精品解析：2024年湖南省长沙市雅礼实验中学中考二模数学试题

2024年长沙市雅礼实验中学初三二模试卷 数学科目 命题人：雅实初三数学组 考生注意：本试卷共3道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法，合并同类项，完全平方公式，同底数幂的乘法对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A．，正确，故符合要求； B．，错误，故不符合要求； C．，错误，故不符合要求； D．，错误，故不符合要求； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，合并同类项，完全平方公式，同底数幂的乘法等知识．熟练掌握二次根式的乘法，合并同类项，完全平方公式，同底数幂的乘法是解题的关键． 2. 中科院国家天文台基于我国郭守敬望远镜和美国巡天的观测数据，精确测量了距离银河系中心1.6万光年至8.1万光年范围内的恒星运动速度，并估算出银河系的“体重”约为8050亿个太阳质量．其中数据“8050亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，将“8050亿”写成的形式即可，其中，n的值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：“8050亿”， 故选D． 3. 将直尺和三角板进行如图摆放，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角的定义，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据直角的定义，可以求得，根据平行线的性质，可以知道，从而求得答案． 【详解】如图所示： 由题意可知，， 故选：C． 4. 不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，把解集表示在数轴上；分别解两个不等式，将它们的解集表示在同一数轴上即可求解；带等于号的用实心点，不带等于号的用空心点． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， 该解集在数轴上表示为： 故选：B 5. 二十四节气是中华民族农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小鹏购买了四张形状、大小、质地均相同的“二十四节气”主题邮票，正面分别印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同的图案，背面完全相同，他将四张邮票洗匀后正面朝下放在桌面上．从中随机抽取两张邮票，恰好抽到“立春”和“立夏”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列举法求概率．熟练掌握列举法求概率是解题的关键．根据题意列表格，然后求概率即可． 【详解】解：由题意知，列表如下； 立春 立夏 秋分 大暑 立春 （立春，立夏） （立春，秋分） （立春，大暑） 立夏 （立夏，立春） （立夏，秋分） （立夏，大暑） 秋分 （秋分，立春） （秋分，立夏） （秋分，大暑） 大暑 （大暑，立春） （大暑，立夏） （大暑，秋分） 由表可知，共有种等可能的结果，其中恰好抽到“立春”和“立夏”共有2种等可能的结果， ∴恰好抽到“立春”和“立夏”的概率为， 故选：C． 6. 若函数的图象在第二、四象限内，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数的图象在第二、四象限列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：函数的图象在第二、四象限， ， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数中，当时，函数的图象在第二、四象限是解答此题的关键． 7. 如图，已知四边形内接于，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆内接四边形对角互补，得到，由圆周角定理即可求解， 本题考查了，圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：∵内接于， ∴， ∴，即：， ∴， 故选：D． 8. ，，，，五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．说：“如果我进入，那么也进入．”说：“如果我进入，那么也进入．”说：“如果我进入，那么也进入．”说：“如果我进入，那么也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了推理与论证，若，进入了前三强，那么、、、也均能进入，由于前三强只有三个人，显然这是不合理的；因此只有当进行前三强，那么、也进入，这样才符合题意． 【详解】若进入前三强，那么进入前三强的有、、、、共5人，显然不合题意， 同理，当进入前三强时，也不合题意，所以应从开始进入前三强．即进入前三强的是，，． 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】题考查了二次根式有意义的条件，负数没有平方根列出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 10. 在平面直角坐标系中，点到y轴的距离是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据点到轴的距离等于点的横坐标的绝对值即可得． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点到轴的距离是， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，熟练掌握点到轴的距离等于点的横坐标的绝对值是解题关键． 11. 如图，的弦，半径交于点，是的中点，且，则的长为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】连接OA，先根据垂径定理求出AO的长，再设ON=OA，则MN=ON-OM即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接OA， ∵半径交于点，是的中点， ∴AM=BM==4,∠AMO=90°， ∴在Rt△AMO中 OA= =5. ∵ON=OA， ∴MN=ON-OM=5-3=2. 故答案为2. 【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 12. 若a是一元二次方程的一个根，则的值是___________． 【答案】6 【解析】 【分析】将a代入，即可得出，再把整体代入，即可得出答案． 【详解】∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想是本题的关键． 13. 用一个圆心角为90°，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，该圆锥底面圆的半径___________． 【答案】1． 【解析】 【详解】试题分析：根据扇形的弧长公式l==2π，设底面圆的半径是r，则2π=2πr，∴r=1．故答案为1． 考点：圆锥的计算． 14. 如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点D．则的度数为________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】根据基本作图，得到，继而得到，结合根据解答即可． 本题考查了线段垂直平分线的基本作图，等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握作图和三角形外角性质是解题的关键． 【详解】根据基本作图，得到， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 15. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本考查了特殊角的正切值，零指数幂，负整数指数幂等知识，代入特殊角的正切值，结合相应的运算法则计算即可． 【详解】 ． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，5 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握整式混合运算的运算顺序和计算法则是解题的关键，先算乘法，然后算加减，最后代入求值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 17. 风力发电作为一种清洁能源、可再生能源，已成为我国重要的能源结构之一．某研学小组到风力发电厂参观学习，发现一如图所示的风力发电机，在处测得，向前米到达处，测得，其中，，在同一条直线上，点为发电机顶端处．若风轮叶片的长度为米，则风力发电机在旋转过程中，叶片顶端离地面的最小距离是多少？（参考数据：） 【答案】叶片顶端离地面的最小距离约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，设，分别解，，得出，，根据题意叶片顶端离地面的最小距离，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 在中，，设， ∴， 在中， ∴ ∴， ∵风轮叶片的长度为米， ∴叶片顶端离地面的最小距离米， 答：叶片顶端离地面的最小距离约为米． 18. 为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽取了部分学生进行调查，对他们每周的课外阅读时间x（单位：小时）进行分组整理并绘制了如图所示的频数分布直方图和扇形图： （1）请补全频数分布直方图； （2）扇形图中m的值为________；D等级所对应的扇形圆心角度数为________； （3）若该校总共有2000名学生，每周的课外阅读时间不多于4小时的学生大约有多少人． 【答案】（1） 补全频数分布直方图如下： （2）， （3）每周的课外阅读时间不多于4小时的学生大约有620人 【解析】 【分析】对于（1），根据A组的人数和所占百分比求出总人数，再求出D组的人数，并补全统计图； 对于（2），根据C组的人数除以总人数可求m，再求出D组所占的百分比，进而求出答案；； 对于（3），先求出每周课外阅读时间不多于4小时所占的百分比，再乘以总人数，可得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴本次调查共抽取了100名学生， ∴， ∴D组有25人； 【小问2详解】 ∵， ∴. D等级所对应的扇形圆心角度数为； 故答案为：40，； 【小问3详解】 （人）. 答：每周的课外阅读时间不多于4小时的学生大约有620人. 【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，扇形统计图，样本估计总体的思想，从统计图中获取信息是解题的关键． 19. 如图，D，E为中边上两点，过D作交的延长线于点A，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， 又∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质是解题的关键 （1）由，可得，，进而可证． （2）由，证明，则，即，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴的长为． 20. 2023-2024赛季欧洲冠军杯决赛于6月2日在伦敦温布利大球场拉下帷幕，赛前某体育运动专卖店决定采购某款运动T恤，最初用6000元购进一批该款T恤，由于市场供不应求，该专卖店又用15000元购进了第二批该款T恤，所购数量是第一批购进量的2倍，由于供货紧张，每件价格比第一次贵10元． （1）该专卖店购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是多少元？ （2）如果两批T恤衫按相同的标价销售，要使两批T恤衫全部售完后利润不低于16800元，那么每件T恤衫的标价至少是多少元？ 【答案】（1）该店铺购进第一批T恤衫每件的进价是40元，购进第二批T恤衫每件的进价是50元 （2）每件T恤衫的标价至少是84元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程是解题的关键． （1）设该店铺购进第一批T恤衫每件的进价是x元，则购进第二批T恤衫每件的进价是元，根据第二批该款T恤所购数量是第一批购进量的2倍，列出方程求解即可； （2）设每件T恤衫的标价是a元，根据全部售完后利润不低于16800元，列出不等式，再进行求解即可． 【小问1详解】 解：设该店铺购进第一批T恤衫每件的进价是x元，则购进第二批T恤衫每件的进价是元，依题意有 ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：该店铺购进第一批T恤衫每件的进价是40元，购进第二批T恤衫每件的进价是50元； 【小问2详解】 件，件， 设每件T恤衫的标价是a元，依题意有： ， 解得． 答：每件T恤衫的标价至少是84元． 21. 如图，平行四边形中，、分别是，的平分线，且E、F分别在边，上，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求平行四边形的面积． 【答案】（1） 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵分别是、的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，结合角平分线的条件得到，由得到，，根据平行线的判定得到，根据平行四边形的判定得到是平行四边形，结合，根据菱形的判定，即可求解， （2）连接，由平行四边形的性质和角平分线的定义得到，，进而得到，由，得到是等边三角形，根据等边三角形的性质得到三角形的高，结合（1）中结论，四边形是菱形，得到根据面积公式，即可求解， 本题考查了，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，平行线的性质与判定，角平分线的定义，等边三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，边上的高为 由（1）知四边形是菱形， ∴， ∴ ∴平行四边形的面积为：． 22. 我们不妨约定：在平面直角坐标系中，如果函数图象上至少存在一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则把该函数称之为“开心函数”，其图象上纵坐标是横坐标3倍的点叫做“开心点”． （1）判断以下函数上是否是“开心函数”，若是，则打√，若不是，则打“×”； ①________ ②________ ③________ （2）关于x的函数（a为常数）是“开心函数”吗？如果是，指出有多少个“开心点”，如果不是，请说明理由； （3）若抛物线（a、b、c为常数），与x轴分别交于，两点，其中；与y轴交于C点，抛物线顶点为P点，点M为第三象限抛物线上一动点，且点M的横坐标为t，连接，交于N点，连接，，记，，若满足：①抛物线顶点P为“开心点”；②；③是等边三角形；若，的最大值为，求m的值． 【答案】（1）√，×，√ （2）当或时，函数是开心函数，有1个“开心点”；当且时，函数是开心函数，有2个“开心点”；当时，函数不是开心函数 （3） 【解析】 【分析】（1）设“开心点”坐标为， ①把代入得，解得，此时，符合新定义； ②把代入得，无解，不符合新定义； ③把代入得，解得，符合题意，解答即可． （2）设“开心点”坐标为，代入函数解析式，确定m的解的个数，有解，是；无解，则不是，解答即可； （3）先求对称轴，再计算顶点，结合等边三角形，确定解析式，过点M作轴，交于点D，过点B作轴，交于点E，故，，利用三角形相似，确定，根据二次函数的增减性计算即可． 本题考查了新定义，待定系数法，三角形相似的判定和性质，根的判别式，二次函数的最值及其增减性，熟练掌握待定系数法，三角形相似的判定和性质，根的判别式，二次函数的最值及其增减性是解题的关键． 【小问1详解】 设“开心点”坐标为， ①把代入得，解得，此时，符合新定义； ②把代入得，无解，不符合新定义； ③把代入得，解得，符合题意． 故答案为：√，×，√． 【小问2详解】 设“开心点”坐标为， 当时，得， 代入解析式得：， 解得， 此时，此时是“开心函数”，有一个“开心点”； 当时，把代入解析式得： ， 整理，得， 此时， 当时，方程有两个不相等实数根，即m有两个值，符合题意， 故当且时，函数是“开心函数”，此时有两个“开心点”； 当时，方程有两个相等实数根，即m有一个值，符合题意， 故当时，函数是“开心函数”，此时有1个“开心点”； 当时，方程无实数根，即不存在实数m，不符合题意， 故当时，函数不是“开心函数”，此时无“开心点”； 综上所述，当或时，函数是开心函数，有1个“开心点”；当且时，函数是开心函数，有2个“开心点”；当时，函数不是开心函数； 【小问3详解】 ∵抛物线（a、b、c为常数），与x轴分别交于，两点，其中；与y轴交于C点，抛物线顶点为P点，， ∴抛物线的对称轴为， ∵抛物线顶点P为“开心点”， ∴； ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∵对称轴为， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵点M为第三象限抛物线上一动点，且点M的横坐标为t， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 过点M作轴，交于点D，过点B作轴，交于点E， 故，， ∴，，， ∴， ∴， 根据题意，得， ∴， ∴是t的二次函数，且抛物线开口向下， ∴对称轴， ∵， ∴， ∴， ∴随t的增大而减小， 故当时，取得最大值， ∴， 解得（舍去）， 故． 23. 如图，点C在为直径的圆O上，连接，的角平分线交于点E，交圆O于点P．G是上一点，且，连接并延长交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，求的面积． （3）设，，求y关于x的函数表达式． 【答案】（1） 证明：∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据是的直径，平分可求得，进而得到，由，可知，因此 ，进而可得，即可得证； （2）连接，可求得的值，根据平分得出，从而求得，可证得，从而得出，， 连接与交于H，求得，，再证明，从而，求得，进而求得结果； （3）连接，，可求得，根据表示出，从而得出，的值，根据平分，得出，从而表示出，不妨设，则，，从而得出，根据，得出，从而得出，进一步即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图，连接， ∵是的直径， ∴， ，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 连接与交于H， ∵是的直径， ∴， ，， ∵，， ∴， ∴， ， ； 【小问3详解】 解：如图， 连接，， ∵平分， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵平分， ∴， ∴， 不妨设，则，， ∴， 由（2）知：∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年长沙市雅礼实验中学初三二模试卷 数学科目 命题人：雅实初三数学组 考生注意：本试卷共3道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 中科院国家天文台基于我国郭守敬望远镜和美国巡天的观测数据，精确测量了距离银河系中心1.6万光年至8.1万光年范围内的恒星运动速度，并估算出银河系的“体重”约为8050亿个太阳质量．其中数据“8050亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 将直尺和三角板进行如图摆放，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 二十四节气是中华民族农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小鹏购买了四张形状、大小、质地均相同的“二十四节气”主题邮票，正面分别印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同的图案，背面完全相同，他将四张邮票洗匀后正面朝下放在桌面上．从中随机抽取两张邮票，恰好抽到“立春”和“立夏”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的图象在第二、四象限内，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知四边形内接于，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. ，，，，五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．说：“如果我进入，那么也进入．”说：“如果我进入，那么也进入．”说：“如果我进入，那么也进入．”说：“如果我进入，那么也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________. 10. 在平面直角坐标系中，点到y轴的距离是__________． 11. 如图，的弦，半径交于点，是的中点，且，则的长为__________． 12. 若a是一元二次方程的一个根，则的值是___________． 13. 用一个圆心角为90°，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，该圆锥底面圆的半径___________． 14. 如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点D．则的度数为________． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 15. 计算：． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 风力发电作为一种清洁能源、可再生能源，已成为我国重要的能源结构之一．某研学小组到风力发电厂参观学习，发现一如图所示的风力发电机，在处测得，向前米到达处，测得，其中，，在同一条直线上，点为发电机顶端处．若风轮叶片的长度为米，则风力发电机在旋转过程中，叶片顶端离地面的最小距离是多少？（参考数据：） 18. 为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽取了部分学生进行调查，对他们每周的课外阅读时间x（单位：小时）进行分组整理并绘制了如图所示的频数分布直方图和扇形图： （1）请补全频数分布直方图； （2）扇形图中m的值为________；D等级所对应的扇形圆心角度数为________； （3）若该校总共有2000名学生，每周的课外阅读时间不多于4小时的学生大约有多少人． 19. 如图，D，E为中边上两点，过D作交的延长线于点A，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 20. 2023-2024赛季欧洲冠军杯决赛于6月2日在伦敦温布利大球场拉下帷幕，赛前某体育运动专卖店决定采购某款运动T恤，最初用6000元购进一批该款T恤，由于市场供不应求，该专卖店又用15000元购进了第二批该款T恤，所购数量是第一批购进量的2倍，由于供货紧张，每件价格比第一次贵10元． （1）该专卖店购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是多少元？ （2）如果两批T恤衫按相同的标价销售，要使两批T恤衫全部售完后利润不低于16800元，那么每件T恤衫的标价至少是多少元？ 21. 如图，平行四边形中，、分别是，的平分线，且E、F分别在边，上，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求平行四边形的面积． 22. 我们不妨约定：在平面直角坐标系中，如果函数图象上至少存在一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则把该函数称之为“开心函数”，其图象上纵坐标是横坐标3倍的点叫做“开心点”． （1）判断以下函数上是否是“开心函数”，若是，则打√，若不是，则打“×”； ①________ ②________ ③________ （2）关于x的函数（a为常数）是“开心函数”吗？如果是，指出有多少个“开心点”，如果不是，请说明理由； （3）若抛物线（a、b、c为常数），与x轴分别交于，两点，其中；与y轴交于C点，抛物线顶点为P点，点M为第三象限抛物线上一动点，且点M的横坐标为t，连接 ，交于N点，连接，，记，，若满足：①抛物线顶点P为“开心点”；②；③是等边三角形；若，的最大值为，求m的值． 23. 如图，点C在为直径的圆O上，连接，的角平分线交于点E，交圆O于点P．G是上一点，且，连接并延长交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，求的面积． （3）设，，求y关于x的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $