第1～2章 综合练习 2023--2024学年湘教版七年级数学下册

2024年 湘教版 七年级下册 第一——第二单元常考题型汇总 一、二元一次方程的基本认知 1．已知方程，用含的代数式表示，则　 　． 2．已知是关于x，y的二元一次方程，则　 　． 3．已知方程是关于x，y的二元一次方程，则a满足的条件是（　　） A． B． C． D． 4．下列各式中，是关于，的二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 5．下列各方程组中，是二元一次方程组的是(　　) A． B． C． D． 二、二元一次方程常见解法 6． 已知方程，则　 　 7．已知关于x，y的二元一次方程组 的解互为相反数，则k的值是　 　． 8．已知方程组的解满足，则的值为（　　） A． B． C． D． 9．已知是关于x，y的二元一次方程2x﹣my＝10的一个解，则m的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4 10．如图，将9个不同的数填在的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等，以下方程组符合题意的是（　　） A． B． C． D． 11．已知方程组的解满足，则的值为（　　） A． B． C．2 D．4 12．若关于x，y的方程组的解为 ，则关于x，y方程组 的解为　 　． 13．已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，则关于n，y的二元一次方程组 的解为 　 　． 14．已知关于，的方程组的解是，则方程组的解是 　 　． 15．若方程组的解是，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 16．已知，则的值是　 　． 17． （1）已知关于，的二元一次方程组与方程有相同的解，求的值． （2）关于，的二元一次方程组的解为正整数，求整数的值． 18．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单： ②-①得：，即.③ 得：.④ ①-④得：，代入③得. 所以这个方程组的解是. （1）请你运用小明的方法解方程组. （2）规律探究：猜想关于、的方程组的解是　 　. 19．综合与实践 问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． （1）观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题． 设，，则原方程组可化为　 　，解关于m，n的方程组，得， 所以，解方程组，得　 　． （2）探索猜想：运用上述方法解下列方程组：． （3）拓展延伸：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 三、二元一次方程的应用 20．某校团支部组织优秀团员进行垃圾清理和绿色环保宣传，在分发垃圾袋时，若每人发2个垃圾袋，则多6个，若每人发3个垃圾袋，则少6个．设有x个优秀团员，y个垃圾袋．则下列所列方程组不正确的是（　　） A． B． C． D． 21．某中学组织全校优秀九年级毕业生参加学校夏令营，一共有x名学生，分成y个学习小组、若每组10人，则还差5人；若每组9人，还余下3人．若求夏令营学生的人数所列的方程组为（　　） A． B． C． D． 22．《孙子算经》是南北朝时期重要的数学专著，包含“鸡兔同笼”等许多有趣的数学问题．如：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺．木长几何？”大意是：“用一根绳量一根木，绳剩余4.5尺；将绳对折再量木，木剩余1尺．问木长多少？”设木长x尺，绳长y尺，则依题意可列方程组（　　） A． B． C． D． 23．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件．乙7件、丙1件，共需64元，若购甲4件、乙 10件．丙1件，共需79元现购甲、乙、丙各一件，共需（　　）． A．32元 B．33元 C．34元 D．35元 24．某药店出售、两种的口罩，已知该店进货4个种口罩和3个种口罩共需27元，进货2个种口罩所需费用比进货1个种口罩所需费用多1元． （1）请分别求出、两种口罩的进价是多少元？ （2）已知药店将种口罩每个提价1元出售，种口罩每个提价出售，小雅在该药店购买、两种口罩（两种口罩均要购买）共花费36元，小雅有哪几种购买方案？ 25． 某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年礼盒共60万套，两种礼盒的成本和售价如下表所示． 甲 乙 成本（元/套） 20 24 售价（元/套） 25 30 （1）该工厂计划筹集资金1340万元，且全部用于生产甲、乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？ （2）经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒m万套，增加生产乙种礼盒n万套（m，n都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润恰为400万元，请问该工厂有几种生产方案？并写出所有可行的生产方案． 四、二元一次方程几大常考题型 26．已知关于x，y的方程组给出下列结论： ①当时，方程组的解也是的解；②无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为自然数的解有4对；④若，则． 正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27．定义一种新的运算：，例如：，那么 （1）若，那么　 　； （2）若，且关于x，y的二元一次方程，当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为　 　． 28．已知关于x，y的方程组和有相同的解． （1）求出它们的相同解； （2）求的值． 29．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错②中的，解得，试求的值. 五、整式的乘法 30．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 31．计算：　 　． 32．已知，，则　 　． 33．已知：，则p，q的值分别为（　　） A．5，3 B．5，－3 C．－5，3 D．－5，－3 34．已知，，，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 35．若的结果中不含项，则的值为（　　） A． B． C． D． 36．如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横两竖，宽度均为b米的通道． （1）通道的面积共有多少平方米？ （2）若，剩余草坪的面积是216平方米，求出通道的宽度． 37．用如图所示的正方形和长方形纸片进行拼图活动．请解决以下问题： （1）若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要型纸片　 　张，B型纸片　 　张，C型纸片　 　张． （2）现有型纸片1张，型纸片4张，B型纸片若干张，恰好拼成一个正方形，求型纸片的张数． （3）现有A，B，C三种型号的纸片共12张，恰好能拼成一个长方形（每种纸片都用上），若它的一边长为，则需要三种纸片各多少张？(求出所有可能的情况) 38．某学校有一块长为（6a+2b）米，宽为（4a+2b）米的长方形空地要铺地砖．如图所示，空白的A、B两正方形区域是建筑物，不需要铺地砖．两正方形区域的边长均为（a+b）米． （1）求铺设地砖的面积是多少平方米？ （2）当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是多少？ （3）在（2）的条件下，某种道路防滑地砖的规格是：正方形，边长为0.2米，每块1.5元，不考虑其他因素，如果要购买此种地砖，需要 ▲ 元钱． 六、乘法公式 39．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 40．已知 ， ，则 的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D． 41．为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照以上推理计算出的值是 A． B． C． D． 42．已知，则的值为　 　. 43．利用平方差公式，可以得到　 　． 44．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形． （1）观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系为_____． （2）晓晓同学利用上面的纸片拼出了一个面积为的长方形，这个长方形相邻两边长为_______、_______． （3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知：，求的值． 45．【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第112页的第7题：已知，，求的值． 【例题讲解】老师讲解了这道题的两种方法： 方法一 方法二 ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ． ∵，， ∴． 【方法运用】请你参照上面两种解法中的一种来解答问题． （1）已知，，求； （2）若，求； （3）若，求的值． 【拓展提升】 （4）如图，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形和正方形的面积和为，直接写出阴影部分的面积． 46．仔细观察，探索规律： （1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2； （a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3； （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4． （a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝①　 　（其中n为正整数，且n≥2）． ②（2﹣1）（2+1）＝　 　；③（2﹣1）（22+2+1）＝　 　； ④（2﹣1）（23+22+2+1）＝　 　；⑤（2n﹣1+2n﹣2+…+2+1）＝　 　； （2）根据上述规律，求22019+22018+22017+…+2+1的个位数字是多少？ （3）根据上述规律，求29﹣28+27﹣…+23﹣22+2的值？ 47．可以利用几何直观的方法获得一些代数结论，如： 例1：如图，可得等式：；． 例2：如图，可得等式：． （1）如图1，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你发现的结论用等式表示为____________________． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，．求的值． （3）如图2，拼成为大长方形，记长方形的面积与长方形的面积差为S．设，若S的值与无关，求a与b之间的数量关系． 48．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构道法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）自展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数等等． （1）根据上面的规律，的展开式为 ； （2）①的展开式中共有 项，所有项的系数之和为 ； ②推测的展开式中共有 项，所有项的系数之和为 ； （3）利用上述规律求的值，并写出求解过程． 49．【尝试计算】 （1）计算： ①； ②； 【阅读思考】 （2）我们知道，利用整式的乖运算，有时可以将几个整式的乘积转化为一个多项式的形式，而因式分解则是把一个多项式转化成几个整式的乘积的形式，所以因式分解与整式乘法是方向相反的两个变形．利用这一关系，请结合（1）中的计算过程，尝试写出因式分解的两个公式； 【启发应用】 （3）利用（2）中的两个公式把下列各式分解因式： ①； ②． 50．数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，利用几何直观的方法和面积法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 【问题探究】 探究1：如图1所示，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论： 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出的结果． 【形成结论】 （1）探究2中 ； 【应用结论】 （2）利用（1）问所得到的结论求解： 已知，，求的值； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，求的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年 湘教版 七年级下册 第一——第二单元常考题型汇总 一、二元一次方程的基本认知 1．已知方程，用含的代数式表示，则　 　． 【答案】 2．已知是关于x，y的二元一次方程，则　 　． 【答案】4 3．已知方程是关于x，y的二元一次方程，则a满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：方程整理得， 由题意得：，即， 故答案为：C. 【分析】只含有一个未知数并未知数的次数是1的整式方程，叫做一元一次方程，据此解答即可. 4．下列各式中，是关于，的二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 5．下列各方程组中，是二元一次方程组的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：A、b是二次，故不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； B、含有三个未知数，是三元而不是二元方程组，故此选项不符合题意； C、xy是二次项，是二次而不是一次方程，故此选项不符合题意； D、是二元一次方程组．故此选项符合题意； 故答案为：D． 【分析】要符合题意地判断哪一个属于二元一次方程组，需要掌握二元一次方程及二元一次方程组的定义．所谓二元一次方程是指含有两个未知数，并且未知数的项的最高次数是1的整式方程；而二元一次方程组是指由两个二元一次方程组成的方程组．根据以上定义即可判断此题． 二、二元一次方程常见解法 6． 已知方程，则　 　 【答案】1 【解析】【解答】解：∵ ∴ 解得：， ∴， 故答案为：． 【分析】根据绝对值和偶次方的非负性得出关于x，y的二元一次方程组，解方程组求出x，y，然后计算即可． 7．已知关于x，y的二元一次方程组 的解互为相反数，则k的值是　 　． 【答案】﹣1 【解析】【解答】解：解方程组 得： ， 因为关于x，y的二元一次方程组 的解互为相反数， 可得：2k+3﹣2﹣k=0， 解得：k=﹣1． 故答案为：﹣1． 【分析】将方程组用k表示出x，y，根据方程组的解互为相反数，得到关于k的方程，即可求出k的值． 8．已知方程组的解满足，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 9．已知是关于x，y的二元一次方程2x﹣my＝10的一个解，则m的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4 【答案】D 【解析】【解答】解：将 代入2x-my=10得2-2m=10，解得m=-4， 故答案为：D. 【分析】根据二元一次方程解得定义，将x=1与y=2代入原方程可得关于字母m的方程，求解即可得出m的值. 10．如图，将9个不同的数填在的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等，以下方程组符合题意的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：∵ 每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等， ∴ . 故答案为：B. 【分析】根据每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等列出方程组即可. 11．已知方程组的解满足，则的值为（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【解析】【解答】解：， ，得， ， ， . 故答案为：D. 【分析】先利用加减消元法将方程组的两式相加得到，进而得到关于k的一元一次方程，然后解方程求得k的值. 12．若关于x，y的方程组的解为 ，则关于x，y方程组 的解为　 　． 【答案】 13．已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，则关于n，y的二元一次方程组 的解为 　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：关于x、y的方程组 可化为， 与关于x、y的方程组为同解方程组， 根据整体换元可知 解得. 故答案为：. 【分析】整体法观察两个方程为同解方程，整体换元即可求解x、y的值. 14．已知关于，的方程组的解是，则方程组的解是 　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：方程组可化为， 关于，的方程组的解是， 方程组中，， 解得：，， 方程组的解是， 故答案为：． 【分析】本题考查二元一次方程组的解．先将待求解方程组化为原方程组的形式，又因为方程组的解是，根据二元一次方程组的解的定义可推出，，解一元一次方程可求出、得值，据此可求出答案． 15．若方程组的解是，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解是， 解得， 故答案为：C． 【分析】两组方程的系数对应相等，常数项相同，则它们的解也相等，据此建立关于x、y的二元一次方程组，求解即可。 16．已知，则的值是　 　． 【答案】6 【解析】【解答】解： ， ①×3得：6x+9y=39④， ②×2得：6x+4y=34⑤， ④-⑤得：5y=5， 解得：y=1， 将y=1代入①得：2x+3=13， 解得：x=5， ∴x+y=5+1=6， 故答案为：6. 【分析】利用加减消元法求出x=5，y=1，最后代入计算求解即可。也可两式子相加运用整体思想求出即可。 17． （1）已知关于，的二元一次方程组与方程有相同的解，求的值． （2）关于，的二元一次方程组的解为正整数，求整数的值． 【答案】（1）解： ①②得： （2）解： ，取正整数 ，或， 或7 18．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单： ②-①得：，即.③ 得：.④ ①-④得：，代入③得. 所以这个方程组的解是. （1）请你运用小明的方法解方程组. （2）规律探究：猜想关于、的方程组的解是　 　. 【答案】（1）解：， 得：，即， 得：， 得：，即， 将代入得， 所以这个方程组得解是； （2）. 【解析】【解答】解：（2）， 得： ，即 ， 得： ， 得： ，解得 ， 将 代入 得： ， 所以这个方程组得解是 ， 故答案为： . 【分析】（1）根据阅读材料进行解方程组即可； （2）将方程②-①可得③，将得 ，利用可求出，将其代入③求出x值即可. 19．综合与实践 问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． （1）观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题． 设，，则原方程组可化为　 　，解关于m，n的方程组，得， 所以，解方程组，得　 　． （2）探索猜想：运用上述方法解下列方程组：． （3）拓展延伸：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 【答案】（1）； （2）解：设，， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解方程组，得 （3）解：方程组可化为， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴， ∴． 【解析】【解答】解：（1）设4x+3y=m，6x-y=n， 则原方程组可化为， 解得：， ∴， ①＋②×3，得：22x=66， ∴x=3， 把x=3代入②得：y=6×3-16=2， ∴方程组的解为. 故答案为：；. 【分析】（1）设4x+3y=m，6x-y=n，代入原方程组即可化为关于m、n的方程组，解得m、n的值，得新方程组，解之得x、y的值； （2）令2x+y=m，x-2y=n，原方程组化为，解出m和n的值代入2x+y=m，x-2y=n，即可求出x和y的值； （3）先把原方程组化为例题中的形式，根据例题中方程组的解得 ，接着解之得原方程组的解. 三、二元一次方程的应用 20．某校团支部组织优秀团员进行垃圾清理和绿色环保宣传，在分发垃圾袋时，若每人发2个垃圾袋，则多6个，若每人发3个垃圾袋，则少6个．设有x个优秀团员，y个垃圾袋．则下列所列方程组不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 21．某中学组织全校优秀九年级毕业生参加学校夏令营，一共有x名学生，分成y个学习小组、若每组10人，则还差5人；若每组9人，还余下3人．若求夏令营学生的人数所列的方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 22．《孙子算经》是南北朝时期重要的数学专著，包含“鸡兔同笼”等许多有趣的数学问题．如：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺．木长几何？”大意是：“用一根绳量一根木，绳剩余4.5尺；将绳对折再量木，木剩余1尺．问木长多少？”设木长x尺，绳长y尺，则依题意可列方程组（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：设木长x尺，绳长y尺，根据题意得 . 故答案为：B 【分析】抓住关键已知条件：用一根绳量一根木，绳剩余4.5尺；将绳对折再量木，木剩余1尺，这里包含两个等量关系，据此列方程即可. 23．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件．乙7件、丙1件，共需64元，若购甲4件、乙 10件．丙1件，共需79元现购甲、乙、丙各一件，共需（　　）． A．32元 B．33元 C．34元 D．35元 【答案】C 【解析】【解答】解：设甲、乙、丙三种货物的单价分别是x元、y元、z元，则有，②-①得x+3y=15. 而①式可变形为x+y+z+2(x+3y)=64，代入x+3y=15得x+y+z=34. 所以购买甲、乙、丙各1件，共需34元. 故答案为：C. 【分析】注意不需要求出x、y、z的具体值（实际也无法求出因为欠缺条件），根据题目所求，并运用整体代入的思维凑出题目所求的式子即可解答. 24．某药店出售、两种的口罩，已知该店进货4个种口罩和3个种口罩共需27元，进货2个种口罩所需费用比进货1个种口罩所需费用多1元． （1）请分别求出、两种口罩的进价是多少元？ （2）已知药店将种口罩每个提价1元出售，种口罩每个提价出售，小雅在该药店购买、两种口罩（两种口罩均要购买）共花费36元，小雅有哪几种购买方案？ 【答案】（1）种口罩的进价是3元，种口罩的进价是5元 （2）共有2种购买方案，方案1：购买种口罩6个，种口罩2个；方案2：购买种口罩3个，种口罩4个． 25． 某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年礼盒共60万套，两种礼盒的成本和售价如下表所示． 甲 乙 成本（元/套） 20 24 售价（元/套） 25 30 （1）该工厂计划筹集资金1340万元，且全部用于生产甲、乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？ （2）经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒m万套，增加生产乙种礼盒n万套（m，n都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润恰为400万元，请问该工厂有几种生产方案？并写出所有可行的生产方案． 【答案】（1）解：设甲种礼盒生产万套，乙种礼盒生产万套， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种礼盒生产25万套，乙种礼盒生产35万套； （2）解：根据题意得：， ， 又，均为正整数， 或， 或， 该工厂有2种生产方案， 方案1：生产甲种礼盒32万套，乙种礼盒40万套； 方案2：生产甲种礼盒26万套，乙种礼盒45万套． 【解析】【分析】（1）基本关系：总成本每套甲种礼盒的成本生产甲种礼盒的数量每套乙种礼盒的成本生产乙种礼盒的数量，甲种礼盒的数量+乙种礼盒的数量=60，据此列二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）基本关系：总利润每套甲种礼盒的销售利润生产甲种礼盒的数量每套乙种礼盒的销售利润生产乙种礼盒的数量，利润=售价-成本，据此列出二元一次方程，再求正整数解，可得方案。 四、二元一次方程几大常考题型 26．已知关于x，y的方程组给出下列结论： ①当时，方程组的解也是的解；②无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为自然数的解有4对；④若，则． 正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】【解答】解：， 得 ， 将代入②得， 方程组的解为 ∴ 当时，，而， ①正确； ②，当时， ②不正确； ③∵、，为自然数， ∴ 或或或， ③正确； ④，解得， ④正确， 综上，正确的有①③④共三个. 故答案为：C． 【分析】①将a作为字母系数，根据加减消元法解二元一次方程组，用含a的式子表示出x、y，然后将解代入即可判断；②求出，再根据互为相反数的两个数相加为即可求解；③求出二元一次方程的自然数解即可得处结论；④根据整体代入的方法即可求解． 27．定义一种新的运算：，例如：，那么 （1）若，那么　 　； （2）若，且关于x，y的二元一次方程，当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为　 　． 【答案】12； 28．已知关于x，y的方程组和有相同的解． （1）求出它们的相同解； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 29．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错②中的，解得，试求的值. 【答案】解：2 【解析】【解答】将代入②，可得：8=b-2，解得：b=10； 将代入①，可得：5a+20=15，解得：a=-1， ∴， 故答案为：2. 【分析】先利用二元一次方程组的解求出a、b的值，再将a、b的值代入计算即可. 五、整式的乘法 30．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 31．计算：　 　． 【答案】或-0.5 【解析】【解答】， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【分析】利用积的乘方法则：（ab）n=an. bn 进行计算。 32．已知，，则　 　． 【答案】 【解析】【解答】∵，， ∴， 故答案为：21. 【分析】利用同底数幂的乘法计算方法求解。 33．已知：，则p，q的值分别为（　　） A．5，3 B．5，－3 C．－5，3 D．－5，－3 【答案】D 【解析】【解答】解：由题意得， ∴p=-5，q=-3， 故答案为：D 【分析】根据多项式乘多项式结合题意化简，进而即可求解。 34．已知，，，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：a=344=（34）11=8111， b=255=（25）11=3211， c=433=（43）11=6411， ∵3211＜6411＜8111， ∴a>c>b. 故答案为：B. 【分析】根据幂的乘方法则可得a=(34)11=8111，b=(25)11=3211，c=(43)11=6411，据此进行比较. 35．若的结果中不含项，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】 ∵的结果中不含项， ∴2a-4=0，a=2。 故答案为：B。 【分析】先利用多项式乘多项式法则展开，再合并同类项；根据题意可得出含x²项的系数为0，算出答案即可。 36．如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横两竖，宽度均为b米的通道． （1）通道的面积共有多少平方米？ （2）若，剩余草坪的面积是216平方米，求出通道的宽度． 【答案】（1） （2）2米 37．用如图所示的正方形和长方形纸片进行拼图活动．请解决以下问题： （1）若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要型纸片　 　张，B型纸片　 　张，C型纸片　 　张． （2）现有型纸片1张，型纸片4张，B型纸片若干张，恰好拼成一个正方形，求型纸片的张数． （3）现有A，B，C三种型号的纸片共12张，恰好能拼成一个长方形（每种纸片都用上），若它的一边长为，则需要三种纸片各多少张？(求出所有可能的情况) 【答案】（1）3；11；6 （2）解：设B型纸片有b张，则该正方形的面积可表示为， ∵当b=4时，正方形的面积可写为完全平方式为 ∴需要B型纸片4张. （3）解：根据题意，这个长方形一边长为x+2，设这边的邻边长为ax+b， 则长方形的面积为：(x+2)(ax+b)=ax2+bx+2ax+2b=ax2+(b+2a)x+2b， 则有a张A纸片，(b+2a)张B纸片，2b张C纸片， 因为拼成这个长方形恰好用12张纸片，所以a+(b+2a)+2b=12， 即a+b=4， 因为a和b都是正整数，则只有三组正整数解：a=1，b=3；a=2，b=2；a=3，b=1. 所以只有下列三种情形： 方案1：A纸片1张，B纸片5张，C纸片6张 方案2：A纸片2张，B纸片6张，C纸片4张 方案3：A纸片3张，B纸片7张，C纸片2张 【解析】【解答】解：（1）这个长方形的面积为（3x+2）（x+3）=3x2+11x+6， ∵A型纸片的面积为x2，B型纸片的面积为x，C型纸片的面积为1， ∴需要A型纸片3张，B型纸片11张，C型纸片6张． 故答案为：3，11，6； 【分析】（1）根据长方形的面积公式及多项式乘以多项式法则计算这个长方形的面积，根据每张纸片的面积即可直接写出答案； （2）设需要B型纸片b张，写出这个正方形的面积，当它可以写为完全平方式时求出b的值即可； （3）设这个长方形一边长为x+2，设这边的邻边长为ax+b，根据长方形的面积公式计算这个长方形的面积，展开成多项式的形式并合并同类项，分别用a和b表示出每种纸片需要的张数；根据三种型号的纸片共12张，得到a与b的数量关系，写出a与b所有可能取值的组合，并求出对应各纸片的张数即可. 38．某学校有一块长为（6a+2b）米，宽为（4a+2b）米的长方形空地要铺地砖．如图所示，空白的A、B两正方形区域是建筑物，不需要铺地砖．两正方形区域的边长均为（a+b）米． （1）求铺设地砖的面积是多少平方米？ （2）当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是多少？ （3）在（2）的条件下，某种道路防滑地砖的规格是：正方形，边长为0.2米，每块1.5元，不考虑其他因素，如果要购买此种地砖，需要 ▲ 元钱． 【答案】（1）铺设地砖的面积为 平方米). （2）当时， 所以需要铺地砖的面积为202平方米. （3） 六、乘法公式 39．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：A. =y2-x2，不符合题意； B. ，不符合题意； C. 不符合题意； D. ，不能用平方差公式进行计算，符合题意； 故答案为：D． 【分析】利用平方差公式的特征逐项判断即可。 40．已知 ， ，则 的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【解析】【解答】解：∵ ， ， ∴ ， 即 ， 化简可得， . 故答案为：A. 【分析】由完全平方公式可得(a+b)2-(a-b)2=4ab，据此计算. 41．为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照以上推理计算出的值是 A． B． C． D． 【答案】D 42．已知，则的值为　 　. 【答案】1 【解析】【解答】解： ∵， ∴xy=axy， ∴a=1. 故答案为：1. 【分析】利用完全平方公式将等式左边展开，利用等式对应项系数相等即可求解. 43．利用平方差公式，可以得到　 　． 【答案】 44．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形． （1）观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系为_____． （2）晓晓同学利用上面的纸片拼出了一个面积为的长方形，这个长方形相邻两边长为_______、_______． （3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知：，求的值． 【答案】（1） （2）， （3）①；② 45．【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第112页的第7题：已知，，求的值． 【例题讲解】老师讲解了这道题的两种方法： 方法一 方法二 ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ． ∵，， ∴． 【方法运用】请你参照上面两种解法中的一种来解答问题． （1）已知，，求； （2）若，求； （3）若，求的值． 【拓展提升】 （4）如图，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形和正方形的面积和为，直接写出阴影部分的面积． 【答案】（1）4；（2）2；（3）14；（4）36 46．仔细观察，探索规律： （1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2； （a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3； （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4． （a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝①　 　（其中n为正整数，且n≥2）． ②（2﹣1）（2+1）＝　 　；③（2﹣1）（22+2+1）＝　 　； ④（2﹣1）（23+22+2+1）＝　 　；⑤（2n﹣1+2n﹣2+…+2+1）＝　 　； （2）根据上述规律，求22019+22018+22017+…+2+1的个位数字是多少？ （3）根据上述规律，求29﹣28+27﹣…+23﹣22+2的值？ 【答案】（1）①an﹣bn②22﹣1；③23﹣1；④24﹣1；⑤2n﹣1；（2）5；（3）342 47．可以利用几何直观的方法获得一些代数结论，如： 例1：如图，可得等式：；． 例2：如图，可得等式：． （1）如图1，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你发现的结论用等式表示为____________________． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，．求的值． （3）如图2，拼成为大长方形，记长方形的面积与长方形的面积差为S．设，若S的值与无关，求a与b之间的数量关系． 【答案】（1） （2）32 （3） 48．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构道法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）自展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数等等． （1）根据上面的规律，的展开式为 ； （2）①的展开式中共有 项，所有项的系数之和为 ； ②推测的展开式中共有 项，所有项的系数之和为 ； （3）利用上述规律求的值，并写出求解过程． 【答案】（1） （2）①十，；②十二， （3） 49．【尝试计算】 （1）计算： ①； ②； 【阅读思考】 （2）我们知道，利用整式的乖运算，有时可以将几个整式的乘积转化为一个多项式的形式，而因式分解则是把一个多项式转化成几个整式的乘积的形式，所以因式分解与整式乘法是方向相反的两个变形．利用这一关系，请结合（1）中的计算过程，尝试写出因式分解的两个公式； 【启发应用】 （3）利用（2）中的两个公式把下列各式分解因式： ①； ②． 【答案】（1）①；②；（2）①，②；（3）①；②． 50．数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，利用几何直观的方法和面积法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 【问题探究】 探究1：如图1所示，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论： 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出的结果． 【形成结论】 （1）探究2中 ； 【应用结论】 （2）利用（1）问所得到的结论求解： 已知，，求的值； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1） ；（2）；（3） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 21 2024 年 湘教版 七年级下册 第一——第二单元常考题型汇总 一、二元一次方程的基本认知 1．已知方程 2� − � = 4，用含�的代数式表示�，则� = ． 【答案】4+�2 2．已知(� − 2)�|�−3| + 3� = 5是关于 x，y的二元一次方程，则� = ． 【答案】4 3．已知方程�� + � = 3� − 1是关于 x，y的二元一次方程，则 a满足的条件是（ ） A．� ≠ 0 B．� ≠− 1 C．� ≠ 3 D．� ≠− 3 【答案】C 【解析】【解答】解：方程整理得(� − 3)� + � + 1 = 0， 由题意得：� − 3 ≠ 0，即� ≠ 3， 故答案为：C. 【分析】只含有一个未知数并未知数的次数是 1的整式方程，叫做一元一次方程，据此解答即可. 4．下列各式中，是关于�，�的二元一次方程的是（ ） A．2� − � B．� − 4� = 9 C．�� − 5 = � D．3� − � = 0 【答案】B 5．下列各方程组中，是二元一次方程组的是( ) A． � + 1 3� = 1 � = �2 B． 3� − 2� = 52� − � = 10 C． � 3+ � 2 = 1 �� = 1 D． � − � = 27 � + 1.1� = 405 【答案】D 【解析】【解答】解：A、b是二次，故不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； B、含有三个未知数，是三元而不是二元方程组，故此选项不符合题意； C、xy是二次项，是二次而不是一次方程，故此选项不符合题意； D、是二元一次方程组．故此选项符合题意； 故答案为：D． 【分析】要符合题意地判断哪一个属于二元一次方程组，需要掌握二元一次方程及二元一次方程组的定 义．所谓二元一次方程是指含有两个未知数，并且未知数的项的最高次数是 1的整式方程；而二元一次方 2 / 21 程组是指由两个二元一次方程组成的方程组．根据以上定义即可判断此题． 二、二元一次方程常见解法 6． 已知方程|� − 2� + 4| + (2� + 5� − 1)2 = 0，则(� + �)2024 = 【答案】1 【解析】【解答】解：∵|� − 2� + 4| + (2� + 5� − 1)2 = 0 ∴ � − 2� + 4 = 0 2� + 5� − 1 = 0 解得： � =− 2 � = 1 ， ∴(� + �)2024 = ( − 2 + 1)2024 = 1， 故答案为：1． 【分析】根据绝对值和偶次方的非负性得出关于 x，y 的二元一次方程组，解方程组求出 x，y，然后计算 即可． 7．已知关于 x，y的二元一次方程组 2� + 3� = �� + 2� =− 1 的解互为相反数，则 k的值是 ． 【答案】﹣1 【解析】【解答】解：解方程组 2� + 3� = � � + 2� =− 1 得： � = 2� + 3 � =− 2 − � ， 因为关于 x，y的二元一次方程组 2� + 3� = �� + 2� =− 1 的解互为相反数， 可得：2k+3﹣2﹣k=0， 解得：k=﹣1． 故答案为：﹣1． 【分析】将方程组用 k表示出 x，y，根据方程组的解互为相反数，得到关于 k的方程，即可求出 k的值． 8．已知方程组 2� + � = 1 �� + (� − 1)� = 19的解满足� + � = 3，则�的值为（ ） A．� =− 8 B．� = 2 C．� = 8 D．� =− 2 【答案】C 9．已知 x = 1 y = 2是关于 x，y 的二元一次方程 2x﹣my＝10的一个解，则 m 的值为（ ） A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4 【答案】D 【解析】【解答】解：将 x = 1 y = 2 代入 2x-my=10得 2-2m=10，解得 m=-4， 故答案为：D. 【分析】根据二元一次方程解得定义，将 x=1与 y=2代入原方程可得关于字母 m的方程，求解即可得出 m的值. 3 / 21 10．如图，将 9个不同的数填在 3 × 3的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等， 以下方程组符合题意的是（ ） A． 1 + � =− 1+ �+ 7�+ � = 7 + � B． �+ � = 1 − 1 1+ � = 7+ � C． 1 + � =− 1+ �+ 71+ � = 7+ � D． �+ � = 1 − 1 �+ � = 7 + � 【答案】B 【解析】【解答】解：∵ 每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等， ∴ �+ � = 1 − 1 1+ � = 7+ � . 故答案为：B. 【分析】根据每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等列出方程组即可. 11．已知方程组 3� + 4� = � + 2 2� + � = 4 的解满足� + � = 2，则�的值为（ ） A．−2 B．−4 C．2 D．4 【答案】D 【解析】【解答】解： 3� + 4� = � + 2① 2�+ � = 4② ， ①+②，得 5� + 5� = � + 6， ∵ � + � = 2， ∴ � + 6 = 2 × 5， � = 4. 故答案为：D. 【分析】先利用加减消元法将方程组的两式相加得到 5� + 5� = � + 6，进而得到关于 k的一元一次方程， 然后解方程求得 k的值. 12．若关于 x，y 的方程组 �1� + �1� = �1�2� + �2� = �2 的解为 � = 4 � = 5 ，则关于 x，y 方程组 2�1� − �1� = �1 2�2� − �2� = �2 的解为 ． 【答案】 � = 2 � =− 5 13．已知关于 x，y 的二元一次方程组 �1� + �1� = �1�2� + �2� = �2 的解为 � = 2 � = 1，则关于 n，y 的二元一次方程组 �1(� + 3) + �1� − 2�1 = �1 �2(� + 3) + �2� − 2�2 = �2 的解为 ． 4 / 21 【答案】 � =− 1 � = 3 【解析】【解答】解：关于 x、y的方程组 �1(� + 3) + �1� − 2�1 = �1 �2(� + 3) + �2� − 2�2 = �2 可化为 �1(� + 3) + (� − 2)�1 = �1 �2(� + 3) + (� − 2)�2 = �2 ， 与关于 x、y的方程组 �1� + �1� = �1�2� + �2� = �2 为同解方程组， 根据整体换元可知 � + 3 = 2 � − 2 = 1 解得 � =− 1 � = 3 . 故答案为： � =− 1 � = 3 . 【分析】整体法观察两个方程为同解方程，整体换元即可求解 x、y的值. 14．已知关于�，�的方程组 �� + �� = ��� + �� = �的解是 � =− 1 � = 1 ，则方程组 �(� + 5) − �(� − 1) = 3� �(� + 5) − �(� − 1) = 3�的解 是 ． 【答案】 � =− 8 � = 4 【解析】【解答】解：方程组 �(� + 5) − �(� − 1) = 3� �(� + 5) − �(� − 1) = 3�可化为 � ⋅ �+53 + � ⋅ 1−� 3 = � � ⋅ �+53 + � ⋅ 1−� 3 = � ， ∵关于�，�的方程组 �� + �� = ��� + �� = �的解是 � =− 1 � = 1 ， ∴方程组 � ⋅ �+53 + � ⋅ 1−� 3 = � � ⋅ �+53 + � ⋅ 1−� 3 = � 中�+53 =− 1， 1−� 3 = 1， 解得：� =− 8，� =− 2， ∴方程组 �(� + 5) − �(� − 1) = 3��(� + 5) − �(� − 1) = 3�的解是 � =− 8 � =− 2， 故答案为： � =− 8 � =− 2． 【分析】本题考查二元一次方程组的解．先将待求解方程组化为原方程组的形式，又因为方程组的解是 � =− 1 � = 1 ，根据二元一次方程组的解的定义可推出 �+5 3 =− 1， 1−� 3 = 1，解一元一次方程可求出�、�得值， 据此可求出答案． 15．若方程组 2� − 3� = 133� + 5� = 30.9的解是 � = 8.3 � = 1.2，则方程组 2(� + 2) − 3(� − 1) = 13 3(� + 2) + 5(� − 1) = 30.9的解是（ ） A． � = 8.3� = 1.2 B． � = 10.3 � = 1.2 C． � = 6.3 � = 2.2 D． � = 10.3 � = 0.2 【答案】C 【解析】【解答】解：∵方程组 2� − 3� = 13 3� + 5� = 30.9的解是 � = 8.3 � = 1.2， ∴方程组 2(� + 2) − 3(� − 1) = 13 3(� + 2) + 5(� − 1) = 30.9的解是 � + 2 = 8.3 � − 1 = 1.2， 5 / 21 解得 � = 6.3 � = 2.2， 故答案为：C． 【分析】两组方程的系数对应相等，常数项相同，则它们的解也相等，据此建立关于 x、y的二元一次方 程组，求解即可。 16．已知 2� + 3� = 13 3� + 2� = 17，则� + �的值是 ． 【答案】6 【解析】【解答】解： 2� + 3� = 13① 3� + 2� = 17② ， ①×3得：6x+9y=39④， ②×2得：6x+4y=34⑤， ④-⑤得：5y=5， 解得：y=1， 将 y=1代入①得：2x+3=13， 解得：x=5， ∴x+y=5+1=6， 故答案为：6. 【分析】利用加减消元法求出 x=5，y=1，最后代入计算求解即可。也可两式子相加运用整体思想求出即 可。 17． （1）已知关于�，�的二元一次方程组 � + 2� = 2� + 12� − � = � − 2 与方程� − 3� = 2�有相同的解，求�的值． （2）关于�，�的二元一次方程组 5� + 3� = 23� + � = � 的解为正整数，求整数�的值． 【答案】（1）解： � + 2� = 2� + 1① 2�− � = � − 2② ①−②得：−� + 3� = � + 3 ∴ � − 3� =− � − 3 ∵ � − 3� = 2� ∴− � − 3 = 2� ∴ � =− 1 （2）解：∵ 5� + 3� = 23 ∴ � = 23−5�3 ∵ �，�取正整数 ∴ � = 4，� = 1或� = 1，� = 6 ∴ � = � + � = 5或 7 18．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组 17� + 19� = 21① 23� + 25� = 27② 时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且 易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单： 6 / 21 ②-①得：6� + 6� = 6，即� + � = 1.③ ③× 17得：17� + 17� = 17.④ ①-④得：� = 2，代入③得� =− 1. 所以这个方程组的解是 � =− 1 � = 2 . （1）请你运用小明的方法解方程组 1997� + 1999� = 20012017� + 2019� = 2021. （2）规律探究：猜想关于�、�的方程组 �� + (� + 2)� = � + 4�� + (� + 2)� = � + 4 (� ≠ �)的解是 . 【答案】（1）解： 1997� + 1999� = 2001① 2017� + 2019� = 2021② ， ②−①得：20� + 20� = 20，即� + � = 1，③ ③× 1997得：1997� + 1997� = 1997，④ ①−④得：2� = 4，即� = 2， 将� = 2代入③得� =− 1， 所以这个方程组得解是 � =− 1 � = 2 ； （2） � =− 1� = 2 . 【解析】【解答】解：（2） �� + (� + 2)� = � + 4① �� + (� + 2)� = � + 4② (� ≠ �)， ②−①得： (� − �)� + (� − �)� = � − �，即 � + � = 1， ③ ③× �得： �� + �� = �， ④ ①−④得： 2� = 4，解得 � = 2， 将 � = 2代入 ③得： � =− 1， 所以这个方程组得解是 � =− 1 � = 2 ， 故答案为： � =− 1 � = 2 . 【分析】（1）根据阅读材料进行解方程组即可； （2）将方程②-①可得 � + � = 1③，将 ③× �得 �� + �� = � ④，利用 ①−④可求出 � = 2，将其代入③求出 x值即可. 19．综合与实践 问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 7 / 21 解方程组： 4�+3� 3 + 6�−� 8 = 8 4�+3� 6 + 6�−� 2 = 11 ． （1）观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的 (4� + 3�)看成一个整体，把(6� − �)看成一个整体，通过换元，可以解决问题． 设 4� + 3� = �，6� − � = �，则原方程组可化为 ，解关于 m，n的方程组，得 � = 18 � = 16， 所以 4� + 3� = 18 6� − � = 16 ，解方程组，得 ． （2）探索猜想：运用上述方法解下列方程组： 3(2� + �) − 2(� − 2�) = 26 2(2� + �) + 3(� − 2�) = 13． （3）拓展延伸：已知关于 x，y的二元一次方程组 �1� + �1� = �1�2� + �2� = �2 的解为 � = 4 � =− 3，求关于 x，y的方程 组 2�1� + 3�1� = 5�1 2�2� + 3�2� = 5�2 的解． 【答案】（1） � 3 + � 8 = 8 � 6 + � 2 = 11 ； � = 3 � = 2 （2）解：设 2� + � = �，� − 2� = �， 则原方程组可化为 3�− 2� = 26 2�+ 3� = 13， 解关于 m，n的方程组，得 � = 8� =− 1， 所以 2� + � = 8 � − 2� =− 1， 解方程组，得 � = 3 � = 2 （3）解：方程组 2�1� + 3�1� = 5�1 2�2� + 3�2� = 5�2 可化为 �1( 2 5 �) + �1( 3 5�) = �1 �2( 2 5 �) + �2( 3 5�) = �2 ， ∵关于 x，y的二元一次方程组 �1� + �1� = �1�2� + �2� = �2 的解为 � = 4 � =− 3， ∴ 2 5 � = 4 3 5� =− 3 ， ∴ � = 10 � =− 5． 【解析】【解答】解：（1）设 4x+3y=m，6x-y=n， 则原方程组可化为 � 3 + � 8 = 8 � 6 + � 2 = 11 ， 解得： � = 18 � = 16， 8 / 21 ∴ 4� + 3� = 18① 6� − � = 16② ， ①＋②×3，得：22x=66， ∴x=3， 把 x=3代入②得：y=6×3-16=2， ∴方程组的解为 � = 3 � = 2. 故答案为： � 3 + � 8 = 8 � 6 + � 2 = 11 ； � = 3 � = 2. 【分析】（1）设 4x+3y=m，6x-y=n，代入原方程组即可化为关于 m、n的方程组，解得 m、n的值，得新 方程组 4� + 3� = 18 6� − � = 16 ，解之得 x、y的值； （2）令 2x+y=m，x-2y=n，原方程组化为 3�− 2� = 262�+ 3� = 13，解出 m和 n的值代入 2x+y=m，x-2y=n，即可 求出 x和 y的值； （3）先把原方程组化为例题中的形式 �1( 2 5 �) + �1( 3 5�) = �1 �2( 2 5 �) + �2( 3 5�) = �2 ，根据例题中方程组的解得 2 5 � = 4 3 5� =− 3 ，接 着解之得原方程组的解. 三、二元一次方程的应用 20．某校团支部组织优秀团员进行垃圾清理和绿色环保宣传，在分发垃圾袋时，若每人发 2个垃圾袋，则 多 6个，若每人发 3个垃圾袋，则少 6个．设有 x个优秀团员，y个垃圾袋．则下列所列方程组不正确的 是（ ） A． 2� − 6 = �3� + 6 = � B． 2� + 6 = � 3� − 6 = � C． � − 2� = 63� − � = 6 D． � − 6 = 2� � + 6 = 3� 【答案】B 21．某中学组织全校优秀九年级毕业生参加学校夏令营，一共有 x 名学生，分成 y 个学习小组、若每组 10 人，则还差 5人；若每组 9人，还余下 3人．若求夏令营学生的人数所列的方程组为（ ） A． 10� = � − 59� = � + 3 B． 10� = �+ 5 9� = � − 3 C． 10� = � − 59� = � + 3 D． 10� = � + 5 9� = � − 3 【答案】D 22．《孙子算经》是南北朝时期重要的数学专著，包含“鸡兔同笼”等许多有趣的数学问题．如：“今有木， 不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺．木长几何？”大意是：“用一根绳量一根木， 9 / 21 绳剩余 4.5尺；将绳对折再量木，木剩余 1尺．问木长多少？”设木长 x尺，绳长 y尺，则依题意可列方程 组（ ） A． � = � + 4.5� = 2� − 1 B． � = � − 4.5 � = 2� − 1 C． � = � − 4.5 0.5� = � + 1 D． � = � + 4.5 0.5� = � − 1 【答案】B 【解析】【解答】解：设木长 x尺，绳长 y尺，根据题意得 � = � − 4.5 � = 2� − 1 . 故答案为：B 【分析】抓住关键已知条件：用一根绳量一根木，绳剩余 4.5尺；将绳对折再量木，木剩余 1尺，这里包 含两个等量关系，据此列方程即可. 23．有甲、乙、丙三种货物，若购甲 3件．乙 7件、丙 1件，共需 64元，若购甲 4件、乙 10件．丙 1件，共需 79元现购甲、乙、丙各一件，共需（ ）． A．32元 B．33元 C．34元 D．35元 【答案】C 【解析】【解答】解：设甲、乙、丙三种货物的单价分别是 x元、y元、z元，则有 3� + 7� + � = 64① 4� + 10� + � = 79② ， ②-①得 x+3y=15. 而①式可变形为 x+y+z+2(x+3y)=64，代入 x+3y=15得 x+y+z=34. 所以购买甲、乙、 丙各 1件，共需 34元. 故答案为：C. 【分析】注意不需要求出 x、y、z的具体值（实际也无法求出因为欠缺条件），根据题目所求，并运用整 体代入的思维凑出题目所求的式子即可解答. 24．某药店出售�、�两种�95的口罩，已知该店进货 4个�种�95口罩和 3个�种�95口罩共需 27元， 进货 2个�种�95口罩所需费用比进货 1个�种�95口罩所需费用多 1元． （1）请分别求出�、�两种�95口罩的进价是多少元？ （2）已知药店将�种�95口罩每个提价 1元出售，�种�95口罩每个提价 20%出售，小雅在该药店购 买�、�两种�95口罩（两种口罩均要购买）共花费 36元，小雅有哪几种购买方案？ 【答案】（1）�种�95口罩的进价是 3元，�种�95口罩的进价是 5元 （2）共有 2种购买方案，方案 1：购买�种�95口罩 6个，�种�95口罩 2个；方案 2：购买�种�95口罩 3个，�种�95口罩 4个． 25． 某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年礼盒共 60万套，两种礼盒的成本和售价如下表所示． 甲 乙 10 / 21 成本（元/套） 20 24 售价（元/套） 25 30 （1）该工厂计划筹集资金 1340万元，且全部用于生产甲、乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万 套？ （2）经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒 m 万套，增加生产乙种礼盒 n 万套 （m，n 都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润恰为 400万元，请问该工厂有几种生产方案？并 写出所有可行的生产方案． 【答案】（1）解：设甲种礼盒生产�万套，乙种礼盒生产�万套， 根据题意得： � + � = 60 20� + 24� = 1340， 解得： � = 25 � = 35． 答：甲种礼盒生产 25万套，乙种礼盒生产 35万套； （2）解：根据题意得：(25 − 20)(25 + �) + (30 − 24)(35 + �) = 400， ∴ � = 13 − 65 �， 又∵ �，�均为正整数， ∴ � = 7� = 5或 � = 1 � = 10， ∴ 25 + � = 3235+ � = 40或 25 +� = 26 35+ � = 45， ∴该工厂有 2种生产方案， 方案 1：生产甲种礼盒 32万套，乙种礼盒 40万套； 方案 2：生产甲种礼盒 26万套，乙种礼盒 45万套． 【解析】【分析】（1）基本关系：总成本=每套甲种礼盒的成本×生产甲种礼盒的数量+每套乙种礼盒的成 本×生产乙种礼盒的数量，甲种礼盒的数量+乙种礼盒的数量=60，据此列二元一次方程组，解之即可得出 结论； （2）基本关系：总利润=每套甲种礼盒的销售利润×生产甲种礼盒的数量+每套乙种礼盒的销售利润×生 产乙种礼盒的数量，利润=售价-成本，据此列出二元一次方程，再求正整数解，可得方案。 四、二元一次方程几大常考题型 26．已知关于 x，y 的方程组 � + � = � + 4, � − 2� = 4� − 2,给出下列结论： ①当� = 3时，方程组的解也是� + � = 2� + 1的解；②无论 a 取何值，x，y 的值不可能是互为相反 数；③x，y 都为自然数的解有 4对；④若 2� + � = 9，则� = 1． 正确的有（ ） 11 / 21 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】【解答】解： � + � = � + 4① �− 2� = 4� − 2② ， ①−②得 3� = 6 − 3� ∴ � = 2 − �， 将∴ � = 2 − �代入②得� = 2� + 2， ∴方程组的解为 � = 2� + 2� = 2 − � ∴� + � = � + 4 当� = 3时，� + � = 7，而 2� + 1 = 7， ∴①正确； ②∵ � + � = 2� + 2 + 2 − � = � + 4，当� =− 4时，� + � = 0 ∴②不正确； ③∵ � = 2� + 2� = 2 − �、�，�为自然数， ∴� + 2� = 6 ∴ � = 0� = 3或 � = 2 � = 2或 � = 4 � = 1或 � = 6 � = 0， ∴③正确； ④2� + � = 2(2� + 2) + 2 − � = 3� + 6 = 9，解得� = 1， ∴④正确， 综上，正确的有①③④共三个. 故答案为：C． 【分析】①将 a作为字母系数，根据加减消元法解二元一次方程组，用含 a的式子表示出 x、y，然后将 解代入� + � = � + 4即可判断；②求出� + � = � + 4，再根据互为相反数的两个数相加为 0即可求解； ③求出二元一次方程� + 2� = 6的自然数解即可得处结论；④根据整体代入的方法即可求解． 27．定义一种新的运算：�☆� = 2� − �，例如：3☆ −1 = 2 × 3 − −1 = 7，那么 （1）若 −2 ☆� =− 16，那么� = ； （2）若�☆� = 0，且关于 x，y的二元一次方程 � − 1 � + �� + 5 − 2� = 0，当 a，b取不同值时，方 程都有一个公共解，那么公共解为 ． 【答案】12； � = 5� =− 1.5 12 / 21 28．已知关于 x，y的方程组 2� − � = 7 2�� − �� = 4和 � + 2� = 1 �� + 2�� = 7有相同的解． （1）求出它们的相同解； （2）求 � + � 2023的值． 【答案】（1） � = 3� =− 1 （2）−1 29．甲、乙两人同解方程组 �� + 5� = 15① 4� = �� − 2② 时，甲看错了方程①中的�，解得 � = 2� = 1，乙看错②中的�， 解得 � = 5 � = 4，试求� 2022 + ( − �10 ) 2024的值. 【答案】解：2 【解析】【解答】将 � = 2 � = 1代入②，可得：8=b-2，解得：b=10； 将 � = 5 � = 4代入①，可得：5a+20=15，解得：a=-1， ∴�2022 + ( − �10 ) 2024 =（− 1） 2022 + − 1010 2024 = 1 + 1 = 2， 故答案为：2. 【分析】先利用二元一次方程组的解求出 a、b的值，再将 a、b的值代入�2022 + ( − �10 ) 2024计算即可. 五、整式的乘法 30．下列运算正确的是（ ） A．�2 ⋅ �3 = �6 B．�2 + 3� = 4�3 C． −2�2� 3 =− 8�6�3 D． � + 2 � − 2 = �2 − 2 【答案】C 31．计算：22022 × ( − 12 ) 2023 = ． 【答案】− 12或-0.5 【解析】【解答】22022 × ( − 12 ) 2023， = 22022 × ( − 12 ) 2022 × ( − 12 )， = [2 × ( − 12 )] 2022 × ( − 12 )， = ( − 1)2022 × ( − 12 )， = 1 × ( − 12 )， =− 12． 13 / 21 故答案为：− 12． 【分析】利用积的乘方法则：（ab）n=an. bn 进行计算。 32．已知�� = 3，�� = 7，则��+� = ． 【答案】21 【解析】【解答】∵�� = 3，�� = 7， ∴��+� = �� × �� = 3 × 7 = 21， 故答案为：21. 【分析】利用同底数幂的乘法计算方法求解。 33．已知：(2� + 1)(� − 3) = 2�2 + �� + �，则 p，q 的值分别为（ ） A．5，3 B．5，－3 C．－5，3 D．－5，－3 【答案】D 【解析】【解答】解：由题意得(2� + 1)(� − 3) = 2�2 − 5� − 3， ∴p=-5，q=-3， 故答案为：D 【分析】根据多项式乘多项式结合题意化简，进而即可求解。 34．已知� = 344，� = 255，� = 433，则�，�，�的大小关系是（ ） A．� > � > � B．� > � > � C．� > � > � D．� > � > � 【答案】B 【解析】【解答】解：a=344=（34）11=8111， b=255=（25）11=3211， c=433=（43）11=6411， ∵3211＜6411＜8111， ∴a>c>b. 故答案为：B. 【分析】根据幂的乘方法则可得 a=(34)11=8111，b=(25)11=3211，c=(43)11=6411，据此进行比较. 35．若(�2 + �� + 2)(2� − 4)的结果中不含�2项，则�的值为（ ） A．0 B．2 C．12 D．−2 【答案】B 【解析】【解答】 (�2 + �� + 2)(2� − 4) = 2�3 + 2��2 + 4� − 4�2 − 4�� − 8 = 2�3 + 2� − 4 �2 + 4 − 14 / 21 4� � − 8， ∵(�2 + �� + 2)(2� − 4)的结果中不含�2项， ∴2a-4=0，a=2。 故答案为：B。 【分析】先利用多项式乘多项式法则展开，再合并同类项；根据题意可得出含 x²项的系数为 0，算出答 案即可。 36．如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为(4� + 3�)米，宽为(2� + 3�)米的长方形草坪上修建一横两竖，宽度均为 b米的通道． （1）通道的面积共有多少平方米？ （2）若� = 2�，剩余草坪的面积是 216平方米，求出通道的宽度． 【答案】（1）8�2 + 10�� + 2�2 （2）2米 37．用如图所示的正方形和长方形纸片进行拼图活动．请解决以下问题： （1）若要拼成一个长为 3� + 2，宽为� + 3的长方形，则需要 A型纸片 张，B型纸片 张，C型纸片 张． （2）现有 A型纸片 1张，C型纸片 4张，B型纸片若干张，恰好拼成一个正方形，求 B型纸片的张数． （3）现有 A，B，C三种型号的纸片共 12张，恰好能拼成一个长方形（每种纸片都用上），若它的一 边长为� + 2，则需要三种纸片各多少张？(求出所有可能的情况) 【答案】（1）3；11；6 （2）解：设 B型纸片有 b张，则该正方形的面积可表示为�2 + �� + 4， ∵当 b=4时，正方形的面积可写为完全平方式为(� + 2)2 ∴需要 B型纸片 4张. （3）解：根据题意，这个长方形一边长为 x+2，设这边的邻边长为 ax+b， 15 / 21 则长方形的面积为：(x+2)(ax+b)=ax2+bx+2ax+2b=ax2+(b+2a)x+2b， 则有 a张 A纸片，(b+2a)张 B纸片，2b张 C纸片， 因为拼成这个长方形恰好用 12张纸片，所以 a+(b+2a)+2b=12， 即 a+b=4， 因为 a和 b都是正整数，则只有三组正整数解：a=1，b=3；a=2，b=2；a=3，b=1. 所以只有下列三种情形： 方案 1：A纸片 1张，B纸片 5张，C纸片 6张 方案 2：A纸片 2张，B纸片 6张，C纸片 4张 方案 3：A纸片 3张，B纸片 7张，C纸片 2张 【解析】【解答】解：（1）这个长方形的面积为（3x+2）（x+3）=3x2+11x+6， ∵A型纸片的面积为 x2，B型纸片的面积为 x，C型纸片的面积为 1， ∴需要 A型纸片 3张，B型纸片 11张，C型纸片 6张． 故答案为：3，11，6； 【分析】（1）根据长方形的面积公式及多项式乘以多项式法则计算这个长方形的面积，根据每张纸片的面 积即可直接写出答案； （2）设需要 B型纸片 b张，写出这个正方形的面积，当它可以写为完全平方式时求出 b的值即可； （3）设这个长方形一边长为 x+2，设这边的邻边长为 ax+b，根据长方形的面积公式计算这个长方形的面 积，展开成多项式的形式并合并同类项，分别用 a和 b表示出每种纸片需要的张数；根据三种型号的纸片 共 12张，得到 a与 b的数量关系，写出 a与 b所有可能取值的组合，并求出对应各纸片的张数即可. 38．某学校有一块长为（6a+2b）米，宽为（4a+2b）米的长方形空地要铺地砖．如图所示，空白的 A、B 两正方形区域是建筑物，不需要铺地砖．两正方形区域的边长均为（a+b）米． （1）求铺设地砖的面积是多少平方米？ （2）当 a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是多少？ 16 / 21 （3）在（2）的条件下，某种道路防滑地砖的规格是：正方形，边长为 0.2米，每块 1.5元，不考虑其 他因素，如果要购买此种地砖，需要 ▲ 元钱． 【答案】（1）铺设地砖的面积为 (6� + 2�)(4� + 2�) − 2(� + �)2 = 24�2 + 20�� + 4�2 − 2�2 − 4�� − 2�2 = (22�2 + 16�� + 2�2)(平方 米). （2）当� = 2, � = 3时， 22�2 + 16�� + 2�2 = 22 × 22 + 16 × 2 × 3 + 2 × 32 = 202. 所以需要铺地砖的面积为 202平方米. （3）202 ÷ 0. 22 × 1.5 = 7575(元). 六、乘法公式 39．下列各式中，不能用．．．平方差公式计算的是（ ） A．( − � − �)(� − �) B．( − � + �)( − � − �) C．(� + �)( − � + �) D．(� − �)( − � + �) 【答案】D 【解析】【解答】解：A. ( − � − �)(� − �) =− (� + �)(� − �)=y2-x2，不符合题意； B. ( − � + �)( − � − �) = ( − �)2 − �2 = �2 − �2，不符合题意； C. (� + �)( − � + �) = (� + �)(� − �) = �2 − �2不符合题意； D. (� − �)( − � + �) =− (� − �)(� − �) =− (� − �)2，不能用平方差公式进行计算，符合题意； 故答案为：D． 【分析】利用平方差公式的特征逐项判断即可。 40．已知 (� + �)2 = 7 ， (� − �)2 = 3 ，则 �� 的值为（ ） A．1 B．2 C．4 D． 10 【答案】A 【解析】【解答】解：∵(� + �)2 = 7 ， (� − �)2 = 3 ， ∴(� + �)2 − (� − �)2 = 4 ， 即 (�2 + 2�� + �2) − (�2 − 2�� + �2) = 4 ， 化简可得， �� = 1 . 故答案为：A. 【分析】由完全平方公式可得(a+b)2-(a-b)2=4ab，据此计算. 41．为了求 1 + 2 + 22 + 23 +…+ 22008的值，可令� = 1 + 2 + 22 + 23 +… + 22008，则 2� = 2 + 22 + 23 + 17 / 21 24 +… + 22008，因此 2� − � = 22009 − 1，所以 1 + 2 + 22 + 23 +… + 22008 = 22009 − 1．仿照以上推理计 算出 1 + 5 + 52 + 53 +…+ 52009的值是 A．52009 − 1 B．52010 − 1 C．52009−14 D． 52010−1 4 【答案】D 42．已知(� + 12�) 2 = �2 + ��� + 14� 2，则�的值为 . 【答案】1 【解析】【解答】解： ∵(� + 12 �) 2 = �2 + ��+ 14� 2 = �2 + ��� + 14� 2， ∴xy=axy， ∴a=1. 故答案为：1. 【分析】利用完全平方公式将等式左边展开，利用等式对应项系数相等即可求解. 43．利用平方差公式，可以得到 2+ 1 22 + 1 24 + 1 … 232 + 1 +1 = ． 【答案】264 44．数学活动课上，老师准备了若干个如图 1的三种纸片，A种纸片是边长为 a的正方形，B种纸片是边 长为 b的正方形，C种纸片是长为 b、宽为 a的长方形．用 A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张 可拼成如图 2的大正方形． （1）观察图 2，请你直接写出下列三个代数式：(� + �)2，�2 + �2，��之间的等量关系为_____． （2）晓晓同学利用上面的纸片拼出了一个面积为�2 + 3�� + 2�2的长方形，这个长方形相邻两边长为 _______、_______． （3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：� + � = 5，�2 + �2 = 13，求��的值； ②已知： � − 2023 2 + �− 2025 2 = 34，求(� − 2024)2的值． 【答案】（1）(� + �)2 = �2 + �2 + 2�� （2）� + �，� + 2� （3）①�� = 6；② � − 2024 2 = 16 45．【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第 112页的第 7题：已知� + � = 5，�� = 3，求�2 + �2的值． 18 / 21 【例题讲解】老师讲解了这道题的两种方法： 方法一 方法二 ∵� + � = 5， ∴ � + � 2 = 25． ∴�2 + 2�� + �2 = 25． ∵�� = 3， ∴�2 + �2 = 25 − 2�� = 25 − 6 = 19． ∵ � + � 2 = �2 + 2�� + �2， �2 + �2 = � + � 2 − 2��． ∵� + � = 5，�� = 3， ∴�2 + �2 = 25 − 6 = 19． 【方法运用】请你参照上面两种解法中的一种来解答问题． （1）已知� − � = 1，�2 + �2 = 9，求��； （2）若� + 1� = 2，求� 2 + 1�2； （3）若 9 − � � − 5 = 1，求 9 − � 2 + 5− � 2的值． 【拓展提升】 （4）如图，在六边形������中，对角线��和��相交于点�，当四边形����和四边形����都为正方 形时，若�� = 10，正方形����和正方形����的面积和为 28，直接写出阴影部分的面积． 【答案】（1）4；（2）2；（3）14；（4）36 46．仔细观察，探索规律： （1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2； （a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3； （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4． （a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝① （其中 n为正整数，且 n≥2）． ②（2﹣1）（2+1）＝ ；③（2﹣1）（22+2+1）＝ ； ④（2﹣1）（23+22+2+1）＝ ；⑤（2n﹣1+2n﹣2+…+2+1）＝ ； （2）根据上述规律，求 22019+22018+22017+…+2+1的个位数字是多少？ （3）根据上述规律，求 29﹣28+27﹣…+23﹣22+2的值？ 【答案】（1）①an﹣bn②22﹣1；③23﹣1；④24﹣1；⑤2n﹣1；（2）5；（3）342 47．可以利用几何直观的方法获得一些代数结论，如： 19 / 21 例 1：如图，可得等式：� � + � = �� + ��；． 例 2：如图，可得等式： � + 26 � + � = �2 + 3�� + 2�2． （1）如图 1，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为� + � + �的正方形，从中你发现 的结论用等式表示为____________________． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知� + � + � = 10，�2 + �2 + �2 = 36．求�� + �� + �� 的值． （3）如图 2，拼成����为大长方形，记长方形����的面积与长方形����的面积差为 S．设�� = �， 若 S的值与��无关，求 a与 b之间的数量关系． 【答案】（1） � + � + � 2 = �2 + �2 + �2 + 2�� + 2�� + 2�� （2）32 （3）� = 2� 48．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构道法 则：两腰上的数都是 1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了 � + � �（n为正整数）自展开式 （按 a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如，在三角形中第三行的三个数 1，2，1，恰好对应 � + � 2 = �2 + 2�� + �2展开式中的系数等等． （1）根据上面的规律， � + � 4的展开式为 ； （2）① � + � 9的展开式中共有 项，所有项的系数之和为 ； 20 / 21 ②推测 � + � 11的展开式中共有 项，所有项的系数之和为 ； （3）利用上述规律求116的值，并写出求解过程． 【答案】（1）(� + �)4 = �4 + 4�3� + 6�2�2 + 4��3 + �4 （2）①十，29；②十二，211 （3）1771561 49．【尝试计算】 （1）计算： ① � + � �2 − �� + �2 ； ② � − � �2 + �� + �2 ； 【阅读思考】 （2）我们知道，利用整式的乖运算，有时可以将几个整式的乘积转化为一个多项式的形式，而因式分 解则是把一个多项式转化成几个整式的乘积的形式，所以因式分解与整式乘法是方向相反的两个变形．利 用这一关系，请结合（1）中的计算过程，尝试写出因式分解的两个公式； 【启发应用】 （3）利用（2）中的两个公式把下列各式分解因式： ①�3 − 1； ②�3 +8�3． 【答案】（1）①�3 + �3；②�3 − �3；（2）①�3 + �3 = �+ � �2 − ��+ �2 ，②�3 − �3 = � − � �2 + ��+ �2 ；（3）①�3 − 1 = � − 1 �2 + �+ 1 ；②�3 +8�3 = � + 2� �2 − 2�� + 4�2 ． 50．数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何） 侧重研究物体形的方面，具有直观性．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式 的乘法运算时，利用几何直观的方法和面积法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 【问题探究】 探究 1：如图 1所示，大正方形的边长是 � + � ，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方 形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论： � + � 2 = �2 +2�� + �2 21 / 21 探究 2：请你根据探究 1所使用的等积法，从图 2中探究出 � + � + � 2的结果． 【形成结论】 （1）探究 2中 � + � + � 2 = ； 【应用结论】 （2）利用（1）问所得到的结论求解： 已知� + � + � = 0，�2 + �2 + �2 = 4，求�� + �� + ��的值； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，求� 2�2+�2�2+�2�2 �2+��+�2 的值． 【答案】（1） �2 + �2 + �2 + 2�� + 2�� + 2��；（2）�� + �� + �� =− 2；（3）� 2�2+�2�2+�2�2 �2+��+�2 = 2 1 / 10 2024 年 湘教版 七年级下册 第一——第二单元常考题型汇总 一、二元一次方程的基本认知 1．已知方程 2� − � = 4，用含�的代数式表示�，则� = ． 2．已知(� − 2)�|�−3| + 3� = 5是关于 x，y的二元一次方程，则� = ． 3．已知方程�� + � = 3� − 1是关于 x，y的二元一次方程，则 a满足的条件是（ ） A．� ≠ 0 B．� ≠− 1 C．� ≠ 3 D．� ≠− 3 4．下列各式中，是关于�，�的二元一次方程的是（ ） A．2� − � B．� − 4� = 9 C．�� − 5 = � D．3� − � = 0 5．下列各方程组中，是二元一次方程组的是( ) A． � + 1 3� = 1 � = �2 B． 3� − 2� = 52� − � = 10 C． � 3+ � 2 = 1 �� = 1 D． � − � = 27 � + 1.1� = 405 二、二元一次方程常见解法 6． 已知方程|� − 2� + 4| + (2� + 5� − 1)2 = 0，则(� + �)2024 = 7．已知关于 x，y的二元一次方程组 2� + 3� = �� + 2� =− 1 的解互为相反数，则 k的值是 ． 8．已知方程组 2� + � = 1 �� + (� − 1)� = 19的解满足� + � = 3，则�的值为（ ） A．� =− 8 B．� = 2 C．� = 8 D．� =− 2 9．已知 x = 1 y = 2是关于 x，y 的二元一次方程 2x﹣my＝10的一个解，则 m 的值为（ ） A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4 10．如图，将 9个不同的数填在 3 × 3的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等， 以下方程组符合题意的是（ ） A． 1 + � =− 1+ �+ 7�+ � = 7 + � B． �+ � = 1 − 1 1+ � = 7+ � C． 1 + � =− 1+ �+ 71+ � = 7+ � D． �+ � = 1 − 1 �+ � = 7 + � 11．已知方程组 3� + 4� = � + 2 2� + � = 4 的解满足� + � = 2，则�的值为（ ） 2 / 10 A．−2 B．−4 C．2 D．4 12．若关于 x，y 的方程组 �1� + �1� = �1�2� + �2� = �2 的解为 � = 4 � = 5 ，则关于 x，y 方程组 2�1� − �1� = �1 2�2� − �2� = �2 的解为 ． 13．已知关于 x，y 的二元一次方程组 �1� + �1� = �1�2� + �2� = �2 的解为 � = 2 � = 1，则关于 n，y 的二元一次方程组 �1(� + 3) + �1� − 2�1 = �1 �2(� + 3) + �2� − 2�2 = �2 的解为 ． 14．已知关于�，�的方程组 �� + �� = ��� + �� = �的解是 � =− 1 � = 1 ，则方程组 �(� + 5) − �(� − 1) = 3� �(� + 5) − �(� − 1) = 3�的解 是 ． 15．若方程组 2� − 3� = 133� + 5� = 30.9的解是 � = 8.3 � = 1.2，则方程组 2(� + 2) − 3(� − 1) = 13 3(� + 2) + 5(� − 1) = 30.9的解是（ ） A． � = 8.3� = 1.2 B． � = 10.3 � = 1.2 C． � = 6.3 � = 2.2 D． � = 10.3 � = 0.2 16．已知 2� + 3� = 13 3� + 2� = 17，则� + �的值是 ． 17． （1）已知关于�，�的二元一次方程组 � + 2� = 2� + 12� − � = � − 2 与方程� − 3� = 2�有相同的解，求�的值． （2）关于�，�的二元一次方程组 5� + 3� = 23� + � = � 的解为正整数，求整数�的值． 18．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组 17� + 19� = 21① 23� + 25� = 27② 时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且 易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单： ②-①得：6� + 6� = 6，即� + � = 1.③ ③× 17得：17� + 17� = 17.④ ①-④得：� = 2，代入③得� =− 1. 所以这个方程组的解是 � =− 1 � = 2 . （1）请你运用小明的方法解方程组 1997� + 1999� = 20012017� + 2019� = 2021. （2）规律探究：猜想关于�、�的方程组 �� + (� + 2)� = � + 4�� + (� + 2)� = � + 4 (� ≠ �)的解是 . 19．综合与实践 问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组： 4�+3� 3 + 6�−� 8 = 8 4�+3� 6 + 6�−� 2 = 11 ． （1）观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的 3 / 10 (4� + 3�)看成一个整体，把(6� − �)看成一个整体，通过换元，可以解决问题． 设 4� + 3� = �，6� − � = �，则原方程组可化为 ，解关于 m，n的方程组，得 � = 18 � = 16， 所以 4� + 3� = 18 6� − � = 16 ，解方程组，得 ． （2）探索猜想：运用上述方法解下列方程组： 3(2� + �) − 2(� − 2�) = 26 2(2� + �) + 3(� − 2�) = 13． （3）拓展延伸：已知关于 x，y的二元一次方程组 �1� + �1� = �1�2� + �2� = �2 的解为 � = 4 � =− 3，求关于 x，y的方程 组 2�1� + 3�1� = 5�1 2�2� + 3�2� = 5�2 的解． 三、二元一次方程的应用 20．某校团支部组织优秀团员进行垃圾清理和绿色环保宣传，在分发垃圾袋时，若每人发 2个垃圾袋，则 多 6个，若每人发 3个垃圾袋，则少 6个．设有 x个优秀团员，y个垃圾袋．则下列所列方程组不正确的 是（ ） A． 2� − 6 = �3� + 6 = � B． 2� + 6 = � 3� − 6 = � C． � − 2� = 63� − � = 6 D． � − 6 = 2� � + 6 = 3� 21．某中学组织全校优秀九年级毕业生参加学校夏令营，一共有 x 名学生，分成 y 个学习小组、若每组 10 人，则还差 5人；若每组 9人，还余下 3人．若求夏令营学生的人数所列的方程组为（ ） A． 10� = � − 59� = � + 3 B． 10� = �+ 5 9� = � − 3 C． 10� = � − 59� = � + 3 D． 10� = � + 5 9� = � − 3 22．《孙子算经》是南北朝时期重要的数学专著，包含“鸡兔同笼”等许多有趣的数学问题．如：“今有木， 不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺．木长几何？”大意是：“用一根绳量一根木， 绳剩余 4.5尺；将绳对折再量木，木剩余 1尺．问木长多少？”设木长 x尺，绳长 y尺，则依题意可列方程 组（ ） A． � = � + 4.5� = 2� − 1 B． � = � − 4.5 � = 2� − 1 C． � = � − 4.5 0.5� = � + 1 D． � = � + 4.5 0.5� = � − 1 23．有甲、乙、丙三种货物，若购甲 3件．乙 7件、丙 1件，共需 64元，若购甲 4件、乙 10件．丙 1件，共需 79元现购甲、乙、丙各一件，共需（ ）． A．32元 B．33元 C．34元 D．35元 24．某药店出售�、�两种�95的口罩，已知该店进货 4个�种�95口罩和 3个�种�95口罩共需 27元， 进货 2个�种�95口罩所需费用比进货 1个�种�95口罩所需费用多 1元． 4 / 10 （1）请分别求出�、�两种�95口罩的进价是多少元？ （2）已知药店将�种�95口罩每个提价 1元出售，�种�95口罩每个提价 20%出售，小雅在该药店购 买�、�两种�95口罩（两种口罩均要购买）共花费 36元，小雅有哪几种购买方案？ 25． 某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年礼盒共 60万套，两种礼盒的成本和售价如下表所示． 甲 乙 成本（元/套） 20 24 售价（元/套） 25 30 （1）该工厂计划筹集资金 1340万元，且全部用于生产甲、乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万 套？ （2）经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒 m 万套，增加生产乙种礼盒 n 万套 （m，n 都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润恰为 400万元，请问该工厂有几种生产方案？并 写出所有可行的生产方案． 四、二元一次方程几大常考题型 26．已知关于 x，y 的方程组 � + � = � + 4, � − 2� = 4� − 2,给出下列结论： ①当� = 3时，方程组的解也是� + � = 2� + 1的解；②无论 a 取何值，x，y 的值不可能是互为相反 数；③x，y 都为自然数的解有 4对；④若 2� + � = 9，则� = 1． 正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27．定义一种新的运算：�☆� = 2� − �，例如：3☆ −1 = 2 × 3 − −1 = 7，那么 （1）若 −2 ☆� =− 16，那么� = ； （2）若�☆� = 0，且关于 x，y的二元一次方程 � − 1 � + �� + 5 − 2� = 0，当 a，b取不同值时，方 程都有一个公共解，那么公共解为 ． 28．已知关于 x，y的方程组 2� − � = 7 2�� − �� = 4和 � + 2� = 1 �� + 2�� = 7有相同的解． （1）求出它们的相同解； （2）求 � + � 2023的值． 29．甲、乙两人同解方程组 �� + 5� = 15① 4� = �� − 2② 时，甲看错了方程①中的�，解得 � = 2� = 1，乙看错②中的�， 解得 � = 5 � = 4，试求� 2022 + ( − �10 ) 2024的值. 五、整式的乘法 30．下列运算正确的是（ ） 5 / 10 A．�2 ⋅ �3 = �6 B．�2 + 3� = 4�3 C． −2�2� 3 =− 8�6�3 D． � + 2 � − 2 = �2 − 2 31．计算：22022 × ( − 12 ) 2023 = ． 32．已知�� = 3，�� = 7，则��+� = ． 33．已知：(2� + 1)(� − 3) = 2�2 + �� + �，则 p，q 的值分别为（ ） A．5，3 B．5，－3 C．－5，3 D．－5，－3 34．已知� = 344，� = 255，� = 433，则�，�，�的大小关系是（ ） A．� > � > � B．� > � > � C．� > � > � D．� > � > � 35．若(�2 + �� + 2)(2� − 4)的结果中不含�2项，则�的值为（ ） A．0 B．2 C．12 D．−2 36．如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为(4� + 3�)米，宽为(2� + 3�)米的长方形草坪上修建一横两竖，宽度均为 b米的通道． （1）通道的面积共有多少平方米？ （2）若� = 2�，剩余草坪的面积是 216平方米，求出通道的宽度． 37．用如图所示的正方形和长方形纸片进行拼图活动．请解决以下问题： （1）若要拼成一个长为 3� + 2，宽为� + 3的长方形，则需要 A型纸片 张，B型纸片 张，C型纸片 张． （2）现有 A型纸片 1张，C型纸片 4张，B型纸片若干张，恰好拼成一个正方形，求 B型纸片的张数． （3）现有 A，B，C三种型号的纸片共 12张，恰好能拼成一个长方形（每种纸片都用上），若它的一 边长为� + 2，则需要三种纸片各多少张？(求出所有可能的情况) 38．某学校有一块长为（6a+2b）米，宽为（4a+2b）米的长方形空地要铺地砖．如图所示，空白的 A、B 两正方形区域是建筑物，不需要铺地砖．两正方形区域的边长均为（a+b）米． 6 / 10 （1）求铺设地砖的面积是多少平方米？ （2）当 a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是多少？ （3）在（2）的条件下，某种道路防滑地砖的规格是：正方形，边长为 0.2米，每块 1.5元，不考虑其 他因素，如果要购买此种地砖，需要 ▲ 元钱． 六、乘法公式 39．下列各式中，不能用．．．平方差公式计算的是（ ） A．( − � − �)(� − �) B．( − � + �)( − � − �) C．(� + �)( − � + �) D．(� − �)( − � + �) 40．已知 (� + �)2 = 7 ， (� − �)2 = 3 ，则 �� 的值为（ ） A．1 B．2 C．4 D． 10 41．为了求 1 + 2 + 22 + 23 +…+ 22008的值，可令� = 1 + 2 + 22 + 23 +… + 22008，则 2� = 2 + 22 + 23 + 24 +… + 22008，因此 2� − � = 22009 − 1，所以 1 + 2 + 22 + 23 +… + 22008 = 22009 − 1．仿照以上推理计 算出 1 + 5 + 52 + 53 +…+ 52009的值是 A．52009 − 1 B．52010 − 1 C．52009−14 D． 52010−1 4 42．已知(� + 12�) 2 = �2 + ��� + 14� 2，则�的值为 . 43．利用平方差公式，可以得到 2+ 1 22 + 1 24 + 1 … 232 + 1 +1 = ． 44．数学活动课上，老师准备了若干个如图 1的三种纸片，A种纸片是边长为 a的正方形，B种纸片是边 长为 b的正方形，C种纸片是长为 b、宽为 a的长方形．用 A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张 可拼成如图 2的大正方形． （1）观察图 2，请你直接写出下列三个代数式：(� + �)2，�2 + �2，��之间的等量关系为_____． （2）晓晓同学利用上面的纸片拼出了一个面积为�2 + 3�� + 2�2的长方形，这个长方形相邻两边长为 _______、_______． （3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： 7 / 10 ①已知：� + � = 5，�2 + �2 = 13，求��的值； ②已知： � − 2023 2 + �− 2025 2 = 34，求(� − 2024)2的值． 45．【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第 112页的第 7题：已知� + � = 5，�� = 3，求�2 + �2的值． 【例题讲解】老师讲解了这道题的两种方法： 方法一 方法二 ∵� + � = 5， ∴ � + � 2 = 25． ∴�2 + 2�� + �2 = 25． ∵�� = 3， ∴�2 + �2 = 25 − 2�� = 25 − 6 = 19． ∵ � + � 2 = �2 + 2�� + �2， �2 + �2 = � + � 2 − 2��． ∵� + � = 5，�� = 3， ∴�2 + �2 = 25 − 6 = 19． 【方法运用】请你参照上面两种解法中的一种来解答问题． （1）已知� − � = 1，�2 + �2 = 9，求��； （2）若� + 1� = 2，求� 2 + 1�2； （3）若 9 − � � − 5 = 1，求 9 − � 2 + 5− � 2的值． 【拓展提升】 （4）如图，在六边形������中，对角线��和��相交于点�，当四边形����和四边形����都为正方 形时，若�� = 10，正方形����和正方形����的面积和为 28，直接写出阴影部分的面积． 46．仔细观察，探索规律： （1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2； （a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3； （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4． （a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝① （其中 n为正整数，且 n≥2）． ②（2﹣1）（2+1）＝ ；③（2﹣1）（22+2+1）＝ ； ④（2﹣1）（23+22+2+1）＝ ；⑤（2n﹣1+2n﹣2+…+2+1）＝ ； （2）根据上述规律，求 22019+22018+22017+…+2+1的个位数字是多少？ （3）根据上述规律，求 29﹣28+27﹣…+23﹣22+2的值？ 8 / 10 47．可以利用几何直观的方法获得一些代数结论，如： 例 1：如图，可得等式：� � + � = �� + ��；． 例 2：如图，可得等式： � + 26 � + � = �2 + 3�� + 2�2． （1）如图 1，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为� + � + �的正方形，从中你发现 的结论用等式表示为____________________． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知� + � + � = 10，�2 + �2 + �2 = 36．求�� + �� + �� 的值． （3）如图 2，拼成����为大长方形，记长方形����的面积与长方形����的面积差为 S．设�� = �， 若 S的值与��无关，求 a与 b之间的数量关系． 48．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构道法 则：两腰上的数都是 1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了 � + � �（n为正整数）自展开式 （按 a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如，在三角形中第三行的三个数 1，2，1，恰好对应 � + � 2 = �2 + 2�� + �2展开式中的系数等等． （1）根据上面的规律， � + � 4的展开式为 ； （2）① � + � 9的展开式中共有 项，所有项的系数之和为 ； ②推测 � + � 11的展开式中共有 项，所有项的系数之和为 ； （3）利用上述规律求116的值，并写出求解过程． 9 / 10 49．【尝试计算】 （1）计算： ① � + � �2 − �� + �2 ； ② � − � �2 + �� + �2 ； 【阅读思考】 （2）我们知道，利用整式的乖运算，有时可以将几个整式的乘积转化为一个多项式的形式，而因式分 解则是把一个多项式转化成几个整式的乘积的形式，所以因式分解与整式乘法是方向相反的两个变形．利 用这一关系，请结合（1）中的计算过程，尝试写出因式分解的两个公式； 【启发应用】 （3）利用（2）中的两个公式把下列各式分解因式： ①�3 − 1； ②�3 +8�3． 50．数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何） 侧重研究物体形的方面，具有直观性．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式 的乘法运算时，利用几何直观的方法和面积法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 【问题探究】 探究 1：如图 1所示，大正方形的边长是 � + � ，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方 形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论： � + � 2 = �2 +2�� + �2 探究 2：请你根据探究 1所使用的等积法，从图 2中探究出 � + � + � 2的结果． 【形成结论】 （1）探究 2中 � + � + � 2 = ； 【应用结论】 （2）利用（1）问所得到的结论求解： 已知� + � + � = 0，�2 + �2 + �2 = 4，求�� + �� + ��的值； 【拓展应用】 10 / 10 （3）在（2）的条件下，求� 2�2+�2�2+�2�2 �2+��+�2 的值．