九年级开学摸底测试卷（一）-【暑假分层作业】2024年八年级数学暑假培优练（苏科版）

九年级开学摸底测试卷（一） 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（2024·江苏扬州·二模）下列窗花作品是轴对称图形但不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）为了解某校3000名学生的体重情况，随机抽取了100名学生的体重进行统计分析．在该问题中，下列说法正确的是（    ） A．这100名学生是总体的一个样本 B．每个学生是个体 C．这3000名学生体重的全体是总体 D．样本容量是100名学生 4．（2024八年级下·江苏·专题练习）在一个不透明的袋子中装有5个红球，3个白球，这些球除了颜色外都相同，从中随机抽出4个球，下列事件中，必然事件是（    ） A．至少有一个球是红球 B．至少有一个球是白球 C．至少有两个球是红球 D．至少有两个球是白球 5．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知，化简（　　） A． B． C． D． 6．（2024·江苏泰州·二模）已知点、在反比例函数的图像上，若，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2024·江苏镇江·二模）如图，中，，是的中位线，点在上，且．若，，则长为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2024·河北石家庄·一模）如图，直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不包括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），则的取值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠部分构成一个四边形，对角线，，过点作于点，则的长是（    ） A． B． C． D． 10．（22-23九年级上·四川达州·期末）如图，在直角坐标系中，以坐标原点，，为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点，且点恰好在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A．36 B．25 C．16 D．9 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（20-21八年级下·广东广州·期中）依次连接菱形各边中点所得到的四边形是 ． 12．（2024·江苏南京·三模）计算的结果是 ． 13．（2024八年级下·江苏·专题练习）某水果批发商运来一批水果，其中有西瓜2000千克，苹果800千克，梨700千克，草莓若干，用扇形统计图（如图）表示如下，其中草莓有 千克，如果用条形统计图来表示，则西瓜、苹果、梨、草莓四个条形的高度之比是 ． 14．（2024·江苏镇江·二模）反比例函数，当时，函数y的最大值与最小值之差为6， 则 ． 15．（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，在矩形中，，，对角线与相交于点，点为边上的一个动点，，，垂足分别为，，则 16．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）若关于x的分式方程有增根，则a的值为 ． 17．（2024·安徽合肥·二模）如图，正方形的顶点，在双曲线上，顶点在双曲线上，轴，正方形的面积为，则的值是 ． 18．（2024·河南南阳·一模）如图，矩形的边长为2，将沿对角线翻折得到，与交于点E，再将沿进行翻折，得到．若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为 ． 三、解答题（10小题，共64分） 19．（23-24八年级下·河南安阳·期中）计算： (1)； (2)． 20．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）解分式方程： (1)； (2)． 21．（2024·江苏扬州·二模）先化简，再从，0，3，中选择一个适当的数作为a的值代入求值． 22．（23-24八年级下·江苏南京·期中）已知四边形为矩形，点是边的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．       (1)在图1中作出矩形的对称轴，使； (2)在图2中作出矩形的对称轴，使． 23．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）在一个不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球观察它的颜色．下列事件：①摸出的球是红色；②摸出的球是白色；③摸出的球是黄色；④摸出的球不是白色；⑤摸出的球不是黄色，估计各事件发生的可能性大小，回答下列问题： (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列．（用序号表示） 24．（23-24九年级下·江苏扬州·阶段练习）适当的劳动对青少年的成长和发展具有十分重要的意义，为了解九年级学生每周家务劳动的总时长，某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了九年级部分学生，对他们一周内家务劳动总时间t（单位：小时）进行了调查，并将数据整理后得到下列不完整的统计图表： 组别 家务劳动总时间分组 频数 A 5 B 7 C 10 D 19 E a      请根据图表信息回答下列问题： (1)频数分布表中，______； (2)扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是______； (3)请估计该校700名九年级学生中一周内家务劳动总时间不少于8小时的人数， 25．（2024·江苏苏州·二模）如图，平面直角坐标系中，两点在轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，且与边相交于点，连接交于点． (1)若，则点的坐标为______； (2)连接，若的面积为，求的值． 26．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________； (2)化简：； (3)已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________． 27．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边，边，直线：与矩形的边和都有交点，交点分别是点与点． (1)请用含的代数式分别表示点和点的坐标：______，______； (2)当四边形为平行四边形时，求的值； (3)若要使在平面内存在点，使以点、、、这四点为顶点的四边形为菱形，是否存在满足条件的的值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 28．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）如图，反比例函数（）的图象经过线段的端点，把线段沿轴正方向平移3个单位得到线段，与上述反比例函数的图象相交于点，点的横坐标为4．    (1)求的值和直线的解析式； (2)在轴上是否存在点，使得的值最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若为函数（）的图象上一动点，过点作直线轴于点，直线与四边形在轴上方的一边交于点，设点的横坐标为，且，当，求出的值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级开学摸底测试卷（一） 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（2024·江苏扬州·二模）下列窗花作品是轴对称图形但不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式的分母不能为0得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故选：A． 3．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）为了解某校3000名学生的体重情况，随机抽取了100名学生的体重进行统计分析．在该问题中，下列说法正确的是（    ） A．这100名学生是总体的一个样本 B．每个学生是个体 C．这3000名学生体重的全体是总体 D．样本容量是100名学生 【答案】C 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、这100名学生的体重是总体的一个样本，原说法错误，不符合题意； B、每个学生的体重是个体，原说法错误，不符合题意； C、这3000名学生体重的全体是总体，原说法正确，符合题意； D、样本容量是100，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 4．（2024八年级下·江苏·专题练习）在一个不透明的袋子中装有5个红球，3个白球，这些球除了颜色外都相同，从中随机抽出4个球，下列事件中，必然事件是（    ） A．至少有一个球是红球 B．至少有一个球是白球 C．至少有两个球是红球 D．至少有两个球是白球 【答案】A 【分析】本题考查了必然事件的定义，根据题意列举所有可能，即可求解，根据题意列举所有可能是解题的关键． 【详解】解：∵在一个不透明的袋子中装有5个红球，3个白球，这些球除了颜色外都相同，从中随机抽出4个球，可以是4个红球，3个红球和1个白球，2个红球和2个白球，1个红球和3个白球， ∴至少有一个球是红球， 故选：A． 5．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知，化简（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．利用进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：B． 6．（2024·江苏泰州·二模）已知点、在反比例函数的图像上，若，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据题意可知，反比例函数的图像在第二、四象限，即可求出k的取值范围． 【详解】解：，且， ∴反比例函数的图像在第二、四象限， ， ， 故选：B． 7．（2024·江苏镇江·二模）如图，中，，是的中位线，点在上，且．若，，则长为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是直角三角形斜边的中线性质、三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”．先根据勾股定理求出，再根据三角形中位线定理求出的长，再由直角三角形的性质求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：在中，， ，， ， 为中位线，， ． ，， ， ． 故选：A． 8．（2024·河北石家庄·一模）如图，直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不包括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），则的取值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】若直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不位括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），则取，此时反比例函数过整点，，，则这5个整点是，，，，，从而得到当的值是4，满足题意，即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 直线一定过点，， 把代入得，，此时反比例函数过整点，，， 阴影部分（不位括边界）有，，，，，5个整点， 的取值可能是4， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象，一次函数图象上点的坐标特征，利用图象确定的值是解题的关键． 9．（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠部分构成一个四边形，对角线，，过点作于点，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，垂足为，设与相交于点，根据菱形的判定与性质可知，最后利用菱形面积的两种表示方法即可解答． 【详解】解：作，垂足为，设与相交于点， ∵两张等宽的纸条，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 答：的长是； 故选． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，菱形面积的两种计算方式，掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 10．（22-23九年级上·四川达州·期末）如图，在直角坐标系中，以坐标原点，，为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点，且点恰好在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A．36 B．25 C．16 D．9 【答案】A 【分析】过P分别作轴、y轴的垂线，垂足分别为，如图，利用勾股定理计算出，根据角平分线的性质得，设，利用面积的和差求出t得到P点坐标，然后把P点坐标代入中求出k的值． 【详解】解：过P分别作轴、y轴的垂线，垂足分别为，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P， ∴， ∴， 设，则PC＝t， ∵， ∴， 解得， ∴， 把代入得． 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了角平分线的性质和三角形面积公式． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（20-21八年级下·广东广州·期中）依次连接菱形各边中点所得到的四边形是 ． 【答案】矩形 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，平行线性质等知识点的运用，主要考查学生能否正确运用性质进行推理，题目比较典型，难度适中．连接、交于，根据三角形的中位线定理推出，，得出四边形是平行四边形，根据菱形性质推出，推出，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、交于， 、、、分别是、、、的中点， ，，，， ，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ，， ， ， 平行四边形是矩形， 故答案为：矩形． 12．（2024·江苏南京·三模）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加法和乘法，二次根式的性质， 首先计算二次根式的乘法，然后化简二次根式，然后计算加减． 【详解】 ． 故答案为：． 13．（2024八年级下·江苏·专题练习）某水果批发商运来一批水果，其中有西瓜2000千克，苹果800千克，梨700千克，草莓若干，用扇形统计图（如图）表示如下，其中草莓有 千克，如果用条形统计图来表示，则西瓜、苹果、梨、草莓四个条形的高度之比是 ． 【答案】 100 【分析】本题考查扇形统计图的运用．解题的关键是读懂统计图，明白统计图中数据所表示的意义．梨有700千克，所占百分比为，则可求出水果总数，减去西瓜、苹果、梨就可以得到草莓重量；西瓜、苹果、梨、草莓四个条形的高度之比就是各自质量的比． 【详解】解：千克 草莓有千克 西瓜2000千克，苹果800千克，梨700千克，草莓100千克 西瓜、苹果、梨、草莓四个条形的高度之比是， 故答案为：100；． 14．（2024·江苏镇江·二模）反比例函数，当时，函数y的最大值与最小值之差为6， 则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据，反比例函数在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，结合，函数y的最大值与最小值之差为6，进行列式，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数 ∴反比例函数在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小 ∵当时，函数y的最大值与最小值之差为6， ∴， 解得， 故答案为：9． 15．（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，在矩形中，，，对角线与相交于点，点为边上的一个动点，，，垂足分别为，，则 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理，连接，根据矩形的性质和勾股定理求出，从而求出，进而表示出，可得即可求解． 【详解】解：连接 ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）若关于x的分式方程有增根，则a的值为 ． 【答案】 【分析】先化分式方程为整式方程，把分母为零的x值代入整式方程，计算即可．本题考查的是含参数分式方程有增根的问题，掌握分式的增根的意义是解题的关键． 【详解】将方程去分母得到： ， 整理，得， ∵分式会产生增根， ∴ 解得， 当时，， 解得； 故答案为：． 17．（2024·安徽合肥·二模）如图，正方形的顶点，在双曲线上，顶点在双曲线上，轴，正方形的面积为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，正方形的性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像与性质．过点分别作轴、轴的垂线，垂足为，，设，则点，，根据反比例函数的性质求出，，进而求出点的坐标，即可求解． 【详解】解：过点分别作轴、轴的垂线，垂足为，， 设，易知， 点，， ， 或（舍去）， ， ， 故答案为：． 18．（2024·河南南阳·一模）如图，矩形的边长为2，将沿对角线翻折得到，与交于点E，再将沿进行翻折，得到．若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为 ． 【答案】或 【分析】根据题意分两种情况讨论：①当点恰好落在上时，由翻折以及矩形的性质利用可证明，然后根据等腰三角形的性质求出的长，再依据勾股定理求解即可；②当点恰好落在上时，同理利用可证明，根据全等三角形的性质可得出的长，再根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵沿对角线翻折得到， ∴，， ∵以为折痕，将进行翻折，得到， ∴，， ①当点恰好落在上时，如图， 在和中， ∴ ∴，即为等腰三角形， ∵ ∴点为中点， ∴， 在中，有， 即，解得 ②当点恰好落在上时，如图， ∵ ∴四边形为矩形， ∴， ∵沿进行翻折，得到， ∴ 在中， ， 在和中， ∴ ∴ ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形与翻折，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握翻折的性质，运用全等三角形的判定与性质、勾股定理是解答此题的关键．注意分类讨论． 三、解答题（10小题，共64分） 19．（23-24八年级下·河南安阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先化简二次根式，再进行乘除运算，最后分母有理化； （2）利用完全平方公式和平方差公式化简，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 20．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题考查了解分式方程， （1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】（1） 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为； （2） 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴是方程的增根， ∴原方程无解． 21．（2024·江苏扬州·二模）先化简，再从，0，3，中选择一个适当的数作为a的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的混合运算，进行化简，再代入一个使分式有意义的值，计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴当时，原式． 22．（23-24八年级下·江苏南京·期中）已知四边形为矩形，点是边的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．       (1)在图1中作出矩形的对称轴，使； (2)在图2中作出矩形的对称轴，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了求作矩形的对称轴，熟练掌握矩形的性质是解答此题的关键． （1）连接，相交于点O，过O，E作直线m即可； （2）由（1）知四边形为矩形，连接交于点H，过O，H点作直线n即可． 【详解】（1）如图所示； （2）如图所示． 23．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）在一个不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球观察它的颜色．下列事件：①摸出的球是红色；②摸出的球是白色；③摸出的球是黄色；④摸出的球不是白色；⑤摸出的球不是黄色，估计各事件发生的可能性大小，回答下列问题： (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列．（用序号表示） 【答案】(1)可能性最大的是④，最小的是② (2)②③①⑤④ 【分析】本题主要考查可能性的大小； （1）分别用该事件中颜色球的个数除以球的总个数求得事件可能性大小，继而可得答案； （2）依据（1）中所得答案即可得． 【详解】（1）由题意知，①摸出的球是红色的可能性大小为； ②摸出的球是白色的可能性大小为； ③摸出的球是黄色的可能性大小为； ④摸出的球不是白色的可能性大小为； ⑤摸出的球不是黄色的可能性大小为； 所以可能性最大的是④，最小的是②； （2）由（1）知， ∴将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列是：②③①⑤④． 24．（23-24九年级下·江苏扬州·阶段练习）适当的劳动对青少年的成长和发展具有十分重要的意义，为了解九年级学生每周家务劳动的总时长，某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了九年级部分学生，对他们一周内家务劳动总时间t（单位：小时）进行了调查，并将数据整理后得到下列不完整的统计图表： 组别 家务劳动总时间分组 频数 A 5 B 7 C 10 D 19 E a      请根据图表信息回答下列问题： (1)频数分布表中，______； (2)扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是______； (3)请估计该校700名九年级学生中一周内家务劳动总时间不少于8小时的人数， 【答案】(1)9 (2)72 (3)该校700名九年级学生中一周内家务劳动总时间不少于8小时的人数为392名 【分析】（1）由题意用D组的人数除以所占的百分比求得抽样总人数，再减去其它组的人数即可求解； （2）根据题意乘以C组在样本中所占的比例求解即可； （3）由题意利用该校总人数乘以样本中一周内家务劳动总时间不少于8小时所占的比例求解即可． 【详解】（1）解：抽样总人数为（名）， 则 故答案为：9； （2）解：组所在扇形的圆心角的度数是， 故答案为：72； （3）解：（名）， 答：估计该校700名九年级学生中一周内家务劳动总时间不少于8小时的人数约为392名． 【点睛】本题考查统计表和扇形统计图的关联、求扇形的圆心角、用样本估计总体，理解题意，能从统计表或统计图中获取相关信息解决问题是解答的关键． 25．（2024·江苏苏州·二模）如图，平面直角坐标系中，两点在轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，且与边相交于点，连接交于点． (1)若，则点的坐标为______； (2)连接，若的面积为，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据正方形的性质得到，求得，得到，得到反比例函数解析式为，进而可得点的坐标； （）设，则点，根据图形可得，利用梯形的面积公式解答即可求解； 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正方形的性质，反比例函数的几何意义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：在正方形中，， 把代入得，， 解得， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵， 把代入得，， ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）解：设，则点， 根据反比例函数的几何意义得 ，， ∴， ∴， ∴， ∴． 26．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________； (2)化简：； (3)已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义进行求解即可； （2）根据题干提供的信息，进行变形求解即可； （3）先根据，得出，求出，，再求出m的值，得出，根据“横负纵变点”的定义写出结果即可． 【详解】（1）解：， ∴点的“横负纵变点”为； ， ∴点的“横负纵变点”为； 故答案为：；． （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ， ． ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，二次根式化简求值，化简复合型二次根式，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，理解新定义． 27．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边，边，直线：与矩形的边和都有交点，交点分别是点与点． (1)请用含的代数式分别表示点和点的坐标：______，______； (2)当四边形为平行四边形时，求的值； (3)若要使在平面内存在点，使以点、、、这四点为顶点的四边形为菱形，是否存在满足条件的的值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或0或． 【分析】（1）直线，令，则，当时，，即可求解； （2）四边形为平行四边形时，，即可求解； （3）分当是菱形的边、是菱形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）∵，边，则点、、的坐标分别为：、、， 直线，令，则，当时，， 故点、的坐标分别为：；； （2）由（1）知点、的坐标分别为：；； 点、的坐标分别为：、； 则，， 四边形为平行四边形时，则，即， 解得：； （3）①当是菱形的边时， 点对应的点为：或， 在菱形中，，即， 解得：， 当时，点，不在边上，故该值舍去， 故； 当四边形为菱形时； 同理可得：； ②当是菱形的对角线时， 则，即， 解得：， 综上：或0或． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到菱形的性质、平行四边形的性质、勾股定理的运用等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 28．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）如图，反比例函数（）的图象经过线段的端点，把线段沿轴正方向平移3个单位得到线段，与上述反比例函数的图象相交于点，点的横坐标为4．    (1)求的值和直线的解析式； (2)在轴上是否存在点，使得的值最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若为函数（）的图象上一动点，过点作直线轴于点，直线与四边形在轴上方的一边交于点，设点的横坐标为，且，当，求出的值． 【答案】(1)，直线的解析式为 (2)存在， (3)或 【分析】（1）根据题意结合待定系数法可进行求解； （2）延长交轴于点，此时的值最大，求出的解析式，联立方程组求交点坐标，求出直线的解析式即可得到点的坐标； （3）分两种情况，设出点，的坐标，从而得到，的表达式，根据即可得到的值． 【详解】（1）解：∵反比例函数（）的图象经过线段的端点， ∴，即反比例函数解析式为， 设直线的解析式为，则代入点A坐标得：，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：存在，理由如下： 如图，延长交轴于点，根据三角不等关系可知：，所以此时的值最大，   把线段沿轴正方向平移3个单位得到线段， ，即，， 设的表达式为， 将代入， ， 的表达式为， 联立，解得，， 点的横坐标大于0， 的横坐标为4， 将代入得到：， 即， 设的表达式为， 将，代入得， 解得， ， 令，代入得到， ； （3）解：①当在的上方时，    ∴，， ，， ， 解得：； ②当在的上方时，    ∴，， ，， ， 解得：（负根舍去）， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了反比例函数综合题，考查分类讨论的思想，设出点，的坐标，得到，的表达式是解题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$