专题1.1 空间向量及其运算（5类必考点）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.1 空间向量及其运算 【考点1：空间向量的线性运算】 1 【考点2：空间向量的共线定理】 3 【考点3：空间向量的共面定理】 6 【考点4：空间向量的数量积运算】 7 【考点5：空间向量的投影向量】 8 【考点1：空间向量的线性运算】 【知识点：空间向量的线性运算】 与平面向量一样,空间向量的线性运算满足以下运算律(其中): 交换律:； 结合律:； 分配律:. 1．（23-24高一下·吉林长春·期中）如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·重庆合川·期中）如图，在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二下·湖北孝感·期中）在三棱柱中，是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024高二下·北京·开学考试）已知平行六面体，则下列四式中错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高二下·北京·阶段练习）在四面体中，记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024高二下·甘肃白银·期中）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024高二·全国·课堂例题）如图，长方体中，点E，F分别是和BD的中点，，，，将下列两组中相等的向量连线．                     【考点2：空间向量的共线定理】 【知识点：共线定理】 对于空间中任意的两个向量，若存在实数，使得，则与共线. 1．（2024高二上·河北邯郸·期末）已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 2．（23-24高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 3．（2024高二上·贵州·开学考试）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 4．（多选）（2024高二上·广东汕头·阶段练习）下列命题中正确的是（　　） A．若，，则与所在直线不一定平行 B．向量、、共面即它们所在直线共面 C．空间任意两个向量共面 D．若，则存在唯一的实数λ，使 5．（2024高二上·上海·课后作业）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ． 6．（2024高二上·河北石家庄·期末）有下列命题： ①若，则四点共线； ②若，则三点共线； ③若为不共线的非零向量，，则； ④若向量是三个不共面的向量，且满足等式，则． 其中是真命题的序号是 （把所有真命题的序号都填上）． 7．（2024高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【考点3：空间向量的共面定理】 【知识点：共面定理】 两个不共线的向量，若存在唯一的有序实数对（x，y），使得，则向量与向量，共面. 1．（2024高二上·云南临沧·阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二上·全国·专题练习）对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 3．（23-24高二上·江西九江·期末）对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．（2024高二下·江苏泰州·阶段练习）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 5．（2024高二下·江苏·阶段练习）已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（    ） A． B． C． D．4 6．（多选）（2024高二上·安徽马鞍山·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若，则与，共面 B．若，则共面 C．若，则共面 D．若，则共面 7．（多选）（2024高二下·江苏连云港·阶段练习）下列选项中正确的是（    ） A．若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面； B．若与共面，则存在实数x，y，使； C．若向量所在的直线是异面直线，则向量一定不共线； D．若是空间三个向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使． 【考点4：空间向量的数量积运算】 【知识点：数量积运算】 已知两个非零向量,,则||||cos<,>叫做,的数量积,记作，即||||cos<,>. 1．（2024高三·全国·专题练习）如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（　） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知平行六面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二下·江苏连云港·阶段练习）有一长方形的纸片，的长度为，的长度为，现沿它的一条对角线把它折成直二面角，则折叠后（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山东日照·二模）已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 5．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）在空间四边形中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．0 6．（2024·上海·三模）已知点C在以AB为直径的球面上，若，则 ． 7．（2024高二下·江苏连云港·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，则 【考点5：空间向量的投影向量】 1．（2024高二上·宁夏银川·阶段练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 2．（2024高二上·江西·阶段练习）在长方体中，，，则向量在方向上的投影数量与向量在方向上的投影数量之和为 . 3．（2024高二·全国·专题练习）四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为 . 4．（23-24高二上·广东惠州·期中）如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为 （用向量来表示）.    5．（2024高二下·江苏·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，为棱上任意一点．试确定向量在直线上的投影向量，并求． 6．（2024高二下·江苏·课前预习）已知正四面体的棱长为1，如图所示. (1)确定向量在直线上的投影向量，并求·； (2)确定向量在平面上的投影向量，并求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 空间向量及其运算 【考点1：空间向量的线性运算】 1 【考点2：空间向量的共线定理】 5 【考点3：空间向量的共面定理】 10 【考点4：空间向量的数量积运算】 11 【考点5：空间向量的投影向量】 14 【考点1：空间向量的线性运算】 【知识点：空间向量的线性运算】 与平面向量一样,空间向量的线性运算满足以下运算律(其中): 交换律:； 结合律:； 分配律:. 1．（23-24高一下·吉林长春·期中）如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量加法的定义及题设条件即可化简得到结论. 【详解】由点在上，且，知；由为的中点，知. 所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对向量加法定义的运用. 2．（23-24高二下·重庆合川·期中）如图，在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量基本定理表示出，得到答案. 【详解】. 故选：B. 3．（2024高二下·湖北孝感·期中）在三棱柱中，是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，再根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，所以， 所以 . 故选：C 4．（2024高二下·北京·开学考试）已知平行六面体，则下列四式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行六面体的性质及空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：因为，所以，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：因为，所以， 故D错误. 故选：D 5．（2024高二下·北京·阶段练习）在四面体中，记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】由题意得：， 故选：B. 6．（2024高二下·甘肃白银·期中）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算逐项计算判断得解. 【详解】在四棱锥中，为的中点，四边形是平行四边形， ，A正确，B错误； ，D正确，C错误. 故选：AD 7．（2024高二·全国·课堂例题）如图，长方体中，点E，F分别是和BD的中点，，，，将下列两组中相等的向量连线．                     【答案】答案见解析 【分析】由向量的加减法及数乘运算的几何意义得到对应向量即可. 【详解】 如图，在长方体中， ， , ， 故两组中向量的连线如图所示： 【考点2：空间向量的共线定理】 【知识点：共线定理】 对于空间中任意的两个向量，若存在实数，使得，则与共线. 1．（2024高二上·河北邯郸·期末）已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 【答案】C 【分析】根据，结合，列出方程组，求解即可. 【详解】因为是不共面的空间向量且， 故，则， 解得，所以. 故选：C. 2．（23-24高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 【答案】C 【分析】利用空间向量的共线定理与共面定理. 【详解】若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故A错误； 同理若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故B错误； 根据空间向量的共面定理可知共面，即C正确，D错误. 故选：C 3．（2024高二上·贵州·开学考试）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 【答案】B 【分析】由空间向量共线定理逐一判断即可. 【详解】对于，当时，，， 所以，则点在棱上，故正确； 对于，当时， ， ， 即，即 所以点在线段上，故错误； 对于，当时，，， 所以，所以，即， 所以点在棱上，故正确； 对于，当时， 所以，， 所以， 即，即， 所以点在线段上，故正确． 故选：． 4．（多选）（2024高二上·广东汕头·阶段练习）下列命题中正确的是（　　） A．若，，则与所在直线不一定平行 B．向量、、共面即它们所在直线共面 C．空间任意两个向量共面 D．若，则存在唯一的实数λ，使 【答案】AC 【分析】根据空间向量之间的平行、共面逐项判断即可. 【详解】若，，当，则与所在直线不一定平行，故A正确； 向量、、共面即它们所在直线共面或不共面，故B错误； 根据共面向量基本定理可知：空间任意两个向量共面，故C正确； 若，当时，则不存在实数，使使或，故D不正确． 故选：AC. 5．（2024高二上·上海·课后作业）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，由三点共线，可设，利用空间向量共线的充要条件，列出方程，即可求解. 【详解】因为，， 可得， 又因为三点共线，可设，即， 因为不共线，可得，解得， 所以实数的值为. 故答案为：. 6．（2024高二上·河北石家庄·期末）有下列命题： ①若，则四点共线； ②若，则三点共线； ③若为不共线的非零向量，，则； ④若向量是三个不共面的向量，且满足等式，则． 其中是真命题的序号是 （把所有真命题的序号都填上）． 【答案】②③④ 【分析】根据共线向量的性质可判断①②的正误，根据共线向量定理可判断③的正误，利用反证法可判断④， 【详解】对于①，当时，不一定在一条直线上，故①错误. 对于②，当时，因共起点，故三点共线，故②正确. 对于③，因为，故，故，故③正确. 对于④，若至少有一个不为零，不妨设， 则，故为共面向量，与题设矛盾， 故全为零，故④正确. 故答案为：②③④. 7．（2024高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【答案】(1)，． (2)证明见解析 【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明即可得. 【详解】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ，且， 所以，即、、三点共线． 【考点3：空间向量的共面定理】 【知识点：共面定理】 两个不共线的向量，若存在唯一的有序实数对（x，y），使得，则向量与向量，共面. 1．（2024高二上·云南临沧·阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由共面向量基本定理进行运算检验选项，排除法可得结果. 【详解】对于A，，所以三个向量共面，排除； 对于B，，所以三个向量共面，排除； 对于D，，所以三个向量共面，排除. 故选：C. 2．（2024高二上·全国·专题练习）对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【答案】B 【分析】 根据题意，化简得到，得到共面，进而得到四点共面，即可求解. 【详解】 由，可得， 即，根据平面向量的基本定理，可得共面， 又因为三个向量有公共点，所以四点共面. 故选：B. 3．（23-24高二上·江西九江·期末）对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据共面向量定理判断点满足，且，向量，，共面，得到，，，四点共面，可以是充分条件；再通过举出反例得出反面不成立，即可得出答案． 【详解】解：若，则，即， 由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四点共面； 反之，若，，，四点共面，当与四个点中的一个比如点重合时， ，可取任意值，不一定有， 所以是，，，四点共面的充分不必要条件． 故选：B． 4．（2024高二下·江苏泰州·阶段练习）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】将化简为：，利用四点共面定理可得，即可求解. 【详解】因为，所以，可化简为：，即， 由于，，，四点共面，则，解得：； 故选：C 5．（2024高二下·江苏·阶段练习）已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】利用向量共面得到线性表示，再化简求值即可. 【详解】因为共面，所以存在实数，使得，所以，解得. 故选：A. 6．（多选）（2024高二上·安徽马鞍山·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若，则与，共面 B．若，则共面 C．若，则共面 D．若，则共面 【答案】ABD 【分析】利用共面向量定理:即若一条向量用另外两条向量线性表示，则这三条向量一定共面，用此法可判断三条向量共面，再利用有公共点的三条向量共面，进而可判断四点共面，针对，可以利用线性运算转化为，再进行判断. 【详解】选项A，根据共面向量基本定理可知，与，共面；所以选项A是正确的； 选项B，根据共面向量基本定理可知，共面，由于它们有公共点， 所以共面； 选项C，举反例说明，若，，是一个正方体同一个顶点的三条棱所对应的向量， 则它们的和向量是以为起点的对角线向量，而是该对角线向量的相反向量， 此时显然四个点不在同一个平面上，所以C选项是错误的； 选项D，由可得， 则，即， 则，此时与选项B一样，可以判断共面，即D选项是正确的； 故选：ABD． 7．（多选）（2024高二下·江苏连云港·阶段练习）下列选项中正确的是（    ） A．若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面； B．若与共面，则存在实数x，y，使； C．若向量所在的直线是异面直线，则向量一定不共线； D．若是空间三个向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使． 【答案】AC 【分析】由空间向量共面定理即可判断AB，由共线向量的概念即可判断C，由空间向量基本定理即可判断D 【详解】由向量共面定理可知，若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面，故A正确； 若共线，不与共线，则不存在实数x，y，使，故B错误； 若向量所在的直线是异面直线，则的方向不相同也不相反，且所在直线也不 相交，所以向量一定不共线，故C正确； 若是空间三个基底向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使，故D错误； 故选：AC 【考点4：空间向量的数量积运算】 【知识点：数量积运算】 已知两个非零向量,,则||||cos<,>叫做,的数量积,记作，即||||cos<,>. 1．（2024高三·全国·专题练习）如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（　） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据投影向量的定义理解向量数量积的几何意义，结合图形即可计算得到. 【详解】因图中是四个相同的正方体排成的正四棱柱，故在上的投影都是， 所以，， 即的值只有一个． 故选：A. 2．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知平行六面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算法则和数量积的性质化简条件可求，结合向量夹角公式可求结论. 【详解】因为 所以， . 故选：B. 3．（2024高二下·江苏连云港·阶段练习）有一长方形的纸片，的长度为，的长度为，现沿它的一条对角线把它折成直二面角，则折叠后（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量数量积的运算律计算即可． 【详解】在中，，，， 所以， 所以， 故选：C． 4．（2024·山东日照·二模）已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，根据空间向量的数量积运算得，判断的最大值即可求解. 【详解】取中点，可知在球面上，可得， 所以，      点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，当为直径时，， 所以的最大值为. 故选：B. 5．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）在空间四边形中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】先利用题给条件求得的值，进而求得的值. 【详解】如图所示， ∵ ， 又，， 则 ∴，∴，. 故选：D 6．（2024·上海·三模）已知点C在以AB为直径的球面上，若，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，可得，再利用空间向量数量积的运算律计算得解. 【详解】由点C在以AB为直径的球面上，得， 所以. 故答案为： 7．（2024高二下·江苏连云港·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，则 【答案】 【分析】由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算的值即可求解. 【详解】因为平面，面， 所以，所以， 又，所以， . 故答案为：. 【考点5：空间向量的投影向量】 1．（2024高二上·宁夏银川·阶段练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量在向量方向上的投影数量为，运算即可得解. 【详解】由题意，，，， 则空间向量在向量方向上的投影数量为. 所以所求投影向量的模长为2. 故选：A 2．（2024高二上·江西·阶段练习）在长方体中，，，则向量在方向上的投影数量与向量在方向上的投影数量之和为 . 【答案】 【分析】根据数量积的定义结合空间向量的运算即可得结论. 【详解】   由图可知.向量 在方向上的投影数量为. 向量在方向上的投影数量为， 所以向量在方向上的投影数量与向量在方向上的投影数量之和为. 故答案为：. 3．（2024高二·全国·专题练习）四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为 . 【答案】 【分析】根据线面、线线位置关系，结合投影向量的定义确定在向量上的投影向量. 【详解】四棱锥，底面是矩形，则，即， 且，由底面，底面，则， 由，面，则面， 又面，则，故向量在向量上的投影向量为， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 4．（23-24高二上·广东惠州·期中）如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为 （用向量来表示）.    【答案】 【分析】写出表达式，求出，即可得出向量在向量上的投影向量. 【详解】由题意， 在三棱锥中，已知平面， , ∵面， ∴， 在中，，， ∴, ， ∴向量在向量上的投影向量为： ， 故答案为：. 5．（2024高二下·江苏·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，为棱上任意一点．试确定向量在直线上的投影向量，并求． 【答案】，1 【分析】根据投影向量和数量积的定义求解即可． 【详解】在正方体中，，且， 因此，即为在直线上的投影向量， 所以． 6．（2024高二下·江苏·课前预习）已知正四面体的棱长为1，如图所示. (1)确定向量在直线上的投影向量，并求·； (2)确定向量在平面上的投影向量，并求. 【答案】(1)投影向量见解析， (2)投影向量见解析， 【分析】（1）（2）利用投影向量的定义及空间垂直关系确定投影向量，再求数量积. 【详解】（1）在正四面体OABC中，取OB的中点P，连接，则有， 因此即为在直线上的投影向量. 所以· （2）在正四面体中，设O在底面内的投影为Q，易知Q为底面中心，则平面, 连接并延长交于M，则M为中点，， 且即为平面内的投影向量. ∴ . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$