精品解析：2024届广东省华南师范大学附属中学高三综合测试（三）数学试题

华南师范大学附属中学2024届高三综合测试 数 学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可； 【详解】解：因为，所以复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第一象限. 故选：A 2. 已知，则“”是“角为第一或第四象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要 【答案】B 【解析】 【分析】利用定义法进行判断. 【详解】充分性：当时，不妨取时轴线角不成立.故充分性不满足； 必要性：角为第一或第四象限角，则，显然成立. 故选：B. 3. 一组样本数据删除一个数后，得到一组新数据：10，21，25，35，36，40.若这两组数据的中位数相等，则删除的数为（　　） A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用中位数的定义求解即得. 【详解】依题意，新数据组有6个数，其中位数是， 显然原数据组有7个数，因此删除的数是中位数30. 故选：B 4. 等边的边长为3，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取中点，建立直角坐标系，得到，再根据模长的坐标公式即可求解. 【详解】 如图，取中点，建立直角坐标系，则， 由，若，则， 所以得：， 由，若，则， 所以得：， 所以，故. 故选：A 5. 某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系为：（其中，k是正常数）．已知经过，设备可以过速掉20%的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（ ）（参考数据：） A. 3h B. 4h C. 5h D. 6h 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，进而利用指数与对数的关系可得，再用换底公式结合对数的运算性质求解即可 【详解】由题意可知， 所以， 又因为， 所以， 所以 ， 比较接近3， 故选：A 6. 将一副三角板排接成平而四边形ABCD（如图），，将其沿BD折起，使得而ABD⊥面BCD．若三棱锥A-BCD的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用面面垂直的性质和线面垂直的判定找到球心的位置即为的中点，再利用球的表面积公式即可. 【详解】由题意得，，因为面面BCD， 面面BCD，且，面，则面， 因为面，所以，又因为，面，且， 所以平面，因为平面，所以， 取中点为，则，则球心即为中点， 而，则球的半径为， 则球O的表面积为， 故选：C. 7. 函数和函数的图象相交于两点，为坐标原点，则的面积为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件及同角三角函数的关系，再利用一元二次方法的解法及中点坐标公式，结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】由 可得 即， 即,解得或（舍）， 因为，所以.所以， 所以线段的中点的坐标为， 所以. 故选：A. 8. 为样本空间，随机事件A、B满足，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以正态分布为背景，举反例判断ACD，利用概率和公式判断B. 【详解】设， 对于A，若事件，事件，则，，但，选项A错误； 对于C，若事件，事件，则，，但，选项C错误； 对于D，若事件，事件，则，，但，选项D错误； 对于B，因为，所以， 又，所以， 所以，B正确； 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ） A. 若a∥b，b∥α，则a∥α B. 若a∥b，a∥α，b∥β，则α∥β C. 若a⊥b，a⊥α，b∥β，则α⊥β D. 若a⊥α，b∥α，则a⊥b 【答案】ABC 【解析】 【分析】A.利用直线与平面的位置关系判断；B. 利用平面与平面的位置关系判断；C. 利用平面与平面的位置关系判断；D.利用线面垂直的性质定理判断. 【详解】A. 若a∥b，b∥α，则a∥α或，故错误； B. 若a∥b，a∥α，b∥β，则α∥β或α与β相交，故错误； C. 若a⊥b，a⊥α，b∥β，则α与β平行或相交，故错误； D.若a⊥α，b∥α，则a⊥b，故正确； 故选：ABC 10. 已知函数的零点为的零点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用函数零点的意义，结合函数与互为反函数，确定的关系，再逐项分析判断得解. 【详解】依题意，，， 则分别是直线与函数，图象交点的横坐标， 而函数与互为反函数，它们的图象关于直线对称， 又直线垂直于直线，则点与点关于直线对称， 则，于是，，，BC正确，A错误； 因为,所以， 则，即，D错误. 故选：BC 11. 已知定圆，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段的中垂线交直线于点Q，则点Q的轨迹可能为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 【答案】ABD 【解析】 【分析】是线段的中垂线上的点，可得．对点的位置分类讨论，利用线段垂直平分线的定义与性质、圆锥曲线的定义即可判断出结论． 【详解】因为是线段的中垂线上的点，， 若在圆内部，且不为圆心，则，， 所以点轨迹是以，为焦点的椭圆，故A正确； 若在圆外部，则，， 所以点轨迹是以，为焦点的双曲线，故B正确； 若在圆上，则的中垂线恒过圆心，即的轨迹为点． 若为圆的圆心，即与重合时，为半径的中点， 所以点轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，故D正确， 不存在轨迹为抛物线的可能，故C错误， 故选：ABD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，一系列由正三角形构成的图案称为谢尔宾斯基三角形，图1三角形边长为2，则第n个图中阴影部分的面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意先求出图1，2 ，3中阴影部分的面积，根据规律归纳出答案. 【详解】图1中阴影部分的面积为 图2中阴影部分的面积为 图3中阴影部分的面积为 由此规律，可得图中阴影部分的面积为 故答案为： 13. 已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为______． 【答案】80 【解析】 【分析】根据题意，由各项系数之和可得，再由二项式展开式的通项公式即可得到结果. 【详解】由题意，令，则，解得， 则的展开式第项， 令，解得，所以. 故答案为： 14. 设实数x、y、z、t满足不等式，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】令，根据分母最大分子最小时分式的值最小可得，结合基本不等式和计算即可． 【详解】因为，所以, 所以， 当且仅当即时等号成立， 即的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数()． （1）若，求的值； （2）若在区间上单调递减，，求的值． 【答案】（1）； （2）1． 【解析】 【分析】(1)直接代入及计算即可； (2)化简f(x)解析式，根据在区间上单调递减可知该区间长度小于或等于f(x)的半个周期，再结合，可得ω的值． 【小问1详解】 ∵， ∴． 【小问2详解】 ∵在区间上单调递减， ∴，即， ∴． ∵， ∴，即， 所以当时，. 此时， 当，，故此时单调递减，符合题意. 综上，. 16. 如图，边长为4的两个正三角形， 所在平面互相垂直， ， 分别为 ， 的中点，点 在棱 上，，直线 与平面相交于点 . （1）证明：； （2）求直线 与平面的距离. 【答案】（1）证明：因为 、 分别为 、 的中点，所以， 又平面，平面，则平面， 又平面 ，平面平面，所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）首先证明平面，再由线面平行的性质证明即可； （2）连接, ，以点 为原点，建立空间直角坐标系，利用点到平面距离公式求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，平面， 则点到平面的距离即为 与平面的距离， 连接, ，由均为正三角形， 为 的中点，得， 又平面平面 ，平面平面平面， 于是 平面 ，又平面 ，则， 以点 为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，又，， 又，可得， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，得， 设点到平面的距离为，则， 所以 与平面的距离为. 【点睛】 17. 最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为.现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次.记X为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为元. （1）①写出的分布列； ②证明：； （2）某公司意向投资该产品.若，且试验成功则获利元，则该公司如何决策投资，并说明理由. 【答案】（1）① 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ②， 记， ， 作差可得，， 则，即证. （2）应该投资，理由： 由（1）可知，则试验成本的期望小于，又获利大于成本的期望，则应该投资. 【解析】 【分析】（1）由题意，，，列出分布列即可； 列出，乘公比错位相减法求和，分析可证明； （2）由（1），分析即得解 【小问1详解】 ①由题意， 故 分布列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ②略 【小问2详解】 略 18. 已知函数. （1）若在单调递减，求实数的取值范围； （2）证明：对任意整数，至多1个零点. 【答案】（1）； （2）证明：令，则，所以单调递减， 又因为，所以时，；时，. 令，则与零点一致， 当时，， 所以递减，； 当时，有， 令， 因为，在递增， 所以. 综上，当时，在有唯一零点，在恒正不存在零点； 当时，，不存在零点. 即对任意整数，函数至多1个零点，所以至多1个零点. 【解析】 【分析】（1）把在单调递减，转化为在上恒成立，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解； （2）令，得到时，；时，，令函数，得到与零点一致，结合导数求得函数单调性与最值，以及零点的知识，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数，可得. 因为在单调递减，所以对，恒有成立， 即在上恒成立， 令， 则， 令，解得， 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 又，所以当时，， 所以，即实数的取值范围是. （2）略 【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略： 1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围； 2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围. 19. 已知抛物线：，过点的直线l交C于P，Q两点，当PQ与x轴平行时，的面积为16，其中O为坐标原点. （1）求的方程； （2）已知点，，（）为抛物线上任意三点，记面积为，分别在点A、B、C处作抛物线的切线、、，与的交点为D，与的交点为E，与的交点为F，记面积为，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）存在，2 【解析】 【分析】（1）由题意可得，则，再由的面积为16，列方程可求出，从而可求得的方程； （2）表示出直线AC的方程，直线与的交点为T，求出点的坐标，则表示出，利用导数的几何意义求出、、的方程，求出的坐标，表示出，化简计算可得结论. 【小问1详解】 当PQ与x轴平行时，， 因为P，Q两点均在抛物线C上， 所以， 即， 因为的面积为16， 所以， 解得， 则的方程为； 【小问2详解】 直线AC的斜率为：， 则：， 直线与的交点为T， 则点T为， 所以 （∗） （∗∗） 所以： 由，得， 令，则的斜率， 则有：，即：， 同理：：，：， 与相交得：，得：； 同理可得：，； 同理由（∗∗）可知 所以， 所以存在，使得 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查导数的几何意义，考查抛物线中三角形的面积问题，第（2）问解题的关键是用三点坐标表示出这三点围成的三角形的面积，考查计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华南师范大学附属中学2024届高三综合测试 数 学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知，则“”是“角为第一或第四象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要 3. 一组样本数据删除一个数后，得到一组新数据：10，21，25，35，36，40.若这两组数据的中位数相等，则删除的数为（　　） A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 4. 等边的边长为3，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系为：（其中，k是正常数）．已知经过，设备可以过速掉20%的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（ ）（参考数据：） A. 3h B. 4h C. 5h D. 6h 6. 将一副三角板排接成平而四边形ABCD（如图），，将其沿BD折起，使得而ABD⊥面BCD．若三棱锥A-BCD的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 函数和函数的图象相交于两点，为坐标原点，则的面积为( ) A. B. C. D. 8. 为样本空间，随机事件A、B满足，，则有（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ） A. 若a∥b，b∥α，则a∥α B. 若a∥b，a∥α，b∥β，则α∥β C. 若a⊥b，a⊥α，b∥β，则α⊥β D. 若a⊥α，b∥α，则a⊥b 10. 已知函数的零点为的零点为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知定圆，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段的中垂线交直线于点Q，则点Q的轨迹可能为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，一系列由正三角形构成的图案称为谢尔宾斯基三角形，图1三角形边长为2，则第n个图中阴影部分的面积为___________. 13. 已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为______． 14. 设实数x、y、z、t满足不等式，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数()． （1）若，求的值； （2）若在区间上单调递减，，求的值． 16. 如图，边长为4的两个正三角形， 所在平面互相垂直， ， 分别为 ， 的中点，点 在棱 上，，直线 与平面相交于点 . （1）证明：； （2）求直线 与平面的距离. 17. 最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为.现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次.记X为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为元. （1）①写出的分布列； ②证明：； （2）某公司意向投资该产品.若，且试验成功则获利元，则该公司如何决策投资，并说明理由. 18. 已知函数. （1）若在单调递减，求实数的取值范围； （2）证明：对任意整数，至多1个零点. 19. 已知抛物线：，过点的直线l交C于P，Q两点，当PQ与x轴平行时，的面积为16，其中O为坐标原点. （1）求的方程； （2）已知点，，（）为抛物线上任意三点，记面积为，分别在点A、B、C处作抛物线的切线、、，与的交点为D，与的交点为E，与的交点为F，记面积为，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $