第14讲 弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积-2024年暑假九年级数学上册自学课系列（苏科版）

第14讲 弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积 【苏科版】 ·模块一 弧长及扇形的面积 ·模块二 圆锥的侧面积 ·模块三 课后作业 模块一 弧长及扇形的面积 弧长和扇形面积： n°的圆心角所对的弧长l为：。 圆心角为n°的扇形面积S为：；. 【考点1 与弧长有关的计算】 【例1.1】（2023·广东深圳·三模）如图，点在半径为3的上，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，弧长的计算．根据，先计算，再用弧长公式计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 【例1.2】（2023九年级·陕西延安·阶段练习）传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，该款裙子可以近似地看作扇环，如图2所示，其中，长度为米，长度为米，则裙长AB为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查通过弧长计算半径，熟练掌握弧长公式是解题关键． 通过的长度算出，通过的长度算出，两者相减即可． 【详解】∵米，， ∴， ∴米， ∵米，， ∴， ∴米， ∴米． 故选：B． 【例1.3】（2023·湖北宜昌·模拟预测）如图，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带（厚薄不计）和两轮之间无滑动（两轮边缘上的点在相同时间内经过的弧长相等）．已知大轮的半径为，小轮的半径为，P，Q分别是大轮和小轮边缘上的点，当大轮上的点P绕点O顺时针旋转时，小轮上的点Q绕点顺时针旋转了 度． 【答案】 【分析】本题考查了圆的弧长以及圆相关知识点，明白它们转过的弧长相等是解题的关键． 在皮带传动中，两轮边缘上的点在相同时间内经过的弧长相等，即弧长之比等于半径之比，根据圆心角与弧长的关系即可求解． 【详解】大轮的半径为，旋转，根据弧长公式（其中为弧长，为圆心角度数，为半径），可得大轮旋转的弧长为：． 因为弧长相等，小轮的半径为，设小轮旋转的角度为，则可得， 解得． 故答案为：． 【变式1.1】（2023九年级·新疆乌鲁木齐·期中）已知圆上一段弧长为，它所对的圆心角为，则该圆的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长公式，设该圆的半径为，根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：设该圆的半径为，根据题意得： ， 解得：， 即该圆的半径为． 故选：B 【变式1.2】（2023·陕西西安·模拟预测）《墨经》是中国古籍中最早讨论滑轮力学的著作，如图所示是书中记载的一个滑轮机械，称为“绳制”，若图中的定滑轮半径为，滑轮旋转了，则重物“甲”上升了 （绳索粗细不计，且与滑轮之间无滑动，结果保留） 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算，根据弧长的计算方法，计算弧长即可． 【详解】由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长． 即： 故答案为：． 【变式1.3】（2023九年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，半径为10的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线，然后把半圆沿直线进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线重合为止，则圆心运动路径的长度等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，圆心运动路径的长度弧的长，根据弧长公式计算即可． 【详解】如图所示： 圆心运动路径的长度弧的长 故选：A． 【点睛】本题考查了轨迹、圆的周长公式等知识，解题的关键是理清楚轨迹是什么图形，记住弧长公式，圆的周长公式是解题的关键． 【考点2 与扇形面积有关的计算】 【例2.1】（2023·江苏常州·二模）已知扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，直接根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：依题意，， 故答案为：． 【例2.2】（2023九年级·湖南长沙·期末）时钟的分针长6厘米，从上午8：10到上午8：30，分针扫过的面积是 平方厘米． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，先确定圆心角，再根据扇形面积公式计算即可，确定圆心角和半径是解题关键． 【详解】解：∵分针扫过的图形是扇形，扇形的圆心角是，半径是6cm， ∴分针扫过的面积（平方厘米）． 故答案为：． 【例2.3】（2023九年级·宁夏吴忠·期末）如图，正八边形的边长为4，以顶点为圆心，的长为半径画圆，求阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积的计算，先求解，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：由题意得，，， ， 故答案为：． 【变式2.1】（2023·云南昭通·二模）一个扇形的半径为，面积为，则它的圆心角为 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了求扇形的圆心角度数，设该扇形的圆心角度数为，根据扇形面积公式建立方程求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设该扇形的圆心角度数为， 根据扇形面积公式得：， 解得：， 故答案为：． 【变式2.2】（2023·吉林长春·一模）如图为风力发电机的示意图，叶片外端A到旋转中心O的距离为20米，叶片当前在塔筒左侧且与塔筒夹角为．当叶片从当前位置顺时针旋转到点A与塔筒底端B距离最大时，叶片扫过的面积至少为 平方米．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算，根据题意可得当A、O、B三点共线时，点A与塔筒底端B距离最大，则叶片扫过的扇形圆心角度数最少为，据此利用扇形面积计算公式求解即可． 【详解】解；当A、O、B三点共线时，点A与塔筒底端B距离最大， ∴叶片扫过的扇形圆心角度数最少为， ∴叶片扫过的面积至少为平方米， 故答案为：． 【变式2.3】（2023九年级·内蒙古乌海·期末）如图，四边形为菱形，点A、B在以点O为圆心的弧上，若．求扇形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积公式以及菱形的性质，根据菱形的性质、圆的半径相等结合角的计算求出∠AOC的度数是解题的关键．连接，根据菱形的性质结合可得出为等边三角形，通过角的计算可求出，再利用扇形的面积公式即可求出结论． 【详解】解：连接，如图所示． ∵四边形为菱形， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， ∴ 【规律方法综合练】 【题型1】（2023·山西阳泉·三模）如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中的圆心依次按，循环，当时，弧的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查弧长的计算．依次求出，，，，的长度，发现规律即可解决问题． 【详解】解：因为四边形是正方形，且， 所以为圆心的圆的半径为1， 则； 同理可得， ； ； ； ， 依次类推，(为大于1的正整数)， ． 故选：A． 【题型2】（2023九年级·贵州黔东南·期中）如图所示，一根5m长的绳子，一端拴在的围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊（羊只能在草地上活动），求小羊在草地上可活动区域的面积（结果保留）．    【答案】m 【分析】本题考查了扇形的面积计算，小羊的最大活动区域是一个半径为5m、圆心角为的大扇形和一个半径为1m、圆心角为的小扇形的面积和，根据扇形的面积公式即可求得结果，解题的关键是从图中找到小羊的活动区域是由哪几个图形组成的． 【详解】解：如图所示，大扇形的圆心角是，半径是5m， 所以大扇形的面积为 m， 小扇形的圆心角是， 半径是m，则小扇形的面积为m， 所以小羊在草地上可活动区域的面积为m． 【题型3】（2023·山东泰安·一模）如图，已知的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形是菱形，则图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查扇形的面积的计算和菱形的性质，连接，交点，根据菱形及直角三角形的性质求出和的值，然后根据阴影部分的面积等于 解题即可. 【详解】如图，连接，交点， ∵圆的半径为， ， 又四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， 在 中，利用勾股定理可知， ， ， 则图中阴影部分面积为 ， 故选C. 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023·山西太原·二模）如图，扇形中，，，为上一点，，过点作的垂线交于，连接．则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查扇形面积的计算．根据等边三角形的性质以及直角三角形的边角关系求出，，再由扇形面积、三角形面积的计算方法以及图形各个部分面积之间的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ，， 是正三角形， ， ， ， 在中，，， ， ， ． 故选：A． 【题型2】（2023·浙江杭州·一模）如图（1）是瓦片做成的窗花，可以从中分离出一朵“花”的图案，如图（2），它是由八片相同的瓦片组成，其中间四片“对扣”，外围截面恰好抽象成一个圆，如图（3），点A，B，C，D表示瓦片的交接点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)若厘米，求图（3）中阴影部分的面积．（结果保留π） 【答案】(1)四边形为正方形，理由见解析 (2)平方厘米 【分析】本题考查与圆有关的计算，正方形的判定和性质，掌握正方形的性质，圆面积、正方形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据圆周角定理以及正方形的判定方法进行解答即可； （2）根据圆面积，正方形的面积与阴影部分面积之间的关系进行计算即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形，理由如下： 如图，连接，，，，则， 由题意可知，， ，， ， ， 四边形是正方形； （2）解：在中，，， ， 平方厘米． 答：阴影部分面积为平方厘米． 【题型3】（2023九年级·北京西城·期末）如图，在三角尺中，，，．把边放在直尺上，让三角尺在桌面上沿直尺按顺时针方向无滑动地滚动，直到边再一次落到直尺上时停止滚动．三角尺的第一次滚动可看成将三角尺绕点顺时针旋转了 ，记为． 有以下三个结论： ①第一次滚动的过程中，点运动的路径长为； ②第二次滚动可记为； ③点，点，点在滚动全程中，运动路径最长的是点． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【分析】由勾股定理及含直角三角形性质得到相应边及角度的大小，再利用弧长公式即可验证①错误；读懂题意，理解的含义即可验证②错误；利用旋转性质及弧长公式可求出点，点，点在滚动全程中，运动的路径长，再由实数大小的比较即可确定③正确；从而得到答案． 【详解】解：如图所示： 在三角尺中，，，， ， 第一次滚动的过程中，点运动的路径长为，①错误； 根据三角尺的第一次滚动可看成将三角尺绕点顺时针旋转了，记为可知的横坐标是旋转中心，纵坐标是旋转角度， 三角尺的第二次滚动可看成将三角尺绕点顺时针旋转了，记为，如图所示： 第二次滚动可记为，②正确； 在滚动全程中，点运动的路径长为； 在滚动全程中，点运动的路径长为； 在滚动全程中，点运动的路径长为； ， ； ， ； 综上所述，点，点，点在滚动全程中，运动路径最长的是点，③正确； 故答案为：②③． 【点睛】本题考查旋转，涉及圆的性质、旋转性质、勾股定理、含直角三角形性质、弧长公式和实数比较大小等知识，掌握旋转性质及弧长公式是解决问题的关键． 模块二 圆锥的侧面积 圆锥的侧面积： 圆锥的侧面积就是曲面，沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开，容易的到圆锥的侧面展开图就是一个扇形。 设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，因此圆锥的侧面积； 圆锥的全面积为; 圆锥与侧面展开图的等量关系：，. 【考点1 圆锥的相关概念】 【例1.1】（2023·四川德阳·三模）已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥的母线长为2，则圆锥的底面半径是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】此题是圆锥的计算，主要考查了圆锥的侧面积和底面积公式，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长． 设出圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积和底面积之间的倍数关系求得圆锥的底面半径即可． 【详解】解：设圆锥的底面半径为， 根据题意得：， 解得：． 故选：B． 【例1.2】（2023九年级·云南昆明·阶段练习）已知一个圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，若这个圆锥的底面半径长是，则这个圆锥的母线长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：．先算圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长． 【详解】解：圆锥的底面周长， 则：， 解得． 故选：C． 【例1.3】（2023·山东潍坊·一模）如图，在平面直角坐标系中，的一段弧经过格点，，． (1)请在图中标出圆心的位置，并写出点的坐标； (2)连接，，则的度数为______度； (3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径． 【答案】(1)见解析，点； (2)； (3)圆锥的底面半径． 【分析】（）利用网格特点画出和的垂直平分线，它们的交点为点，再写出点坐标即可； （）利用利用网格特点和勾股定理定理和逆定理即可求解； （）设该圆锥的底面半径，根据圆周长和弧长公式即可求解； 本题考查了垂径定理，勾股定理及逆定理，圆周长和弧长公式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）利用网格特点画出和的垂直平分线，它们的交点为点，如图， ∴点即为所求，点， （2）如图， 根据网格可知：，，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）设该圆锥的底面半径， ∵， ∴， 则， 解得：． 【变式1.1】（2023·云南玉溪·模拟预测）将一个直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，得到一个圆锥，若这个直角三角形斜边的长为，圆锥的侧面积为，则该圆锥的高为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握公式是解题的关键．根据圆锥侧面积公式求出圆锥的底面周长，即可得到圆锥的底面圆的半径，即直角三角形的一直角边为5，设直角三角形的另一条直角边的长为x，利用股沟定理求出，即这条边的长为圆锥的高． 【详解】解：扇形的面积，即， 解得，即圆锥的底面周长为， 由可得圆锥的半径，即直角三角形的一直角边为， 设直角三角形的另一条直角边的长为， 由勾股定理可知， 解得：， 直角三角形的另一直角边为，即圆锥的高为． 故选：B． 【变式1.2】（2023九年级·云南德宏·期末）如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥形状帽子的母线长为，底面半径为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查了求圆锥侧面展开扇形的圆心角．设侧面展开扇形的圆心角为，则，代入数据即可求解． 【详解】解：设侧面展开扇形的圆心角为，则， ． 故答案为：． 【变式1.3】（2023·广东阳江·一模）综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∴圆锥的侧面展开后得到的扇形圆心角为，如图所示． ∴． ∵， ∴． ∴在中，由勾股定理得． ∴彩带长度的最小值为． 【考点2 圆锥的侧面积和全面积】 【例2.1】（2023九年级·湖北武汉·阶段练习）一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的表面积是 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．首先利用圆的面积公式即可求得侧面积，利用弧长公式求得圆锥的底面半径，得到底面面积，据此即可求得圆锥的表面积． 【详解】解：侧面积是：， 底面圆半径为：， 底面积， 故圆锥的表面积是：， 故答案为： 【例2.2】（2023·江苏苏州·二模）若圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，由地面圆的周长等于侧面展开图的弧长，可得，所以，再计算圆锥的侧面积与底面积的比即可． 【详解】解：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R， 由题意得， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 【例2.3】（2023九年级·河南商丘·阶段练习）小林同学不仅是数学爱好者，还喜欢运用数学知识对日常生活中的事物进行分析，下面是他对如何制作圆锥形漏斗的分析．小林要用一块矩形铁皮加工出一个底面半径为，高为的锥形漏斗，要求只能有一条接缝（接缝忽略不计）． (1)求这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角的度数． (2)如图，有两种设计方案，请你计算一下，哪种方案所用的矩形铁皮面积较少？（参考数据：） 【答案】(1) (2)方案二 【分析】（1）根据题意利用勾股定理求出圆锥母线长，再利用圆锥的底面周长与扇形的弧长之间的关系，即可得到本题答案； （2）过点作，利用矩形性质及（1）中结论可知，再利用含角的直角三角形三边关系求得，继而求出方案一所需的矩形铁皮的面积，同法可得方案二所需的矩形铁皮的面积，再比较大小即可得到本题答案． 【详解】（1）解：设这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角为， ∵底面半径为，高为的锥形漏斗， ∴圆锥的母线长为：， ∴，解得：， 即这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角为； （2）解：如图，过点作， 四边形是矩形，由（1）知， ． 由（1）可得；， 在中， ， ， ， ， 方案一所需的矩形铁皮的面积； 如图，， ， 在中， ， ， ， 方案二所需的矩形铁皮的面积， ， 方案二所用的矩形铁皮面积较少． 【点睛】本题考查含角的直角三角形三边关系，矩形性质，弧长公式，勾股定理，圆锥的底面周长与扇形的弧长之间的关系，掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 【变式2.1】（2023九年级·山东威海·期末）如图，一个圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的侧面展开图的面积是，则该等边三角形的边长为（   ） A．3 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，圆锥的侧面积．熟练掌握等边三角形的性质，圆锥的侧面积，其中是圆锥的底面周长，是圆锥的母线长，是解题的关键． 设等边三角形的边长为，则圆锥的母线长为，底面直径为，底面周长为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设等边三角形的边长为，则圆锥的母线长为，底面直径为，底面周长为， 依题意得，， 解得，或（舍去）， 故选：A． 【变式2.2】（2023九年级·云南昆明·期末）某同学用工具测一个圆锥形漏斗的尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥形漏斗的侧面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的侧面积，以及勾股定理，先利用图形得到圆锥的高和底面圆的半径，再利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，结合扇形的面积公式计算该圆锥形漏斗的侧面积，即可解题． 【详解】解：由图知，圆锥的高为，底面圆的半径为， 圆锥的母线长为（）， 圆锥形漏斗的侧面积为（）， 故答案为：． 【变式2.3】（2023九年级·全国·课后作业）圆锥的底面直径是，母线长．求它的侧面展开图的圆心角和圆锥的全面积． 【答案】圆心角：，圆锥的全面积：5200πcm2 【分析】根据圆锥的底面直径求得圆锥的侧面展开扇形的弧长，再利用母线长求得圆锥的侧面展开扇形的面积，再利用扇形的另一种面积的计算方法求得圆锥的侧面展开图的圆心角即可． 【详解】解：∵圆锥的底面直径是80cm， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长l=πd＝80π， ∵母线长R=90cm， ∴圆锥的侧面展开扇形的面积为：， ∴， ∴解得：， ∵底面积， ∴． 【点睛】本题考查了圆锥的有关计算，解题关键是明确圆锥的侧面展开扇形与圆锥的关系． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023九年级·江苏连云港·期中）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键． 设圆锥的底面的半径为，则，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解方程求出r，然后求得直径即可． 【详解】解：设圆锥的底面的半径为，则， 根据题意得：， 解得：， 侧面积为：， 底面积为： 所以圆锥的表面积为：， 故选：B． 【题型2】（17-18九年级下·全国·课后作业）小明打算用一张半圆形的纸(如图)做一个圆锥．在制作过程中，他先将半圆剪成面积比为的两个扇形． (1)请你在图中画出他的裁剪痕迹(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； (2)若半圆半径是3，小明用裁出的大扇形作为圆锥的侧面，请你求出小明所做的圆锥的高． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先作直径的垂直平分线，找出圆心O，再以点B为圆心，以为半径画弧，交半圆于点C，由，可知，，根据半径相同的扇形，面积比等于圆心角的比，可知； （2）首先求得大扇形的弧长，然后求得围成的圆锥的底面半径，最后利用勾股定理求得圆锥的高即可． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为裁剪痕迹； 作图过程：先作出直径的垂直平分线，找到圆心O，再以点B为圆心，以为半径画弧，交半圆于点C，直线即为裁剪痕迹． （2）解：半圆的半径为3， 半圆的弧长为， 剪成面积比为的两个扇形． 大扇形的弧长为， 设围成的圆锥的底面半径为r，则， 解得， 圆锥的高为． 【点睛】本题考查勾股定理，圆锥的计算及复杂作图，解题的关键是弄清扇形的相关量与圆锥的相关量之间的对应关系．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【题型3】（2023九年级·黑龙江双鸭山·期末）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为，母线长为，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点处开始，绕侧面一周又回到点的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求圆锥侧面展开图圆心角的度数，垂径定理，勾股定理解直角三角形，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，根据圆锥的底面圆周长等于圆锥侧面展开图扇形的弧长，求得展开后的扇形的圆心角为，进而根据勾股定理和垂径定理即可求解，求得侧面展开图的圆心角是解题的关键． 【详解】解：∵这个圆锥的底面圆周长为， ∴， 解得：， ∴侧面展开图的圆心角为， 如图，为圆锥侧面展开图，，的长度即为这条彩带的最短长度， 过点作于点， 则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这条彩带的最短长度是， 故答案为：． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023·山东潍坊·中考真题）在数学实验课上，小莹将含角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图 小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边旋转得到，所以它们的侧面积相等．” 你认同小亮的说法吗？请说明理由． 【答案】不认同，理由见详解 【分析】根据圆锥的侧面面积公式进行比较即可得到答案． 【详解】解：甲圆锥的底面半径为BC，母线为AB，， 乙圆锥的底面半径为AC，母线为AB，， ∵， ∴， 故不认同小亮的说法． 【点睛】本题考查圆锥的侧面面积，解题的关键是熟知圆锥侧面面积的计算公式． 【题型2】（2023·四川德阳·一模）已知圆锥的高为，母线为，且，圆锥的侧面展开图为如图所示的扇形．将扇形沿折叠，使点恰好落在上的点，则弧长与圆锥的底面周长的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接AF，如图，设OB=5a，AB=18a，∠BAC=n°，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长得到，解得n得到∠BAC=100°，再根据折叠的性质得到BA=BF，则可判断△ABF为等边三角形，于是可计算出∠FAC=40°，然后根据弧长公式计算弧长CF与圆锥的底面周长的比值． 【详解】连接AF，如图， 设OB=5a，AB=18a，∠BAC=n° ∴， 解得n=100 即∠BAC=100° ∵将扇形沿BE折叠，使A点恰好落在上F点， ∴BA=BF 而AB=AF ∴△ABF为等边三角形 ∴∠BAF=60° ∴∠FAC=40° ∴的长度= ∴弧长CF与圆锥的底面周长的比值= 故选：B 【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图为扇形，且扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，题中还用到了图形折叠的性质，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键． 【题型3】（2023·山东临沂·二模）如图，是的外接圆，，，若扇形（图中阴影部分）正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外接圆和外心、圆周角定理、圆锥的计算，解答本题的关键是求出圆锥的半径和母线长． 根据题意作出合适的辅助线，然后根据，可以得到的度数，从而可以得到的度数，然后根据 ，可以得到的长，再根据圆锥和侧面展开图的关系，即可求得圆锥的高． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ， 设扇形围成的圆锥的底面半径为， 则， 解得， ∴该圆锥的高为： ， 故答案为：． 模块三 课后作业 1．（2023·浙江温州·一模）点，，在上的位置如图所示，，的半径为3，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长计算公式，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握弧长公式，先根据圆周角定理求出，然后根据弧长计算公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的长为：， 故选：B． 2．（2023·四川成都·模拟预测）如图，以等边的边为直径的分别交，于点D，E，，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形面积的计算和等边三角形的性质，利用为等边三角形，再证明为等边三角形，然后根据扇形的面积公式即可求出答案． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 3．（2023·江苏无锡·模拟预测）若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，这个圆锥侧面展开图的圆心角为，先利用扇形的面积公式表示出圆锥的侧面积，则，所以，然后利用弧长公式得到，然后解n的方程即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为R，底面圆的半径为r，这个圆锥侧面展开图的圆心角为， ∵圆锥的侧面积是底面积的3倍， ∴， ∴， ∵， 即 ∴， 即这个圆锥侧面展开图的圆心角等于120°． 故选：B． 4．（2023·上海徐汇·二模）如图，一个半径为的定滑轮由绳索带动重物上升，如果该定滑轮逆时针旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，那么重物上升的高度是（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式．利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：根据题意，重物上升的高度为 ． 故选：B． 5．（2023九年级下·河北邯郸·期中）下图是某同学自制的一个乒乓球拍，正面是半径为的，劣弧的长为，阴影部分需要粘贴胶皮，则胶皮的面积为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积，弧长公式，解题的关键是掌握扇形的面积公式和弧长公式．连接、，设的度数为，根据弧长公式求出，再求出和扇形的面积，即可求解． 【详解】解：连接、，设的度数为， 劣弧的长为， ， ， ， ，， 胶皮的面积为：， 故选：A．    6．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）一个扇形的面积是，圆心角是，则此扇形的半径是 ． 【答案】12 【分析】本题考查的已知扇形的面积求解扇形的半径，熟记扇形的面积公式是解本题的关键.设扇形的半径为，再由扇形的面积公式列方程可得，再解方程可得答案． 【详解】解：设扇形的半径为， 则， ， ， 解得：， 故答案为：． 7．（2023·云南昆明·模拟预测）如图，在扇形中，，，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】利用扇形的面积减去三角形的面积，即可得解． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查求阴影部分的面积．熟练掌握割补法求面积，是解题的关键． 8．（2023·云南·模拟预测）某数学兴趣小组，用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为2，高为，则这个圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】 本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解本题的关键．根据圆锥的侧面积公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为2，高为， ∴圆锥的母线长为， ∴圆锥的侧面积为， 故答案为：． 9．（2023·四川眉山·二模）如图，小非同学要用纸板制作一个高为3cm，底面周长为8πcm的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是 ． 【答案】20π 【分析】先根据圆的周长公式计算出圆锥的底面圆的半径为4，再利用勾股定理计算出母线长，然后根据扇形的面积计算公式计算圆锥的侧面积即可； 【详解】设圆锥的地面圆的半径为r， 则，解得r=4， ∴圆锥的母线长=， ∴圆锥的侧面积=， 即他所需要的纸板面积为． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积计算公式，准确根据圆锥进行分析是解题的关键． 10．（2023·河南洛阳·三模）如图，在的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，线段与弧交于点，则图中阴影部分的面积为 【答案】 【分析】本题考查直角三角形的边角关系，弧长的计算以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．根据网格构造直角三角形，利用网格可得出进而得出，利用平角的定义可得出是等腰直角三角形，得出圆心角的度数，利用勾股定理求出，进而得出半径，再利用求出即可． 【详解】解：设的中点为， ∵， ∴是直径， ∴弧所在的圆心为， 如图，连接，， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：． 11．（2023九年级·湖南永州·开学考试）如图是一个半圆，已如，阴影部分的面积是，求图中三角形的高．（取3.14）    【答案】 【分析】利用可得三角形的面积，在利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：圆的半径为：， ， ， ，解得：， 三角形的高为． 【点睛】本题考查了三角形的面积及扇形的面积，熟练掌握其公式是解题的关键． 12．（2023九年级·浙江金华·阶段练习）如图，扇形的圆心角为，半径为． (1)求出此扇形的面积． (2)若将此扇形围成一个圆锥的侧面（不计接缝），求圆锥的底面半径． 【答案】(1)扇形的面积等于 (2)圆锥的底面半径为 【分析】本题考查了扇形的面积及求弧长： （1）利用扇形的面积公式即可求解； （2）先求得，再根据与圆锥的底面周长等于，进而可求解； 熟练掌握扇形的面积公式及弧长公式是解题的关键． 【详解】（1）解：扇形的圆心角为，半径为， 扇形的面积为：． （2）扇形的圆心角为，半径为， ， 圆锥的底面周长为， 圆锥的底面半径为：． 13．（11-12九年级·广东汕头·期末）如图所示，已知圆锥底面半径r=10cm，母线长为40cm． （1）求它的侧面展开图的圆心角和表面积． （2）若一甲出从A点出发沿着圆锥侧面行到母线SA的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？为什么？ 【答案】（1）圆心角为900，表面积为500πcm2；（2）甲虫走的最短路线的长度是20cm． 【分析】（1）利用圆锥的弧长等于底面周长得到圆锥的侧面展开图的圆心角；圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+π×底面半径×母线长； （2）最短路线应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度． 【详解】解：（1）=2π×10， 解得n=90°． 圆锥表面积=π×102+π×10×40=500πcm2． （2）如右图，由圆锥的侧面展开图可见，甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B所走的最短路线是线段AB的长． 在Rt△ASB中，SA=40，SB=20， ∴AB=20（cm）． ∴甲虫走的最短路线的长度是20cm． 14．（2023九年级下·湖南郴州·期中）如图，正五边形的边长为6，以点B为圆心，线段为半径画圆． (1)求的度数； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形和圆、扇形的弧长，解题的关键是确定正五边形的内角的度数， （1）首先求出，然后根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可； （2）根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）∵五边形是正五边形， ∴ ∵ ∴； （2）∵正五边形的边长为6， ∴． 15．（2023·广东中山·二模）如图，在中，以点O为圆心，4为半径作，分别交、于C、D两点， (1)求扇形的面积； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了切线的判定，扇形的面积公式，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）用扇形的面积公式计算即可； （2）过点作于，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式和切线的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）解：； （2）证明：过点作于， ，，， ， ， ， 的半径， 是的切线． 16．（2023·江西抚州·一模）如图1，是的内接三角形，，是的一个外角，平分． (1)求证：是的切线； (2)如图2，过点C作的切线交于点F，若． ①请判断四边形的形状，并说明理由； ②当时，求图中阴影部分的周长． 【答案】(1)见解析 (2)①四边形是菱形，理由见解析；② 【分析】（1）连接，并延长交于点N，连接，，由，，可得是的垂直平分线，根据等腰三角形的三线合一得到，又可得，从而得证结论； （2）①根据，，证得四边形是平行四边形，根据切线长定理得到，从而证得是菱形； ②由菱形得到，又由，得到，从而，在中，解直角三角形得到，即的半径是，根据弧长公式即可求得，进而即可解答． 【详解】（1）证明：连接，并延长交于点N，连接，， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：①四边形是菱形，理由如下： 由（1）可得，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵、是的切线， ∴， ∴是菱形； ②∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， 即的半径是， ∴， ∴阴影部分的周长为． 【点睛】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质，垂直平分线的判定，菱形的判定及性质，圆周角定理，弧长公式，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积 【苏科版】 ·模块一 弧长及扇形的面积 ·模块二 圆锥的侧面积 ·模块三 课后作业 模块一 弧长及扇形的面积 弧长和扇形面积： n°的圆心角所对的弧长l为：。 圆心角为n°的扇形面积S为：；. 【考点1 与弧长有关的计算】 【例1.1】（2023·广东深圳·三模）如图，点在半径为3的上，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【例1.2】（2023九年级·陕西延安·阶段练习）传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，该款裙子可以近似地看作扇环，如图2所示，其中，长度为米，长度为米，则裙长AB为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【例1.3】（2023·湖北宜昌·模拟预测）如图，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带（厚薄不计）和两轮之间无滑动（两轮边缘上的点在相同时间内经过的弧长相等）．已知大轮的半径为，小轮的半径为，P，Q分别是大轮和小轮边缘上的点，当大轮上的点P绕点O顺时针旋转时，小轮上的点Q绕点顺时针旋转了 度． 【变式1.1】（2023九年级·新疆乌鲁木齐·期中）已知圆上一段弧长为，它所对的圆心角为，则该圆的半径为（　　） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023·陕西西安·模拟预测）《墨经》是中国古籍中最早讨论滑轮力学的著作，如图所示是书中记载的一个滑轮机械，称为“绳制”，若图中的定滑轮半径为，滑轮旋转了，则重物“甲”上升了 （绳索粗细不计，且与滑轮之间无滑动，结果保留） 【变式1.3】（2023九年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，半径为10的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线，然后把半圆沿直线进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线重合为止，则圆心运动路径的长度等于（　　） A． B． C． D． 【考点2 与扇形面积有关的计算】 【例2.1】（2023·江苏常州·二模）已知扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积 ． 【例2.2】（2023九年级·湖南长沙·期末）时钟的分针长6厘米，从上午8：10到上午8：30，分针扫过的面积是 平方厘米． 【例2.3】（2023九年级·宁夏吴忠·期末）如图，正八边形的边长为4，以顶点为圆心，的长为半径画圆，求阴影部分的面积（结果保留）． 【变式2.1】（2023·云南昭通·二模）一个扇形的半径为，面积为，则它的圆心角为 度． 【变式2.2】（2023·吉林长春·一模）如图为风力发电机的示意图，叶片外端A到旋转中心O的距离为20米，叶片当前在塔筒左侧且与塔筒夹角为．当叶片从当前位置顺时针旋转到点A与塔筒底端B距离最大时，叶片扫过的面积至少为 平方米．（结果保留） 【变式2.3】（2023九年级·内蒙古乌海·期末）如图，四边形为菱形，点A、B在以点O为圆心的弧上，若．求扇形的面积． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023·山西阳泉·三模）如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中的圆心依次按，循环，当时，弧的长为（    ） A． B． C． D． 【题型2】（2023九年级·贵州黔东南·期中）如图所示，一根5m长的绳子，一端拴在的围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊（羊只能在草地上活动），求小羊在草地上可活动区域的面积（结果保留）．    【题型3】（2023·山东泰安·一模）如图，已知的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形是菱形，则图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023·山西太原·二模）如图，扇形中，，，为上一点，，过点作的垂线交于，连接．则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【题型2】（2023·浙江杭州·一模）如图（1）是瓦片做成的窗花，可以从中分离出一朵“花”的图案，如图（2），它是由八片相同的瓦片组成，其中间四片“对扣”，外围截面恰好抽象成一个圆，如图（3），点A，B，C，D表示瓦片的交接点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)若厘米，求图（3）中阴影部分的面积．（结果保留π） 【题型3】（2023九年级·北京西城·期末）如图，在三角尺中，，，．把边放在直尺上，让三角尺在桌面上沿直尺按顺时针方向无滑动地滚动，直到边再一次落到直尺上时停止滚动．三角尺的第一次滚动可看成将三角尺绕点顺时针旋转了 ，记为． 有以下三个结论： ①第一次滚动的过程中，点运动的路径长为； ②第二次滚动可记为； ③点，点，点在滚动全程中，运动路径最长的是点． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 模块二 圆锥的侧面积 圆锥的侧面积： 圆锥的侧面积就是曲面，沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开，容易的到圆锥的侧面展开图就是一个扇形。 设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，因此圆锥的侧面积； 圆锥的全面积为; 圆锥与侧面展开图的等量关系：，. 【考点1 圆锥的相关概念】 【例1.1】（2023·四川德阳·三模）已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥的母线长为2，则圆锥的底面半径是（   ） A． B．1 C． D． 【例1.2】（2023九年级·云南昆明·阶段练习）已知一个圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，若这个圆锥的底面半径长是，则这个圆锥的母线长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【例1.3】（2023·山东潍坊·一模）如图，在平面直角坐标系中，的一段弧经过格点，，． (1)请在图中标出圆心的位置，并写出点的坐标； (2)连接，，则的度数为______度； (3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径． 【变式1.1】（2023·云南玉溪·模拟预测）将一个直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，得到一个圆锥，若这个直角三角形斜边的长为，圆锥的侧面积为，则该圆锥的高为（　　） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023九年级·云南德宏·期末）如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥形状帽子的母线长为，底面半径为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为 ． 【变式1.3】（2023·广东阳江·一模）综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【考点2 圆锥的侧面积和全面积】 【例2.1】（2023九年级·湖北武汉·阶段练习）一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的表面积是 【例2.2】（2023·江苏苏州·二模）若圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积的比为（    ） A． B． C． D． 【例2.3】（2023九年级·河南商丘·阶段练习）小林同学不仅是数学爱好者，还喜欢运用数学知识对日常生活中的事物进行分析，下面是他对如何制作圆锥形漏斗的分析．小林要用一块矩形铁皮加工出一个底面半径为，高为的锥形漏斗，要求只能有一条接缝（接缝忽略不计）． (1)求这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角的度数． (2)如图，有两种设计方案，请你计算一下，哪种方案所用的矩形铁皮面积较少？（参考数据：） 【变式2.1】（2023九年级·山东威海·期末）如图，一个圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的侧面展开图的面积是，则该等边三角形的边长为（   ） A．3 B． C． D．2 【变式2.2】（2023九年级·云南昆明·期末）某同学用工具测一个圆锥形漏斗的尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥形漏斗的侧面积为 （结果保留）． 【变式2.3】（2023九年级·全国·课后作业）圆锥的底面直径是，母线长．求它的侧面展开图的圆心角和圆锥的全面积． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023九年级·江苏连云港·期中）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【题型2】（17-18九年级下·全国·课后作业）小明打算用一张半圆形的纸(如图)做一个圆锥．在制作过程中，他先将半圆剪成面积比为的两个扇形． (1)请你在图中画出他的裁剪痕迹(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； (2)若半圆半径是3，小明用裁出的大扇形作为圆锥的侧面，请你求出小明所做的圆锥的高． 【题型3】（2023九年级·黑龙江双鸭山·期末）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为，母线长为，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点处开始，绕侧面一周又回到点的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是 ． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023·山东潍坊·中考真题）在数学实验课上，小莹将含角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图 小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边旋转得到，所以它们的侧面积相等．” 你认同小亮的说法吗？请说明理由． 【题型2】（2023·四川德阳·一模）已知圆锥的高为，母线为，且，圆锥的侧面展开图为如图所示的扇形．将扇形沿折叠，使点恰好落在上的点，则弧长与圆锥的底面周长的比值为（    ） A． B． C． D． 【题型3】（2023·山东临沂·二模）如图，是的外接圆，，，若扇形（图中阴影部分）正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为 ． 模块三 课后作业 1．（2023·浙江温州·一模）点，，在上的位置如图所示，，的半径为3，则的长是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·四川成都·模拟预测）如图，以等边的边为直径的分别交，于点D，E，，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·江苏无锡·模拟预测）若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角等于（   ） A． B． C． D． 4．（2023·上海徐汇·二模）如图，一个半径为的定滑轮由绳索带动重物上升，如果该定滑轮逆时针旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，那么重物上升的高度是（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 5．（2023九年级下·河北邯郸·期中）下图是某同学自制的一个乒乓球拍，正面是半径为的，劣弧的长为，阴影部分需要粘贴胶皮，则胶皮的面积为（    ）      A． B． C． D． 6．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）一个扇形的面积是，圆心角是，则此扇形的半径是 ． 7．（2023·云南昆明·模拟预测）如图，在扇形中，，，则阴影部分的面积是 ． 8．（2023·云南·模拟预测）某数学兴趣小组，用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为2，高为，则这个圆锥的侧面积为 ． 9．（2023·四川眉山·二模）如图，小非同学要用纸板制作一个高为3cm，底面周长为8πcm的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是 ． 10．（2023·河南洛阳·三模）如图，在的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，线段与弧交于点，则图中阴影部分的面积为 11．（2023九年级·湖南永州·开学考试）如图是一个半圆，已如，阴影部分的面积是，求图中三角形的高．（取3.14）    12．（2023九年级·浙江金华·阶段练习）如图，扇形的圆心角为，半径为． (1)求出此扇形的面积． (2)若将此扇形围成一个圆锥的侧面（不计接缝），求圆锥的底面半径． 13．（11-12九年级·广东汕头·期末）如图所示，已知圆锥底面半径r=10cm，母线长为40cm． （1）求它的侧面展开图的圆心角和表面积． （2）若一甲出从A点出发沿着圆锥侧面行到母线SA的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？为什么？ 14．（2023九年级下·湖南郴州·期中）如图，正五边形的边长为6，以点B为圆心，线段为半径画圆． (1)求的度数； (2)求的长度． 15．（2023·广东中山·二模）如图，在中，以点O为圆心，4为半径作，分别交、于C、D两点， (1)求扇形的面积； (2)求证：是的切线． 16．（2023·江西抚州·一模）如图1，是的内接三角形，，是的一个外角，平分． (1)求证：是的切线； (2)如图2，过点C作的切线交于点F，若． ①请判断四边形的形状，并说明理由； ②当时，求图中阴影部分的周长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$