精品解析：2024年山东省东营市东营区晨阳学校一模数学试题

晨阳学校九年级模拟第一次测试 数学试题 一、选择题（本大题共10小题，共30分．） 1. 下列各数中属于无理数的是　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据无理数、有理数的定义进行判定即可得出答案． 【详解】，是有理数， 是无理数， 故选C． 【点睛】本题考查了无理数的定义.牢记无限不循环小数为无理数是解题的关键. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据合并同类项的法则、积的乘方运算法则和完全平方公式逐项计算，进而可得答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项运算错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故本选项运算错误，不符合题意； C、，故本选项运算正确，符合题意； D、，故本选项运算错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项、积的乘方和完全平方公式等知识，属于基础题目，熟练掌握上述知识是解题的关键． 3. 如图，小聪把一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，并测得∠1=25°，则∠2的度数是 A. 15° B. 25° C. 35° D. 45° 【答案】C 【解析】 【详解】分析：如图，∵直尺的两边互相平行，∠1=25°， ∴∠3=∠1=25°． ∴∠2=60°﹣∠3=60°﹣25°=35°． 故选C． 4. 若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率是(　 　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】这五种图形中，平行四边形、菱形和正六边形是中心对称图形， 所以这五种图形中随机抽取一种图形， 则抽到的图形属于中心对称图形的概率=． 故选C 5. 如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在高的天桥两端分别修建了长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用科学计算器求锐角度数，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．先在 中，根据正弦的定义求出，再利用科学计算器求解即可得． 【详解】解：由图可知，在 中，，， 则， 所以用科学计算器求这条斜道的倾斜角的度数时，按键的顺序为选项A， 故选：A． 6. 如图，菱形 中，点坐标为，点坐标为，点在轴正半轴上，以点为位似中心，在 轴的下方作菱形 的位似图形菱形，并把菱形 的边长放大到原来的倍，则点的对应点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作轴于，过点作轴于，根据题意求出位似比，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：过点作轴于，过点作轴于， 则， ， 把菱形 的边长放大到原来的倍得到菱形， ， 点坐标为，点坐标为， ， ， ， 点的横坐标是， 故选： D． 【点睛】本题考查的是位似图形，平行线分线段成比例，掌握位似比的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 7. 如图，等腰三角形中，，按以下要求作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交于D,E两点；②分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F；③作射线，交于点M；④分别以A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于G,H两点；⑤作直线，交于点N，连接．则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图过程可得AM平分∠BAC，GH是边AB的垂直平分线，由等腰三角形三线合一，得AM是边BC上的中线，可得MN是△ABC的中位线，进而可得MN的长． 【详解】解：根据作图过程可知：AM平分∠BAC，GH是边AB的垂直平分线， ∵AB＝AC＝6，AM平分∠BAC， ∴AM是边BC上的中线， ∴BM＝CM， ∵GH是边AB的垂直平分线， ∴AN＝BN， ∴MN是△ABC的中位线， ∴MNAC＝3． 故选：B． 【点睛】此题考查了作图﹣复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知角平分线的作法是解题的关键． 8. 如图，等腰直角△ABC中，AB=AC=8，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D，则阴影部分面积为（结果保留π）（ ） A. 24﹣4π B. 32﹣4π C. 32﹣8π D. 16 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：连接AD，OD， ∵等腰直角△ABC中， ∴∠ABD=45°． ∵AB是圆的直径， ∴∠ADB=90°， ∴△ABD也是等腰直角三角形， ∴． ∵AB=8， ∴AD=BD=4， ∴S阴影=S△ABC-S△ABD-S弓形AD=S△ABC-S△ABD-（S扇形AOD-S△ABD） =×8×8-×4×4-+××4×4 =16-4π+8=24-4π． 故选A． 考点： 扇形面积的计算． 9. 如图，是抛物线（）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为B（－1，－3），与 轴的一个交点为A（－4，0）．直线（）经过点A和点B．以下结论：①；②；③抛物线与 轴的另一个交点是（4，0）；④方程有两个不相等的实数根；⑤；⑥不等式的解集为．其中结论正确的是（ ） A. ①④⑥ B. ②⑤⑥ C. ②③⑤ D. ①⑤⑥ 【答案】B 【解析】 【分析】观察图象得：抛物线的对称轴为直线 ，可得到 ；进而得到 同号，再有抛物线开口向上，与 轴交于负半轴，可得 ， ，从而得到 ；再由抛物线的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点为A（－4，0），可得线与 轴的另一个交点为；然后根据抛物线的顶点坐标为B（－1，－3），可得抛物线与直线只有一个交点，从而得到方程有两个相等的实数根；再由观察图象得：当 时， ，根据抛物线的增减性，可得：；最后根据观察图象得：当 时，直线的图象位于抛物线的上方，可得不等式的解集为，即可求解． 【详解】解：观察图象得：抛物线的对称轴为直线 ， ∴ ，即 ，故①错误； ∵， ∴，即 同号， ∵抛物线开口向上，与 轴交于负半轴， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点为A（－4，0）， ∴抛物线与 轴的另一个交点为 ，故③错误； ∵抛物线的顶点坐标为B（－1，－3）， ∴当时 ， ， 即抛物线与直线只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根，故④错误； 观察图象得：当 时， ， 在对称轴的右侧，抛物线的图象自左向右呈上升趋势， 即此时 随 的增大而增大， 又当 时， ， ∴，故⑤正确； 观察图象得：当 时，直线的图象位于抛物线的上方， ∴不等式的解集为，故⑥正确； ∴正确的有②⑤⑥． 故选：B 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 10. 如图，在矩形 中， 、相交于点O，， 平分， 与相交于点E、与相交于点F，则下列结论中：①；②；③；④若，则；⑤若的面积是矩形 面积的，则，正确的有（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ③④⑤ D. ②③④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，，再利用角平分线的性质可得，从而可得，再根据，可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质，，从而可得，，即可判断①；根据等腰三角形的两个底角相等，以及三角形内角和定理，即可判断②；根据三角形的内角和定理可求出的度数，从而求出的度数，进而可得，然后证明，再利用相似三角形的性质即可判断③；过点E作，垂足为G，根据平角定义可求出，从而可得是等腰直角三角形，进而求出的长，然后根据，求出，从而求出的长，即可判断④，过点O作，垂足为J，利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得是的中位线，进而可得，然后再根据已知的面积是矩形 面积的，进行计算即可判断⑤． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴，，，， ∴， ∵ 平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴，故①不正确； ∵，， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； 过点E作，垂足为G， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 过点O作，垂足为J， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵的面积是矩形 面积的， ∴， ∵， ∴， ∴，故⑤正确； 所以，上列结论中正确的有②③④⑤． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形的中位线的定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，共28分只要求填写最后结果，11－14每题3分，15－18题每题4分．） 11. 如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨．把数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：用科学记数法表示, 故答案是：． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 13. 某超市销售五种饮料，单价分别为（单位：元）3，3，x，5，7，若这组数据的平均数是2x，则这组数据的方差为___． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可列等式3+3+x+5+7=2x×5，由此可知x的值，进而可平均数，由结合平均数可计算出方差． 【详解】∵3，3，x，5，7，这组数据的平均数是2x， 3+3+x+5+7=2x×5， 解得：x=2， 故平均数为：4， 故这组数的方差为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查方程思想，求一组数据的平均数，方差，能够熟练求出一组数据的方差是解决本题的关键． 14. 如图，在菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB，若NF=NM=2，ME=3，则AN=________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：设AN=x， ∵四边形ABCD是菱形，∴∠MAE=∠NAF， ∵∠AEM=∠AFN=90°，∴△MAE∽△NAF， ∴，∴，∴x=4，∴AN=4， 故答案为：4． 15. 若不等式组无解，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先解一元一次不等式组，再根据不等式组无解即可得出a的取值范围． 【详解】解：解一元一次不等式组， 得：， ∵不等式组无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法、一元一次不等式的解法，会根据不等式组无解求解参数a的取值范围是解答的关键． 16. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G，若DE＝2cm，OF＝3cm，则点A到DF的距离为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据正方形的性质和点F为AE中点，可证得，OF垂直平分AD，，可求得OG=2，AD=CD=4，DG=2，再根据勾股定理可求得，过点A作AH⊥DF，交DF的延长线于点H，最后由△ADF的面积即可求得． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AO=CO，即O为AC中点， ∵F为AE中点， ∴，OF是△ACE的中位线，点G是AD的中点， ∵， ∴ ，即OF垂直平分AD， ∴AG=GD，， ∵OF=3， ∴OG=OF-FG=3-1=2(cm)， ∵O为AC中点，G为AD中点， ∴CD=2OG=4(cm)， ∴AD=CD=4cm， ∴DG=2cm， ∵， ∴, 过点A作AH⊥DF，交DF的延长线于点H， ∴△ADF的面积为：， ∴. 故答案为：． 【点晴】本题考查了正方形的性质，三角形中位线的判定与性质，勾股定理，作出辅助线是解决本题的关键． 17. 如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，由轴对称的性质及90°的圆周角所对的弦是直径，可知线段PE+PM的最小值为OE'的值减去以AB为直径的圆的半径OM，根据正方形的性质及勾股定理计算即可． 【详解】解：作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，如图： ∵动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM， ∴点M在以AB为直径的圆上，OM=AB=1， ∵正方形ABCD的边长为2， ∴AD=AB=2，∠DAB=90°， ∵E是AD的中点， ∴DE=AD=×2=1， ∵点E与点E'关于DC对称， ∴DE'=DE=1，PE=PE'， ∴AE'=AD+DE'=2+1=3， 在Rt△AOE'中，， ∴线段PE+PM的最小值为： PE+PM=PE'+PM=ME'=OE'-OM =． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 18. 如图，一次函数的图象为直线l，菱形，、，…按图中所示的方式放置，顶点 ，，，，…均在直线l上，顶点O，，，…均在x轴上，则点的纵坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意推导一般性规律，然后作答即可． 【详解】解：如图， 当，，则， 当，，则， ∵菱形，菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 为的中点，则， ∵菱形， ∴平分，， ∴，， 当，，则， 同理可求，， 当，，则， 同理可求，，…… ∴的纵坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，菱形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识．解题的关键在于推导一般性规律． 三、解答题 19. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、有理数的乘方可以解答本题； （2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题. 本题考查分式的化简求值、零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、有理数的乘方，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法. 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时，原式. 20. 为了解全校学生上学的交通方式，该校九年级（8）班的5名同学联合设计了一份调查问卷，对该校部分学生进行了随机调查．按A（骑自行车）、B（乘公交车）、C（步行）、D（乘私家车）、E（其他方式）设置选项，要求被调查同学从中单选．并将调查结果绘制成条形统计图1和扇形统计图2，根据以上信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的总人数是 人，并把条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，“步行”的人数所占的百分比是 ，“其他方式”所在扇形的圆心角度数是 ； （3）已知这5名同学中有2名女同学，要从中选两名同学汇报调查结果．请你用列表法或画树状图的方法，求出恰好选出1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）300，作图见试题解析；（2）29.3%，24°；（3）． 【解析】 【分析】（1）用上学方式为“骑自行”的学生数除以所占的百分比即可求出调查的学生总数；根据总学生数求出上学方式为“步行”的学生数，补全条形统计图即可； （2）由×100%可以求得在扇形统计图中 “步行”的人数所占的百分比；同理求得“其他方式”所占的百分比，进而求得“其他方式”所在扇形的圆心角度数； （3）画出树状图，根据概率公式计算即可． 【详解】（1）接受调查的总人数是：54÷18%=300（人），则步行上学的人数为：300﹣54﹣126﹣12﹣20=88（人）．故答案为300； （2）在扇形统计图中，“步行”的人数所占的百分比是：×100%≈29.3%； “其他方式”所在扇形的圆心角度数是：360°××100%=24°．故答案为29.3%，24°； （3）画树状图： 由图可知，共有20种等可能的结果，其中一男一女有12种结果；则P（一男一女）==． 21. 如图，AB是的直径，点P是延长线上一点，过点P作的切线，切点是C，过点C作弦 于E，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的切线， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，即，得到根据等腰三角形的性质得到，，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）如图2，连接 ，根据圆周角定理得到，设，，根据勾股定理得到，，，求得，，，解直角三角形即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，连接 ， ∵是的直径， ∴， ∴， 设，， 则由勾股定理得：， 解得：，，， ∵， 即， ∴，，， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 【点睛】此题考查圆的切线的判定与性质、勾股定理等，解直角三角形的相关计算，圆周角定理，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线解题. 22. 2013年4月20日，四川雅安发生7.0级地震，给雅安人民的生命财产带来巨大损失．某市民政部门将租用甲、乙两种货车共16辆，把粮食266吨、副食品169吨全部运到灾区．已知一辆甲种货车同时可装粮食18吨、副食品10吨；一辆乙种货车同时可装粮食16吨、副食11吨． （1）若将这批货物一次性运到灾区，有哪几种租车方案？ （2）若甲种货车每辆需付燃油费1500元；乙种货车每辆需付燃油费1200元，应选（1）中的哪种方案，才能使所付的费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】 （1）设租用甲种货车x辆，租用乙种货车为（16﹣x）辆， 根据题意得，， 由①得，x≥5，由②得，x≤7， ∴，5≤x≤7． ∵x为正整数， ∴x=5或6或7． ∴有3种租车方案： 方案一：租甲种货车5辆，乙种货车11辆； 方案二：租甲种货车6辆，乙种货车10辆； 方案三：租甲种货车7辆，乙种货车9辆． （2）租甲种货车5辆，乙种货车11辆，使所付的费用最少，最少费用是20700元 【解析】 【分析】（1）设租用甲种货车x辆，表示出租用乙种货车为（16﹣x）辆，然后根据装运的粮食和副食品数不少于所需要运送的吨数列出一元一次不等式组，求解后再根据x是正整数设计租车方案． （2）根据所付的费用等于两种车辆的燃油费之和列式整理，再根据一次函数的增减性求出费用的最小值． 【详解】解：（1）略 （2）由（1）知，租用甲种货车x辆，租用乙种货车为（16﹣x）辆，设两种货车燃油总费用为y元， 由题意得，y=1500x+1200（16﹣x）=300x+19200， ∵300＞0， ∴当x=5时，y有最小值，y最小=300×5+19200=20700元． ∴租甲种货车5辆，乙种货车11辆，使所付的费用最少，最少费用是20700元 23. 如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=． （1）求边AB的长； （2）求反比例函数的解析式和n的值； （3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长． 【答案】（1）2；y=，n=；OG=． 【解析】 【详解】（1）∵点E（4，n）在边AB上， ∴OA=4， 在Rt△AOB中， ∵tan∠BOA=， ∴AB=OA×tan∠BOA=4×=2； （2）根据（1），可得点B的坐标为（4，2）， ∵点D为OB的中点， ∴点D（2，1） ∴=1， 解得：k=2， ∴反比例函数解析式为y=， 又∵点E（4，n）在反比例函数图象上， ∴=n， 解得n=； （3）如图，设点F（a，2）， ∵反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F， ∴=2， 解得a=1， ∴CF=1， 连接FG，设OG=t，则OG=FG=t，CG=2﹣t， 在Rt△CGF中，GF2=CF2+CG2，即t2=（2﹣t）2+12， 解得t=， ∴OG=t=． 24. 如图①，抛物线经过点，点和点，它的对称轴为直线l，顶点为D． （1）求该抛物线的表达式； （2）如图②，点P是直线 下方该抛物线上的一个动点，连接，当的面积取得最大值时，在抛物线对称轴l上找一点M，使的值最大，求点M的坐标，并求出这个最大值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，几何图形面积的计算方法，二次函数最值的计算方法是解题的关键． （1）将点，点，点代入，即可求解； （2）过P点作x轴垂线交于点Q，直线的解析式为，设，则，，当时，有最大值，即可求P点坐标； 【小问1详解】 解：将点，点，点代入， 得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过P点作x轴垂线交 于点Q，设直线 的解析式为， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，有最大值， ∴， ∵，点B关于对称轴的对称点为， ∴，与对称轴的交点即为， ∴，， ∴． 25. 如图，已知∠DAC＝90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于E． （1）如图1，猜想∠QEP＝　 　； （2）如图2，若当∠DAC是锐角时，其他条件不变，猜想∠QEP的度数，并证明； （3）如图3，若∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，且AC＝6，求BQ的长． 【答案】（1）60°； （2）解：∠QEP＝60°．证明如下： 如图2，∵△ABC是等边三角形， ∴AC=BC，∠ACB=60°， ∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ， ∴CP=CQ，∠PCQ=60°， ∴∠ACB+∠BCP=∠BCP+∠PCQ， 即∠ACP=∠BCQ， 在△ACP和△BCQ中， ， ∴△ACP≌△BCQ(SAS)， ∴∠APC=∠Q， ∵∠1=∠2， ∴∠QEP=∠PCQ=60°；  （3）BQ＝3﹣3． 【解析】 【分析】（1）如图1，先根据旋转的性质和等边三角形的性质得出∠PCA=∠QCB，进而可利用SAS证明△CQB≌△CPA，进而得∠CQB=∠CPA，再在△PEM和△CQM中利用三角形的内角和定理即可求得∠QEP=∠QCP，从而完成猜想； （2）以∠DAC是锐角为例，如图2，仿（1）的证明思路利用SAS证明△ACP≌△BCQ，可得∠APC=∠Q，进一步即可证得结论； （3）仿（2）可证明△ACP≌△BCQ，于是AP=BQ，再求出AP的长即可，作CH⊥AD于H，如图3，易证∠APC=30°，△ACH为等腰直角三角形，由AC=4可求得CH、PH的长，于是AP可得，问题即得解决． 【详解】解：(1)∠QEP=60°； 证明：连接PQ，如图1，由题意得：PC=CQ，且∠PCQ=60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∴∠PCA=∠QCB， 则在△CPA和△CQB中， ， ∴△CQB≌△CPA(SAS)， ∴∠CQB=∠CPA， 又因为△PEM和△CQM中，∠EMP=∠CMQ， ∴∠QEP=∠QCP=60°． 故答案为：60°； (2)略 (3)连结CQ，作CH⊥AD于H，如图3， 与(2)一样可证明△ACP≌△BCQ， ∴AP=BQ， ∵∠DAC=135°，∠ACP=15°， ∴∠APC=30°，∠CAH=45°， ∴△ACH为等腰直角三角形， ∴AH=CH=AC=×4=， 在Rt△PHC中，PH=CH=， ∴PA=PH−AH=－， ∴BQ=－． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和有关计算、30°角的直角三角形的性质等知识，涉及的知识点多、综合性强，灵活应用全等三角形的判定和性质、熟练掌握旋转的性质和相关图形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 晨阳学校九年级模拟第一次测试 数学试题 一、选择题（本大题共10小题，共30分．） 1. 下列各数中属于无理数的是　　 A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，小聪把一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，并测得∠1=25°，则∠2的度数是 A. 15° B. 25° C. 35° D. 45° 4. 若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率是(　 　) A. B. C. D. 5. 如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在高的天桥两端分别修建了长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，菱形中，点坐标为，点 坐标为，点 在轴正半轴上，以点 为位似中心，在轴的下方作菱形的位似图形菱形，并把菱形的边长放大到原来的 倍，则点的对应点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，等腰三角形中，，按以下要求作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交于D,E两点；②分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F；③作射线，交于点M；④分别以A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于G,H两点；⑤作直线，交 于点N，连接．则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. 如图，等腰直角△ABC中，AB=AC=8，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D，则阴影部分面积为（结果保留π）（ ） A. 24﹣4π B. 32﹣4π C. 32﹣8π D. 16 9. 如图，是抛物线（）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为B（－1，－3），与轴的一个交点为A（－4，0）．直线（）经过点A和点B．以下结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点是（4，0）；④方程有两个不相等的实数根；⑤；⑥不等式的解集为．其中结论正确的是（ ） A. ①④⑥ B. ②⑤⑥ C. ②③⑤ D. ①⑤⑥ 10. 如图，在矩形中，、相交于点O，，平分，与相交于点E、与相交于点F，则下列结论中：①；②；③；④若，则；⑤若的面积是矩形面积的，则，正确的有（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ③④⑤ D. ②③④⑤ 二、填空题（本大题共8小题，共28分只要求填写最后结果，11－14每题3分，15－18题每题4分．） 11. 如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨．把数据用科学记数法表示为______． 12. 分解因式：______． 13. 某超市销售五种饮料，单价分别为（单位：元）3，3，x，5，7，若这组数据的平均数是2x，则这组数据的方差为___． 14. 如图，在菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB，若NF=NM=2，ME=3，则AN=________． 15. 若不等式组无解，则的取值范围是______. 16. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G，若DE＝2cm，OF＝3cm，则点A到DF的距离为 ________． 17. 如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为_____． 18. 如图，一次函数的图象为直线l，菱形，、，…按图中所示的方式放置，顶点，，，，…均在直线l上，顶点O，，，…均在x轴上，则点的纵坐标是______． 三、解答题 19. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 20. 为了解全校学生上学的交通方式，该校九年级（8）班的5名同学联合设计了一份调查问卷，对该校部分学生进行了随机调查．按A（骑自行车）、B（乘公交车）、C（步行）、D（乘私家车）、E（其他方式）设置选项，要求被调查同学从中单选．并将调查结果绘制成条形统计图1和扇形统计图2，根据以上信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的总人数是 人，并把条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，“步行”的人数所占的百分比是 ，“其他方式”所在扇形的圆心角度数是 ； （3）已知这5名同学中有2名女同学，要从中选两名同学汇报调查结果．请你用列表法或画树状图的方法，求出恰好选出1名男生和1名女生的概率． 21. 如图，AB是的直径，点P是延长线上一点，过点P作的切线 ，切点是C，过点C作弦于E，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长 22. 2013年4月20日，四川雅安发生7.0级地震，给雅安人民的生命财产带来巨大损失．某市民政部门将租用甲、乙两种货车共16辆，把粮食266吨、副食品169吨全部运到灾区．已知一辆甲种货车同时可装粮食18吨、副食品10吨；一辆乙种货车同时可装粮食16吨、副食11吨． （1）若将这批货物一次性运到灾区，有哪几种租车方案？ （2）若甲种货车每辆需付燃油费1500元；乙种货车每辆需付燃油费1200元，应选（1）中的哪种方案，才能使所付的费用最少？最少费用是多少元？ 23. 如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=． （1）求边AB的长； （2）求反比例函数的解析式和n的值； （3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长． 24. 如图①，抛物线经过点，点和点，它的对称轴为直线l，顶点为D． （1）求该抛物线的表达式； （2）如图②，点P是直线下方该抛物线上的一个动点，连接，当的面积取得最大值时，在抛物线对称轴l上找一点M，使的值最大，求点M的坐标，并求出这个最大值． 25. 如图，已知∠DAC＝90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于E． （1）如图1，猜想∠QEP＝　 　； （2）如图2，若当∠DAC是锐角时，其他条件不变，猜想∠QEP的度数，并证明； （3）如图3，若∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，且AC＝6，求BQ的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $