第一章 特殊平行四边形 重难点检测卷-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

第一章 特殊平行四边形 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．对角相等 C．对边平行且相等 D．对角线互相垂直 2．（2024·四川泸州·中考真题）已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·宁夏吴忠·期中）如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（    ） A．3 B． C． D．4 4．（2024·辽宁锦州·二模）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为40，则的长为（     ） A．4 B． C．5 D． 5．（2024·河南安阳·二模）将矩形纸片放置在如图所示的平面直角坐标系中，P为边上一动点（不与点B，C重合），连接，将折叠，得到．经过点P再次折叠纸片，使点B的对应点落在直线上，折痕交于点E．已知点，当四边形是正方形时，点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·河南南阳·二模）如图1，已知矩形的两条对角线，交于点．动点从点出发，沿矩形的边按的路径匀速运动到点．设点的运动速度为1单位长度秒，运动时间为秒，线段的长为，与函数关系的大致图象如图2所示，其中，分别为图象中两段曲线最低点的纵坐标，则的值为（   ） A．5 B．7 C．14 D．16 7．（23-24八年级下·广西贵港·期中）如图，菱形的对角线，相交于点O，且，，点是边上一动点（不与点，点重合），于点，于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 9．（23-24八年级下·广西来宾·期中）如图，在矩形中，边上分别有两个动点，连接，若，，则四边形的周长的最小值是（    ） A．23 B．16 C．22 D．15 10．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）如图，正方形中，、分别在、上，，交于点，连结，．下列结论： ①； ②； ③； ④，分别是，的中点．    其中正确的是（    ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（23-24八年级下·广东广州·期中）若菱形的两条对角线的长分别是10 和8，则这个菱形的面积为 ． 12．（23-24八年级下·山东淄博·期中）如图，在正方形的外侧作等边三角形，则的度数为 ． 13．（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）如图，正方形的对角线为边作菱形，则 ． 14．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，矩形中，，，对角线、相交于点，点是线段上任意一点，且于点，于点，则的值是 ． 15．（2024九年级下·江苏南京·专题练习）如图，在菱形中，点E，F分别在上，沿翻折后，点B落在边上的G处，若，，则的长为 ． 16．（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图，在边长为5的正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，以，为邻边作矩形，连接．则 ，当E点从A点运动到C点时，点F的运动路径长是 ．    三、解答题（9小题，共68分） 17．（2024·四川自贡·二模）如图，已知矩形，过点作交的延长线于点．求证：． 18．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点D，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 19．（2024·江苏宿迁·二模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形四个顶点都是格点，E是上的格点，将线段绕点A顺时针旋转后得到线段． (1)连接，请判断的形状，并说明理由； (2)请在线段上作一点G，并连接，使得（要求：仅用无刻度的直尺作图，不写作法）． 20．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，是的角平分线，是的外角的平分线，过点C作，垂足为E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 21．（20-21八年级下·江西宜春·期末）如图，四边形是平行四边形，、相交于点，点是的中点，连接，过点作于点，过点作于点．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若四边形是菱形，，，求的长． 22．（23-24八年级下·山东临沂·阶段练习）如图，在梯形中，，，动点P从点A出发沿方向向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿着方向向点B以的速度运动，点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)经过多长时间，四边形是平行四边形？ (2)经过多长时间，四边形是矩形？ 23．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知边长为1的正方形中，点E、F分别在边、上， (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若， ①猜想、、之间的数量关系，并证明； ②当的长为，试求的长度． 24．（23-24九年级下·宁夏银川·期中）课本再现 思考 我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 可以发现并证明矩形的一个判定定理： 对角线相等的平行四边形是矩形． 定理证明 （）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在平行四边形中，，是它的两条对角线，． 求证：平行四边形是矩形． 知识应用 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，且． （）试判断四边形的形状，并说明理由． （）过作于，，，求的长． 25．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由．    (1)思路梳理 ， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合． ， ，点共线． 根据______，易证______，得． (2)类比引申 如图2，四边形中，，点分别在边上，．若都不是直角，则当与满足等量关系_______时，仍有．（不需要写证明过程） (3)联想拓展 如图3，在中，，，点均在边上，且．猜想应满足的等量关系，并写出推理过程． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 特殊平行四边形 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．对角相等 C．对边平行且相等 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题考查了正方形和矩形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．根据正方形与矩形的性质对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：A、正方形和矩形的对角线都互相平分，故本选项不符合题意； B、正方形和矩形的四个角都是直角，所以对角都相等，故本选项不符合题意； C、正方形和矩形的对边都平行且相等，故本选项不符合题意； D、正方形对角线互相垂直，但矩形的对角线不一定互相垂直，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（2024·四川泸州·中考真题）已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形、有一个角是直角的平行四边形是矩形判断即可． 【详解】解：如图， A、，能判定为矩形，本选项不符合题意； B、∵，，∴，能判定为矩形，本选项不符合题意； C、，能判定为矩形，本选项不符合题意； D、，能判定为菱形，不能判定为矩形，本选项符合题意； 故选：D． 3．（23-24八年级下·宁夏吴忠·期中）如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，矩形的性质，先根据两点距离计算公式得到，再由矩形对角线相等即可得到． 【详解】解；如图所示，连接， ∵点的坐标是， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 故选：C． 4．（2024·辽宁锦州·二模）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为40，则的长为（     ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识点． 由菱形的性质可得，由菱形的面积得可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 5．（2024·河南安阳·二模）将矩形纸片放置在如图所示的平面直角坐标系中，P为边上一动点（不与点B，C重合），连接，将折叠，得到．经过点P再次折叠纸片，使点B的对应点落在直线上，折痕交于点E．已知点，当四边形是正方形时，点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质；根据正方形的性质和等腰三角形的性质可得，再由正方形的性质求解即可； 【详解】由题意可得，当四边形是正方形时，， ∴， 由折叠的性质，可得， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴点E的坐标为， 故选C； 6．（2024·河南南阳·二模）如图1，已知矩形的两条对角线，交于点．动点从点出发，沿矩形的边按的路径匀速运动到点．设点的运动速度为1单位长度秒，运动时间为秒，线段的长为，与函数关系的大致图象如图2所示，其中，分别为图象中两段曲线最低点的纵坐标，则的值为（   ） A．5 B．7 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题动点问题的函数图象．根据题意可得出，；由矩形的性质可知和是等腰三角形，且当当运动到中点时，取最小值，当运动到中点时，取最小值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意，当时，点与点重合，此时， ， 当时，点与点重合， ， 当运动到中点时，取最小值，此时； 当运动到中点时，取最小值，此时； ， 故选：B． 7．（23-24八年级下·广西贵港·期中）如图，菱形的对角线，相交于点O，且，，点是边上一动点（不与点，点重合），于点，于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，矩形的判定和性质是解题的关键．连接，根据矩形的性质，得到，利用三角形的面积，运用垂线段最短计算即可． 【详解】连接， ∵菱形的对角线相交于点O，，，， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，最小，故最小， ∵菱形，，且，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明，则，可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，由勾股定理得，责任的最小值为5． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴； 如图所示，在延长线上截取，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为5， 故选：B． 9．（23-24八年级下·广西来宾·期中）如图，在矩形中，边上分别有两个动点，连接，若，，则四边形的周长的最小值是（    ） A．23 B．16 C．22 D．15 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，延长到点，使得，连接，易得四边形和四边形是矩形，证明，得到，进而得到当三点共线时，的值最小，勾股定理求出的长，进一步求出四边形的周长的最小值即可． 【详解】解：如图，延长到点，使得，连接． ，四边形是矩形， ∴， 四边形和四边形是矩形． ∴，， ， ， ， ． 分别是上的动点，故当三点共线时，的值最小， 且的值等于的值． 在中，， 四边形的周长的最小值是． 10．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）如图，正方形中，、分别在、上，，交于点，连结，．下列结论： ①； ②； ③； ④，分别是，的中点．    其中正确的是（    ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】C 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 根据正方形的性质证明，即可判断①②正确；进而可得，则有，假设成立，则，结合，可知是等边三角形，可得，根据，可得假设不成立，即可判断③；延长交的延长线于，证明，即可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， 在与中， ， ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，，， ∴， ∴， 假设成立， 则， 结合，可知是等边三角形， ∴，即， 在中，，此与矛盾， 故假设不成立， ∴，故③错误； ∵， ∴， 延长交的延长线于，如图，    ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即是是的中点， ∴， ∵， ，即是是的中点，故④正确； 故选：C． 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（23-24八年级下·广东广州·期中）若菱形的两条对角线的长分别是10 和8，则这个菱形的面积为 ． 【答案】40 【分析】本题考查了菱形的性质：菱形的面积等于对角线乘积的一半．根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行计算即可． 【详解】解：这个菱形的面积． 故答案为：40． 12．（23-24八年级下·山东淄博·期中）如图，在正方形的外侧作等边三角形，则的度数为 ． 【答案】/15度 【分析】根据正方形，等边三角形的性质可知，是等腰三角形，且，，根据三角形的内角和定理即可求解．本题主要考查正方形，等边三角形，等腰三角形，三角形内角和定理的综合，掌握正方形，等边三角形，三角形内角和定理等知识是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的外侧作等边三角形 ∴，， 是等腰三角形，且， 在中，， ， 故答案为： 13．（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）如图，正方形的对角线为边作菱形，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了正方形的性质和菱形的性质，根据正方形的性质得出，，根据菱形的性质得出，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 四边形是菱形， ， ． 故答案为：． 14．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，矩形中，，，对角线、相交于点，点是线段上任意一点，且于点，于点，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握矩形的性质，勾股定理的运用．连接，根据矩形的性质，得，点是对角线的中点，则，再根据，，即可求出的值． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ，，， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（2024九年级下·江苏南京·专题练习）如图，在菱形中，点E，F分别在上，沿翻折后，点B落在边上的G处，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 作交的延长线于点H，因为，所以，由四边形是菱形，得，则四边形是平行四边形，所以，由折叠得，则，所以，由勾股定理得，求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点H，则， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 16．（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图，在边长为5的正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，以，为邻边作矩形，连接．则 ，当E点从A点运动到C点时，点F的运动路径长是 ．    【答案】 /90度 10 【分析】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 过点E作于点M，于点N，可证四边形是正方形，再证，通过证明，推出，可求出；然后根据点E的位置判断出点F的位置，进而求解出点F的运动路径长． 【详解】解：如图，过点E作于点M，于点N，   四边形是正方形， ，， ， ， 四边形是正方形， 四边形是矩形， ，， ， 又，， ， ， 矩形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； 当点E和点A重合时， ∵四边形是正方形， ∴此时点F和点B重合， 当点E运动到点C时， ∴ ∴点F的运动路径长是． 故答案为： 三、解答题（9小题，共68分） 17．（2024·四川自贡·二模）如图，已知矩形，过点作交的延长线于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据矩形的对应边相等及对角线相等，找出等量关系求解即可． 主要考查了矩形的性质．要掌握矩形的性质：对角线相等，对应边平行且相等． 【详解】证明：四边形是矩形， ，， 又∵， 四边形是平行四边形， ， ． 18．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点D，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 【答案】(1)答案见解析 (2)242 【分析】本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法． 【详解】（1）解：(1)四边形是菱形，理由是 ，， 四边形是平行四边形 平分 ， ， ， 平行四边形是菱形． （2） 四边形是正方形 ， 四边形的面积为∶． 19．（2024·江苏宿迁·二模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形四个顶点都是格点，E是上的格点，将线段绕点A顺时针旋转后得到线段． (1)连接，请判断的形状，并说明理由； (2)请在线段上作一点G，并连接，使得（要求：仅用无刻度的直尺作图，不写作法）． 【答案】(1)等腰直角三角形；理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，旋转的性质，网格作图． （1）由旋转的性质即可得到是等腰直角三角形； （2）取格点，连接，交于点，连接并延长交线段于点G，利用矩形的性质知点是的中点，，即． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形； 理由：∵将线段绕点A顺时针旋转后得到线段， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （2）解：如图，线段即为所求． ． 20．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，是的角平分线，是的外角的平分线，过点C作，垂足为E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)矩形的面积为2． 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识． （1）证明，根据矩形的判定即可得到结论； （2）证明是等腰直角三角形，再根据矩形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵，是的平分线， ∴， ∴， ∵是外角的平分线， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的面积为． 21．（20-21八年级下·江西宜春·期末）如图，四边形是平行四边形，、相交于点，点是的中点，连接，过点作于点，过点作于点．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若四边形是菱形，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可知，根据已知可得，所以，于点，于点，则，先证明四边形是平行四边形，再证是直角即可； （2）根据菱形的性质可知，根据已知可求出，然后利用等面积法求出即可． 本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记菱形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 点是的中点， ． ， ， 于点，于点， ， 四边形是平行四边形 ， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形， ，，，， ，， ，， 在中，， ， 即， ． 22．（23-24八年级下·山东临沂·阶段练习）如图，在梯形中，，，动点P从点A出发沿方向向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿着方向向点B以的速度运动，点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)经过多长时间，四边形是平行四边形？ (2)经过多长时间，四边形是矩形？ 【答案】(1)经过时，四边形是平行四边形 (2)经过时，四边形是矩形 【分析】本题主要考查了平行四边形的想在，矩形的性质： （1）设经过时，四边形是平行四边形，则，根据即可求解； （2）设经过时，四边形是矩形，则，根据，即可求解． 【详解】（1）解：设经过时，四边形是平行四边形，则， 由题意得，， ∴ ∵， ∴， 解得，    即经过时，四边形是平行四边形； （2）解：设经过时，四边形是矩形，则， 由题意得，， ∴， ∵， ， 解得， 即经过时，四边形是矩形． 23．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知边长为1的正方形中，点E、F分别在边、上， (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若， ①猜想、、之间的数量关系，并证明； ②当的长为，试求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)①，证明见解析，② 【分析】（1）由正方形性质可得，，可证得，即可证得结论； （2）①过作，交的延长线于，连接，先证明，再证明，结合全等三角形的性质可得结论；②在中， 求解，设线段长为x，则，又，，可得，再解方程进一步可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①它们的数量关系是：，理由如下： 过作，交的延长线于，连接， ∵四边形为正方形， ，， ∴， ∴， ， ， ∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． ②在中，的长为，， ∴， 设线段长为x，则， 又，， ， 解得， 在中， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形． 24．（23-24九年级下·宁夏银川·期中）课本再现 思考 我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 可以发现并证明矩形的一个判定定理： 对角线相等的平行四边形是矩形． 定理证明 （）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在平行四边形中，，是它的两条对角线，． 求证：平行四边形是矩形． 知识应用 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，且． （）试判断四边形的形状，并说明理由． （）过作于，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）矩形，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理； （1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答即可； （2）根据（1）的结论，即可求解； （3）根据题意得出，在边上截取，设，则，，进而得出，解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是矩形； （2）平行四边形是矩形，理由如下： ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴平行四边形是矩形， （3）∵，， ∴， 在边上截取， 设，则， ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：，即 25．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由．    (1)思路梳理 ， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合． ， ，点共线． 根据______，易证______，得． (2)类比引申 如图2，四边形中，，点分别在边上，．若都不是直角，则当与满足等量关系_______时，仍有．（不需要写证明过程） (3)联想拓展 如图3，在中，，，点均在边上，且．猜想应满足的等量关系，并写出推理过程． 【答案】(1)证明见解析部分 (2)结论：时，．理由见解析部分 (3)结论：．理由见解析部分 【分析】（1）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （2）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （3）把旋转到的位置，连接，证明，则是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断． 【详解】（1）证明：∵， ∴把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图1，   ， ，点共线， 则， ， 即， 在和中， ， ， ， （2）解：结论：时，． 理由：∵， ∴把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图2， ， ， ， ， ， ，点共线， 在和中 ， ， ， 即：； （3）结论：． 理由是：把旋转到的位置，连接，则．   ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ∴是直角三角形， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形，综合性比较强，有一定的难度． 学科网（北京）股份有限公司 $$