第12讲 三角形的内切圆、切线长定理-2024年暑假九年级数学上册自学课系列（苏科版）

第12讲 三角形的内切圆、切线长定理 【苏科版】 ·模块一 三角形的内切圆 ·模块二 切线长定理 ·模块三 课后作业 模块一 三角形的内切圆 1．用正负三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形。 【考点1 三角形的内切圆】 【例1.1】（2023九年级·广东·单元测试）三角形内切圆的圆心是（   ） A．三条高的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【例1.2】（2023九年级·江苏盐城·期末）钝角三角形的内心在这个三角形的（ ） A．内部 B．外部 C．一条边上 D．以上都有可能 【变式1.1】（2023九年级·河南新乡·期末）有下列命题：①不在同一条直线上的三个点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弦相等；③同弧（或等弧）所对的圆心角等于该弧所对的圆周角的一半；④三角形内切圆的圆心是三角形的内心，是三边垂直平分线的交点；⑤圆内接四边形的对角互补．其中真命题的个数有 个． 【变式1.2】（12-13九年级·广东茂名·期中）三角形的三条角平分线的交点叫做三角形的内心．如图，点O是△ABC的内心，若∠A=80°，则∠BOC= . 【变式1.3】（2023九年级·安徽芜湖·自主招生）一条直线平分三角形的周长和面积，那么该直线必通过三角形的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【考点2 三角形的内切圆的性质】 【例2.1】（2023·四川南充·二模）如图，在中，是的内切圆，连接并延长与交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（2023九年级·浙江温州·阶段练习）如图，等边的内切圆的半径长为，则它的边长为（    ）    A．12 B．24 C． D． 【例2.3】（2023九年级·吉林长春·期末）如图，等边内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边的内心成中心对称．若等边的边长为6，则圆中的黑色部分的面积是 ． 【变式2.1】（2023九年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，于， 为的内切圆，设 的半径为，的长为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【变式2.2】（2023·湖北·中考真题）如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则 ．    【变式2.3】（2023九年级·山东济宁·期末）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，，，则阴影部分（即四边形）的面积是（　　）    A． B． C． D． 【考点3 三角形的内切圆的作法】 【例3.1】（2023九年级·河北石家庄·期末）小雨同学要找到到三角形的内心，根据下列各图中圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是（　　） A． B． C． D． 【例3.2】（2023九年级·广东肇庆·期末）已知在中，，用尺规作图，作出的内切圆，与边、、分别交于点（保留作图痕迹）． 【变式3.1】（2023·陕西咸阳·二模）如图，已知，平分交于点D，请利用尺规作的内切圆．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式3.2】（2023·山东青岛·二模）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 在一个住宅小区里，有一块三角形绿地，如图所示．现准备在其中建一个半圆形花坛，使它的圆心在BC边上，且面积最大．请你在图中画出这个半圆形花坛． 【变式3.3】（2023九年级·安徽芜湖·期末）如图，在小正方形的边长均为1的正方形网格中，点A、B、C都是格点． (1)在图中仅用无刻度的直尺作的平分线； (2)连接，求内切圆的半径． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023九年级·江苏徐州·阶段练习）如图，在中，，内切圆与边分别相切于点，则的度数为 ． 【题型2】（2023九年级·湖南长沙·阶段练习）如图，把Rt△OAB置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），点P是Rt△OAB内切圆的圆心．将Rt△OAB沿y轴的正方向作无滑动滚动．使它的三边依次与x轴重合．第一次滚动后，圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2…依次规律，第2019次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2019的坐标是（　　） A．（673，1） B．（674，1） C．（8076，1） D．（8077，1） 【题型3】（2023·台湾·中考真题）如图，有一三角形的顶点、皆在直线上，且其内心为．今固定点，将此三角形依顺时针方向旋转，使得新三角形的顶点落在上，且其内心为．若，则下列叙述何者正确？（　　） A．和平行，和平行 B．和平行，和不平行 C．和不平行，和平行 D．和不平行，和不平行 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023九年级·全国·课后作业）如图，在中，点E是内心，延长交的外接圆于点D，连接，．求证：． 【题型2】（2023·山东济宁·一模）如何仅用圆规和无刻度的直尺过圆外一点作已知圆的切线呢？请同学们阅读下面的分析：如图1，如果与相切于点，那么，即，根据“圆周角定理的推论：的圆周角所对的弦是直径”可以得出：点既在上，也在以为直径的圆上，是两圆的公共点． (1)请根据上面的分析在图2中完成尺规作图：用圆规和无刻度的直尺先找出线段的中点，然后画以点为圆心，以为半径的圆就可以确定切点的位置，切点分别记为、，画出直线和，即为经过圆外一点的的两条切线； (2)在（1）的条件下，若的直径与交于点，连接、、．求证：点是的内心． 【题型3】（2023·浙江杭州·二模）如图，平面直角坐标系中三个点的坐标为，，．则的内切圆半径长为 ． 模块二 切线长定理 切线长： 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。 切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 【考点1 切线长的概念】 【例1.1】（2023九年级·广东江门·期中）如图，过圆外一点P作的切线，切点为B，连按交圆于点A．若，则该切线长为（    ）． A．4 B． C．2 D． 【例1.2】（2023九年级·河北承德·期末）点为外一点，它到最大距离与最小距离为18、8，与相切于点，则 （1）的半径为 ； （2）切线长为 ． 【变式1.1】（2023九年级·河北衡水·阶段练习）如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时的B，D两点并延长，交过整点8时的切线于点，若表盘的半径长为，则切线长为（） A．3 B．2 C． D． 【变式1.2】（2023·浙江宁波·一模）如图，在中，，，．的半径长为2，是边上一动点（可以与顶点重合），并且点到的切线长为．若满足条件的点的位置有4个，则的取值范围是 ． 【变式1.3】（2023九年级·全国·专题练习）如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝5，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线长PQ的最小值为 ． 【考点2 切线长定理】 【例2.1】（2023九年级·云南昭通·阶段练习）如图，、、是的切线，切点分别是、、．若，则的长是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【例2.2】（2023九年级·吉林·期末）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OP，AB，设OP与AB相交于点C，若∠APB=60°，OC=2cm，则PC= cm． 【例2.3】（2023·广东·二模）如图，P是外一点，，是的两条切线，切点分别为A，B，C为劣弧上一点，过点C作的切线，分别交，于点D，E． (1)若的周长为12，求的长； (2)若，求的度数． 【变式2.1】（2023·江苏无锡·一模）如图，P为外一点，、分别切于点A、B，切于点E，分别交、于点C、D，若，则的周长为（    ） A．8 B．6 C．12 D．10 【变式2.2】（2023九年级·江苏南京·期中）如图，在中，，点在上，以为半径的半圆切于点，交于点，若，，求的半径和边的长． 【变式2.3】（2023九年级·江苏盐城·期中）如图，为的内切圆，切点分别为，点分别为上的点，且为的切线．    (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023九年级·江苏·周测）如图，⊙O是的内切圆，点D，E，F为切点．    (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【题型2】（2023九年级·广西柳州·期末）学校要举办运动会，九（1）班同学正在准备各种道具，小聪同学现有一块三角形的纸片，要在三角形纸片中截下一块圆形纸片做道具，要求截下的圆与三角形的三条边都相切．小聪用，，表示三角形纸片的三个顶点（如图1）．请你按要求完成： (1)尺规作图：在图1中找出圆心点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）； (2)若纸片三边长分别是：，，，与边，，分别相切于点，，（如图2），求小聪截得的圆形道具的面积． 【题型3】（2023·江苏·二模）【感知】（1）如图1，是的两条切线，切点分别为点B、C，连接交于点D，点E在优弧上，且，则线段的长为_____，的度数为_____，的度数为_____． 【应用】请用无刻度的直尺与圆规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）． （2）如图2，点A是外一点，请作出一条经过点A的的切线，切点为点B； （3）图3，点P、Q分别在直线的两侧，请在直线上确定一个点T，使得与的角平分线在同一条直线上．请作出符合条件的的角平分线．    【拓广探究创新练】 【题型1】（2023九年级·安徽马鞍山·阶段练习）如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm． （Ⅰ）求证：OB⊥OC； （Ⅱ）求CG的长． 【题型2】（2023九年级·河南安阳·期中）如图，在中，为直径，点M为延长线上的一点，与相切于点C，圆周上有另一点D与点C分居直径两侧，且使得，连接． 求证：①与相切； ②四边形是__________形； ③__________． 【题型3】（2023·山西太原·一模）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具-三分角器．图1是它的示意图，其中与半圆O的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等，与垂直与点B，足够长．    使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点E，点A落在边上，半圆O与另一边恰好相切，则，就把三等分了． 为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，，垂足为点B，　 　． 求证：　 　． 模块三 课后作业 1．（2023九年级·江苏常州·期中）的周长为36，面积为36，则该三角形的内切圆半径是（　　） A．1 B．2 C．3 D．6 2．（2023九年级·山东青岛·期中）如图，三条公路两两相交，现计划在中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是（    ） A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 3．（2023·广东广州·一模）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（    ） A．0， B．， C．， D．， 4．（2023九年级·江苏无锡·阶段练习）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，再将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，若与的交点为，则点是（    ）    A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．以上都不对 5．（2023九年级·江苏盐城·期中）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（    ）    A．19 B．17 C．22 D．20 6．（2023九年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知是的内切圆，切点分别是D、E、F，若，则CE的长为 ． 7．（2023九年级·江苏无锡·阶段练习）两条直角边是6和8的直角三角形的内切圆半径 ． 8．（2023·西藏日喀则·二模）如图，、是的切线，、为切点，点、在上．若，则 ． 9．（2023九年级·江苏南京·期中）如图，在中，，是的内切圆，与边分别相切于点D，E，与的延长线交于点F，则 ． 10．（2023·安徽蚌埠·二模）如图，中，，M是BC的中点，的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E，连接DE．若，则的大小为 ． 11．（2023九年级·全国·课后作业）如图，已知：四边形是的外切四边形，，，，分别是切点，求证：．    12．（2023九年级·甘肃平凉·阶段练习）如图，是一块三角形的纸板，要从这块纸板上裁下一块圆形的用料，并使圆形用料的面积最大，请你确定此圆的圆心，并画出该圆．（尺规作图，保留痕迹，不写作法和证明．） 13．（2023九年级·云南保山·期末）如图，在中，平分交于点，以点为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，设的面积为，的面积为，．求常数的值． 14．（2023九年级·湖北武汉·阶段练习）如图，中，为边上一点，为内切圆，、、为切点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 15．（2023九年级·江苏南京·期末）如图，，是的切线，，为切点，连接． (1)若与相切于点，求证； (2)若，求证与相切． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 三角形的内切圆、切线长定理 【苏科版】 ·模块一 三角形的内切圆 ·模块二 切线长定理 ·模块三 课后作业 模块一 三角形的内切圆 1．用正负三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形。 【考点1 三角形的内切圆】 【例1.1】（2023九年级·广东·单元测试）三角形内切圆的圆心是（   ） A．三条高的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】根据三角形内心的定义求解． 【详解】三角形内切圆的圆心为三角形三个内角角平分线的交点． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 【例1.2】（2023九年级·江苏盐城·期末）钝角三角形的内心在这个三角形的（ ） A．内部 B．外部 C．一条边上 D．以上都有可能 【答案】A 【详解】试题分析：三角形的内心为三个内角平分线的交点，而钝角三角形的三个内角平分线的交点在三角形内部； 故选A. 考点: 三角形的内心． 【变式1.1】（2023九年级·河南新乡·期末）有下列命题：①不在同一条直线上的三个点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弦相等；③同弧（或等弧）所对的圆心角等于该弧所对的圆周角的一半；④三角形内切圆的圆心是三角形的内心，是三边垂直平分线的交点；⑤圆内接四边形的对角互补．其中真命题的个数有 个． 【答案】 【分析】根据圆的相关定义、定理，即可进行判断求解，本题考查了，圆的基本概念，圆周角定理，三角形内心的定义，圆内接四边形的性质，解题的关键是：熟记并充分理解相关定义、定理． 【详解】①不在同一条直线上的三个点确定一个圆，是真命题， ②相等的圆心角所对的弦相等，是假命题，前提条件是：在同圆或等圆中， ③同弧（或等弧）所对的圆心角等于该弧所对的圆周角的一半，是真命题， ④三角形内切圆的圆心是三角形的内心，是三边垂直平分线的交点，是假命题，三角形的内心是三个内角的角平分线的交点， ⑤圆内接四边形的对角互补，是真命题， 综上所述①③⑤为真命题， 故答案为：． 【变式1.2】（12-13九年级·广东茂名·期中）三角形的三条角平分线的交点叫做三角形的内心．如图，点O是△ABC的内心，若∠A=80°，则∠BOC= . 【答案】130° 【详解】试题分析：由∠A=80°根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB的度数，再根据三角形的内心的定义结合角平分线的性质可得∠OBC+∠OCB的度数，最后根据三角形的内角和定理求解即可. ∵∠A=80° ∴∠ABC+∠ACB=100° ∵点O是△ABC的内心 ∴∠OBC+∠OCB=50° ∴∠BOC=130°. 考点：角平分线的性质，三角形的内角和定理 点评：三角形的内角和定理是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中极为重要的知识点，一般难度不大，需熟练掌握. 【变式1.3】（2023九年级·安徽芜湖·自主招生）一条直线平分三角形的周长和面积，那么该直线必通过三角形的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【答案】D 【分析】设平分的面积和周长的直线分别交和于D和E，设I为的内心，为内切圆半径，易得，那么，，再结合，所以，即可作答． 【详解】解：如图，设平分的面积和周长的直线分别交和于D和E，    设I为的内心，为内切圆半径， 则，， ∵平分的周长， ∴， 即， ∵平分的面积， ∴， 即 ∴， 那么必定通过点I． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆性质以及内心的概念，内切圆性质包括在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【考点2 三角形的内切圆的性质】 【例2.1】（2023·四川南充·二模）如图，在中，是的内切圆，连接并延长与交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 根据三角形的内角和定理得到 ，由形的内切圆，得到平分平分，根据角平分线的定义得到，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ， 是的内切圆， 分别平分， ， ， ， 故选：B． 【例2.2】（2023九年级·浙江温州·阶段练习）如图，等边的内切圆的半径长为，则它的边长为（    ）    A．12 B．24 C． D． 【答案】B 【分析】过内心向正三角形的一边作垂线，连接顶点与内切圆心，构造直角三角形求解即可． 【详解】解：过点作，则；    ∵是正的内切圆， ∴O是正的内心， ； 在中，，， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质．解决本题的关键是将正三角形的半径、内切圆半径和正三角形边长的一半构成一个直角三角形． 【例2.3】（2023九年级·吉林长春·期末）如图，等边内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边的内心成中心对称．若等边的边长为6，则圆中的黑色部分的面积是 ． 【答案】 【分析】 先作，作于点E，和交于点O，再根据边长求出，即可求出，然后根据面积公式即可求出答案． 【详解】作，作于点E，和交于点O，如图所示： ∵等边的边长为6 ∴AB=6，则BD=3， ∵， ∴， ∴， 根据太极图的对称性，黑色部分的面积占内切圆面积的一半， ∴ ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了等边三角形以及三角形的内切圆，解题关键是求出圆的半径． 【变式2.1】（2023九年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，于， 为的内切圆，设 的半径为，的长为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内切圆的特点作出圆心和三条半径，分别表示出的面积，利用面积相等即可解决问题． 【详解】解：如图所示：为中、、的角平分线交点，过点分别作垂线交、、于点、、，   ， ， ， 的长为， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形内切圆的相关性质，本题掌握三角形内切圆的性质，根据已知条件利用三角形面积相等推出关系式是解题关键． 【变式2.2】（2023·湖北·中考真题）如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则 ．    【答案】/度 【分析】如图所示，连接，设交于H，由内切圆的定义结合三角形内角和定理求出，再由切线长定理得到，进而推出是的垂直平分线，即，则． 【详解】解：如图所示，连接，设交于H， ∵是的内切圆， ∴分别是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与分别相切于点，， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线， ∴，即， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了三角形内切圆，切线长定理，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定，三角形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式2.3】（2023九年级·山东济宁·期末）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，，，则阴影部分（即四边形）的面积是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再利用正方形的判定确定四边形是正方形，进而利用圆的切线性质可知线段的关系，进而求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∵与分别相切于点、， ∴ ，，， ∴四边形是正方形， 设， 则， ∵的内切圆与、、分别相切于点、、， ∴，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是：， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等，三角形的内心到顶点的连线平分这个内角；勾股定理的逆定理和切线性质等相关知识点．熟练运用知识点是解决问题的关键． 【考点3 三角形的内切圆的作法】 【例3.1】（2023九年级·河北石家庄·期末）小雨同学要找到到三角形的内心，根据下列各图中圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的作图，三角形的高的作图，线段的垂直平分线的作图，逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵三角形的内心是三角形内角的平分线的交点， ∴选项B中的作图是作的三角形的两边的垂直平分线，不符合题意， 选项A中的作图，作的一个内角的平分线，作的一边的垂直平分线，不符合题意； 选项C中的作图作的是两个内角的平分线，符合题意， 选项D中的作图作的一边的垂直平分线，作的一边上的高，不符合题意； 故选:C． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质再判断作图是解本题的关键． 【例3.2】（2023九年级·广东肇庆·期末）已知在中，，用尺规作图，作出的内切圆，与边、、分别交于点（保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】此题考查尺规作图，三角形的内切圆与内心根据尺规作图作两个角的平分线即可找到内切圆的圆心，再作出，进而以为半径，为圆心作出三角形的内切圆． 【详解】解：如图即为所求． 【变式3.1】（2023·陕西咸阳·二模）如图，已知，平分交于点D，请利用尺规作的内切圆．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了内切圆的作图，先作出的平分线，交于点O，过点O作的垂线，垂足为E，以点O为圆心为半径作圆即可． 【详解】解：即为所求作的圆，如图所示． 【变式3.2】（2023·山东青岛·二模）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 在一个住宅小区里，有一块三角形绿地，如图所示．现准备在其中建一个半圆形花坛，使它的圆心在BC边上，且面积最大．请你在图中画出这个半圆形花坛． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作三角形的角平分线，角平分线性质、三角形的内切圆的画法，将的角平分线与边的交点作为圆心，圆心到到、的距离为半径作出即可求解． 【详解】解：如图：半圆为所求， 作的角平分线，交于点， 由点向边作垂线交AB于点．以为圆点，为半径做圆． 由于为角平分线，所以到、的距离相等，圆与、相切，所以半圆为圆心在边上，且面积最大的半圆． 【变式3.3】（2023九年级·安徽芜湖·期末）如图，在小正方形的边长均为1的正方形网格中，点A、B、C都是格点． (1)在图中仅用无刻度的直尺作的平分线； (2)连接，求内切圆的半径． 【答案】(1)图形见解析； (2)． 【分析】（1）取的中点P，作射线，即可； （2）由（1）得：为等腰三角形，，可得内切圆的圆心在上，，在上取内切圆的圆心O，连接，过点O作于点D，则的长为内切圆的半径，证明，可得，，设内切圆的半径为r，则，可得，在中，根据勾股定理，求出r，即可求解． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； 理由：∴，，． ∴， ∴为等腰三角形， 由作法得：， ∴平分； （2）解：由（1）得：为等腰三角形，， ∵平分， ∴内切圆的圆心在上，． 如图，在上取内切圆的圆心O，连接，过点O作于点D，则的长为内切圆的半径， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 设内切圆的半径为r，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即内切圆的半径为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的内切圆，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的内切圆的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023九年级·江苏徐州·阶段练习）如图，在中，，内切圆与边分别相切于点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】连接，，根据切线的性质得出，利用四边形的内角和可求，然后利用圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接，， ∵，与相切， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，综合运用了圆周角定理以及切线的性质定理和四边形的内角和定理，正确添加辅助线并熟练运用相关的知识是解题的关键． 【题型2】（2023九年级·湖南长沙·阶段练习）如图，把Rt△OAB置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），点P是Rt△OAB内切圆的圆心．将Rt△OAB沿y轴的正方向作无滑动滚动．使它的三边依次与x轴重合．第一次滚动后，圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2…依次规律，第2019次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2019的坐标是（　　） A．（673，1） B．（674，1） C．（8076，1） D．（8077，1） 【答案】D 【分析】由勾股定理得出AB=5，得出Rt△OAB内切圆的半径=1，因此P的坐标为（1，1），由题意得出P3的坐标（3+5+4+1，1），得出规律为每滚动3次一个循环，由2019÷3=673，即可得出答案． 【详解】∵点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0）， ∴OA＝4，OB＝3， ∴AB= =5， ∴Rt△OAB内切圆的半径＝（3+4﹣5）＝1， ∴P的坐标为（1，1）， ∵将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2，…， ∴P3（3+5+4+1，1），即（13，1）， 每滚动3次一个循环， ∵2019÷3＝673， ∴第2019次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2019的横坐标是673×（3+5+4）+1， 即P2019的横坐标是8077， ∴P2019的坐标是（8077，1）； 故选D． 【点睛】此题考查三角形的内切圆与内心、勾股定理、坐标与图形性质，根据题意得出规律是解题的关键． 【题型3】（2023·台湾·中考真题）如图，有一三角形的顶点、皆在直线上，且其内心为．今固定点，将此三角形依顺时针方向旋转，使得新三角形的顶点落在上，且其内心为．若，则下列叙述何者正确？（　　） A．和平行，和平行 B．和平行，和不平行 C．和不平行，和平行 D．和不平行，和不平行 【答案】C 【分析】作于，于，于，由内心的性质得出，，，证出四边形是矩形，得出，证出，得出和不平行，即可得出结论． 【详解】解：作于，于，于，如图所示：则， 的内心为，的内心为， ，，， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， 和不平行， 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的内心、平行线的判定、旋转的性质；熟练掌握三角形的内心性质和平行线的判定是解题的关键． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023九年级·全国·课后作业）如图，在中，点E是内心，延长交的外接圆于点D，连接，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理，内心的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据内心的性质可得平分平分，可得，．从而得到，进而得到，再由三角形外角的性质可得，即可求证． 【详解】证明：如图， 连接， ∵为内心， ∴平分平分， ∴， ∴和所对的圆心角相等， ∴，， ∴， ∴，          ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型2】（2023·山东济宁·一模）如何仅用圆规和无刻度的直尺过圆外一点作已知圆的切线呢？请同学们阅读下面的分析：如图1，如果与相切于点，那么，即，根据“圆周角定理的推论：的圆周角所对的弦是直径”可以得出：点既在上，也在以为直径的圆上，是两圆的公共点． (1)请根据上面的分析在图2中完成尺规作图：用圆规和无刻度的直尺先找出线段的中点，然后画以点为圆心，以为半径的圆就可以确定切点的位置，切点分别记为、，画出直线和，即为经过圆外一点的的两条切线； (2)在（1）的条件下，若的直径与交于点，连接、、．求证：点是的内心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）证明平分，平分即可． 【详解】（1）解：如图，直线，即为所求； （2）证明：设交于点． ，是的切线， ，，， ， ，， ， ， ， 点是的内心． 【点睛】本题考查作图复杂作图，切线的判定和性质，三角形的内切圆与内心，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【题型3】（2023·浙江杭州·二模）如图，平面直角坐标系中三个点的坐标为，，．则的内切圆半径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形、勾股定理、三角形内切圆的定义和性质，设的内切圆与、、分别相切于点、、，连接、、、，由勾股定理得出，由三角形内切圆的性质得出平分，从而得出在的垂直平分线上，证明出、、在同一直线上，得出，推出，连接、、，设的内切圆的半径长为，根据列式计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，设的内切圆与、、分别相切于点、、，连接、、、， ， ∵，，， ∴，，， ∴， ∵点为的内切圆的圆心， ∴平分， ∵， ∴在的垂直平分线上， ∵， ∴、、在同一直线上， ∴， ∴， 连接、、，设的内切圆的半径长为， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 模块二 切线长定理 切线长： 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。 切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 【考点1 切线长的概念】 【例1.1】（2023九年级·广东江门·期中）如图，过圆外一点P作的切线，切点为B，连按交圆于点A．若，则该切线长为（    ）． A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据切线的性质定理可知，由题意可知，则，于是根据勾股定理即可求出的长． 【详解】∵、都是半径， ∴， 又∵与相切于B点， ∴， 于是在中，，， ∴. 故选：B． 【点睛】本题考查的是切线的性质定理，即圆的切线垂直于经过切点的半径．由相切到垂直是解题中常常用到的一种思路，也考查了勾股定理． 【例1.2】（2023九年级·河北承德·期末）点为外一点，它到最大距离与最小距离为18、8，与相切于点，则 （1）的半径为 ； （2）切线长为 ． 【答案】 5 12 【分析】本题考查点与圆的位置关系，切线的性质，勾股定理等知识． （1）设的半径为，根据圆外一点与圆的关系建立方程求解即可得出答案； （2）连接，由切线的性质可得，运用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：（1）设的半径为， 由题意得：， 解得：， 故答案为：5； （2）如图，连接， 与相切于点， ，，， ． 故答案为：12． 【变式1.1】（2023九年级·河北衡水·阶段练习）如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时的B，D两点并延长，交过整点8时的切线于点，若表盘的半径长为，则切线长为（） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 设钟表的中心为点，连接，根据题意可得：点在上，，然后利用圆周角定理可得，再利用切线的性质可得，最后在中，进行计算即可解答． 【详解】解：设钟表的中心为点，连接， 由题意得：点在上，， ∴， ∵与相切于点， ∴， ， 故选：B． 【变式1.2】（2023·浙江宁波·一模）如图，在中，，，．的半径长为2，是边上一动点（可以与顶点重合），并且点到的切线长为．若满足条件的点的位置有4个，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】过点作于点，作切于点，连接，由勾股定理可得，再利用面积法求得，然后根据勾股定理可得；作切于点，求得；观察图形可知，点的位置有4个需要满足的条件是，即的取值范围是． 【详解】解：如下图，过点作于点，作切于点，连接， 则， ∵，，， ∴， ∵，即， ∴， ∵是切线， ∴，即， ∴， 作切于点，则，， ∴， ∴， 观察图形可知，点的位置有4个需要满足的条件是， ∴的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、利用面积法求线段的长度等知识，正确作出所需要的辅助线是解题的关键． 【变式1.3】（2023九年级·全国·专题练习）如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝5，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线长PQ的最小值为 ． 【答案】 【详解】思路引领：连接OP，OQ，由PQ为圆O的切线，利用切线的性质得到OQ与PQ垂直，利用勾股定理列出关系式，由OP最小时，PQ最短，根据垂线段最短得到OP垂直于AB时最短，利用面积法求出此时OP的值，再利用勾股定理即可求出PQ的最短值． 答案详解：连接OP、OQ，如图所示， ∵PQ是⊙O的切线， ∴OQ⊥PQ， 根据勾股定理知：PQ2＝OP2﹣OQ2， ∴当PO⊥AB时，线段PQ最短， ∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝5， ∴ABOA＝10， ∴S△AOBOA•OBAB•OP，即OP， ∴PQ． 故答案为：2 【考点2 切线长定理】 【例2.1】（2023九年级·云南昭通·阶段练习）如图，、、是的切线，切点分别是、、．若，则的长是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了切线长定理；由切线长定理得，，即可求解． 【详解】解： 、、是的切线， 切点分别是、、， ，， ， ， 故选：B． 【例2.2】（2023九年级·吉林·期末）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OP，AB，设OP与AB相交于点C，若∠APB=60°，OC=2cm，则PC= cm． 【答案】6 【分析】由切线长定理可知PA=PB，由垂径定理可知OP垂直平分AB，所以OP平分，可得,利用直角三角形30度角的性质可得OA、OP的长，即可. 【详解】解：PA，PB是⊙O的两条切线 ， 由垂径定理可知OP垂直平分AB， OP平分， 在中， 在中， 故答案为：6 【点睛】本题主要考查了圆的性质与三角形的性质，涉及的知识点主要有切线长定理、垂径定理、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质，灵活的将圆与三角形相结合是解题的关键. 【例2.3】（2023·广东·二模）如图，P是外一点，，是的两条切线，切点分别为A，B，C为劣弧上一点，过点C作的切线，分别交，于点D，E． (1)若的周长为12，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查的是切线的性质，切线长定理的含义，四边形的内角和定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）由切线长定理可得答案； （2）如图，连接，，，利用切线的性质与切线长定理的含义，再结合四边形的内角和定理可得答案． 【详解】（1）解：由切线长定理可知，，，． 则的周长 ． ． （2）如图，连接，，， 则，． ． 在四边形中，，， 即， ． 【变式2.1】（2023·江苏无锡·一模）如图，P为外一点，、分别切于点A、B，切于点E，分别交、于点C、D，若，则的周长为（    ） A．8 B．6 C．12 D．10 【答案】C 【分析】本题考查切线长定理．根据切线长定理，得到，进而得到的周长为，即可． 【详解】解：由切线长定理，可知：， ∴的周长； 故选C． 【变式2.2】（2023九年级·江苏南京·期中）如图，在中，，点在上，以为半径的半圆切于点，交于点，若，，求的半径和边的长． 【答案】的半径为和边的长为． 【分析】本题考查了切线的性质与判定，切线长定理和勾股定理，连接，由与相切则，设的半径为，故在中，由勾股定理得：，即可求出半径；由，为半径证明与相切，根据切线长定理可得，然后在中，由勾股定理得，即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． 【详解】连接， ∵与相切， ∴， ∴， 设的半径为， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴，解得， ∴， ∴， ∵，为半径， ∴与相切， ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴． 【变式2.3】（2023九年级·江苏盐城·期中）如图，为的内切圆，切点分别为，点分别为上的点，且为的切线．    (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题考查了切线长定理，内切圆的性质，解题的关键是： （1）利用三角形内角和求出，再根据内切圆的性质和切线长定理得出，，再求出，最后利用三角形内角和求出结果； （2）设的切点为，根据内切圆的性质得到，，推出的周长为，再结合切线长定理可得，再计算即可 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为的内切圆， ∴，， ∴， ∴； （2）∵为的内切圆，为的切线，设切点为， ∴，， ∴的周长为： ∵，，， ∴ ．    【规律方法综合练】 【题型1】（2023九年级·江苏·周测）如图，⊙O是的内切圆，点D，E，F为切点．    (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由切线长定理可得，进而可得,，据此即可求解； （2）由切线长定理即可求解． 【详解】（1）解：由切线长定理可得： ∴, ∵ ∴ ∴ （2）解：解：由切线长定理可得： ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．熟记相关结论即可． 【题型2】（2023九年级·广西柳州·期末）学校要举办运动会，九（1）班同学正在准备各种道具，小聪同学现有一块三角形的纸片，要在三角形纸片中截下一块圆形纸片做道具，要求截下的圆与三角形的三条边都相切．小聪用，，表示三角形纸片的三个顶点（如图1）．请你按要求完成： (1)尺规作图：在图1中找出圆心点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）； (2)若纸片三边长分别是：，，，与边，，分别相切于点，，（如图2），求小聪截得的圆形道具的面积． 【答案】(1)见解析 (2)小聪截得的圆形道具的面积是 【分析】本题考查三角形内切圆，切线长定理等知识点； （1）用尺规作和的角平分线，交点即为圆心点； （2）连接，，，根据切线长定理可得，，，最后根据列方程求解即可． 【详解】（1）如图所示：点即为所求； （2）连接，，， 在中，，， ， 是直角三角形， 是的内切圆，切点为，，， ，，， ，， ， 四边形为正方形， 设， ，， ， 解得， ， 小聪截得的圆形道具的面积是． 【题型3】（2023·江苏·二模）【感知】（1）如图1，是的两条切线，切点分别为点B、C，连接交于点D，点E在优弧上，且，则线段的长为_____，的度数为_____，的度数为_____． 【应用】请用无刻度的直尺与圆规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）． （2）如图2，点A是外一点，请作出一条经过点A的的切线，切点为点B； （3）图3，点P、Q分别在直线的两侧，请在直线上确定一个点T，使得与的角平分线在同一条直线上．请作出符合条件的的角平分线．    【答案】（1）2，，；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）连接，利用圆周角定理求得，再利用切线长定理即可求解； （2）连接，作线段的垂直平分线确定其中点，再作以为直径的圆，两圆的交点为B，作直线即可得出答案； （3）以P为圆心，为半径作弧，交于点R，连接，过点P作的垂线交于点T，连接，则是的角平分线． 【详解】解：（1）连接，    ∵， ∴， ∵是的两条切线， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：2，，； （2）解：如图所示，直线即为所求．   ； （3）解：如图所示，射线即为所求．   . 【点睛】本题主要考查作图—复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图和圆周角定理、垂径定理、切线长定理． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023九年级·安徽马鞍山·阶段练习）如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm． （Ⅰ）求证：OB⊥OC； （Ⅱ）求CG的长． 【答案】（Ⅰ）证明见解析  （Ⅱ）6.4cm 【分析】（Ⅰ）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°； （Ⅱ）由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到CG的长. 【详解】解：（Ⅰ）连接OF；根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG； ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∴∠OBE+∠OCF＝90°， ∴∠BOC＝90°， ∴OB⊥OC； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠BOC＝90°． ∵OB＝6cm，OC＝8cm， ∴由勾股定理得到：BC＝＝10cm， ∴ 即 ∴OF＝4.8cm． ∴ ＝6.4cm， ∵CF、CG分别与⊙O相切于F、G， ∴CG＝CF＝6.4cm．    【点睛】本题综合运用了切线长定理和切线的性质定理．注意：求直角三角形斜边上的高时，可以借助直角三角形的面积进行计算． 【题型2】（2023九年级·河南安阳·期中）如图，在中，为直径，点M为延长线上的一点，与相切于点C，圆周上有另一点D与点C分居直径两侧，且使得，连接． 求证：①与相切； ②四边形是__________形； ③__________． 【答案】①见解析；②菱；③ 【分析】①通过连接两条半径构建全等三角形，利用切线的判定即可证明与相切；②通过证明可得四边相等，根据菱形的判定即可求解；③通过等腰三角形的性质可得，，再根据切线的性质可得，再根据菱形的性质即可求解． 【详解】 解：①证：连接OC，OD 在和中 ， ， ， 是的切线， ， ∴与相切； ②由①可知：， 又∵CM＝DM，AM＝AM， ∴， ∴AC＝AD， ∵AC＝AD＝CM＝MD， ∴四边形是菱形； 故答案为：菱； ③∵AM＝CM，OC＝OD， ∴，， ∵， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， 又∵是菱形， ∴ ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、圆的切线的性质与判定、菱形的判定与性质、以及切线长定理等．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．此类题目综合性较强，熟练掌握每个知识点是解题关键． 【题型3】（2023·山西太原·一模）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具-三分角器．图1是它的示意图，其中与半圆O的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等，与垂直与点B，足够长．    使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点E，点A落在边上，半圆O与另一边恰好相切，则，就把三等分了． 为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，，垂足为点B，　 　． 求证：　 　． 【答案】，切半圆O于F，就把三等分 【分析】证明，求出，证明，得出是的切线，切半圆O于F，得出，证明，得出，即可证明 【详解】解：已知：如图2，点A，B，O，，．M、A、E三点共线． 求证：，把三等分， 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是的切线， ∵切半圆O于F， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，就把三等分． 故答案为：，切半圆O于F，就把三等分．    【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，切线性质和判定，解题的关键是理解题意，作出辅助线，证明． 模块三 课后作业 1．（2023九年级·江苏常州·期中）的周长为36，面积为36，则该三角形的内切圆半径是（　　） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【分析】设这个三角形的内切圆半径是r，再根据三角形的面积公式，即可得出结论． 【详解】解：设这个三角形的内切圆半径是r， ∵三角形面积为36，周长为36， ∴， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，熟知三角形的面积公式是解答此题的关键． 2．（2023九年级·山东青岛·期中）如图，三条公路两两相交，现计划在中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是（    ） A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】D 【分析】根据三角形内心的性质解答即可． 【详解】△ABC三个内角的平分线交于一点，且到三边的距离相等，所以探照灯的位置是三条角平分线的交点． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形内心的性质，即三角形的三个内角的平分线交于一点，且到三边的距离相等． 3．（2023·广东广州·一模）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（    ） A．0， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内切圆，圆周角定理，切线长定理等知识．连接．利用切线长定理，可得，从而得到，再由圆周角定理，可得，即可． 【详解】解：如图，连接． ∵的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4．（2023九年级·江苏无锡·阶段练习）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，再将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，若与的交点为，则点是（    ）    A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换以及角平分线的性质，解题的关键是根据翻折变换的性质得出为角平分线的交点．根据折叠的性质可知点为角平分线的交点，根据角平分线的性质可知点到三边的距离相等． 【详解】解：如图：过点作于点F，于点M，于点N，    由题意得：，， 为角平分线的交点， ， 点到三边的距离相等． 点是的内心． 故选：A． 5．（2023九年级·江苏盐城·期中）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（    ）    A．19 B．17 C．22 D．20 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．设的内切圆切三边于点，连接，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、， ∴四边形是正方形，    由切线长定理可知， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∵是的内切圆， ∴内切圆的半径， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故选：D． 6．（2023九年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知是的内切圆，切点分别是D、E、F，若，则CE的长为 ． 【答案】5 【分析】直接利用切线长定理即可求解． 【详解】解：由题意得都是切线，D、E是切点， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了切线长定理，牢记“从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等”是解题的关键． 7．（2023九年级·江苏无锡·阶段练习）两条直角边是6和8的直角三角形的内切圆半径 ． 【答案】2 【分析】本题考查特殊三角形的内切圆的半径．勾股定理求出斜边长，利用直角三角形的内切圆的半径等于直角边的和减去斜边的长再除以2进行求解即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边为6和8， ∴斜边长为， ∴； 故答案为：2． 8．（2023·西藏日喀则·二模）如图，、是的切线，、为切点，点、在上．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查切线长定理，圆内接四边形，连接，切线长定理结合等边对等角，求出的度数，再根据圆内接四边形的对角互补，得到，再利用角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵、是的切线，、为切点， ∴， ∴， ∵都在上， ∴， ∴； 故答案为：． 9．（2023九年级·江苏南京·期中）如图，在中，，是的内切圆，与边分别相切于点D，E，与的延长线交于点F，则 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查三角形内切圆、切线长定理，根据内切圆的定义和切线长定理，可以计算出的度数和的度数，然后即可计算出的度数． 【详解】解：连接交于点G， ， ， ∵点O为的内切圆的圆心， ， ， ， 垂直平分， ， ， 故答案为：． 10．（2023·安徽蚌埠·二模）如图，中，，M是BC的中点，的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E，连接DE．若，则的大小为 ． 【答案】30°/30度 【分析】利用直角三角形斜边上的中线的性质证明△ABM是等腰三角形，得到∠B＝∠BAM，的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E，利用切线长定理证明△BDE是等腰三角形，得到∠BED＝∠BDE，利用得到∠BED＝∠BMA，∠BDE＝∠BAM，进一步证得△ABM是等边三角形，∠B＝60°，即可求出∠C的大小． 【详解】解：∵， ∴△ABC是直角三角形 ∵M是BC的中点， ∴AM＝BM＝， ∴△ABM是等腰三角形， ∴∠B＝∠BAM， ∵的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E， ∴BD＝BE， ∴△BDE是等腰三角形， ∴∠BED＝∠BDE， ∵， ∴∠BED＝∠BMA，∠BDE＝∠BAM， ∴∠BMA＝∠BAM ∴∠B＝∠BMA＝∠BAM， ∴△ABM是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∴∠C＝90°－∠B＝30°， 故答案为：30°． 【点睛】此题考查了直角三角形的性质、圆的切线长定理、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 11．（2023九年级·全国·课后作业）如图，已知：四边形是的外切四边形，，，，分别是切点，求证：．    【答案】见详解 【分析】根据切线长定理可得：，，，，问题随之得解 ． 【详解】根据切线长定理可得：，，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线长定理，根据切线长定理得出，，，，是解答本题的关键． 12．（2023九年级·甘肃平凉·阶段练习）如图，是一块三角形的纸板，要从这块纸板上裁下一块圆形的用料，并使圆形用料的面积最大，请你确定此圆的圆心，并画出该圆．（尺规作图，保留痕迹，不写作法和证明．） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，作圆内接三角形，作角平分线．要使用料的面积最大，所以要与三个边相切即可，分别作三角形任意两个内角的角平分线交于一点，即，点即为所要求圆的圆心． 【详解】解：分别作三角形任意两个内角的角平分线交于一点，即，点即为所要求圆的圆心，作于点，以为圆心，为半径作．如图所示： 与三角形三边都相切时圆的半径最大，故此时圆的面积最大． 13．（2023九年级·云南保山·期末）如图，在中，平分交于点，以点为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，设的面积为，的面积为，．求常数的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的证明、角平分线的性质定理、切线长定理以及勾股定理等知识点，掌握圆中相关定理的内容是解题关键． （1）过点作，由角平分线的性质定理可得，即可求证； （2）在中求出，设的半径为，则，，，在中求出即可求解． 【详解】（1）证明：过点作，垂足为，如图， 以点为圆心，长为半径的与相切于点， ， 平分， ， 是的半径，又， 是的切线； （2）解：由（1）知 根据勾股定理得， ，均为的切线，切点分别为和 设的半径为，则，，， 在中，根据勾股定理得， 即， 解得， 即． ． 14．（2023九年级·湖北武汉·阶段练习）如图，中，为边上一点，为内切圆，、、为切点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，切线长定理； （1）根据切线长定理可得，，根据，由线段的差相等，即可求解； （2）设，则，根据，即可求解． 【详解】（1）∵为内切圆，、、为切点， ∴， ∵， ∴即 ∴ （2）设， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴，解得， ∴． 15．（2023九年级·江苏南京·期末）如图，，是的切线，，为切点，连接． (1)若与相切于点，求证； (2)若，求证与相切． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）利用切线长定理证明，即可求证； （）延长到点，使得，连，过点作，垂足为G，连接，，，，证明，再由证明，根据性质再证明，最后由性质即可求证； 此题考查了切线长定理和切线的判定与性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点的的应用及正确添加辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵与相切，切点为，且，是的切线，，为切点， ∴ ，， ∵， ∴； （2）证明：延长到点，使得，连接，过点作，垂足为G，连接，，，， ∵，， ∴ ， ∵，是的切线，，为切点， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴平分， 又∵，， ∴， ∴与相切． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$