高一下学期期末模拟卷（一）-【好题汇编】备战2023-2024学年高一数学下学期期末真题分类汇编（人教A版2019必修第二册）

高一期末模拟卷（一） 一、单选题 1．设，则“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设向量，的夹角的余弦值为，，，则（   ） A．-23 B．23 C．-27 D．27 3．如图所示，，则（    ） A． B． C． D． 4．样本数据的中位数是（    ） A．12 B．11 C．10 D．10.5 5．忻城县高级中学有1100名高一学生，1000名高二学生，1200名高三学生，高一数学兴趣小组欲采用分层抽样的方法在全校抽取33名学生进行某项调查，则下列说法正确的是（    ） A．高三每一个学生被抽到的概率最大 B．高三每一个学生被抽到的概率最小 C．高一每一个学生被抽到的概率最大 D．每位学生被抽到的概率相等 6．设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．中，，，是外接圆圆心，是的最大值为（    ） A．1 B． C．3 D．5 8．祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一补四脚帐篷的示意图，其中曲线和均是以为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知为虚数单位，复数，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的共轭复数为 C．的虚部为 D．在复平面内，复数对应的点位于第二象限 10．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ） A．图（1）的平均数中位数众数 B．图（2）的平均数<众数<中位数 C．图（2）的众数中位数<平均数 D．图（3）的平均数中位数众数 11．如图，在正方体中，，均为所在棱的中点，是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．三棱锥的体积为 C．过三点的平面截正方体所得截面的面积为 D．若，则点的轨迹长度为 三、填空题 12．若用长度分别为1，2，a的三支木棒拼成一个钝角三角形，则a的取值范围为 . 13．三棱锥中，，且两两垂直．设三棱锥的外接球和内切球的表面积分别为和，则 ． 14．九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，这5个数字未知，且为奇数，则的概率为 . 9 7 4 5 四、解答题 15．在中，. (1)求角的大小； (2)若在边上，，且，求的面积. 16．某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如下频率分布直方图： (1)用分层随机抽样的方法从两个区间共抽取出5名学生，则每个区间分别应抽取多少人； (2)根据样本频率分布直方图估计样本的平均数； (3)现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线．（精确到1） 17．春节过后，某大学四年级的5名大学生相约去人才市场应聘，其中小红、小东学的是建筑专业，小军、小英学的是通讯专业，小青学的是电气工程专业. (1)若从这5人中随机采访3人，求3人中至少有1人是通讯专业的概率； (2)若小红应聘成功的概率是，小军应聘成功的概率是，小青应聘成功的概率是，这3名大学生的应聘结果相互独立，求这3人中至少有2人应聘成功的概率. 18．如图， 四棱锥中，是菱形，，，分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)在AD上是否存在一点M，使得平面PMB⊥平面PAD？若存在请证明，若不存在请说明理由. 19．定义向量 的“伴随函数”为. 函数. 的“伴随向量”为 (1)在 中，已知 点M 为边AB上的点，且 求出向量 的“伴随函数”， 并直接写出的最大值； (2)已知向量 函数 求函数的“伴随向量” 的坐标； (3)已知 向量 的“伴随函数”分别为、， 设 且 的“伴随函数”为，其最大值为m. 求证： 向量 的充要条件为 试卷第2页，共5页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一期末模拟卷（一） 一、单选题 1．设，则“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为复数为纯虚数，所以，解得， 所以是复数为纯虚数的充要条件. 故选：A. 2．设向量，的夹角的余弦值为，，，则（   ） A．-23 B．23 C．-27 D．27 【答案】B 【详解】设与的夹角为，则， 又，，所以， 所以． 故选：B. 3．如图所示，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C 4．样本数据的中位数是（    ） A．12 B．11 C．10 D．10.5 【答案】D 【详解】将数据从小到大排列：.故这组数据的中位数是. 故选：D 5．忻城县高级中学有1100名高一学生，1000名高二学生，1200名高三学生，高一数学兴趣小组欲采用分层抽样的方法在全校抽取33名学生进行某项调查，则下列说法正确的是（    ） A．高三每一个学生被抽到的概率最大 B．高三每一个学生被抽到的概率最小 C．高一每一个学生被抽到的概率最大 D．每位学生被抽到的概率相等 【答案】D 【详解】由题意知，抽样比例为， 所以33人中，高一要抽11人，高二要10人，高三要12人， 故高一每位学生被抽到的概率为， 高二每位学生被抽到的概率为， 高三每位学生被抽到的概率为， 在比例分配的分层随机抽样中，每个个体被抽到的概率相等， 故每位学生被抽到的概率相等. 故选：D 6．设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A，如图，若，但直线平行，A错误； 对于B，如图，若，但是平面不平行，B错误； 对于C：如图，若，过直线作两个平面，可得则，C正确； 对于D，如图，若，则，D错误； 故选：C. 7．中，，，是外接圆圆心，是的最大值为（    ） A．1 B． C．3 D．5 【答案】C 【详解】过点作、，垂足分别为、， 如图，因为是外接圆圆心，则、分别为、的中点， 在中，， 所以，即， 即， ， 同理， 则 ， 由正弦定理得， 当且仅当时取“=”， 所以的最大值为. 故选：C. 8．祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一补四脚帐篷的示意图，其中曲线和均是以为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设截面与底面的距离为，在帐篷中的截面为， 设底面中心为，截面中心为，则，， 所以，所以截面为的面积为. 设截面截正四棱柱得四边形为，截正四棱锥得四边形为， 底面中心与截面中心之间的距离为， 在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为，， 所以，所以为等腰直角三角形， 所以，所以四边形边长为， 所以四边形面积为， 所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等， 由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积， 即. 故选：A. 二、多选题 9．已知为虚数单位，复数，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的共轭复数为 C．的虚部为 D．在复平面内，复数对应的点位于第二象限 【答案】BC 【详解】由题意可知：， 对于选项A：因为，所以，故A错误； 对于选项B：因为，所以的共轭复数为，故B正确； 对于选项C：因为，所以的虚部为，故C正确； 对于选项D：因为，所以复数对应的点为，位于第四象限，故D错误； 故选：BC. 10．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ） A．图（1）的平均数中位数众数 B．图（2）的平均数<众数<中位数 C．图（2）的众数中位数<平均数 D．图（3）的平均数中位数众数 【答案】ACD 【分析】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A正确； 图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B错误，C正确； 图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确. 故选：ACD. 11．如图，在正方体中，，均为所在棱的中点，是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．三棱锥的体积为 C．过三点的平面截正方体所得截面的面积为 D．若，则点的轨迹长度为 【答案】BCD 【详解】选项A，如图，设点是棱中点，由均为所在棱的中点， 根据中位线易得,进而可得与点共面，所以平面，错误； 选项B，如图，因为面在正方体前侧面上，所以点到面的距离等于的长， 正方形中 ， 则三棱锥的体积为, 选项C，由选项A知过三点的平面截正方体所得截面为正六边形,边长，所以面积为， 选项D，由 知点轨迹为为球心，为半径的球与正方体表面的交线，如图， 由正方体棱长得，交线为三段半径为的四分之一圆，长度为， 故选：BCD. 三、填空题 12．若用长度分别为1，2，a的三支木棒拼成一个钝角三角形，则a的取值范围为 . 【答案】 【详解】如图，设长度分别为1，2，a的三支木棒分别为的三边， 则即， 显然角B为锐角， 当时，由余弦定理得， 或，故； 当时，由余弦定理得， ，故； 综上所述，a的取值范围为. 故答案为：. 13．三棱锥中，，且两两垂直．设三棱锥的外接球和内切球的表面积分别为和，则 ． 【答案】 【详解】由题意可知，三棱锥可以为棱，补成棱长为的正方体， 所以三棱锥的外接球与所在正方体的外接球相同， 所以外接球直径，其面积， 设三棱锥内切球半径为，则由等体积法可得：, 即， 解得，故， 所以. 故答案为： 14．九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，这5个数字未知，且为奇数，则的概率为 . 9 7 4 5 【答案】 【详解】这个试验的等可能结果用下表表示： a b c d e 2 1 6 3 8 2 1 8 3 6 6 1 2 3 8 6 1 8 3 2 8 1 2 3 6 8 1 6 3 2 2 3 6 1 8 2 3 8 1 6 6 3 2 1 8 6 3 8 1 2 8 3 2 1 6 8 3 6 1 2 共有12种等可能的结果，其中的结果有8种， 所以的概率为. 故答案为：. 四、解答题 15．在中，. (1)求角的大小； (2)若在边上，，且，求的面积. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）由题意得， 即， 由正弦定理得， 由余弦定理得. 因为，所以. （2）如图， 因为，所以. 在中，由正弦定理得， 解得， 则或（舍去）， 得，则. 故. 16．某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如下频率分布直方图： (1)用分层随机抽样的方法从两个区间共抽取出5名学生，则每个区间分别应抽取多少人； (2)根据样本频率分布直方图估计样本的平均数； (3)现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线．（精确到1） 【答案】(1)； (2)84.5 (3) 【详解】（1）依题意，设区间中应抽人，区间中应抽人，得 成绩在区间样本中的学生人数为：； 成绩在区间样本中的学生人数为：； 所以，解得， 所以区间中应抽人，区间中应抽人. （2）根据样本频率分布直方图估计样本的平均数为 . （3）由频率分布直方图易得，的频率为，的频率为， 所以成绩良好的最低分数线落在区间中，不妨记为， 故，解得， 所以成绩良好的最低分数线为. 17．春节过后，某大学四年级的5名大学生相约去人才市场应聘，其中小红、小东学的是建筑专业，小军、小英学的是通讯专业，小青学的是电气工程专业. (1)若从这5人中随机采访3人，求3人中至少有1人是通讯专业的概率； (2)若小红应聘成功的概率是，小军应聘成功的概率是，小青应聘成功的概率是，这3名大学生的应聘结果相互独立，求这3人中至少有2人应聘成功的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）从这5人中随机采访3人，有（小红、小东、小军），（小红、小东、小英），（小红、小东、小青），（小红、小军、小英），（小红、小军、小青），（小红、小英、小青），（小东、小军、小英），（小东、小军、小青），（小东、小英、小青），（小军、小英、小青）共10种情况，其中至少有1人是通讯专业的，对立事件是没有通讯专业的，即（小红、小东、小青）， 所以至少有1人是通讯专业的概率为. （2）设“小红应聘成功”，“小军应聘成功”，“小青应聘成功”， 则至少有2人应聘成功的概率 . 18．如图， 四棱锥中，是菱形，，，分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)在AD上是否存在一点M，使得平面PMB⊥平面PAD？若存在请证明，若不存在请说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2)存在，证明见详解 【详解】（1） 连接，因为底面是菱形，为的中点， 所以在上且为的中点， 又因为是的中点，， 又平面，平面， 平面； （2）存在，证明如下： 取AD中点M，连接PM，BM， ， 又是菱形，是等边三角形， 而平面， 平面，平面， ∴平面平面. 19．定义向量 的“伴随函数”为. 函数. 的“伴随向量”为 (1)在 中，已知 点M 为边AB上的点，且 求出向量 的“伴随函数”， 并直接写出的最大值； (2)已知向量 函数 求函数的“伴随向量” 的坐标； (3)已知 向量 的“伴随函数”分别为、， 设 且 的“伴随函数”为，其最大值为m. 求证： 向量 的充要条件为 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【详解】（1）因为点M 为边上的点， 且，则                               即得， 由题意得，， 因，其中 因，故. （2）因， 故函数的“伴随向量”为 . （3）设   因为 所以 下证充分性： 因，当且仅当存在使得： 时，成立，其中 所以 则 于是，故有，； 再证必要性：当 时， 所以 当且仅当 时，等号成立， 故有，. 综上：向量  的充要条件为 试卷第2页，共16页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$