精品解析：陕西省西安市第八十五中学2023-2024学年高一上学期第一次摸底考试数学试题

西安市第八十五中学高2023级新生入学摸底考试 数学试题 一、单项选择题（每小题44分，共32分） 1. 全称量词命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 以上都不正确 2. 已知集合，则与集合的关系是（ ） A. B. C. D. 3 设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则（ ） A. a>b B. a<b C. a≥b D. a≤b 4. 设集合U＝{－1,1,2,3}，M＝{x|x2－5x＋p＝0}，若∁UM＝{－1,1}，则实数p的值为(　　) A. －6 B. －4 C. 4 D. 6 5. 下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ） A. ∀x∈R，x2＋2x＋1>0 B. ∃x∈N，2x为偶数 C. 所有菱形的四条边都相等 D. π是无理数 6. 已知集合，，则“”是“”的（ ）． A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 7. 已知集合，集合，集合，若，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 8. 已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（ ）． A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 二、多项选择题（每小题4分，共16分，全对得4分，少选得2分，错选得0分） 9. 已知集合，若，则实数a的值可以是（ ）． A. B. C. 0 D. 10. 一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法正确的是（ ）． A. 命题p：“，”的否定是：“，” B. 已知，“且”是“”的充分而不必要条件 C. “”是“”的充要条件 D. 若是充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件 12. 设非空集合，其中，若集合S满足：当时，有，则下列结论正确是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上） 13. 命题p：一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是__________． 14. 若集合有且仅有两个子集，则实数k的值是_______. 15. 如果，那么下列不等式成立的是________． ① ② ③ ④ 16. 若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为_____. 四、解答题（本题共4小题，共36分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）化简：； （2）求方程的解集． 18. 若是方程的两个实数根，试求下列各式的值： （1）； （2）． 19. 已知命题，命题或，其中．若是成立的充分不必要条件，求的取值范围． 20. 已知集合，． （1）若，求实数a的取值范围； （2）是否存在实数a使且？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 西安市第八十五中学高2023级新生入学摸底考试 数学试题 一、单项选择题（每小题44分，共32分） 1. 全称量词命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 以上都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即可得出结论. 【详解】全称量词命题“，”的否定为“，”. 故选：C. 2. 已知集合，则与集合的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由元素与集合的关系，即可得到结果. 【详解】因为，所以. 故选:A 3. 设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则（ ） A. a>b B. a<b C. a≥b D. a≤b 【答案】C 【解析】 【分析】作差比较可得答案. 【详解】a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0， 所以a≥b. 故选：C. 4. 设集合U＝{－1,1,2,3}，M＝{x|x2－5x＋p＝0}，若∁UM＝{－1,1}，则实数p的值为(　　) A. －6 B. －4 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】∵集合，且 ∴ ∵ ∴ 故选D 5. 下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ） A. ∀x∈R，x2＋2x＋1>0 B. ∃x∈N，2x为偶数 C. 所有菱形四条边都相等 D. π是无理数 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题概念，结合命题的意义判定真假，从而做出判定. 【详解】对A，是全称量词命题，但不是真命题(当时结论不成立），故A不正确； 对B，是真命题(当时即为偶数)，但不是全称量词命题，故B不正确； 对C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确； 对D，真命题，但不是全称量词命题，故D不正确， 故选：C. 6. 已知集合，，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】若，即可得到，从而求出的范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，又，，所以， 所以由推得出，故充分性成立； 由推不出，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7. 已知集合，集合，集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}，利用集合C＝{x|mx+1＞0}，（A∪B）⊆C，分类讨论，可得结论． 【详解】由题意，A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}， ∵集合C＝{x|mx+1＞0}，（A∪B）⊆C， ①m＜0，x，∴2，∴m，∴m＜0； ②m＝0时，C＝R,成立； ③m＞0，x，∴1，∴m≤1，∴0＜m≤1， 综上所述，m≤1， 故选：B． 【点睛】此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题． 8. 已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（ ）． A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】由新定义及集合的概念可化简集合，再由可知，分类讨论的归属，从而得到集合的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合的子集的个数. 【详解】由题设可知，， 又因为，所以， 而， 因为的解为或，的两根满足， 所以分属方程与的根， 若是的根，是的根，则有，解得， 代入与，解得或与或， 故； 若是的根，是的根，则有，解得， 代入与，解得或与或， 故； 所以不管如何归属方程与，集合总是有4个元素， 故由子集个数公式可得集合的子集的个数为. 故选：C 二、多项选择题（每小题4分，共16分，全对得4分，少选得2分，错选得0分） 9. 已知集合，若，则实数a的值可以是（ ）． A. B. C. 0 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，求得，再分和，求得集合，结合，即可求解. 【详解】由方程，解得或，即， 当时，则方程无实数解，此时，满足，符合题意； 当时，由，可得 此时， 要使得，可得或，解得或. 综上可得，实数的值为或或. 故选：BCD. 10. 一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据方程根的分布得到判别式和两根之积的关系式，解出等价条件，再利用真子集是其充分不必要条件即得结果. 【详解】若方程有一个正根和一个负根， 则 ，解得， 则一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件应为的真子集，故BC正确，AD错误. 故选：BC. 11. 下列说法正确的是（ ）． A. 命题p：“，”的否定是：“，” B. 已知，“且”是“”的充分而不必要条件 C. “”是“”的充要条件 D. 若是的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题p：“，”的否定为“，”所以A正确； 对于B中，由且，可得“，即充分性成立； 反正：例如：，满足，但且不成立，即必要性不成立， 所以且是的充分而不必要条件，所以B正确； 对于C中，由，可得且， 所以是的必要不充分条件，所以C不正确； 对于D中，根据充分条件、必要条件的关系，可得p是的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件，所以D正确. 故选：ABD. 12. 设非空集合，其中，若集合S满足：当时，有，则下列结论正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，求得或，且，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】因为非空集合，满足：当时，有， 所以当时，由，即，解得或， 同理，当时，由，即，解得， 对于A中，若，则必有，则，解得，所以A正确； 对于B中，若，则，解得，所以B正确； 对于C中，若，则必有，则，此时，所以，所以C不正确； 对于D中，若，则满足，解得或，所以D错误. 故选：AB 三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上） 13. 命题p：一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为一次函数的图像经过一、二、四象限， 则满足，解得， 即一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是. 故答案为：. 14. 若集合有且仅有两个子集，则实数k的值是_______. 【答案】－1或 【解析】 【分析】依据题意可知A中只有一个元素，然后分，讨论计算即可. 【详解】由条件，知A中只有一个元素． 当时，． 当时，，解得，此时． 综上所述，实数k的值为或． 故答案为：－1或 15. 如果，那么下列不等式成立的是________． ① ② ③ ④ 【答案】④ 【解析】 【分析】根据题意，结合不等式的基本性质和作差比较法，逐项判定，即可求解. 【详解】由，可得， 对于①中，由，所以，所以①不正确； 对于②中，由，所以，所以②不正确； 对于③中，由，所以，所以③不正确； 对于④中，由，所以，所以④正确. 故答案为：④. 16. 若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为_____. 【答案】 【解析】 【分析】分“鲸吞”或“蚕食”两种情况分类讨论求出值，即可求解 【详解】当时，，此时满足， 当时，，此时集合只能是“蚕食”关系， 所以当集合有公共元素时，解得， 当集合有公共元素时，解得， 故的取值集合为. 故答案为： 四、解答题（本题共4小题，共36分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）化简：； （2）求方程的解集． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）将式子分母有理化，即可得解； （2）依题意可得，解得，即可求出，从而得解. 详解】（1） ； （2）方程，即，则， 解得或， 所以或或或， 则方程的解集为. 18. 若是方程的两个实数根，试求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，结合，即可求解； （2）由（1），结合，即可求解. 【小问1详解】 解：因为是方程的两个实数根， 可得， 则. 【小问2详解】 解：由（1）知， 则. 19. 已知命题，命题或，其中．若是成立的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】或 【解析】 【分析】令，或，依题意可得真包含于，即可得到不等式（组），解得即可. 【详解】令，或， 因为是的充分不必要条件，所以真包含于， 所以或，解得或， 故的取值范围为或． 法二：由真包含于，可得如下两种情况， 结合数轴得或， 解得或， 故的取值范围为或． 20. 已知集合，． （1）若，求实数a的取值范围； （2）是否存在实数a使且？ 【答案】（1）； （2）不存在. 【解析】 【分析】（1）求出集合A的补集，再利用并集的结果求解即得. （2）利用（1）的结论，结合交集的结果求得的范围即可. 【小问1详解】 集合，则，而，且， 因此，解得， 所以实数a的取值范围是. 【小问2详解】 由（1）知， 由，得或，解得或， 所以不存在实数a使且成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$