精品解析：河北省沧州市献县第一中学2023-2024学年高一下学期第三次月考数学试题

献县一中2023~2024学年第二学期第三次月考 高一数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第九章9.2.1. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3. 在中，，，，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 2或3 4. 若向量，，则在上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 某城市有学校700所.其中大学20所,中学200所,小学480所,现用分层抽样方法从抽取一个容量为70的样本,则应抽取中学数为(   ) A. 70 B. 20 C. 48 D. 2 6. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题错误的是（ ） A. 若，则或 B 若，则 C. 若，则与平行或异面 D 若，则与相交或平行 7. 已知圆锥的顶点为，母线长为2，轴截面为，若为底面圆周上异于的一点，且二面角的大小为，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 8. 在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ） A B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为 B. 是纯虚数 C. 的模是 D. 在复平面内对应的点位于第四象限 10. 在中，角对边分别为，则下列对的个数的判断正确的是（ ） A. 当时，有两解 B. 当时，有一解 C. 当时，无解 D. 当时，有两解 11. 如图，在棱长为的正方体中，已知，是线段上的两个动点，且，则（ ） A. 的面积为定值 B. C. 点到直线的距离为定值 D. 平面与平面所成角为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，则__________. 13. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有______根在棉花纤维的长度小于20mm． 14. 在中，已知向量与满足，且，则角__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知一圆锥的底面半径为6cm． （1）若圆锥的高为8cm，求圆锥的体积； （2）若圆锥的母线长为10cm，求圆锥的表面积． 16. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求和的值； （2）求的面积． 17. 如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，且，，是的中点． （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18. 如图，在中，D，E是边BC上两点，，AE平分∠BAC，． （1）若，求的值； （2）求证：． 19. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，，点分别是线段的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 献县一中2023~2024学年第二学期第三次月考 高一数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第九章9.2.1. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算，结合复数的几何意义即可求解. 【详解】因为， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限． 故选：D． 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由数量积的坐标表示列方程即可求解. 【详解】向量，则，解得. 故选：C. 3. 在中，，，，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 2或3 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理运算求解. 【详解】由余弦定理：，即， 则，解得或. 故选：C. 4. 若向量，，则在上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算可得，再结合投影向量的定义运算求解. 【详解】因为，，则， 所以在上的投影向量. 故选：B. 5. 某城市有学校700所.其中大学20所,中学200所,小学480所,现用分层抽样方法从抽取一个容量为70的样本,则应抽取中学数为(   ) A. 70 B. 20 C. 48 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给的总体数和样本容量求出每个个体被抽到的概率，根据中学所有的数目求出要抽取的数目． 【详解】∵某城市有学校700所，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为70的样本， ∴每个学校被抽到的概率是， ∵中学200所， ∴要抽取200×=20 故选B． 【点睛】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解题的依据． 6. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题错误的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若，则与平行或异面 D. 若，则与相交或平行 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线和平面的位置关系，逐项分析判断即可得解. 【详解】对于A，若，则或，故A正确； 对于B，若，则由线面垂直的性质定理得，故B正确； 对于C，若，则与平行或异面，故C正确； 对于D，若，则与相交､平行或异面，故D错误. 故选：D 7. 已知圆锥的顶点为，母线长为2，轴截面为，若为底面圆周上异于的一点，且二面角的大小为，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】记为的中点，即可求出、，取的中点，连接，从而得到二面角的平面角为，即可求出、，再由勾股定理求出，即可得解. 【详解】如图所示，记为的中点，则垂直于底面，所以， 又， 所以，取的中点，连接， 显然有，即二面角的平面角为， 即，又， ，，则， 的面积为. 故选：A. 8. 在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，设和的外接圆的圆心，分别在，上，过，分别作两个半平面的垂线，交于，可得为三棱锥的外接球的球心，且可得，由等边三角形的边长为2，可得，及的值，进而求出外接球的半径的值，再求出外接球的表面积． 【详解】由题意如图所示：设为的中点，连接，设，分别为，的外接圆的圆心， 过，分别作两个半平面的垂线，交于，则可得为该三棱锥的外接球的球心， 连接，，则为外接球的半径， 由与均为边长为2等边三角形，则 又，则由余弦定理可得，所以，， 因为，分别为，的外接圆的圆心，所以，， 可得，可得，而，所以， 在中：， 所以外接球的表面积， 故选：C． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为 B. 是纯虚数 C. 的模是 D. 在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的基本概念，以及复数的几何意义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：由虚部定义知的虚部为，故A正确； 对B：纯虚数要求实部为0，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D错误. 故选：AC. 10. 在中，角的对边分别为，则下列对的个数的判断正确的是（ ） A. 当时，有两解 B. 当时，有一解 C. 当时，无解 D. 当时，有两解 【答案】AC 【解析】 【分析】由正弦定理对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】对于A，由正弦定理得，即，所以， 又因为，所以或，有两解，故A正确； 对于B，由正弦定理得，无解，故B错误； 对于C，由正弦定理得，无解，故C正确； 对于D，由正弦定理得， 又，所以为锐角，此三角形只有一解，故D错误. 故选：AC. 11. 如图，在棱长为的正方体中，已知，是线段上的两个动点，且，则（ ） A. 的面积为定值 B. C. 点到直线的距离为定值 D. 平面与平面所成角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由点到的距离为定值且底边也为定值判断A，根据正方体的性质判断B，点到直线的距离等于到的距离即可判断C，由正方体的性质得到平面平面，即可判断D. 【详解】对于A，因为在中，高为到距离，即的长度，为定值， 底边为的长度，也为定值，所以的面积为定值，故A正确； 对于B，因为在上，，，所以，即，故B正确； 对于C，点到直线的距离等于到的距离，为定值，故C正确； 对于D，在该正方体中，平面，又平面， 所以平面平面，即平面平面，故平面与平面所成角，故D错误． 故选：ABC． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再求出其模. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 13. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有______根在棉花纤维的长度小于20mm． 【答案】30 【解析】 【分析】根据频率分布直方图找到长度小于20mm的棉花纤维的频率，进而求解. 【详解】由频率分布直方图，组距为5， 长度小于20mm的棉花纤维所占频率为：， 所以抽样的100根中，符合条件的有：， 故答案为：30 14. 在中，已知向量与满足，且，则角__________. 【答案】## 【解析】 【分析】依题意可得，设角的平分线交于，即可得到，从而得到为等腰直角三角形，即可得解. 【详解】设角的平分线交于，因为，故，即， 又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 设，（如图所示），，因为， 故四边形为正方形，所以为角的平分线，故在上. 因为，故，故. 综上，为等腰直角三角形且，所以. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知一圆锥的底面半径为6cm． （1）若圆锥的高为8cm，求圆锥的体积； （2）若圆锥的母线长为10cm，求圆锥的表面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆锥的体积公式，计算求解即可. （2）根据圆锥的表面积公式，计算求解即可. 【小问1详解】 据题意知，圆锥的体积． 【小问2详解】 圆锥的底面面积； 圆锥的侧面积． 故圆锥的表面积． 16. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求和的值； （2）求的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据同角的三角函数关系求出，结合正、余弦定理计算即可求解； （2）由（1），结合三角形的面积公式计算即可求解. 【小问1详解】 在中，由，可得． 又由及，可得． 由余弦定理得，得， 由，解得． 所以． 【小问2详解】 由（1）知，， 所以的面积． 17. 如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，且，，是的中点． （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）存在， 【解析】 【分析】（1）取中点，由证得四边形为平行四边形，进而证得，即可证得平面； （2）存在点，，先求出，再由余弦定理求得，结合勾股定理证得，又，即可证得平面. 【小问1详解】 取中点，连接，因为是的中点，则，又， 则，则四边形平行四边形，则，又平面，平面，则平面； 【小问2详解】 存在点，使得平面，此时，证明如下： 连接，易得，又底面，底面，则， 则，，则，，又， ，由余弦定理得，，则， ，又，，平面，则平面，故存在点，使得平面，此时. 18. 如图，在中，D，E是边BC上的两点，，AE平分∠BAC，． （1）若，求的值； （2）求证：． 【答案】（1）； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）由题意，根据同角的平方关系求出，利用两角和的正弦公式求出，结合正弦公式计算即可求解； （2）根据三角形面积公式可得、，进而表示，即可证明. 【小问1详解】 因为AE平分∠BAC，，所以， 因为，， 所以． 在中，，， ． 所以． 【小问2详解】 因为，， 由，得， 整理得， 因为，， 所以，所以． 19. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，，点分别是线段的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用勾股定理及逆定理、余弦定理，线面垂直的判定推理即得. （2）由（1）结合线面角的定义求解即得. （3）利用等体积法求出点到平面的距离即可. 【小问1详解】 在中，由，得， 由为等边三角形，得， 在中，由余弦定理得， 则，即，又平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）知，直线与平面所成角为，所以. 【小问3详解】 取中点，连接，由为等边三角形，得， 又由（1）知平面平面，则， 又，且平面，于是平面， 由为的中点，得点到平面的距离等于点到平面的距离， 在中，，在中，， 又是的中位线，则，边上的高， 则的面积， 设点到平面的距离为，则三棱锥的体积， 又的面积，点到平面的距离为， 因此三棱锥的体积，由，得， 所以点到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$