精品解析：重庆市巴渝学校2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试题

重庆市巴渝学校2023-2024学年七年级（下）半期考试数学试卷 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑） 1. 下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，直角三角形的直角顶点在直线a上，若，则，（ ） A. B. C. D. 4. 在下列各图中，正确画出边上的高的图形是（　　） A. B. C. D. 5. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 清明时节一定下雨 B. 水加热到时沸腾 C. 小明经过马路，恰好是红灯 D. 任意画一个三角形，内角和是 6. 如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，从边长为a大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形.根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ） A. B. C. D. 8. 有一个长为10，宽为6的长方形，若将长方形的宽增加，长不变，则增加的长方形的面积y与x之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，其中第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑥个图形中三角形的个数是（ ） A. 10 B. 15 C. 21 D. 28 10. 小明从家骑自行车上学，先以0.4千米/分的速度匀速骑行5分钟，途经超市时，买文具用了5分钟，为按时到校，再以0.5千米/分的速度骑行2分钟到学校．设小明骑自行车的速度为v（千米/分），离家路程为s（千米），上学时间为t（分）．下列图象能表达这一过程的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. “碧玉妆成一树高，万条垂下绿丝绦”．每到春天，人们流连于柳绿桃红之间的同时也被漫天飞舞的柳絮所烦扰．据测定，柳絮纤维的直径约为0.0000105m，该数值用科学记数法表示为_____． 12. 一颗质地均匀的骰子，其六个面分别刻有六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字大于的概率是______． 13. 计算：______． 14. 如果三角形的两边长分别为2和3，且第三边是奇数，那么第三边长为______． 15. 若多项式一个完全平方式，则_______． 16. 若一个角的余角的2倍比这个角的补角小，则这个角的度数为________． 17. 如图，在中，已知D、E、F分别为的中点，且的面积等于，则阴影部分面积为______． 18. 对于任意的四位数，若且，则称数为“巴渝数”，交换的千位数字与十位数字得到新数，记，则为__________；已知，均为“巴渝数”，且能被7整除，则的值是__________． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1） （2） 20. 如图，，连接，点在上上，连接平分． （1）尺规作图：以点为顶点、为一边在内作；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，求的度数． 解：∵，（已知） ∴①____________（② ）， ∵，（已知） ∴，（③ ）， ∴（④ ）， ∴， ∵平分， ∴⑤ ∴． 21. 先化简再求值：，其中． 22. 为了解居民对垃圾分类的知晓程度（A．“非常了解”；B．“了解”；C．“基本了解”；D．“不太了解”），佳佳随机调查了若干人根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： （1）随机调查了_____人，扇形统计图中表示“”扇形圆心角度数为_____度； （2）补全条形统计图； （3）估计在名市民中基本了解垃圾分类的人数． （4）若要在被调查的“非常了解”、“了解”、“基本了解”的居民中抽取一名参与居民参与垃圾分类知识大赛，求抽到“非常了解”的居民概率． 23. 已知张强家、体育场、文具店在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中表示时间，表示张强离家的距离． 根据图象回答下列问题： （1）本题中的自变量是_______，因变量是_______． （2）体育场离张强家_______，体育场离文具店__________； （3）张强在体育场锻炼了________，在文具店停留了________； （4）求张强从文具店回家的平均速度是多少？ 24. 如图，在中，，的外角的平分线交的延长线于点E． （1）求的度数； （2）过点D作，交的延长线于点F，求的度数． 25. 为创建文明校园环境，某校制作了“节约用水”“讲文明，讲卫生”等宣传标语，标语由如图1所示的板材裁剪而成，其为一个长为，宽为的长方形板材，将长方形板材沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形标语，在粘贴过程中，同学们发现标语可以拼成图2所示的一个大正方形． （1）用两种不同方法表示图②中小正方形（阴影部分）面积可得到一个等式： ____________＝____________； （2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求：的值； ②已知：，求：的值． 26. 佳琪同学在学习了三角形内角和及角平分线定义后经大量的测试实验发现，在一个三角形中，两个内角的角平分线所夹的角只与第三个角的大小有关． 测量数据如下表： 测量和度数 测量工具 量角器 示意图 与平分线交于点 测量数据 第一次 第二次 第三次 第四次 … … （1）通过以上测量数据，请你写出与的数量关系： ； （2）如图2，的平分线交于点，当时，求的度数； （3）如图3，在中，若与的平分线交于点，请猜想与的数量关系，并进行证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市巴渝学校2023-2024学年七年级（下）半期考试数学试卷 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑） 1. 下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查对顶角的定义．对顶角是两条直线相交，其中一个角是另一个角的边的反向延长线，据定义即可判断． 【详解】解：根据对顶角的定义，A，B，D不符合其中一个角是另一个角的边的反向延长线， 选项C是对顶角， 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】A．原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断； B．原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断； C．原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断； D．原式不能合并，错误． 【详解】解：，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； 不是同类项，不能合并，故选项D错误 故选：C． 【点睛】此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3. 如图，已知，直角三角形的直角顶点在直线a上，若，则，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质可知的度数，再根据直角三角形的直角与平角之间的关系可得到与互余，进而即可得解． 【详解】解: ∵， ∴ ∵直角三角板的直角顶点在直线上， ∴ ∴ 故选： 【点睛】本题考查的是平行线的性质以及直角定义的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等． 4. 在下列各图的中，正确画出边上的高的图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，关键是利用基本作图作三角形高的方法解答．根据三角形的高的概念判断． 【详解】解：边上的高就是过顶点B作垂线垂直，交的延长线于D点，因此只有C符合条件， 故选：C． 5. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 清明时节一定下雨 B. 水加热到时沸腾 C. 小明经过马路，恰好是红灯 D. 任意画一个三角形，内角和是 【答案】D 【解析】 【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】解：A．清明时节一定下雨，是随机事件，故该选项不符合题意； B．只有在一个大气压下，水加热到时沸腾，才是必然事件，故该选项不符合题意； C．小明经过马路，恰好是红灯，是随机事件，故该选项不符合题意； D．任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，故该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键． 6. 如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定；正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．利用平行线的判定定理，逐一判断，容易得出结论． 【详解】解：A、因为，所以（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意． B、因为，所以（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意． C、因为，所以（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意． D、因为，所以（同位角相等，两直线平行），不能证出，故本选项符合题意． 故选：D． 7. 如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形.根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．易求出左图阴影部分的面积右图中阴影部分进行拼接后，面积等于，由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论， 本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解题的关键是：根据图形列出代数式． 【详解】解：第一个图形阴影部分的面积是 第二个图形的面积是， 所以， 故选 ：D． 8. 有一个长为10，宽为6的长方形，若将长方形的宽增加，长不变，则增加的长方形的面积y与x之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用长方形的面积公式解答即可． 【详解】解：由题意得，增加的长方形的面积y与x之间的关系式为：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了长方形的面积，列函数关系式，利用长方形的面积列出等式是解题的关键． 9. 如图，其中第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑥个图形中三角形的个数是（ ） A. 10 B. 15 C. 21 D. 28 【答案】C 【解析】 【分析】根据各图形三角形的个数即可找到规律，根据规律即可解答． 【详解】解：第①个图中三角形的个数为1； 第②个图中三角形的个数为3=1+2； 第③个图中三角形的个数为6=1+2+3； …， 故第n个图中三角形的个数为， 故第⑥个图形中三角形的个数为：， 故选：C． 【点睛】本题考查的是规律性问题，解答规律型问题时，通常是根据简单的例子找出一般化规律，然后根据规律去求特定的值． 10. 小明从家骑自行车上学，先以0.4千米/分的速度匀速骑行5分钟，途经超市时，买文具用了5分钟，为按时到校，再以0.5千米/分的速度骑行2分钟到学校．设小明骑自行车的速度为v（千米/分），离家路程为s（千米），上学时间为t（分）．下列图象能表达这一过程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据路程、速度与时间的关系以及函数图象的特点，结合题意逐项判断解答即可． 【详解】解：由题意，小明先以0.4千米/分的速度匀速骑行5分钟，路程从0 开始随时间匀速增加到2千米； 途经超市时，买文具用了5分钟，路程不变； 再以0.5千米/分的速度骑行2分钟到学校，离家路程随时间匀速增加到3千米． 故选：D． 【点睛】本题考查用图象表示变量间关系，理解题意，能判断出路程与时间的关系是解答的关键，注意买文具时路程不变． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. “碧玉妆成一树高，万条垂下绿丝绦”．每到春天，人们流连于柳绿桃红之间的同时也被漫天飞舞的柳絮所烦扰．据测定，柳絮纤维的直径约为0.0000105m，该数值用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可． 【详解】∵， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 12. 一颗质地均匀的骰子，其六个面分别刻有六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字大于的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】由于一枚质地均匀的正方体骰子，骰子向上的一面点数可能为，共有种可能，大于的点数有，，则根据概率公式可计算出骰子向上的一面点数大于的概率． 【详解】解：掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子向上的一面点数共有种可能，而只有出现点数为，才大于， ∴这个骰子向上的一面点数大于的概率， 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式，正确记忆随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数是解题关键． 13. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法运算法则即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，掌握整式除法法则是解题的关键． 14. 如果三角形的两边长分别为2和3，且第三边是奇数，那么第三边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系，确定第三边的取值范围，再根据第三边是奇数，即可得解． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为2和3， ∴第三边的取值范围为：第三边，即第三边， 又∵第三边是奇数， ∴第三边长为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的三边关系．熟练掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，是解题的关键． 15. 若多项式是一个完全平方式，则_______． 【答案】25 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得解． 【详解】解：多项式是一个完全平方式， ， 故答案为：25． 【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 16. 若一个角的余角的2倍比这个角的补角小，则这个角的度数为________． 【答案】20度## 【解析】 【分析】本题考查余角、补角，一元一次方程的应用，设这个角为x度，根据余角的和等于，补角的和等于，表示出这个角的补角与余角，然后根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设这个角为x度， 由题意知，， 解得， 即这个角为20度， 故答案为：20度． 17. 如图，在中，已知D、E、F分别为的中点，且的面积等于，则阴影部分面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形进行计算即可． 【详解】解：∵点D是的中点， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵点F是的中点， ∴， 阴影部分面积为． 故答案：． 【点睛】本题考查求三角形的面积，熟练掌握三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键． 18. 对于任意的四位数，若且，则称数为“巴渝数”，交换的千位数字与十位数字得到新数，记，则为__________；已知，均为“巴渝数”，且能被7整除，则的值是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查新定义下的实数运算，根据“巴渝数”的定义及求出即可；根据“巴渝数”的定义得出，，，，即可得出的值可能为、、，求出，根据结果是的整数倍，分三种情况，分别求出相应值，再根据所得大小关系取舍，即可求出最终值．正确理解定义并分情况讨论是解题关键． 【详解】解：由题意得， ∴， ∵， ∴， ∵，均为“巴渝数”， ∴，， ∵，， ∴的值可能为、、， ∵， ， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∵能被整除， ∴能被整除， 当、、、、时，不能被整除， 当时，，能被整除， 此时，，，与矛盾，不符合题意， 当时，，， ∴能被整除， 当、、、时，不能被整除， 当时，，能被整除， 此时，，，符合， ∴的值是， 当时，，， ∴能被整除， 当、、时，不能被整除， 当时，，能被整除， 此时，，，与矛盾，不符合题意， 综上所述：的值是． 故答案为：， 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查有理数混合运算及整式混合运算，涉及绝对值运算、零指数幂运算、负整数指数幂运算、幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算及同底数幂的除法运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． （1）先根据绝对值、零指数幂和负整数指数幂分别运算，再由有理数加减运算法则求解即可得到答案； （2）先根据幂的乘方运算求解，再由同底数幂的乘法运算及同底数幂的除法运算法则求解即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，，连接，点在上上，连接平分． （1）尺规作图：以点为顶点、为一边在内作；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，求的度数． 解：∵，（已知） ∴①____________（② ）， ∵，（已知） ∴，（③ ）， ∴（④ ）， ∴， ∵平分， ∴⑤ ∴． 【答案】（1）作图见解析 （2）①；②内错角相等，两直线平行；③平行于同一条直线的两条直线平行；④两直线平行，内错角相等；⑤ 【解析】 【分析】（1）由题意可知，利用尺规作图，作出即可得到答案； （2）由（1）中条件，结合平行线的判定与性质、角平分线的定义得到相关角的和差倍分关系，数形结合求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示： 即所求； 【小问2详解】 解：∵，（已知） ∴（内错角相等，两直线平行）， ∵，（已知） ∴，（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：①；②内错角相等，两直线平行；③平行于同一条直线的两条直线平行；④两直线平行，内错角相等；⑤． 【点睛】本题考查尺规作图及求角度，涉及尺规作图-作相等角、平行线的判定与性质、角平分线定义等知识，熟练掌握基本尺规作图、平行线的判定与性质，数形结合表示出各个角度的关系是解决问题的关键． 21. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先利用平方差公式、完全平方差公式及单项乘以多项式的运算法则计算，再根据整式加减运算化简括号内的整式，最后利用多项式除以单项式求解即可得到化简结果，最后根据，恒等变形即可得到答案． 【详解】解： ， ， ． 【点睛】本题考查整式化简求值，涉及平方差公式、完全平方差公式、单项式乘以多项式、去括号、整式加减运算及多项式除以单项式等知识，熟练掌握整式混合运算法则及整式乘法公式是解决问题的关键． 22. 为了解居民对垃圾分类的知晓程度（A．“非常了解”；B．“了解”；C．“基本了解”；D．“不太了解”），佳佳随机调查了若干人根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： （1）随机调查了_____人，扇形统计图中表示“”的扇形圆心角度数为_____度； （2）补全条形统计图； （3）估计在名市民中基本了解垃圾分类的人数． （4）若要在被调查的“非常了解”、“了解”、“基本了解”的居民中抽取一名参与居民参与垃圾分类知识大赛，求抽到“非常了解”的居民概率． 【答案】（1）500，108 （2）补全条形统计图见解析 （3）2000人 （4） 【解析】 【分析】（1）从两个统计图中可知“非常了解”的人数为150人，占调查人数的，可求出调查人数；“非常了解”所占圆心角的度数为的； （2）求出“了解”的人数，即可补全条形统计图； （3）样本估计总体，样本中“基本了解”占调查人数的，因此估计10000人的是“基本了解”； （4）得到被调查的“非常了解”、“了解”、“基本了解”的居民人数，被调查的“非常了解”的居民人数，由简单概率公式代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：由条形统计图人，， 故答案为：500，108； 【小问2详解】 解：人，补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 解：人， 答：在10000名市民中基本了解垃圾分类的人数为2000人； 【小问4详解】 解：被调查的“非常了解”、“了解”、“基本了解”的居民有人，被调查的“非常了解”的居民有人， 抽到“非常了解”的居民概率． 【点睛】考查概率统计综合，涉及条形统计图与扇形统计图信息关联、求扇形统计图某项目圆心角、补全条形统计图、由样本估计总体、一步概率问题及简单概率公式等知识，理解统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量关系式解决问题的关键． 23. 已知张强家、体育场、文具店在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中表示时间，表示张强离家的距离． 根据图象回答下列问题： （1）本题中的自变量是_______，因变量是_______． （2）体育场离张强家_______，体育场离文具店__________； （3）张强在体育场锻炼了________，在文具店停留了________； （4）求张强从文具店回家的平均速度是多少？ 【答案】（1）时间，张强离家的距离 （2），1 （3）15，20 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了用图象法表示变量之间的关系，正确读懂图象信息，熟练掌握路程、速度、时间的关系是解题的关键． （1）根据题意直接作答即可； （2）根据图象可知体育场离张强家的距离和文具店离张强家的距离，由此可算出体育场离文具店的距离； （3）根据图象直接作答即可； （4）根据图象可知文具店离张强家的距离和张强从文具店到家所用的时间，由此可计算出张强从文具店回家的平均速度． 【小问1详解】 解：根据题意，本题中的自变量是时间，因变量是张强离家的距离， 故答案为：时间，张强离家距离； 【小问2详解】 解：根据图象可知体育场离张强家的距离为；文具店离张强家的距离为， 体育场离文具店的距离， 故答案为：2.5，1； 【小问3详解】 解：根据图象可知张强在体育场锻炼的时间为；在文具店停留的时间为； 故答案为：15，20； 【小问4详解】 解：根据图象可知文具店离张强家的距离；张强从文具店到家所用的时间为， 张强从文具店回家的平均速度为， 答：张强从文具店回家的平均速度是． 24. 如图，在中，，的外角的平分线交的延长线于点E． （1）求的度数； （2）过点D作，交延长线于点F，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形外角的性质求出的度数，然后根据角平分线定义求解即可； （2）根据三角形外角的性质求出的度数，然后根据平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 又平分， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 又， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 25. 为创建文明校园环境，某校制作了“节约用水”“讲文明，讲卫生”等宣传标语，标语由如图1所示的板材裁剪而成，其为一个长为，宽为的长方形板材，将长方形板材沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形标语，在粘贴过程中，同学们发现标语可以拼成图2所示的一个大正方形． （1）用两种不同方法表示图②中小正方形（阴影部分）面积可得到一个等式： ____________＝____________； （2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求：的值； ②已知：，求：的值． 【答案】（1）， （2）①1；②5 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，完全平方公式的变形求值： （1）方法一：小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个小长方形的面积即可得；方法二：求出小正方形的边长，利用正方形的面积公式求解即可得，据此可得答案； （2）①根据求解即可得；②根据求解即可得． 【小问1详解】 解：方法一：， 方法二：小正方形的边长为， ∴， ∴， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：①， ； ②， ． 26. 佳琪同学在学习了三角形内角和及角平分线定义后经大量的测试实验发现，在一个三角形中，两个内角的角平分线所夹的角只与第三个角的大小有关． 测量数据如下表： 测量和度数 测量工具 量角器 示意图 与的平分线交于点 测量数据 第一次 第二次 第三次 第四次 … … （1）通过以上测量数据，请你写出与数量关系： ； （2）如图2，的平分线交于点，当时，求的度数； （3）如图3，在中，若与的平分线交于点，请猜想与的数量关系，并进行证明． 【答案】（1） （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）由表中与的测量数据，找到规律即可得到答案； （2）利用三角形内角和定理得到，再由邻补角定义、角平分线定义得到，最后在中，由三角形内角和定理求解即可得到答案； （3）根据角平分线定义、三角形外角性质列式化简即可得到答案． 【小问1详解】 解： 测量和度数 测量工具 量角器 示意图 与的平分线交于点 测量数据 第一次 第二次 第三次 第四次 … … 与的数量关系：， 故答案为： 【小问2详解】 解：如图所示： ，， ， 在中，，则， ， 的平分线交于点， ， 在中，； 【小问3详解】 解：， 证明如下： 与的平分线交于点， ，， ，， ． 【点睛】本题考查规律探究，涉及找规律、角平分线定义、三角形内角和定理、邻补角定义、三角形外角性质等知识，熟练掌握角平分线定义、三角形内角和与外角性质，数形结合得到角的关系是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$