暑假结业测试卷（范围：第一、二、三章）（提高篇）-【暑假预科讲义】2024年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（人教A版2019选择性必修第一册）

暑假结业测试卷（范围：第一、二、三章）（提高篇） 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）（23-24高二上·四川巴中·阶段练习）已知，，，若，，三向量共面，则实数λ等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（5分）（23-24高二上·广东潮州·期中）已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　） A． B． C． D．以上都不对 3．（5分）（23-24高二上·福建厦门·期中）已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）已知直线和平面，且，的方向向量为，平面的一个法向量为，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 5．（5分）（2024·陕西·模拟预测）直线过双曲线的右焦点，且与的左、右两支分别交于A，B两点，点关于坐标原点对称的点为，若，且，则的离心率为（    ） A．3 B． C．2 D． 6．（5分）（23-24高三上·全国·阶段练习）若点M在上，点P在直线上，则下列说法不正确的是（    ） A．最小值为 B．若与圆C相切，则最小值为1 C．最大值为 D．最小值为 7．（5分）（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，则下列结论错误的是（    ） A． B．的面积等于 C．的离心率等于 D．直线的斜率为 8．（5分）（2024·四川雅安·一模）如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），点是线段的中点，设与平面所成角为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9．（5分）（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）给出下列命题，其中正确的有（    ） A．空间任意三个向量都可以作为一组基底 B．已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底 C．、、、是空间四点，若、、不能构成空间的一组基底，则、、、共面 D．已知是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 10．（5分）（23-24高二上·贵州黔南·期中）已知圆：，则下列说法正确的是（    ） A．圆的半径为16 B．圆截轴所得的弦长为 C．圆与圆：相外切 D．若圆上有且仅有两点到直线的距离为1，则实数的取值范围是 11．（5分）（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知左、右焦点分别为，的椭圆的长轴长为4，过的直线交椭圆于P，Q两点，则（    ） A．离心率 B．若线段垂直于x轴，则 C．的周长为8 D．的内切圆半径为1 12．（5分）（23-24高二上·山东聊城·期末）如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是的中点，是棱上的动点，则（    ）    A． B．存在点，使平面 C．存在点，使直线与所成的角为 D．点到平面与平面的距离和为定值 三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．（5分）（2023高二上·全国·专题练习）设空间向量，，若，则 . 14．（5分）（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）设圆的圆心为C，直线过，且与圆C交于A，B两点，若，则直线方程为 ． 15．（5分）（23-24高二下·上海·期末）点是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于的任意一点，若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为 . 16．（5分）（23-24高二上·北京丰台·期末）如图所示，在棱长为2的正方体中，是线段上的动点，则下列说法正确的有 . ①平面平面； ②的最小值为； ③若直线与所成角的余弦值为，则； ④若是的中点，则到平面的距离为. 四．解答题（共6小题，满分70分） 17．（10分）（23-24高二上·福建·期中）已知向量，O为坐标原点，点． (1)求； (2)若点E在直线AB上，且，求点E的坐标． 18．（12分）（23-24高二上·北京·期中）已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 19．（12分）（2024高二·江苏·专题练习）已知椭圆C关于x轴，y轴都对称，并且经过两点，． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l经过椭圆C的左焦点且垂直于椭圆的长轴，与椭圆C交于D，E两点，求的面积． 20．（12分）（23-24高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，圆的半径为，其圆心在射线上，且 (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点， 且与圆相切，求直线的方程； (3)自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线所在直线的方程. 21．（12分）（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）已知双曲线的焦距为4，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，证明：直线过定点． 22．（12分）（23-24高二下·江苏扬州·期中）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为. (1)求证：平面； (2)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假结业测试卷（范围：第一、二、三章）（提高篇） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）（23-24高二上·四川巴中·阶段练习）已知，，，若，，三向量共面，则实数λ等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据题意，存在实数使得，列出方程组，即可求解. 【解答过程】若向量，，共面，则，其中， 即， 所以， ∴解得 故选：A. 2．（5分）（23-24高二上·广东潮州·期中）已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　） A． B． C． D．以上都不对 【解题思路】过点C的直线l与线段AB有公共点，利用数形结合，得到直线l的斜率或，进而求解即可 【解答过程】如图，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率或， 而，于是直线l的斜率或， 所以直线l斜率k的取值范围是， 故选：C. 3．（5分）（23-24高二上·福建厦门·期中）已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义把问题转化为求取得最小值，数形结合求解即可. 【解答过程】抛物线的焦点为，准线为， 设点在准线上的射影为，如图，    则根据抛物线的定义可知， 求的最小值，即求的最小值， 显然当，，三点共线时取得最小值， 此时点的横坐标为，则，解得，即. 故选：D. 4．（5分）（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）已知直线和平面，且，的方向向量为，平面的一个法向量为，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【解题思路】利用空间向量法解决线面平行，得到，再利用代换1法，来求最小值. 【解答过程】由得：， 所以 因为，所以， 所以，当且仅当等号成立， 故选：A. 5．（5分）（2024·陕西·模拟预测）直线过双曲线的右焦点，且与的左、右两支分别交于A，B两点，点关于坐标原点对称的点为，若，且，则的离心率为（    ） A．3 B． C．2 D． 【解题思路】借助双曲线定义与双曲线的对称性，结合题意可得，，利用勾股定理计算即可得解. 【解答过程】如图所示，取双曲线左焦点，设，则， 由双曲线定义可得，又、关于原点对称， 故，，， 则， 由，故，故有， 化简可得，即有，， 由，则有，即， 即. 故选：B. 6．（5分）（23-24高三上·全国·阶段练习）若点M在上，点P在直线上，则下列说法不正确的是（    ） A．最小值为 B．若与圆C相切，则最小值为1 C．最大值为 D．最小值为 【解题思路】根据点到直线距离求出圆上点到直线距离的最值判断A,B选项，再结合正弦值判断C,D选项. 【解答过程】圆心到距离，所以最小值为，所以A正确； ，所以当取最小值时，最小，则最小值为1，所以B正确; 在直线上任取一点P，当与圆相切时，最大， 又因为点P是直线上的动点，所以取最小值时，最大为，所以C正确，D选项错误 故选:D. 7．（5分）（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，则下列结论错误的是（    ） A． B．的面积等于 C．的离心率等于 D．直线的斜率为 【解题思路】由线段比例关系以及椭圆定义可得，借助勾股定理逆定理判断A；由割补法求出三角形面积判断B；求出直线的斜率并计算的离心率判断CD. 【解答过程】由，不妨设，则， 又，则有，由椭圆定义得， 因此，即点为椭圆的上顶点或下顶点，如图，    显然，则，A正确； 于是为等腰直角三角形，且，则的面积为： ，B正确； ，直线的斜率，有，D错误， 椭圆离心率，C正确. 故选：D. 8．（5分）（2024·四川雅安·一模）如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），点是线段的中点，设与平面所成角为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】以点为原点建立空间直角坐标系，设，利用向量法求解即可. 【解答过程】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 设，不妨设， 则， 故， ， 设平面的法向量为， 则，可取， 则， 所以， 当时，， 当时，， 当，即时，， 综上所述，的最小值是. 故选：A. 二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9．（5分）（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）给出下列命题，其中正确的有（    ） A．空间任意三个向量都可以作为一组基底 B．已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底 C．、、、是空间四点，若、、不能构成空间的一组基底，则、、、共面 D．已知是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 【解题思路】根据空间向量组成基底的条件逐项判断即可. 【解答过程】对于A项，空间任意的三个不共面的向量才可以作为一组基底，故A错误； 对于B项，若，则、与任何向量都共面，故不能构成空间的一组基底，故B正确； 对于C项，若、、不能构成空间的一组基底，则、、共面， 又、、过相同的点，则、、、四点共面，故C正确； 对于D项，若，，共面， 则，可知，，共面， 与为空间向量的一组基底相矛盾，故，，可以构成空间向量的一组基底. 故选：BCD. 10．（5分）（23-24高二上·贵州黔南·期中）已知圆：，则下列说法正确的是（    ） A．圆的半径为16 B．圆截轴所得的弦长为 C．圆与圆：相外切 D．若圆上有且仅有两点到直线的距离为1，则实数的取值范围是 【解题思路】先运用配方法将一般式方程化为标准方程，可确定其圆心个半径，可判断A；根据点到弦的距离可求出弦长，判断B；圆心距和半径的关系可确定圆与圆的位置关系，判断C；圆心到直线的距离与半径之间的数量关系可确定圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，判断D. 【解答过程】由圆，可得圆的标准方程为， 所以圆的半径为4，故A错误； 令，得，设圆与轴交点的横坐标分别为，， 则，是的两个根，所以，， 所以，故B正确； 两圆圆心距，故C正确； 由圆上有且仅有两点到直线的距离为1， 则，解得或， 即实数的取值范围是，故D错误. 故选：BC. 11．（5分）（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知左、右焦点分别为，的椭圆的长轴长为4，过的直线交椭圆于P，Q两点，则（    ） A．离心率 B．若线段垂直于x轴，则 C．的周长为8 D．的内切圆半径为1 【解题思路】首先由题意把参数求出来，根据平方关系、离心率公式运算即可判断A；由题意将代入椭圆方程求出弦长即可判断B；由椭圆定义即可判断C；由的周长是定值，但面积会随着直线的倾斜程度而变化，由此即可判断D. 【解答过程】对于A，由题意椭圆的长轴长为4，所以，解得， 所以，离心率为，故A错误； 对于B， 由A可知椭圆方程为，由题意若直线的方程为，将其代入椭圆方程可得，即，故B正确； 对于C，的周长为，故C正确； 对于D，由题意直线斜率不为0且经过点，不妨设直线， 将其与椭圆方程联立消去得， ， 一方面， 另一方面，由C选项分析可知，不妨设的内切圆的半径为，所以， 对比两式可知，即与有关，故D错误. 故选：BC. 12．（5分）（23-24高二上·山东聊城·期末）如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是的中点，是棱上的动点，则（    ）    A． B．存在点，使平面 C．存在点，使直线与所成的角为 D．点到平面与平面的距离和为定值 【解题思路】根据已知条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法逐一判断各个选项即可. 【解答过程】根据已知条件，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴 建立空间直角坐标系，设，则，，， ，，，； 由是棱上的动点，设，， 因为，，所以， 即，故A正确； 当为中点时，是的中位线，所以， 又平面，平面，所以平面，故B正确； ，，若存在点， 使直线与所成的角为， 则， 化简得，无解，故C错误； 由题意可知：点到平面的距离， 为平面的法向量，所以点到平面的距离为， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．（5分）（2023高二上·全国·专题练习）设空间向量，，若，则 9 . 【解题思路】先利用空间向量共线定理，得到，由此求出和的值，得到，的坐标，求出 的坐标，再利用向量模的计算公式求解即可． 【解答过程】 因为空间向量，，且， 所以设，即 可得，解得，， 所以，，则， 所以. 故答案为：. 14．（5分）（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）设圆的圆心为C，直线过，且与圆C交于A，B两点，若，则直线方程为 或 ． 【解题思路】求出圆心的坐标，按直线的斜率是否存在，结合圆的弦长公式求解即得. 【解答过程】圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离为1，满足，直线符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离，解得，此时直线：， 所以直线的方程为或. 故答案为：或. 15．（5分）（23-24高二下·上海·期末）点是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于的任意一点，若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为 . 【解题思路】由斜率公式、点的坐标满足的条件等式可得，结合离心率公式即可求解. 【解答过程】由题意方程可知，，，设， 所以，，则，整理得：，①， 又，得，即，②， 联立①②，得，即，解得. 故答案为：. 16．（5分）（23-24高二上·北京丰台·期末）如图所示，在棱长为2的正方体中，是线段上的动点，则下列说法正确的有 ①②④ . ①平面平面； ②的最小值为； ③若直线与所成角的余弦值为，则； ④若是的中点，则到平面的距离为. 【解题思路】根据正方体的性质有平面，进而根据面面垂直的判定定理，即可判断①；根据线面垂直的性质得出，则，推出的最小值，即可判断②；建立空间直角坐标系，设，，表示出，结合已知列出方程，即可判断③；先根据线面平行的判定定理得出判定平面，则到平面的距离，即转化为A到平面的距离.根据向量法，求解得出距离，即可判断④. 【解答过程】对于①，在正方体中，有平面，平面， 所以平面平面，故①正确； 对于②，如图，连接， 因为平面，平面， 所以，，则， 所以，当最小时，有最小值. 显然，当时，最小. 因为， 所以当点与重合时，有最小值2，此时取最小值，故②正确； 对于③，如图，以、、所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，设，， 则，. 假设存在点，使直线与所成角的余弦值为， 则， 解得（舍去），或， 则此时点是中点，，故③错误； 对于④，由，且平面，平面， 知平面， 则到平面的距离，即为A到平面的距离. 是的中点，故，，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，，故， 所以点A到平面的距离为， 即到平面的距离为，④正确. 故答案为：①②④. 四．解答题（共6小题，满分70分） 17．（10分）（23-24高二上·福建·期中）已知向量，O为坐标原点，点． (1)求； (2)若点E在直线AB上，且，求点E的坐标． 【解题思路】（1）由空间向量坐标运算计算可得； （2）根据题意先求出，在利用，计算可得. 【解答过程】（1）， 则， 故. （2）点E在直线AB上，， 则可设， ∵， ∴，即，解得， 故点E的坐标为． 18．（12分）（23-24高二上·北京·期中）已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 【解题思路】（1）先确定，然后通过两点的坐标确定方程； （2）先确定直线的斜率，然后通过点的坐标和斜率确定方程. 【解答过程】（1）由于，，故，而，故的方程是，即. （2）由于直线的斜率是，且不在直线上. 所以经过点且与直线平行的直线方程为，即. 19．（12分）（2024高二·江苏·专题练习）已知椭圆C关于x轴，y轴都对称，并且经过两点，． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l经过椭圆C的左焦点且垂直于椭圆的长轴，与椭圆C交于D，E两点，求的面积． 【解题思路】 （1）设出椭圆方程 ，代入点的坐标，求出椭圆方程； （2）在第一问的基础上，得到D､E两点的坐标，从而求出三角形的面积. 【解答过程】（1） 依题意，设椭圆方程为： ， 则有，解得， 所以椭圆方程为. （2） 由（1）知，椭圆的左焦点为，直线l的方程为：， 将代入中，解得：，不妨设， 则，而点到直线的距离为， 所以的面积. 20．（12分）（23-24高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，圆的半径为，其圆心在射线上，且 (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点， 且与圆相切，求直线的方程； (3)自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线所在直线的方程. 【解题思路】（1）设圆心，，由距离公式求出，即可得到圆的方程； （2）分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，解得即可； （3）取圆关于轴的对称的圆，可知直线与圆相切，根据切线结合点到直线的距离公式运算求解. 【解答过程】（1）设圆心，， 由于，所以，所以， 即圆心的坐标为，则圆的方程为； （2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 圆心到直线的距离，此时满足直线和圆相切； 若直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为， 即， 因为直线和圆相切， 所以圆心到直线的距离， 即，平方得， 即，此时直线的方程为，即， 所以直线的方程为或； （3）取圆关于轴的对称的圆，即圆心，半径， 可知直线与圆相切， 若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离，不合题意； 所以直线的斜率存在，设为，则，即， 则，整理得，解得或， 所以直线的方程为或. 21．（12分）（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）已知双曲线的焦距为4，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，证明：直线过定点． 【解题思路】（1）由题意得，再将代入双曲线方程，结合可求出，从而可求出双曲线方程 （2）设直线方程为，，将直线方入双曲线方程化简后利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可表示点M的坐标，再利用表示出点N的坐标，再表示出直线MN的方程，可求得直线MN过定点，从而可求得答案. 【解答过程】（1）由题意得，得，所以， 因为点在双曲线上，所以，解 得， 所以双曲线方程为． （2），设直线方程为， ， 由，得， 则， 所以，所以的中点， 因为，所以用代换，得， 当，即时，直线的方程为，过点， 当时，， 直线的方程为， 令，得， 所以直线也过定点． 22．（12分）（23-24高二下·江苏扬州·期中）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为. (1)求证：平面； (2)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 【解题思路】（1）利用线面垂直、面面垂直的性质定理与判定定理可证； （2）利用空间向量法求点到面的距离； （3）利用空间向量求出二面角的余弦值，再借助函数性质求值域. 【解答过程】（1）连接，因为为等边三角形，为中点，则， 由题意可知平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则平面，可得， 由题设知四边形为菱形，则， 因为，分别为，中点，则，可得， 且，，平面，所以平面. （2）在平面内的射影为，所以平面，由题设知四边形为菱形，是线段的中点，所以为正三角形， 由平面，平面，可得，， 又因为为等边三角形，为中点，所以， 则以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 可得，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，可得， 所以点到平面的距离为. （3）因为， 设，，则， 可得，，，即， 可得， 由（2）知：平面的一个法向量 设平面的法向量，则， 令，则，，可得； 则， 令，则， 可得， 因为，则，可得， 所以锐二面角的余弦值的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$