第04讲 命题、定理、定义（四大考点）-【暑假自学课】2024年新高一数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第04讲 命题、定理、定义 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、通过已有的经验，分析命题的条件和结论，能够判断命题的真假. 2、熟悉命题的结构，能够用“如果....那么....或“.....则....”的形式对命题进行改写. 3、能够判断命题的真假，并将一些作为推理依据而直接使用的真命题称之为定理. 4、了解定义是对某些对象标明符号，指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵. 知识点一：命题 1、命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，我们将可判断真假的陈述句叫作命题． 2、命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”，我们学习过的定理、推论都是命题． 3、分类 真命题：判断为真的语句 假命题：判断为假的语句 命题的结构： （1）命题的一般形式为“若p，则q”其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论． （2）确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式． 知识点二：定理、定义 在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理． 在数学中，我们经常遇到定义．定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．例如“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”．定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别，如“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述的． 考点一：命题的概念 【典例1-1】（2024·高一·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【典例1-2】（2024·高一·甘肃酒泉·期中）下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【变式1-1】（2024·高一·广西河池·阶段练习）有下列语句，其中是命题的个数为（    ） （1）数学真有趣 （2）0是自然数 （3） （4） （5）素数都是奇数. A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-2】（2024·高一·江苏·课后作业）有下列语句，其中是命题的个数为（   ）． （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 考点二：命题真假的判断 【典例2-1】（2024·高一·陕西延安·阶段练习）已知，则下列判断中，正确的是（    ） A．p为真，q为假 B．p为假，q为真 C．p为真，q为真 D．p为假，q为假 【典例2-2】（2024·高一·西藏林芝·期中）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为(    ) A．4 B．2 C．3 D．5 【变式2-1】（2024·高二·新疆喀什·期末）下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-2】（2024·高一·新疆乌鲁木齐·阶段练习）下列命题为真命题的是（    ） A．每一个二次函数的图象都是开口向上 B．存在一条直线与两条相交直线都平行 C．梯形的对角线相等 D．有些菱形是正方形 考点三：命题的结构形式 【典例3-1】（2024·高一·江苏·专题练习）指出下列命题中的条件p和结论q． (1)若，则x，y互为相反数． (2)如果，则． (3)当时，． 【典例3-2】（2024·高一·江苏·专题练习）将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)在中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直． (3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形． 【变式3-1】（2024·高一·江苏·课前预习）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)偶数不能被2整除； (2)当时，； (3)两个相似三角形是全等三角形． 【变式3-2】（2024·高一·江苏·假期作业）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)两个相似三角形是全等三角形． 【变式3-3】（2024·高一·江苏·课后作业）将下列命题改写成“若p，则q”的形式． （1）6是12和18的公约数； （2）当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根； （3）平行四边形的对角线互相平分． 考点四：根据命题的真假求参数 【典例4-1】（2024·高一·全国·课后作业）命题存在实数，使得能成为三角形的三边长.若命题为假命题，则的取值范围是 . 【典例4-2】（2024·高二·吉林·期末）若和或都是假命题，则的范围是 【变式4-1】（2024·高一·北京·期中）能够说明“存在不相等的正数，使得”是真命题的一组的值为 【变式4-2】（2024·高一·全国·课后作业）若“方程有两个不相等的实数根”是真命题，则的取值范围是 . 1．（2024·高一·江苏·假期作业）以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2024·高一·全国·课后作业）在下列语句中，命题的个数是（    ） ①空集是任何集合的子集；②若，则；③若，则. A． B． C． D． 3．（2024·高一·上海闵行·期中）下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 4．（2024·高一·广东·阶段练习）甲､乙､丙､丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：我不会获奖，丙获奖； 乙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丙预测说：甲的猜测是对的； 丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中． 成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符；已知有两人获奖，则获奖者可能是（    ）． A．甲和丁 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁 5．（2024·高一·上海·期中）已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①中的元素都不是的元素；②中有不属于的元素； ③中有的元素；④中的元素不都是的元素. A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2024·福建泉州·二模）甲､乙､丙三人独立解答同一份试卷，试卷共有5题，每人都至少正确解答其中3题，则下列说法一定正确的是（    ） A．至少有2题有多于一人正确解答 B．至少有1题三人都正确解答 C．至少有1题三人都无法正确解答 D．至多有1题无人正确解答 7．（2024·高一·新疆阿克苏·阶段练习）已知命题“关于的不等式在上恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 ． 8．（2024·高一·江苏·假期作业）若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是 ． 9．（2024·高一·江苏·课后作业）将下列命题改写成“若p，则q”的形式. （1）平面内垂直于同一条直线的两条直线平行； （2）平行于同一条直线的两条直线平行； （3）两个无理数的和是无理数； （4）乘积为正数的两个数同号； （5）两个奇数的和是偶数； （6）矩形的四个角相等； （7）等腰三角形的两个底角相等； （8）直径所对的圆周角是直角. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 命题、定理、定义 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、通过已有的经验，分析命题的条件和结论，能够判断命题的真假. 2、熟悉命题的结构，能够用“如果....那么....或“.....则....”的形式对命题进行改写. 3、能够判断命题的真假，并将一些作为推理依据而直接使用的真命题称之为定理. 4、了解定义是对某些对象标明符号，指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵. 知识点一：命题 1、命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，我们将可判断真假的陈述句叫作命题． 2、命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”，我们学习过的定理、推论都是命题． 3、分类 真命题：判断为真的语句 假命题：判断为假的语句 命题的结构： （1）命题的一般形式为“若p，则q”其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论． （2）确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式． 知识点二：定理、定义 在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理． 在数学中，我们经常遇到定义．定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．例如“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”．定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别，如“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述的． 考点一：命题的概念 【典例1-1】（2024·高一·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题. 故选：C. 【典例1-2】（2024·高一·甘肃酒泉·期中）下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【答案】B 【解析】对于A：命题是陈述句不是疑问句，A错误； 对于B：这是陈述句，同时对事件作出判断，是命题，B正确； 对于C：这是感叹句，不是命题，C错误； 对于D：这是一个数学不等式，没有作出判断，所以D错误， 故选：B 【变式1-1】（2024·高一·广西河池·阶段练习）有下列语句，其中是命题的个数为（    ） （1）数学真有趣 （2）0是自然数 （3） （4） （5）素数都是奇数. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】（1）这是一个感叹句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）2是素数也是偶数，所以是命题，是假命题； 所以（1）､（4）不是命题，其余都是命题.其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是假命题. 故选：B. 【变式1-2】（2024·高一·江苏·课后作业）有下列语句，其中是命题的个数为（   ）． （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】（1）这不是一个陈述句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）这句话表示0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）因为，所以可以判断“91不是素数这句话”是正确的，所以是命题，而且是真命题； （6）不能判断上海的空气质量越来越好这句话是否正确，所以不是命题. 所以（1）、（4）、（6）不是命题，其余都是命题．其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是真命题． 故选：A 考点二：命题真假的判断 【典例2-1】（2024·高一·陕西延安·阶段练习）已知，则下列判断中，正确的是（    ） A．p为真，q为假 B．p为假，q为真 C．p为真，q为真 D．p为假，q为假 【答案】B 【解析】p为假，q为真, 故选：B 【典例2-2】（2024·高一·西藏林芝·期中）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为(    ) A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【解析】为无理数，有理数与无理数统称为实数，所以，所以①正确； 为无理数，不属于整数，所以，所以②错误； 0不是正整数，所以，所以③正确； 是正整数，属于自然数，所以，所以④错误； 是无理数，所以，所以⑤正确； 是正数，所以，所以⑥错误； 综上，共由3个正确命题， 故选：C. 【变式2-1】（2024·高二·新疆喀什·期末）下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对选项A：若，则，正确； 对选项B：若，则，正确； 对选项C：若，则，正确； 对选项D：当时，恒成立，不能得到，错误； 故选：D 【变式2-2】（2024·高一·新疆乌鲁木齐·阶段练习）下列命题为真命题的是（    ） A．每一个二次函数的图象都是开口向上 B．存在一条直线与两条相交直线都平行 C．梯形的对角线相等 D．有些菱形是正方形 【答案】D 【解析】对于选项A：例如，其图象是开口向下的，故A错误； 对于选项B：根据平行线的传递性可知：一条直线与两条直线都平行，则这两条直线也平行，故B错误； 对于选项C：例如直角梯形的对角线不相等，故C错误； 对于选项D：正方形也是菱形，即有些菱形是正方形，故D正确； 故选：D. 考点三：命题的结构形式 【典例3-1】（2024·高一·江苏·专题练习）指出下列命题中的条件p和结论q． (1)若，则x，y互为相反数． (2)如果，则． (3)当时，． 【解析】（1），互为相反数． （2），． （3），． 【典例3-2】（2024·高一·江苏·专题练习）将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)在中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直． (3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形． 【解析】（1）在中，若一内角较大，则其对的边也较大． （2）若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线互相垂直． （3）若两个角相等，则它们的正弦值相等． （4）若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等． 【变式3-1】（2024·高一·江苏·课前预习）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)偶数不能被2整除； (2)当时，； (3)两个相似三角形是全等三角形． 【解析】（1）若一个数是偶数，则它不能被2整除， 根据偶数的定义可知，偶数能被2整除，为假命题； （2）若，则， 要想满足，则，解得，是真命题； （3）若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形， 两个三角形相似，则形状相同，但大小不一定相等，故不一定全等，为假命题. 【变式3-2】（2024·高一·江苏·假期作业）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)两个相似三角形是全等三角形． 【解析】（1）若一个数是奇数，则它不能被2整除， 根据奇数的定义可知，奇数不能被2整除，为真命题； （2）若，则， 要想满足，则，解得，是真命题； （3）若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形， 两个三角形相似，则形状相同，但大小不一定相等，故不一定全等，为假命题. 【变式3-3】（2024·高一·江苏·课后作业）将下列命题改写成“若p，则q”的形式． （1）6是12和18的公约数； （2）当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根； （3）平行四边形的对角线互相平分． 【解析】（1）若一个数是6，则它是12和18的公约数． （2）若a＞－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根． （3）若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分. 考点四：根据命题的真假求参数 【典例4-1】（2024·高一·全国·课后作业）命题存在实数，使得能成为三角形的三边长.若命题为假命题，则的取值范围是 . 【答案】或 【解析】当命题为真命题时，可得，即. 所以当命题为假命题时，可得或. 故答案为：或 【典例4-2】（2024·高二·吉林·期末）若和或都是假命题，则的范围是 【答案】 【解析】若为假命题，则有或 若或是假命题，则 所以的范围是 即的范围是 胡答案为： 【变式4-1】（2024·高一·北京·期中）能够说明“存在不相等的正数，使得”是真命题的一组的值为 【答案】， 【解析】-假设成立，则， 当时，，此时、是不相等的正数， 故命题为真命题的一组，的值为：， 故答案为：， 【变式4-2】（2024·高一·全国·课后作业）若“方程有两个不相等的实数根”是真命题，则的取值范围是 . 【答案】且. 【解析】解析由题意知, 解得：且. 故答案为：且. 1．（2024·高一·江苏·假期作业）以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题． 故选：B 2．（2024·高一·全国·课后作业）在下列语句中，命题的个数是（    ） ①空集是任何集合的子集；②若，则；③若，则. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】命题是可以判断真假的陈述句，对于选项①②③，均为可判断真假的陈述句，即都是命题. 故选：C. 3．（2024·高一·上海闵行·期中）下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【解析】①：当时，方程变为，显然不是一元二次方程，因此本序号命题不是真命题； ②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以本序号命题是真命题； ③：由显然能推出，所以本序号命题是真命题； ④：因为与的和是有理数，但是和都不是有理数，所以本序号命题不是真命题， 故选：B 4．（2024·高一·广东·阶段练习）甲､乙､丙､丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：我不会获奖，丙获奖； 乙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丙预测说：甲的猜测是对的； 丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中． 成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符；已知有两人获奖，则获奖者可能是（    ）． A．甲和丁 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁 【答案】C 【解析】由“甲预测说：我不会获奖，丙获奖”，而“丙预测说：甲的猜测是对的”． 所以甲和丙的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不符． 若甲和丙的说法要么同时与结果相符，则丁的说法也对， 这与“四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符已知有两人获奖，”相矛盾，故错误； 若甲和丙的说法与结果不符，则乙､丁的预测成立 所以甲获奖，丁不获奖；丙获奖､乙不获奖或者乙获奖､丙不获奖． 即获奖的两人为甲和丙，或者甲和乙. 故选：C 5．（2024·高一·上海·期中）已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①中的元素都不是的元素；②中有不属于的元素； ③中有的元素；④中的元素不都是的元素. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】根据命题"非空集合的元素都是集合的元素"是假命题，可得不是的子集 对于①，集合虽然不是所有元素都在中，但有可能有属于的元素，因此①是假命题； 对于②，因为不是的子集，所以必定有不属于的元素，故②是真命题；同理不能确定有没有的元素，故③是假命题； 对于④，由子集的定义可得，既然不是的子集，那么必定有一些不属于的元素，因此的元素不都是的元素，可得④是真命题. 故选：B. 6．（2024·福建泉州·二模）甲､乙､丙三人独立解答同一份试卷，试卷共有5题，每人都至少正确解答其中3题，则下列说法一定正确的是（    ） A．至少有2题有多于一人正确解答 B．至少有1题三人都正确解答 C．至少有1题三人都无法正确解答 D．至多有1题无人正确解答 【答案】A 【解析】假设没有2题有多于一人正确解答，取极端情况，假设3人均答对3题，有一题3人均答对，且三人回答的其它两个问题均不同，则至少还需要六道不同的题，与题设不符，故A正确； 5道题编号为，甲正确解答，乙正确解答，丙正确解答，则每题都只有2人正确解答．B错； 如果3人都正确解答了所有题，则C错； 如果三人都是正确解答，这时有两题没有人正确解答．D错； 故选：A． 7．（2024·高一·新疆阿克苏·阶段练习）已知命题“关于的不等式在上恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】不等式在上恒成立，则，解得. 故答案为： 8．（2024·高一·江苏·假期作业）若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是 ． 【答案】或 【解析】①当时，方程为，只有当时，方程才有实数解； ②当时，方程为一元二次方程，方程有实数解的条件为． 综上可得当或时，方程有实数解． 故答案为：或 9．（2024·高一·江苏·课后作业）将下列命题改写成“若p，则q”的形式. （1）平面内垂直于同一条直线的两条直线平行； （2）平行于同一条直线的两条直线平行； （3）两个无理数的和是无理数； （4）乘积为正数的两个数同号； （5）两个奇数的和是偶数； （6）矩形的四个角相等； （7）等腰三角形的两个底角相等； （8）直径所对的圆周角是直角. 【解析】（1）在平面内，若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行； （2）若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行； （3）若两个数是无理数，则它们的和是无理数； （4）若两个数的乘积为正数，则这两个数同号； （5）若两个数是奇数，则它们的和是偶数； （6）若一个四边形为矩形，则它的四个角相等； （7）若一个三角形为等腰三角形，则它的两个底角相等； （8）若圆的弦为直径，则它所对的圆周角是直角. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$