第02讲 空间向量的数量积运算（思维导图+3知识点+5考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第02讲 空间向量的数量积运算 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解空间向量的夹角； 2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法； 3．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义； 4．掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求空间两点间的距离. 知识点 1 空间向量的夹角 1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 2、夹角的范围： 通常我们规定：，且 （1）当、共线且同向时，； （2）当、共线且反向时，； （3）当当、垂直时，即时，． 3、求两个向量的夹角有两种方法： 方法一：（1）结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围角的大小；（2）先求，再利用公式求，最后确定． 方法二：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)； ②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题； ③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小． 知识点 2 空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量、，则叫做向量与的数量积，记作，即．规定：零向量与任意向量的数量积是0． 2、数量积的几何意义 （1）类比平面向量，等于的长度与在方向上的投影的乘积，或的长度与在方向上的投影的乘积． （2）向量在向量上的投影向量 如图①，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量。类似的，可以将向量向直线投影（如图②）． （3）向量在平面上的投影 如图③，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 3、向量数量积的运算规律： （1）； （2）（交换律） （3）（分配律） 4、空间向量数量积的性质 设，是非零向量，是单位向量，则 ①； ②； ③或； ④； ⑤ 5、求空间向量数量积的步骤： 第一步：将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式， 第二步：利用向量的运算规律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积， 第三步：代入求解． 知识点 3 空间向量的模长 在空间两个向量的数量积中，特别地， 所以向量的模：． 将其推广： 考点一：空间向量数量积的计算 例1．（23-24高二上·四川成都·月考）已知空间向量的夹角为，则 ． 【变式1-1】（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，正方体的棱长为1，设，，，则（    ） A．1 B． C．0 D．2 【变式1-2】（23-24高二上·江西吉安·期末）在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高二上·四川成都·期末）如图，已知四面体的棱长都是2，点为棱的中点，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 考点二：利用数量积求向量的夹角 例2. （23-24高二上·山东烟台·期中）已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【变式2-1】（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）在空间四边形中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【变式2-2】（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知平行六面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二下·云南保山·开学考试）已知是两个空间向量，若，，则＝ . 考点三：利用数量积求向量的模长 例3. （23-24高二上·湖南益阳·期末）已知空间向量，则（    ） A．3 B． C． D．21 【变式3-1】（23-24高二下·江苏·月考）已知空间向量两两夹角为，且，则 ． 【变式3-2】（23-24高二下·福建漳州·月考）在平行六面体中，，，，，，则= 【变式3-3】（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知平面和平面的夹角为，，已知A，B两点在棱上，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，则的长度为（    ） A． B． C． D．或 考点四：利用数量积求投影向量 例4. （22-23高二下·安徽合肥·开学考试）已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二上·河北唐山·期中）在空间四边形中，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二上·河北保定·开学考试）如图，，分别是圆台上、下底面的两条直径，且，，是弧靠近点的三等分点，则在上的投影向量是（    ）.    A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二上·广东惠州·期中）如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为 （用向量来表示）.    考点五：利用数量积证明垂直关系 例5. （23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，点M，N分别是AB，CD的中点．证明：． 【变式5-1】（23-24高二上·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 【变式5-2】（22-23高二上·河南洛阳·月考）已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点. (1)用表示，并求出； (2)求证：. 【变式5-3】（23-24高二·全国·课后作业）如图，四棱锥的各棱长都为． (1)用向量法证明； (2)求的值． 一、单选题 1．（23-24高二上·宁夏银川·月考）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 2．（23-24高二上·江西萍乡·期末）已知，，是空间中两两垂直的单位向量，则（    ） A． B．14 C． D．2 3．（23-24高二上·福建莆田·月考）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知，（，，为两两互相垂直的单位向量），若，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·河北石家庄·期中）三棱锥中，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 6．（23-24高二上·辽宁沈阳·月考）如图，在四棱锥中，底面，四边形是边长为1的菱形，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高二上·河北沧州·期末）在棱长为2的正四面体A-BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G是△BCD的重心，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 8．（23-24高二下·江苏常州·月考）在正方体中，下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D．正方体的体积为 三、填空题 9．（23-24高二上·广东广州·期末）正四面体的棱长为2，设，，，则 . 10．（23-24高二下·江苏南通·月考）空间四边形中，，，，且异面直线与成，则异面直线与所成角的大小为 . 11．（23-24高二上·山东济宁·期末）如图，二面角的大小为，其棱l上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若则两点间的距离为 ． 四、解答题 12．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知正四面体的棱长为1，如图所示. (1)确定向量在直线上的投影向量，并求·； (2)确定向量在平面上的投影向量，并求. 13．（23-24高二下·山东烟台·月考）在平行六面体中，，，为与的交点. (1)用向量表示； (2)求线段的长及向量与的夹角. 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(1)用表示，并求出； (2)求证：. 【答案】(1)，；(2)证明见解析 【解析】（1）因为点是的重心，所以 因为点是线段的中点， 所以. 因为正四面体的棱长为， 所以, 所以 ， 所以. （2） ， 所以. 【变式5-3】（23-24高二·全国·课后作业）如图，四棱锥的各棱长都为． (1)用向量法证明； (2)求的值． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【解析】(1)证明：设AC、BD交于点O，连接PO，如图所示； 四棱锥P﹣ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝a， ∴四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，且OA＝OC，即⊥，0； 又PB＝PD＝a，∴PO⊥BD，即⊥，0， ∴()＝0，即0， ∴⊥，即BD⊥PC； (2)根据题意，四棱锥P﹣ABCD是棱长相等的正四棱锥，且AB＝a， ∴顶点P在底面的射影是正方形ABCD的中心O， 在Rt△POC中，PC＝a，OCa， ∴OP＝OCa， ∴∠ACP，，， ∴2•2a×a×cosa2＝5a2； ∴||a． 一、单选题 1．（23-24高二上·宁夏银川·月考）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，，，， 则空间向量在向量方向上的投影数量为. 所以所求投影向量的模长为2.故选：A 2．（23-24高二上·江西萍乡·期末）已知，，是空间中两两垂直的单位向量，则（    ） A． B．14 C． D．2 【答案】A 【解析】依题意得，，； 所以，故选：A. 3．（23-24高二上·福建莆田·月考）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，所以， 所以，所以， 所以，故选：D. 4．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知，（，，为两两互相垂直的单位向量），若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ∵，，为两两互相垂直的单位向量， ∴，，，，，， ∴， ∵，∴，∴，解得，故选：C. 5．（23-24高二上·河北石家庄·期中）三棱锥中，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知， 而，故， 即，所以， 则，解得，即，故选：A 6．（23-24高二上·辽宁沈阳·月考）如图，在四棱锥中，底面，四边形是边长为1的菱形，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，因为底面，所以底面， 所以，所以，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以为等边三角形，所以， 所以 ，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D，， 故D错误.故选：C. 二、多选题 7．（23-24高二上·河北沧州·期末）在棱长为2的正四面体A-BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G是△BCD的重心，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 【答案】AB 【解析】 如图，取DC的中点M，连接AM，BM， ∵AM⊥CD，BM⊥CD，平面， ∴CD⊥平面，平面，∴CD⊥AB，故A正确； 取BD的中点H，连接HE，HF，则，， ∴HE⊥FH，即，又，∴，， ∴，故B正确； 由B知，在上的投影向量为，故C不正确； ，故D不正确， 故选：AB． 8．（23-24高二下·江苏常州·月考）在正方体中，下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D．正方体的体积为 【答案】ABC 【解析】设正方体的棱长为， A选项， ，A选项正确； B选项， ，B选项正确； C选项，由于三角形是等边三角形，所以，C选项正确； D选项，，所以D选项错误. 故选：ABC 三、填空题 9．（23-24高二上·广东广州·期末）正四面体的棱长为2，设，，，则 . 【答案】 【解析】在正四面体中，， 又，，， 所以. 10．（23-24高二下·江苏南通·月考）空间四边形中，，，，且异面直线与成，则异面直线与所成角的大小为 . 【答案】/ 【解析】因为异面直线与成角，则与夹角为或， 又，. 两边平方，得， 即， 或， （或舍去）. 即与夹角为，所以异面直线与所成角为. 11．（23-24高二上·山东济宁·期末）如图，二面角的大小为，其棱l上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若则两点间的距离为 ． 【答案】 【解析】因为二面角的大小为，， . ,即两点间的距离为. 四、解答题 12．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知正四面体的棱长为1，如图所示. (1)确定向量在直线上的投影向量，并求·； (2)确定向量在平面上的投影向量，并求. 【答案】(1)投影向量见解析，；(2)投影向量见解析， 【解析】（1）在正四面体OABC中，取OB的中点P，连接，则有， 因此即为在直线上的投影向量. 所以· （2）在正四面体中，设O在底面内的投影为Q，易知Q为底面中心，则平面, 连接并延长交于M，则M为中点，， 且即为平面内的投影向量. ∴ 13．（23-24高二下·山东烟台·月考）在平行六面体中，，，为与的交点. (1)用向量表示； (2)求线段的长及向量与的夹角. 【答案】(1)；(2)，答案见解析 【解析】（1）因为为与的交点，所以， 又因为， 所以. （2）因为 ，所以， 因为，所以 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$