点、正方向、单位长度，在数轴上补充完整，在数轴上标出各数即可． 【详解】解：如图，    11．（23-24七年级上·新疆阿克苏·阶段练习）（1）化简下列各式： ①___________； ②__________； ③___________； ④__________； ⑤______________； ⑥____________ （2）根据你所发现的规律，猜想当前面有2022个负号时，化简后结果是多少?当前面有2022个负号时，化简后结果是多少? （3）结合（2）中的规律，用文字叙述你所得到的结论. 【答案】（1）①；②；③；④；⑤；⑥； （2）当前面有2022负号，化简后结果是．当前面有2022个负号，化简后结果是； （3）在一个数的前面有偶数个负号，化简结果是本身；在一个数的前面有奇数个负号，化简结果是这个数的相反数． 【分析】本题考查的是相反数的概念和多重符号化简，掌握一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数是解题的关键． 相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．多重符号的化简：与“”个数无关，有奇数个“”号结果为负，有偶数个“”号，结果为正． 【详解】解：（1）①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； （2）当前面有2022个负号，化简后结果是．当前面有2022个负号，化简后结果是； （3）规律：在一个数的前面有偶数个负号，化简结果是本身；在一个数的前面有奇数个负号，化简结果是这个数的相反数． 12．（23-24七年级上·山西临汾·阶段练习）阅读与思考 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示的数是．参照图中所给的信息，完成填空： 已知A，B都是数轴上的点． (1)若点A表示数．将点A向右移动5个单位长度至点．则点表示的数是________； (2)若点A表示数2，将点A先向左移动7个单位长度，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数是________； (3)若将点B先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，终点表示的数恰好是0，则点B所表示的数是________． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要考查了数轴上动点平移问题，解题关键是掌握数轴上点往右移几就加几，往左移几就减几，概括为“右加左减． （1）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得点表示的数； （2）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得点表示的数； （3）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得B点表示的数． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴点表示的数是2； （2）解：由题意得： ∴点表示的数是； （3）解：由题意得：0先向右移动3个单位长度，再向左移动6个单位长度得到点B ∴ ∴点B所表示的数是 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$