第04讲 二次函数与一元二次方程关系（6大核心考点精讲练透）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

第04讲 二次函数与一元二次方程关系 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1.理解二次函数与一元二次方程的关系 2.能够判断二次函数与x轴交点 3.能够利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根 4.理解抛物线与不等式的关系 1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　求二次函数y=ax2 + bx + c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求ax2 + bx + c =0中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数y=ax2 + bx + c(a≠0) 一元二次方程 ax2 + bx + c =0(a≠0) 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线y=ax2 + bx + c(a≠0)与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程ax2 + bx + c =0(a≠0)有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线y=ax2 + bx + c(a≠0)与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程ax2 + bx + c =0(a≠0)有两个相等的实数根 △＜0 抛物线y=ax2 + bx + c(a≠0)与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程ax2 + bx + c =0(a≠0)在实数范围内无解（或称无实数根） 注意： 　二次函数图象与x轴的交点的个数由b2 - 4ac的值来确定的. (1) 当二次函数的图象与x轴有两个交点时，Δ=b2 - 4ac＞0，方程有两个不相等的实根； (2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，Δ=b2 - 4ac=0，方程有两个相等的实根； (3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，Δ=b2 - 4ac＜0，方程没有实根． 2.利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 用图象法解一元二次方程ax2 + bx + c =0(a≠0)的步骤： 1.作二次函数y=ax2 + bx + c(a≠0)的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； 2. 确定一元二次方程ax2 + bx + c =0(a≠0)的根的取值范围．即确定抛物线y=ax2 + bx + c(a≠0)与x轴交点的横坐标的大致范围； 3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值． 4.确定一元二次方程ax2 + bx + c =0(a≠0)的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方ax2 + bx + c =0(a≠0)的近似根． 3.抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，． ∴ 即 （△＞0）． 4.抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 要点： 抛物线y=ax2 + bx + c在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2 + bx + c ＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式ax2 + bx + c ＜0的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号． 教材习题01 利用二次函数的图像求方程x2+x－1=0的解（或近似解） 解题方法 ①求二次方程的解，可以利用二次函数的图像求方程的近似解，做出y=x2+x－1的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为方程的解 【答案】 解：设y=x2+x－1，则方程x2+x－1=0的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标，在直角坐标系中画出函数y=x2+x－1的图象(图1-20)得到与x轴的交点为A，B，则点A，B的横坐标x，就是方程的解，观察图，得到点A的横坐标x1≈0.6，点B的横坐标x2≈-1.6。所以方程x2+x－1=0的近似解为x1≈0.6,x2≈-1.6. 考点一： 二次函数与坐标轴交点问题 例1．在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴的一个交点的横坐标为，则另一个交点的横坐标为（    ） A．5 B．3 C． D． 变式1-1．函数与x轴的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为（） A． B． C． D． 考点二：通过二次函数图像确定方程根情况 例2．如图，是抛物线 的图象，图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，关于x的一元二次方程 根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 变式2-1．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（　　）    A．， B．， C．， D．， 考点三：图像法确定一元二次方程的近似根 例3.观察表格，估算一元二次方程的近似解： x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.19 0.44 由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（    ） A． B． C． D． 变式3-1．利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根． 考点四：x轴与二次函数截线长 例4. 抛物线y＝﹣x2＋2x＋6在直线y＝﹣9上截得的线段长度为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 变式4-1．抛物线与x轴交于A、B两点，则线段的长为 ； 考点五：根据函数值求自变量的范围 例5．若关于x的一元二次方程（t为实数），在的范围内有解，则t的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 变式5-1．已知二次函数（），当和时，函数值相等，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 考点六：二次函数与一次函数的图像判断 例6．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（　　） A． B． C． D． 变式6-1．直线 与抛物线 在同一坐标系里的大致图象正确的是（     ） A． B． C． D． 1．已知二次函数，已知函数与x轴相交于，且函数的对称轴为直线，则的根的范围是（    ） A． B． C． D． 2．抛物线（a，b，c为常数，且）的顶点坐标为，其部分图象如图所示，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D．若，则 3．下列关于二次函数的图象和性质的叙述中，正确的是（    ） A．与直线有两个交点 B．开口方向向上 C．对称轴是直线 D．点在函数图象上 4．如图，已知二次函数的图象关于直线对称，与x轴的一个交点在原点和之间，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．（m为任意实数） 5．已知二次函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．关于x的一元二次方程的根是， C． D． 6．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得函数图象与轴的两个交点之间的距离为（      ） A． B． C． D． 7．已知二次函数，当 时，，则当 时，的取值范围为 （   ） A． B． C． D．不能确定 8．下表给出了二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值： x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 … y … 0.75 1.16 … 那么下列各选项中可能是方程的近似根的是（    ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 9．已知，二次函数（a，b，c为常数，）的图像经过点，其中，下列结论：①；②；③时，y随x的增大而减小；④关于x的方程一定有一个小于1的正数根．其中结论正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 10．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与轴的一个交点坐标为．以下结论：①；②；③；④若点、点 、点在该函数图象上，则；⑤若关于的方程有两个实数根，，且满足，则，．其中正确结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 11．已知：抛物线与x轴交于A、B两点，且，则m的值为（    ） A．2 B． C． D． 12．已知二次函数，当y＝0时，x的值是（　　） A．2或 B．或6 C．或1 D．或 13．二次函数的函数值是，那么对应的值是（    ）． A． B． C．和 D． 和 14．已知二次函数，当时，则x的取值范围为（　　） A． B． C．或 D．或 15．二次函数的图象如图所示．下列结论： ①；②；③方程有两个不相等的实数根；④不等式的解集是． 其中所有正确结论的序号是 ． 16．如图，抛物线的顶点坐标是，若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 ． 17．已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点．若，则 ． 18．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过 象限． 19．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为 ．    20．在平面直角坐标系中画出函数的图象；并在图象上描出以方程的两根为横坐标的点，标记为A，B． 21．已知函数． (1)求证：该函数的图象与轴总有公共点； (2)当时，该函数图象与轴交于，两点，求线段长度的取值范围． 22．已知二次函数． (1)求证：该函数的图像与轴总有两个公共点； (2)若该函数图像与轴的两个交点坐标分别为，，且，求证：； (3)若，，都在该二次函数图像上，且，结合函数图像，写出的取值范围是________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 二次函数与一元二次方程关系 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1.理解二次函数与一元二次方程的关系 2.能够判断二次函数与x轴交点 3.能够利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根 4.理解抛物线与不等式的关系 1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　求二次函数y=ax2 + bx + c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求ax2 + bx + c =0中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数y=ax2 + bx + c(a≠0) 一元二次方程 ax2 + bx + c =0(a≠0) 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线y=ax2 + bx + c(a≠0)与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程ax2 + bx + c =0(a≠0)有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线y=ax2 + bx + c(a≠0)与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程ax2 + bx + c =0(a≠0)有两个相等的实数根 △＜0 抛物线y=ax2 + bx + c(a≠0)与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程ax2 + bx + c =0(a≠0)在实数范围内无解（或称无实数根） 注意： 　二次函数图象与x轴的交点的个数由b2 - 4ac的值来确定的. (1) 当二次函数的图象与x轴有两个交点时，Δ=b2 - 4ac＞0，方程有两个不相等的实根； (2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，Δ=b2 - 4ac=0，方程有两个相等的实根； (3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，Δ=b2 - 4ac＜0，方程没有实根． 2.利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 用图象法解一元二次方程ax2 + bx + c =0(a≠0)的步骤： 1.作二次函数y=ax2 + bx + c(a≠0)的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； 2. 确定一元二次方程ax2 + bx + c =0(a≠0)的根的取值范围．即确定抛物线y=ax2 + bx + c(a≠0)与x轴交点的横坐标的大致范围； 3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值． 4.确定一元二次方程ax2 + bx + c =0(a≠0)的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方ax2 + bx + c =0(a≠0)的近似根． 3.抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，． ∴ 即 （△＞0）． 4.抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 要点： 抛物线y=ax2 + bx + c在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2 + bx + c ＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式ax2 + bx + c ＜0的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号． 教材习题01 利用二次函数的图像求方程x2+x－1=0的解（或近似解） 解题方法 ①求二次方程的解，可以利用二次函数的图像求方程的近似解，做出y=x2+x－1的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为方程的解 【答案】 解：设y=x2+x－1，则方程x2+x－1=0的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标，在直角坐标系中画出函数y=x2+x－1的图象(图1-20)得到与x轴的交点为A，B，则点A，B的横坐标x，就是方程的解，观察图，得到点A的横坐标x1≈0.6，点B的横坐标x2≈-1.6。所以方程x2+x－1=0的近似解为x1≈0.6,x2≈-1.6. 考点一： 二次函数与坐标轴交点问题 例1．在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴的一个交点的横坐标为，则另一个交点的横坐标为（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及求抛物线对称轴、图象与轴交点的对称性等知识，先求出抛物线对称轴，再由抛物线图象与性质求解即可得到答案，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数（）的对称轴为，且图象与轴的一个交点的横坐标为， 由抛物线上点的对称性可知，图象与轴的另一个交点的横坐标为， 故选：A． 变式1-1．函数与x轴的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与x轴交点，解答本题的关键是求出抛物线图象的对称轴．根据二次函数解析式求得对称轴，由抛物线的对称性得到答案． 【详解】解：由二次函数的表达式知，其对称轴是直线， 则抛物线与轴的两个交点坐标关于直线对称， 其中一个交点的坐标为， 另一个交点的坐标为， 故选∶D． 考点二：通过二次函数图像确定方程根情况 例2．如图，是抛物线 的图象，图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，关于x的一元二次方程 根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查抛物线与轴的交点判断一元二次方程根的情况，根据数形结合的方法可得答案． 【详解】解：函数图象开口向下．图象交x轴于点A、B， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根； 故选：A． 变式2-1．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（　　）    A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系；理解函数与方程的联系是解题的关键．由图知，抛物线与轴交于点，代入求出m的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与轴交于点， 将，代入，则， ， ∴原方程为 解得：或； 故选：B． 考点三：图像法确定一元二次方程的近似根 例3.观察表格，估算一元二次方程的近似解： x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.19 0.44 由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的估算，解题的关键是根据表格数据找出位于哪两个数之间即可． 【详解】解：由表格可知， 当时，与时， ∴时，， 故选C． 变式3-1．利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根． 【答案】， 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程根的联系，解题的关键是根据一元二次方程对应的二次函数为，画出函数图象，与轴的交点，即为一元二次方程的根，即可． 【详解】∵对应的函数是，在平面直角坐标系内画出函数图象，如下： ∵函数与轴的交点坐标为，， ∴的近似根为：，． 考点四：x轴与二次函数截线长 例4. 抛物线y＝﹣x2＋2x＋6在直线y＝﹣9上截得的线段长度为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】求得抛物线与直线的交点坐标后即可求得截得的线段的长． 【详解】解：由题意得：， 解得：x＝−3或x＝5， 故在直线y＝−9上截得的线段的长为5−（−3）＝8， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点，要熟悉二次函数与一元二次方程的关系． 变式4-1．抛物线与x轴交于A、B两点，则线段的长为 ； 【答案】5 【分析】求出抛物线与x轴的两个交点坐标即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，则， 解得或， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了求抛物线与x轴的交点坐标，解题的关键在于熟知抛物线与x轴的交点坐标的纵坐标为0． 考点五：根据函数值求自变量的范围 例5．若关于x的一元二次方程（t为实数），在的范围内有解，则t的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得，进而确定t的最小值，然后再求出时t的值，然后比较即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即t在的范围内的最小值为， 当时，；当时，； 所以t的取值范围是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的性质等知识点，根据题意确定t的最小值是解答本题的关键． 变式5-1．已知二次函数（），当和时，函数值相等，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数与一元二次方程的关系即可解题． 【详解】设当时， ∵当和时，函数值相等， ∴当时，的两个根为， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是由二次函数转换到一元二次方程根与系数的关系． 考点六：二次函数与一次函数的图像判断 例6．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数图像的识别，熟练掌握二次函数图像与一次函数图像的性质是解题关键．根据图像分别判断二次函数解析式中的符合以及一次函数解析式中的符合，判断是否一致，即可获得答案． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意． 故选：B． 变式6-1．直线 与抛物线 在同一坐标系里的大致图象正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中和的正负情况和二次函数图象中的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，故选项不符合题意； 、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，故选项不符合题意； 、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，，而抛物线对称轴位于轴右侧，则，故选项不符合题意； 、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，对称轴位于轴左侧，则，故选项符合题意； 故选：． 1．已知二次函数，已知函数与x轴相交于，且函数的对称轴为直线，则的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质等等，先根据二次函数的对称性求出二次函数与x轴相交于，再由二次函数的性质得到当时，，最后根据的根可以看做是二次函数与直线的交点的横坐标即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数与x轴相交于，且函数的对称轴为直线， ∴二次函数图象与x轴另一个交点为， ∵， ∴函数开口向上， ∴离对称轴越远函数值越大， ∴当时， ∵的根可以看做是二次函数与直线的交点的横坐标， ∴， 故选：D． 2．抛物线（a，b，c为常数，且）的顶点坐标为，其部分图象如图所示，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与轴的交点可以对进行判断；根据抛物线与一元二次方程的关系，可对进行判断；根据抛物线的对称轴可对C进行判断；根据当时，可对D进行判断． 【详解】解：抛物线开口方向向上，对称轴为， ，， ，， 故选项C不符合题意； 抛物线轴的交点在轴负半轴， ， ， 故选项A不符合题意； 抛物线与x轴有两个交点， 一元二次方程有两个根， 即， 故选项B不符合题意； ∵抛物线（a，b，c为常数，且）的顶点坐标为， ∴当时，， 故选项D符合题意． 故选：D． 3．下列关于二次函数的图象和性质的叙述中，正确的是（    ） A．与直线有两个交点 B．开口方向向上 C．对称轴是直线 D．点在函数图象上 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一次函数的交点问题，掌握二次函数的性质是解题关键．联立函数和一次函数，再利用判别式即可判断A 选项；根据二次函数系数与图象得关系，即可判断B选项；将二次函数化为顶点式，即可判断C选项；求出时的函数值，即可判断D选项． 【详解】解：A、联立，整理得：， ， 二次函数的图象与直线有两个交点，选项正确； B、， 二次函数的图象开口方向向下，选项错误； C、， 对称轴是直线，选项错误； D、当时，， 即点不在函数图象上，选项错误； 故选：A 4．如图，已知二次函数的图象关于直线对称，与x轴的一个交点在原点和之间，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．（m为任意实数） 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．根据抛物线开口向上，对称轴，与y轴交点位置，即可判断选项A；根据抛物线对称轴即可判断选项B；根据“对称轴为直线，”可判断选项C； 当时，为最小值，据此可判断选项D． 【详解】解：A．∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴， 原题结论正确，故此选项不符合题意； B．∵对称轴为直线， ∴， ∴， 故选项正确，不符合题意； C．∵对称轴为直线，， ∴， ∴当时， 原题结论错误，故此选项符合题意； D．当时，为最小值， ∴， ∴， ∴， 原题结论正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 5．已知二次函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．关于x的一元二次方程的根是， C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据二次函数的图象先判定的符号，再结合对称轴求解抛物线与轴的交点坐标，再进一步逐一分析即可． 【详解】解：由函数图像可知开口向下，与轴交于正半轴， ，， ∵对称轴为， ∴， ∴，故A不符合题意； ∵抛物线与轴交于，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴关于x的一元二次方程的根是，；故B不符合题意； ∵抛物线与轴交于，，对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴∵， ∴，故C符合题意； ∴； ∴错误，故D不符合题意； 故选：C． 6．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得函数图象与轴的两个交点之间的距离为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出抛物线平移后的解析式可得抛物线与轴的交点坐标，进而求解． 【详解】解：将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后所得的函数解析式为，即为， 此抛物线与轴的两个交点坐标为，， 则此抛物线与轴的两个交点之间的距离为， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律和二次函数的交点式是解题关键． 7．已知二次函数，当 时，，则当 时，的取值范围为 （   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据题意求得二次函数与轴的截线长，进而通过平移知识即可求解． 【详解】解：当 时，，二次项系数为 二次函数与轴有2个交点， 设与轴交于点 ， 令，则 即二次函数图像在轴上方的部分的“宽度”小于2， 当时，的取值范围为. 故选B 【点睛】本题考查了二次函数与轴的截线长，理解题意是解题的关键． 8．下表给出了二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值： x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 … y … 0.75 1.16 … 那么下列各选项中可能是方程的近似根的是（    ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 【答案】B 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．通过表中数据确定抛物线与x轴的交点横坐标的范围，从而得到一元二次方程的根(由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的)． 【详解】解：由表可知当时，， 当时，， ∴抛物线与x轴的一个交点在点与之间，更靠近点， ∴方程的一个根的近似值约为， 故选：B． 9．已知，二次函数（a，b，c为常数，）的图像经过点，其中，下列结论：①；②；③时，y随x的增大而减小；④关于x的方程一定有一个小于1的正数根．其中结论正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，将点坐标代入抛物线解析式可得根据即可判断①；把其中c替换成a，可得，即可判断②；抛物线对称轴，所以时y随x的增大而减小判断③；根据根与系数的关系判断④； 【详解】解：①将点坐标代入抛物线解析式得：， ∵, ∴，故结论①错误； ②∵，，把其中c替换成a，，即， 故②正确 ③∵ ∴ ∵， ∴， ∴抛物线开口向上， ∴时，y随x的增大而减小，故③正确； 令，则，两根之和，，两根之积，， ∴均大于0， 当时，，，抛物线开口向上， ∴抛物线有1个根在0到1之间，即有1个根在0到1之间，故④正确； ∴正确的结论是②③④， 故选：B 10．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与轴的一个交点坐标为．以下结论：①；②；③；④若点、点 、点在该函数图象上，则；⑤若关于的方程有两个实数根，，且满足，则，．其中正确结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图像和性质、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是熟练掌握二次函数的图像和性质． 结合图像和二次函数的对称轴可判断①；根据二次函数的对称性可判断②；结合图像可得时，，再将代入二次函数的解析式即可判断③；利用的对称点，结合图像即可判断④；根据二次函数和一元二次方程的关系将一元二次方程求解问题转变为二次函数与轴的交点问题，根据二次函数的平移规律即可判断⑤． 【详解】解：依图得：，， 二次函数对称轴为， 即，解得， 则， ，①正确； 该二次函数与轴的一个交点是，且对称轴为， 该二次函数与轴的另一个交点是， 将代入二次函数解析式可得， ②正确； 时，， 即， ， ，③正确； 根据二次函数的对称性可得的对称点是， 依题得当时，随着的增大而增大， ， ，④错误； 结合图像和二次函数解析式可得，求关于的方程的解可理解为求二次函数与轴交点的横坐标，此时的函数图像可由现函数图像向下平移一个单位长度后得到，此时，， ⑤正确． 综上可得：①②③⑤正确． 故选：． 11．已知：抛物线与x轴交于A、B两点，且，则m的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设A、B两点的横坐标为、，由题意知，，，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：设A、B两点的横坐标为、， 由题意知：，，， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，抛物线与x轴的截线长问题，解题的关键是熟练掌握韦达定理，以及抛物线与x轴的截线长等于，利用求解． 12．已知二次函数，当y＝0时，x的值是（　　） A．2或 B．或6 C．或1 D．或 【答案】B 【分析】此题考查了抛物线与轴的交点，列出关于的方程是解本题的关键．令得到关于的一元二次方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：令，得到， 即， 解得：或6． 故选：B 13．二次函数的函数值是，那么对应的值是（    ）． A． B． C．和 D． 和 【答案】C 【分析】把函数值代入函数解析式，解关于的一元二次方程即可． 【详解】把代入， 得 ， 整理得，， 解得，， ∴对应的自变量的值是或， 故选：． 【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，一元二次方程的解法，把函数值代入函数解析式得到方程是解题的关键． 14．已知二次函数，当时，则x的取值范围为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先求出当时，对应的x的值，然后根据二次函数的性质即可解答． 【详解】解：根据题意可得：当时，即， 解得：， ∵， ∴图象开口向上， ∵， ∴或 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数与不等式的关系，正确理解题意、明确求解的方法是关键． 15．二次函数的图象如图所示．下列结论： ①；②；③方程有两个不相等的实数根；④不等式的解集是． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，先根据二次函数与x轴交于，得到对称轴为直线，进而由对称轴公式即可判断①；根据当时，，即可判断②；根据二次函数开口向上，得到，由函数图象可知，二次函数与直线有两个不同的交点，即可判断③；由函数图象可知，当时，，即可判断④． 【详解】解：∵二次函数与x轴交于， ∴对称轴为直线， ∴， ∴，即，故①正确； ∵当时，， ∴，故②错误； ∵二次函数开口向上， ∴， 由函数图象可知，二次函数与直线有两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故③正确； 由函数图象可知，当时，， ∴当时，有， ∴，故④正确； 故答案为：①③④． 16．如图，抛物线的顶点坐标是，若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与直线的交点问题．解题的关键将一元二次方程根的情况转化为抛物线与直线的交点问题，据此列式解答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴抛物线与没有交点， ∵抛物线的顶点坐标是， ∴． 故答案为：． 17．已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点．若，则 ． 【答案】 【分析】设方程的两根分别为，， 可得，，利用，再解方程即可． 【详解】解：当，则， 设方程的两根分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，经检验符合题意； 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，熟练的利用建立方程求解是解本题的关键． 18．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过 象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，根据开口向下和对称轴在y轴右侧得到，，据此可得一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故答案为：四． 19．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为 ．    【答案】， 【分析】本题考查抛物线与x轴交点、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标． 【详解】解：由图象可知，关于x的方程的解，就是抛物线与直线的两个交点坐标分别为，的横坐标， 即，． 故答案为：，． 20．在平面直角坐标系中画出函数的图象；并在图象上描出以方程的两根为横坐标的点，标记为A，B． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数的性质，先列表，然后描点，再连线，画出函数图象，由 得 ，画出直线即可． 【详解】解: 抛物线 的顶点坐标是(1,-4), 对称轴是直线x = 1. 列表： x ··· 0 1 2 3 y 0 0 描点并连线，得函数 的图象，如图所示： 由 得 所以直线 与抛物线 的两个交点A，B即为所求，如图． 21．已知函数． (1)求证：该函数的图象与轴总有公共点； (2)当时，该函数图象与轴交于，两点，求线段长度的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，熟知二次函数与方程的关系是解题的关键． （1）利用根的判别式即可判断； （2）解方程求得，，则，，，根据即可求得线段长度的取值范围． 【详解】（1）证明：令，则， △， 该函数的图象与轴总有公共点； （2）解：由方程， 解得，， ，， ， ， ． 22．已知二次函数． (1)求证：该函数的图像与轴总有两个公共点； (2)若该函数图像与轴的两个交点坐标分别为，，且，求证：； (3)若，，都在该二次函数图像上，且，结合函数图像，写出的取值范围是________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，二次函数的图像与性质，一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式等知识，明确题意，合理分类讨论，画出函数图像，数形结合列出不等式组是解答第（3）的关键． （1）先求出，然后利用不等式的性质证明即可； （2）利用根与系数的关系得出，，结合，求出， ，然后代入，整理即可得证； （3）分对称轴在轴左侧和右侧讨论，分别画出草图，结合图像列出不等式组求解即可． 【详解】（1）证明：二次函数， ， ， ， 又对于任意实数都有， ，即， 该函数的图像与轴总有两个公共点； （2）证明：该函数图像与轴的两个交点坐标分别为，， ，是的两根， ，， ， 联立方程组， 解得：， 将代入中，得：， 整理得：； （3）解： ，都在该二次函数图像上， 抛物线的对称轴为：， 当时，即， ， 画出草图如下： 或 ，解得， 或，解得：或； 当时，即， ， 画出草图如下： 或 此时的横坐标大于，不符合题意，舍去； 综上所述，或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$