第11讲 直线与圆的位置关系-2024年暑假九年级数学上册自学课系列（苏科版）

第11讲 直线与圆的位置关系 【苏科版】 ·模块一 直线与圆的位置关系 ·模块二 圆的切线的判定与性质 ·模块三 课后作业 模块一 直线与圆的位置关系 直线和圆的位置关系： 直线和圆有两个公共点时，我们说这条直线和圆相交。 直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线和圆相切。这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。 直线和圆没有公共点时，我们说这条直线和圆相离。 设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离d，则有： 直线l和⊙O相交d＜r； 直线l和⊙O相切d=r； 直线l和⊙O相离d＞r。 【考点1 直线与圆的位置关系的识别】 【例1.1】（2023·江苏南京·二模）如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和与它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．包含 【例1.2】（2023·青海西宁·二模）已知的半径等于，圆心到直线上某点的距离为，则直线与的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．1或2 D．0或1 【例1.3】（2023九年级·全国·专题练习）如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ． 【变式1.1】（2023九年级·四川泸州·阶段练习）已知的半径是，点在上，如果点到直线的距离是，那么与直线的位置关系是 （   ） A．相交 B．相离 C．相切或相交 D．相切或相离 【变式1.2】（2023·广东广州·二模）中，，，以点为圆心，为半径画圆，那么该圆与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【变式1.3】（2023九年级·福建厦门·期中）如图， 为 上一点，且，以点 为圆心，半径为的圆与 的位置关系是 【变式1.4】（2023九年级·全国·专题练习）圆心O到直线l的距离为d，的半径为r，若d、r是方程的两个根，试判断直线m与直线l与的位置关系． 【考点2 直线与圆的位置关系的性质】 【例2.1】（2023九年级·河北张家口·期末）直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为5，则r的值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2.2】（2023九年级·河北邢台·阶段练习）已知圆的半径为6.点到某条直线的距离为8，则这条直线可以是（    ） A． B． C． D． 【例2.3】（2023九年级·全国·单元测试）在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为，半径是2．如果⊙M与y轴相切，那么 ；如果⊙M与y轴相交，那么m的取值范围是 ；如果⊙M与y轴相离，那么m的取值范围是 ． 【变式2.1】（2023九年级·河南许昌·期中）已知⊙O的半径为4，点O到直线l的距离为d若直线l与⊙O的公共点的个数为2个则d的值不能为（　　） A．0 B．2 C．3 D．5 【变式2.2】（2023九年级·全国·课后作业）的半径为，点到直线的距离为，是关于的方程的两个根，当直线和相切时，的值为 ． 【变式2.3】（2023九年级·广东韶关·期中）已知的半径为7，直线l与相交，点O到直线l的距离为4，则上到直线l的距离为3的点的个数为 个． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023九年级·全国·课后作业）如图，已知⊙O的半径为5cm，点O到直线l的距离OP为 7cm． （1）怎样平移直线l，才能使l与⊙O相切？ （2）要使直线l与⊙O相交，设把直线l向上平移 xcm，求x的取值范围 【题型2】（2023九年级·福建南平·自主招生）如图，直线与圆心在原点，半径为的圆有公共点，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【题型3】（2023九年级·江苏无锡·阶段练习）如图坐标系中，，以A为圆心，r为半径画圆， (1)当与坐标轴有一个公共点时，r的取值范围是 ； (2)当与坐标轴有两个公共点时，r的取值范围是 ； (3)当与坐标轴有三个公共点时，r的取值范围是 ； (4)当与坐标轴有四个公共点时，r的取值范围是 ． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023·陕西西安·一模）在中，，，．若与相离，则半径为r满足（    ） A． B． C． D． 【题型2】（2023九年级·全国·课后作业）如图．的半径为，、是的两条弦，，，如果以为圆心，作一个与直线相切的圆，那么： (1)所作的圆的半径是多少？ (2)所作的圆与直线有怎样的位置关系？为什么？ 【题型3】（2014·上海普陀·二模）中，，，，如果以点为圆心，为半径，且与斜边仅有一个公共点，那么半径的取值范围是 ． 模块二 圆的切线的判定与性质 切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径。 【考点1 切线的判定】 【例1.1】（2023·广东佛山·二模）如图，将直角三角板的直角顶点放在上，直角边经过圆心，则另一直角边与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【例1.2】（2023九年级·河北邯郸·期末）有一道题目：“如图，是的直径，要使直线是的切线，需添加的条件是（写一个条件即可）．”下面是三位同学写的答案，则下列判断正确的是（    ） 甲：；乙：；丙： A．只有甲同学的答案正确 B．只有乙同学的答案正确 C．只有甲、丙同学的答案正确 D．三位同学的答案都正确 【例1.3】（2023九年级·全国·专题练习）如图，在中，，以为直径的与相交于点E．在上取一点D，使得．求证：是的切线． 【变式1.1】（2023九年级·北京·期末）下面给出了用三角尺画一个圆的切线的步骤示意图，但顺序需要进行调整，正确的画图步骤是 ． 【变式1.2】（2023九年级·云南·专题练习）如图，是的平分线，是上一点，与相切于，求证：与相切． 【变式1.3】（2023九年级·全国·课后作业）如图，P是的直径的延长线上一点，，则当（    ）时，直线是的切线． A． B． C． D． 【考点2 切线的性质】 【例2.1】（2023·黑龙江哈尔滨·一模）如图，是⊙O的直径，切⊙O于点A，交⊙O于点C，连接，若，则的度数为 ． 【例2.2】（2023九年级·吉林·期末）如图，OA，OB为⊙O的半径，AC为⊙O的切线，连接AB．若∠B=25°，求∠BAC的度数． 【例2.3】（2023九年级·重庆沙坪坝·期末）如图，为的直径，与相切于点C，交的延长线于点D，若，，则线段的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2.1】（2023九年级·山东聊城·期中）如图，P是⊙O外一点，过P引⊙O的切线PA、PB，若∠APB＝50°，则的度数为 ． 【变式2.2】（2023九年级·重庆潼南·期末）如图，是的直径，是的切线，为切点，，垂足为，连接．若，且，则的长为（　　） A． B． C． D． 【变式2.3】（2023九年级·江苏泰州·阶段练习）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是弧BCD上不与B，D重合的点，∠A=30°． （1）求∠BED的度数； （2）点F在AB的延长线上，且DF与⊙O相切于点D，求证：BF=AB．    【规律方法综合练】 【题型1】（2023九年级·辽宁葫芦岛·期末）如图，∠ABC＝90°，O为射线BC上点，以点O为圆心，BO长为半径作⊙O，当射线BA绕点B按顺时针方向旋转_____度时与⊙O相切． 【题型2】（2023九年级·四川德阳·期末）如图，在矩形ABCD中，，E是边AB上一点，且．已知经过点E，与边CD所在直线相切于点G（为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且，当边AD或BC所在的直线与相切时，AB的长是（    ） A．5或9 B．6或9 C．5或 D．6或 【题型3】（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，在中，，以为直径的交于，点在线段上，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023·重庆·模拟预测）如图，已知PA与⊙O相切于点A，连接OA，AB是⊙O的弦，且AB⊥OP，垂足为点C．若AP＝3，OP＝3，则OC的长为（　　）    A． B． C．2 D． 【题型2】（2023·天津和平·模拟预测）如图，⊙O中，AC为直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B，过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于点D，若BD＝MA，则∠AMB的大小为 度． 【题型3】（2023九年级·云南昆明·阶段练习）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的，人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器，图1是它的示意图，其中 与半圆 的直径 在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等； 与 垂直于点 ，够长． 使用方法如图2所示，若要把 三等分，只需适当放置三分角器，使 经过 的顶点 ，点 在边 上，半圆 与另一边 恰好相切，切点为 ，则，就把 三等分了． 为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明． 请你根据已知和求证，写出证明过程． 已知：如图2，点，，，在同一直线上，，垂足为点 ，，与半圆 相切于点 ． 求证：． 模块三 课后作业 1．（2023·浙江宁波·模拟预测）已知平面内有与直线，的半径为，点到直线的距离为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不能判断 2．（2023九年级·全国·课后作业）如图，是的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与相切于点A的条件是（    ） A． B． C．AC是直径 D．且 3．（2023·河南漯河·二模）如图，的边与相切于点，点在上，经过圆心，且，为劣弧上一动点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2023九年级·山东泰安·期中）的圆心到直线的距离为3cm，的半径为，将直线向垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（   ） A． B． C． D．或 5．（2023九年级·北京朝阳·期中）如图，直线A与⊙O相切于点A，AB是⊙O直径．∠EAC＝150°，D是弧BC的中点，则弦AC与AD的数量关系是（　　） A．1：2 B．1： C．： D．1：3 6．（2023九年级·山东菏泽·期中）已知的半径为6，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围 ． 7．（2023九年级·全国·课后作业）如图，已知，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作，当 cm时，与OA相切. 8．（2023九年级·全国·课后作业）如图，中，，以为直径的交于E点，直线于F，则直线与的位置关系是 ． 9．（2023九年级·浙江杭州·期末）如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，P为圆外一点，PC、PD均与圆相切，设∠A+∠B＝130°，∠CPD＝β，则β＝ ． 10．（2023·浙江嘉兴·一模）如图，已知与相切于点，交于点C，连结．则下列结论：，，，一定成立的是 （填序号）． 11．（2023九年级·全国·专题练习）如图，的半径是5，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使． （1）点到直线距离的最大值为　　　　； （2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为　　　　． 12．（2023·山东临沂·模拟预测）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点D，连接，过D作，垂足为E． (1)求证：； (2)求证：为的切线． 13．（2023九年级·江苏泰州·阶段练习）如图，在 中，，与相切于点，为上一点，经过点，的分别交，于点，． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径． 14．（2023九年级·全国·专题练习）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于．    (1)求证：是的切线； (2)若，，则　　． 15．（2023·山东枣庄·二模）已知：如图，过正方形的顶点，且与边相切于点．点是与的交点，连接，，，点是延长线上一点，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)如果正方形边长为，求的半径. 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（   ） A．相交 B．相离 C．相切或相交 D．相切或相离 【答案】D 【分析】此题考查直线与圆的位置关系，掌握数形结合是解题的关键．根据圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的大小关系解答． 【详解】解：如图，      当点 与 重合时， 与直线 相切； 当点 与 不重合时， 与直线 相离， ∴ 与直线 的位置关系是相切或相离． 故选：D． 【变式1.2】（2023·广东广州·二模）中，，，以点为圆心，为半径画圆，那么该圆与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理，明白要作、求出是解题的关键． 根据题意画出，并过点作于点，根据等腰三角形三线合一求得的长，再利用勾股定理求得的长，把与圆的半径比较大小，判定该圆与的位置关系即可． 【详解】解：如图，根据题意画出，并过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴以点为圆心，为半径的圆，与的位置关系是相离， 故选：A． 【变式1.3】（2023九年级·福建厦门·期中）如图， 为 上一点，且，以点 为圆心，半径为的圆与 的位置关系是 【答案】相切 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，直角三角形中角所对的边是斜边的一半；利用直角三角形中角所对的边是斜边的一半，求出的长；根据的长与圆的半径的大小关系，可判断圆与的位置关系． 【详解】过点作于点． ，， ， 以点为圆心，半径为的圆与的位置关系是相切． 故答案为：相切． 【变式1.4】（2023九年级·全国·专题练习）圆心O到直线l的距离为d，的半径为r，若d、r是方程的两个根，试判断直线m与直线l与的位置关系． 【答案】相离或相交 【分析】先求出一元二次方程的两个根，由于没有说明d、r的大小关系，再根据两根进行讨论求解即可 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∵d、r是方程的两个根， ∴或． ∵当时，， ∴直线与圆相离； ∵当，， ∴直线于圆相交． 综上所述，直线l与的位置关系为相离或相交． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解一元二次方程，正确求出一元二次方程的两根并利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【考点2 直线与圆的位置关系的性质】 【例2.1】（2023九年级·河北张家口·期末）直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为5，则r的值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线到圆心距离为d，半径为r，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交． 【详解】解：∵直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为5， ∴， ∵， ∴A、B、C不符合题意，D符合题意； 故选：D． 【例2.2】（2023九年级·河北邢台·阶段练习）已知圆的半径为6.点到某条直线的距离为8，则这条直线可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．直线和圆有两个公共点，则直线和圆相交；直线和圆有唯一一个公共点，则直线和圆相切；直线和圆没有公共点，则直线和圆相离，即可得到问题选项． 【详解】解：∵圆O的半径为6，点O到某条直线的距离为8， ∴d＞r， ∴直线与圆相离， ∴这条直线与圆没有公共点， ∴这条直线可以是 l2． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，根据圆心距与半径关系得出位置关系是解决问题的关键． 【例2.3】（2023九年级·全国·单元测试）在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为，半径是2．如果⊙M与y轴相切，那么 ；如果⊙M与y轴相交，那么m的取值范围是 ；如果⊙M与y轴相离，那么m的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】根据轴与圆的位置关系，推出圆心到轴的距离和半径之间的关系即可得解． 【详解】解：∵⊙M与y轴相切， ∴； 即； ∴如果⊙M与y轴相交，那么m的取值范围是； 如果⊙M与y轴相离，那么m的取值范围是或． 故答案为：；；或． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系与直线与圆的位置关系之间的联系，是解题的关键． 【变式2.1】（2023九年级·河南许昌·期中）已知⊙O的半径为4，点O到直线l的距离为d若直线l与⊙O的公共点的个数为2个则d的值不能为（　　） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】根据直线和圆的位置关系判断方法，可得结论． 【详解】解：∵直线l与⊙O公共点的个数为2个， ∴直线l与⊙O相交， ∴d＜半径＝4， 故选D． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系判断方法：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交则d＜r②直线l和⊙O相切则d＝r，③直线l和⊙O相离则d＞r． 【变式2.2】（2023九年级·全国·课后作业）的半径为，点到直线的距离为，是关于的方程的两个根，当直线和相切时，的值为 ． 【答案】 【分析】由相切可知，则有一元二次方程有两个相等的实数根，其判别式为0，可得到关于m的方程，可求得m的值． 【详解】∵直线和相切， ∴ ∵是关于的方程的两个根， ∴关于的方程有两相等实数根， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查切线的性质及一元二次方程根的判别式，由相切的性质得到，得出一元二次方程有两个相等的实数根是解题的关键． 【变式2.3】（2023九年级·广东韶关·期中）已知的半径为7，直线l与相交，点O到直线l的距离为4，则上到直线l的距离为3的点的个数为 个． 【答案】3 【分析】根据平行线间的距离处处相等，先过点D作，即可求得上到直线l的距离为3的点的个数． 【详解】解：如图，∵的半径为7，点O到直线l的距离为4，即， ∴， 在上截取，过点D作，交于A、B两点， ∴上到直线l的距离为3的点为A、B、C， 故答案为：3．    【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、平行线间的距离处处相等的性质，正确画出符合题意的图形、数形结合是解题的关键． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023九年级·全国·课后作业）如图，已知⊙O的半径为5cm，点O到直线l的距离OP为 7cm． （1）怎样平移直线l，才能使l与⊙O相切？ （2）要使直线l与⊙O相交，设把直线l向上平移 xcm，求x的取值范围 【答案】（1）将直线l向上平移2cm或12cm；（2）2cm＜x＜12cm． 【分析】（1）由切线的判定与性质和平移的性质即可得出结果； （2）由（1）的结果即可得出答案． 【详解】解：（1）∵⊙O的半径为5cm，点O到直线l的距离OP为7cm， ∴将直线l向上平移7-5=2（cm）或7+5=12（cm），才能使l与⊙O相切； （2）由（1）知，要使直线l与⊙O相交，直线l向上平移的距离大于2cm且小于12cm， ∴2cm＜x＜12cm， x的取值范围为：2cm＜x＜12cm． 【点睛】本题考查了平移的性质、直线与圆的位置关系等知识；熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键． 【题型2】（2023九年级·福建南平·自主招生）如图，直线与圆心在原点，半径为的圆有公共点，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等面积法算出坐标原点到直线的距离，根据圆与直线有交点可判断圆半径范围； 【详解】   解：过原点作交于点C， 直线与坐标轴的交点为A、B两点， 令解得，故A点坐标为： 令解得，故B点坐标为： 故直线到坐标原点的距离为：， 直线与圆有公共点， 故； 故选：C． 【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 【题型3】（2023九年级·江苏无锡·阶段练习）如图坐标系中，，以A为圆心，r为半径画圆， (1)当与坐标轴有一个公共点时，r的取值范围是 ； (2)当与坐标轴有两个公共点时，r的取值范围是 ； (3)当与坐标轴有三个公共点时，r的取值范围是 ； (4)当与坐标轴有四个公共点时，r的取值范围是 ； 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，坐标与图形和勾股定理，根据题意求出恰好与y轴相切时，当恰好与x轴相切时，当恰好经过原点时的半径长，结合题意画图图形，进行求解即可． （1）求出当恰好与y轴相切时的半径长即可得到答案； （2）求出当恰好与x轴相切时的半径长，结合图形即可得到答案； （3）求出当恰好经过原点时的半径长，结合图形可知，当恰好与x轴相切时，恰好经过原点时，此时与坐标轴有3个交点； （4）当半径大于与x轴相切时的半径长时，与x轴和y轴都有两个不同的交点，出去经过原点时的半径长，此时与坐标轴有4个交点，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，当恰好与y轴相切时，设切点为C，连接， ∴轴， ∵， ∴， 当时，必定与y轴有两个交点，当时，与x轴和y轴都无交点， ∴当与坐标轴有一个公共点时，r的取值范围是， 故答案为：； （2）解：如图所示，当恰好与x轴相切时，设切点为D，连接， ∴轴， ∵， ∴， ∴当时，与y轴有两个交点，与x轴无交点， 当时，与x轴和y轴都有两个不同的交点，即此时与坐标轴最少有3个交点， ∴当与坐标轴有两个公共点时，r的取值范围是， 故答案为：；    （3）解：由（2）可知，当时，与y轴有两个交点，与x轴有一个交点，且不是原点， ∴当时，与坐标轴有3个交点； 如图所示，当恰好经过原点时，此时与y轴有两个交点，与x轴有两个交点，但是其中有一个交点是原点，即此时与坐标轴有三个交点， ∴此时； 综上所述，当或时，与坐标轴有三个交点， 故答案为：或；    （4）解：如图所示，当或时，与y轴有两个交点，与x轴有两个交点，且不经过原点，即此时与坐标轴有4个交点， 故答案为：或．   【拓广探究创新练】 【题型1】（2023·陕西西安·一模）在中，，，．若与相离，则半径为r满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，勾股定理和含30度直角三角形的性质， 根据含30度直角三角形的性质和勾股定理得到和的长度，再根据与相离可知半径小于点C到的距离，即可进行求解． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴， ∵ ∴，解得：， ∴ 设点C到的距离为h，则， ∴， ∴， ∵若与相离， ∴ 故选：C． 【题型2】（2023九年级·全国·课后作业）如图．的半径为，、是的两条弦，，，如果以为圆心，作一个与直线相切的圆，那么： (1)所作的圆的半径是多少？ (2)所作的圆与直线有怎样的位置关系？为什么？ 【答案】(1)2 (2)相离．理由见解析 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，如果圆心到直线的距离为，圆的半径为，若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． （1）作于，连接，根据垂径定理和勾股定理求出的长，根据直线与圆的位置关系得到答案； （2）求出的长，根据直线与圆的位置关系进行判定． 【详解】（1）作于，连接， 则， 则， 答：以为圆心，作一个与直线相切的圆，所作的圆的半径是2； （2）作于， 则， ， ， 所作的圆与直线相离． 【题型3】（2014·上海普陀·二模）中，，，，如果以点为圆心，为半径，且与斜边仅有一个公共点，那么半径的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】因为要使圆与斜边只有一个公共点，所以该圆和斜边相切或和斜边相交，但只有一个交点在斜边上． 若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离． 【详解】解：根据勾股定理求得直角三角形的斜边是=13． 当圆和斜边相切时，则半径即是斜边上的高，等于； 当圆和斜边相交，且只有一个交点在斜边上时，可以让圆的半径大于短直角边而小于长直角边，则5＜r≤12． 故半径r的取值范围是r=或5＜r≤12． 故答案为r=或5＜r≤12． 【点睛】考查了直线与圆的位置关系，此题注意考虑两种情况，只需保证圆和斜边只有一个公共点即可． 模块二 圆的切线的判定与性质 切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径。 【考点1 切线的判定】 【例1.1】（2023·广东佛山·二模）如图，将直角三角板的直角顶点放在上，直角边经过圆心，则另一直角边与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据圆的切线的判定定理即可得到BC与⊙O相切． 【详解】解：相切， ∵AB，BC是直角三角板的两条直角边， ∴AB⊥BC， ∵AB经过圆心O， ∴OB⊥BC， ∵点B在⊙O上， ∴BC与⊙O相切， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握圆的切线的判定定理是解决问题的关键． 【例1.2】（2023九年级·河北邯郸·期末）有一道题目：“如图，是的直径，要使直线是的切线，需添加的条件是（写一个条件即可）．”下面是三位同学写的答案，则下列判断正确的是（    ） 甲：；乙：；丙： A．只有甲同学的答案正确 B．只有乙同学的答案正确 C．只有甲、丙同学的答案正确 D．三位同学的答案都正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线的判定．根据切线的判定定理，即可求解． 【详解】解：∵是的直径，， ∴直线是的切线，故甲同学的答案正确； ∵是的直径， ∴， 若，无法确定的度数，故乙同学的答案错误； 若， ∴， 即， ∴直线是的切线，故丙同学的答案正确； 故选：C 【例1.3】（2023九年级·全国·专题练习）如图，在中，，以为直径的与相交于点E．在上取一点D，使得．求证：是的切线． 【答案】见解析 【分析】此题考查了切线的判定定理，全等三角形的判定和性质，连接，证明，推出，即可得到结论． 【详解】证明：如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 【变式1.1】（2023九年级·北京·期末）下面给出了用三角尺画一个圆的切线的步骤示意图，但顺序需要进行调整，正确的画图步骤是 ． 【答案】②③④① 【分析】先根据直径所对的圆周角是直角确定圆的一条直径，然后根据圆的一条切线与切点所在的直径垂直，进行求解即可． 【详解】解：第一步：先根据直径所对的圆周角是直角，确定圆的一条直径与圆的交点，即图②， 第二步：画出圆的一条直径，即画图③； 第三边：根据切线的判定可知，圆的一条切线与切点所在的直径垂直，确定切点的位置从而画出切线，即先图④再图①， 故答案为：②③④①． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，切线的判定，熟知相关知识是解题的关键． 【变式1.2】（2023九年级·云南·专题练习）如图，是的平分线，是上一点，与相切于，求证：与相切． 【答案】见解析 【分析】本题考查了切线的判定与角平分线的性质．首先过点作，连接，根据切线的性质可知，由是的角平分线上一点，，根据角平分线的性质，即可得，则可得到直线的距离等于的半径，则可求证结论．此题难度不大，解题的关键是准确作出辅助线，注意掌握圆的切线的判定方法． 【详解】证明：过点作于，连接， 与相切于， ， 是的角平分线上一点，， ， 即到直线的距离等于的半径， 与相切． 【变式1.3】（2023九年级·全国·课后作业）如图，P是的直径的延长线上一点，，则当（    ）时，直线是的切线． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，直线是的切线．连接OA．结合题意可知，从而得出．再根据，即得出，从而即可求出，即证明直线是的切线． 【详解】解：当时，直线是的切线． 证明：如图，连接OA． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴直线是的切线． 故选：B． 【点睛】本题考查切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质．连接常用的辅助线是解题关键． 【考点2 切线的性质】 【例2.1】（2023·黑龙江哈尔滨·一模）如图，是⊙O的直径，切⊙O于点A，交⊙O于点C，连接，若，则的度数为 ． 【答案】/34度 【分析】本题考查了切线的性质，根据题意求出即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∵切⊙O于点A， ∴ ∴ 故答案为： 【例2.2】（2023九年级·吉林·期末）如图，OA，OB为⊙O的半径，AC为⊙O的切线，连接AB．若∠B=25°，求∠BAC的度数． 【答案】65°． 【分析】根据切线的性质得到∠OAC=90°，再根据等腰三角形的性质得到∠OAB=∠B=25°，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵AC为⊙O的切线， ∴∠OAC=90°． ∵OA=OB，∠B=25°， ∴∠OAB=∠B=25°． ∴∠BAC=∠OAC-∠OAB =90°-25° =65°． 【点睛】本题考查了切线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用． 【例2.3】（2023九年级·重庆沙坪坝·期末）如图，为的直径，与相切于点C，交的延长线于点D，若，，则线段的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理和切线的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理和切线的性质是解题的关键．连接，，求出，证明是等边三角形，求出，得到，进而求出的长即可． 【详解】解：如图，连接，． ∵为的直径，与相切于点C ，， ∴，，， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 故选：D． 【变式2.1】（2023九年级·山东聊城·期中）如图，P是⊙O外一点，过P引⊙O的切线PA、PB，若∠APB＝50°，则的度数为 ． 【答案】130°/130度 【详解】根据切线的性质得到，根据四边形的内角和定理即可得到答案． 【分析】解：∵PA、PB是⊙O的切线， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为130°， 故答案为：130°． 【点睛】题目主要考查直线与圆的位置关系，四边形内角和，理解切线的性质是解题关键． 【变式2.2】（2023九年级·重庆潼南·期末）如图，是的直径，是的切线，为切点，，垂足为，连接．若，且，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】是的直径，是的切线，为切点，，连接，，得，，可知，，由即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， 根据题意得，， ∵，，， ∴，， 在中，，， ∴，， 故选：． 【点睛】本题主要考查圆与直角三角形的综合，掌握圆的直径所对圆周角是直角，切线的性质，含特殊角的直角三角形的性质是解题的关键． 【变式2.3】（2023九年级·江苏泰州·阶段练习）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是弧BCD上不与B，D重合的点，∠A=30°． （1）求∠BED的度数； （2）点F在AB的延长线上，且DF与⊙O相切于点D，求证：BF=AB．    【答案】（1）60°；（2）见解析． 【分析】（1）如图，连接 利用圆的切线的性质，求解 利用圆周角定理可得答案； （2）由圆的性质求解可得 结合切线的性质证明为等边三角形，从而可得答案． 【详解】解：（1）如图，连接 为的切线，    （2） 为的切线， 为等边三角形， 【点睛】本题考查的是圆的切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023九年级·辽宁葫芦岛·期末）如图，∠ABC＝90°，O为射线BC上点，以点O为圆心，BO长为半径作⊙O，当射线BA绕点B按顺时针方向旋转_____度时与⊙O相切． 【答案】60或120/120或60 【分析】由于半径是，因此只需要过O作旋转后的直线的垂线，只要保证旋转后的射线与BC的夹角是30度，则O与垂足的连线就是BO长的一半，即为圆的切线，由此即可得到答案． 【详解】解：射线BA绕点B顺时针旋转60度时，记为射线BE，作OD⊥BE于D， ∵在直角三角形BOD中，∠DBO=∠ABD-∠ABE=30°， ∴，即OD为圆O的半径， ∴BE与圆O相切， 同理将射线BA绕点B顺时针旋转120度时，记为射线B，同理可证BF是圆O的切线， 故答案为：60或120． 【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，切线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握切线的判定条件． 【题型2】（2023九年级·四川德阳·期末）如图，在矩形ABCD中，，E是边AB上一点，且．已知经过点E，与边CD所在直线相切于点G（为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且，当边AD或BC所在的直线与相切时，AB的长是（    ） A．5或9 B．6或9 C．5或 D．6或 【答案】D 【分析】边BC所在的直线与⊙O相切时，过点G作GN⊥AB，垂足为N，可得EN＝NF，由，依据勾股定理求出半径r，根据计算即可；当边AD所在的直线与⊙O相切时，同理可求． 【详解】解：边BC所在的直线与⊙O相切时， 如图， 切点为K，连接OK，过点G作GN⊥AB，垂足为N， ∴EN＝NF， 又∵， ∴ 设⊙O的半径为r，由OE2＝EN2＋ON2， 得：r2＝16＋（8−r）2， ∴r＝5， ∴OK＝NB＝5， ∴EB＝9， 又，即， ∴AB＝； 当边AD所在的直线与⊙O相切时，切点为H，连接OH，过点G作GN⊥AB，垂足为N， 同理，可得OH＝AN＝5， ∴AE＝1， 又， ∴AB＝6， 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理的综合应用，解答本题的关键在于做好辅助线，利用勾股定理求出对应圆的半径． 【题型3】（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，在中，，以为直径的交于，点在线段上，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等边对等角，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接．根据等腰三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论； （2）根据切线的性质得到，求得．根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接．    ， ， ， ， ， ． ， ， 是的切线； （2）解：，为直径， 是的切线． 是的切线， ， ， ． ， 在中，， ， ． 的半径为1． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023·重庆·模拟预测）如图，已知PA与⊙O相切于点A，连接OA，AB是⊙O的弦，且AB⊥OP，垂足为点C．若AP＝3，OP＝3，则OC的长为（　　）    A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由勾股定理可知OA＝3，从而可知∠AOC＝45°，所以△OAC是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出OC的长度． 【详解】解：∵AP是⊙O的切线， ∴∠OAP＝90°， ∵AP＝3，OP＝3， ∴由勾股定理可知：OA＝=3， ∴∠AOC＝45°， ∵AB⊥OP， ∴∠OCA＝90°， ∴△AOC是等腰直角三角形，OC=AC ∵AO= ∴OC＝OA＝， 故选：A．    【点睛】此题主要考查切线的性质定理及应用，解题的关键是熟知垂径定理与切线的性质． 【题型2】（2023·天津和平·模拟预测）如图，⊙O中，AC为直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B，过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于点D，若BD＝MA，则∠AMB的大小为 度． 【答案】60． 【分析】连接AD、OB，根据切线的性质定理得到OB⊥MB，OA⊥MA，根据菱形的性质得到∠AMB＝∠D，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠D，计算即可． 【详解】解：连接AD、OB， ∵MA，MB分别切⊙O于点A，B， ∴OB⊥MB，OA⊥MA，MA＝MB， ∵OA⊥MA，BD⊥AC， ∴BD∥MA，又BD＝MA， ∴四边形BMAD为平行四边形， ∵MA＝MB， ∴四边形BMAD为菱形， ∴∠AMB＝∠D， 由圆周角定理得，∠AOB＝2∠D， ∵OB⊥MB，OA⊥MA， ∴∠AMB+∠AOB＝180°， ∴∠AMB+2∠D＝180°， ∴∠AMB＝60°， 故答案为：60． 【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、菱形的判定定理和性质定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 【题型3】（2023九年级·云南昆明·阶段练习）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的，人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器，图1是它的示意图，其中 与半圆 的直径 在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等； 与 垂直于点 ，够长． 使用方法如图2所示，若要把 三等分，只需适当放置三分角器，使 经过 的顶点 ，点 在边 上，半圆 与另一边 恰好相切，切点为 ，则，就把 三等分了． 为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明． 请你根据已知和求证，写出证明过程． 已知：如图2，点，，，在同一直线上，，垂足为点 ，，与半圆 相切于点 ． 求证：． 【答案】见解析 【分析】通过证明，得到，通过证明，得到，即可求解， 本题考查了全等三角形的性质与判定，切线的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质、判定定理． 【详解】解：， ， 又， ， ， 与半圆 相切于点 ， ， ， ， ， ． 模块三 课后作业 1．（2023·浙江宁波·模拟预测）已知平面内有与直线，的半径为，点到直线的距离为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不能判断 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．根据点到直线的距离与圆的半径大小作比较即可． 【详解】解：∵点到直线的距离为，且的半径为， ∴点到直线的距离等于的半径， ∴直线与的位置关系是相切， 故选：A． 2．（2023九年级·全国·课后作业）如图，是的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与相切于点A的条件是（    ） A． B． C．AC是直径 D．且 【答案】D 【分析】根据切线的判定定理对各个选项进行判断即可. 【详解】解：A.当，则AC为的直径，但EF不一定垂直AC，所以不能判断EF直线EF与相切； B.AC不一定是的直径，所以不能判断EF直线EF与相切； C. AC为的直径，但EF不一定垂直AC，所以不能判断EF直线EF与相切； D. 当，则AC为的直径，且，所以EF直线EF与相切. 故选D. 【点睛】本题主要考查切线的判定定理：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 3．（2023·河南漯河·二模）如图，的边与相切于点，点在上，经过圆心，且，为劣弧上一动点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理，连接，由切线的性质得出，求出所对的圆心角度数，再由圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：连接，如解图所示，则． ． ． 点在劣弧上， 所对的圆心角为． ， 故选：A． 4．（2023九年级·山东泰安·期中）的圆心到直线的距离为3cm，的半径为，将直线向垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据直线与圆的位置关系,平移使直线与相切,有两种情况,一种是移动3-1=2厘米,第二种是移动3+1=4厘米. 【详解】解:如图, 当直线向上平移至位置时,平移距离为3-1=2厘米; 当直线向上平移至位置时,平移距离为3+1=4厘米. 故答案选:D. 【点睛】本题考查了平移,直线与圆的位置关系,熟练掌握知识点并结合图形是解答关键. 5．（2023九年级·北京朝阳·期中）如图，直线A与⊙O相切于点A，AB是⊙O直径．∠EAC＝150°，D是弧BC的中点，则弦AC与AD的数量关系是（　　） A．1：2 B．1： C．： D．1：3 【答案】B 【分析】根据圆周角定理以及切线的性质即可求出答案． 【详解】解：连接OC、OD， ∵直线AE与⊙O切于点A， ∴∠BAE＝90， ∵∠EAC＝150， ∴∠BAC＝60， ∴∠AOC＝60， ∵D是弧BC的中点， ∴∠BAD＝∠BAC＝30， ∴∠AOD＝120， 设OA＝2， ∴AC＝OA＝2， 由垂径定理可知：AD＝2， ∴＝， 故选：B． 【点睛】本题考查圆的切线，涉及垂径定理、勾股定理、切线性质等知识，需要学生灵活运用所学知识． 6．（2023九年级·山东菏泽·期中）已知的半径为6，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系， 根据直线与圆的位置关系，即可求解． 【详解】解：∵的半径是6，点O到直线l的距离为d， ∴直线l与相切或相交， ∴． 故答案为：． 7．（2023九年级·全国·课后作业）如图，已知，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作，当 cm时，与OA相切. 【答案】4 【分析】过M作MN⊥OA于点N，此时以MN为半径的圆与OA相切，根据30°角所对直角边为斜边的一半可得OM的长. 【详解】解：如图，过M作MN⊥OA于点N， ∵MN=2cm，， ∴OM=4cm， 则当OM=4cm时，与OA相切. 故答案为4. 【点睛】本题主要考查切线判定，直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 8．（2023九年级·全国·课后作业）如图，中，，以为直径的交于E点，直线于F，则直线与的位置关系是 ． 【答案】相切 【分析】连接，，由为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得为直角，利用垂直的定义可得垂直于，又，根据三线合一得到为的中点，又为直径的中点，可得为三角形的中位线，根据三角形的中位线平行与第三边可得与平行，同时由与垂直，得到为直角，根据两直线平行内错角相等可得为直角，可得为圆的切线，得证． 【详解】证明：连接，， 为圆的直径， ， ，又， 为的中点，又为直径的中点， 为的中位线， ， ， 又，， ， 则为圆的切线． 故答案为：相切． 【点睛】此题考查了切线的判定，涉及的知识有：等腰三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质，以及切线的判定定理，切线的判定定理是经过直径的外端点，且与直径垂直的直线为圆的切线，熟练掌握此定理是证明的关键． 9．（2023九年级·浙江杭州·期末）如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，P为圆外一点，PC、PD均与圆相切，设∠A+∠B＝130°，∠CPD＝β，则β＝ ． 【答案】100° 【分析】连结OC，OD，则∠PCO＝90°，∠PDO＝90°，可得∠CPD＋∠COD＝180°，根据OB＝OC，OD＝OA，可得∠BOC＝180°−2∠B，∠AOD＝180°−2∠A，则可得出与β的关系式．进而可求出β的度数． 【详解】连结OC，OD， ∵PC、PD均与圆相切， ∴∠PCO＝90°，∠PDO＝90°， ∵∠PCO+∠COD+∠ODP+∠CPD＝360°， ∴∠CPD+∠COD＝180°， ∵OB＝OC，OD＝OA， ∴∠BOC＝180°﹣2∠B，∠AOD＝180°﹣2∠A， ∴∠COD+∠BOC+∠AOD＝180°， ∴180°﹣∠CPD+180°﹣2∠B+180°﹣2∠A＝180°． ∴∠CPD＝100°， 故答案为：100°． 【点睛】本题利用了切线的性质，圆周角定理，四边形的内角和为360度求解，解题的关键是熟练掌握切线的性质． 10．（2023·浙江嘉兴·一模）如图，已知与相切于点，交于点C，连结．则下列结论：，，，一定成立的是 （填序号）． 【答案】③ 【分析】此题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，等边对等角， 根据切线的性质和等边对等角，逐项求解判断即可． 【详解】∵与相切于点 ∴只有当时，，故①不符合题意； ∵与相切于点 ∴，即 ∴， ∵ ∴ ∴，故②不符合题意； 如图所示，延长交于点D，连接 ∴是的直径 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，故③符合题意． 综上所述，一定成立的是③． 故答案为：③． 11．（2023九年级·全国·专题练习）如图，的半径是5，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使． （1）点到直线距离的最大值为　　　　； （2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为　　　　． 【答案】（1）7；（2）． 【分析】（1）当点在圆外且三点共线时，点到直线距离的最大，由此即可得； （2）先确定线段是的直径，画出图形，再在中，利用勾股定理即可得． 【详解】解：（1）如图1，， 当点在圆外且三点共线时，点到直线距离的最大， 此时最大值为， 故答案为：7； （2）如图2，是直线与的公共点，当线段的长度最大时，线段是的直径， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，正确的作出图形是解题的关键． 12．（2023·山东临沂·模拟预测）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点D，连接，过D作，垂足为E． (1)求证：； (2)求证：为的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理． （1）先利用圆周角定理得到，再根据等腰三角形的性质得； （2）连接，如图，先证明为的中位线，则，再利用得到，然后根据切线的判定定理得到结论． 【详解】（1）证明：∵为直径， ∴， ∵ ∴； （2）证明：连接，如图， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴ ∵是半径 ∴为的切线． 13．（2023九年级·江苏泰州·阶段练习）如图，在 中，，与相切于点，为上一点，经过点，的分别交，于点，． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，可得，根据切线的性质可得，进而得出，则，根据等量代换即可得证； （2）过点作，交于点，根据垂径定理可得，故，根据矩形的判定和性质，即可求解． 【详解】（1）解：连接，如图， 是的切线， ， 又， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：作，如图， ， ， 由（）知， 四边形是矩形， ． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质、圆的垂径定理，矩形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定和性质，解题的关键是准确作出辅助线． 14．（2023九年级·全国·专题练习）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于．    (1)求证：是的切线； (2)若，，则　　． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接、，根据等腰三角形的性质可得是的中位线，进而可得是的切线； （2）根据30度角的直角三角形的性质即可得结果． 【详解】（1）证明：连接、，    为的直径， ， ， 点是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：在中，，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，圆周角定理，解决本题的关键是综合运用以上知识． 15．（2023·山东枣庄·二模）已知：如图，过正方形的顶点，且与边相切于点．点是与的交点，连接，，，点是延长线上一点，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)如果正方形边长为，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据四边形是正方形，可得是的直径，根据圆周角定理可得，再根据，可得，可证，由此即可求证； （2）如图所示，连接，过作于，可得四边形是矩形，可求出的长，设，可用含的式子表示，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴是的直径， ∵，， ∴， ∴，即 ∴是的切线． （2）解：如图所示，连接， ∵与相切于点，即是的切线， ∴，且（圆的半径相等）， 过作于，则四边形是矩形，， ∴， ∵，即分别是的中点， ∴， 设， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆与正方形的综合，掌握正方形的性质，切线的证明和性质，勾股定理等知识是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$