第08讲 二次根式加减（3大知识点+6大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假七升八数学衔接讲义（北师大版）

第08讲 二次根式加减（3大知识点+6大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 同类二次根式 题型二 二次根式的加减运算 题型三 二次根式的混合运算 题型四 己知字母的值，化简求值 题型五 己知条件式，化简求值 题型六 二次根式的应用 知识点01： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点02： 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点03：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【典型例题一 同类二次根式】 【例1】（23-24八年级下·广东韶关·期中）若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（23-24八年级下·河北唐山·期中）下列根式中能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·广东阳江·期中）最简二次根式与可以合并，则 【例4】（2024·江苏无锡·一模）请写出的一个同类二次根式 ． 【例5】（23-24八年级上·江西南昌·期中）如果和最简二次根式是同类二次根式，求的值． 【例6】（22-23八年级下·吉林松原·期末）若最简二次根式与是可以合并的二次根式，求的值． 【典型例题二 二次根式的加减运算】 【例1】（2024八年级下·江苏·专题练习）计算的结果是（　　） A． B． C． D．2 【例2】（23-24八年级下·河北衡水·期中）若则“〇”表示的数为（    ） A． B． C． D． 【例3】（2024九年级下·云南·专题练习）化简： ． 【例4】（23-24八年级下·河南三门峡·期中）计算的结果是 ． 【例5】（23-24八年级下·广西南宁·期中）计算：． 【例6】（23-24七年级下·上海金山·期中）计算： 【典型例题三 二次根式的混合运算】 【例1】（2024·河北唐山·二模）若，则=（   ） A．5 B．10 C．20 D．25 【例2】（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（2024·江苏南京·三模）计算的结果是 ． 【例4】（2024·山东青岛·二模）计算： ． 【例5】（23-24八年级下·广西柳州·期中）计算： 【例6】（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）计算： (1)． (2)． 【典型例题四 己知字母的值，化简求值】 【例1】（22-23八年级下·全国·单元测试）若，则代数式的值是（       ） A．0 B．1 C． D． 【例2】（22-23八年级下·山西·阶段练习）已知，，则的值是（    ） A．2 B． C．4 D．8 【例3】（22-23八年级下·四川广安·期末）已知，，则的值为 ． 【例4】 （22-23八年级下·黑龙江牡丹江·期中）若，则的值为 ． 【例5】（22-23八年级上·上海·阶段练习）先化简，再求值，其中，． 【例6】（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）已知，求代数式的值． 【典型例题五 己知条件式，化简求值】 【例1】（22-23七年级上·山东烟台·期末）若则a的值为（    ） A．5 B． C．5或1 D．或1 【例2】（23-24八年级下·广东汕头·期中）若，则代数式的值为（    ） A．2005 B．2006 C．2007 D．2008 【例3】（22-23八年级下·广东汕头·期末）已知m+3n的值为2，则﹣m﹣3n的值是 ． 【例4】 （22-23八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）若，则的值为 【例5】（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）已知a，b是有理数，若，求ab的平方根． 【例6】（22-23八年级上·江苏苏州·期末）已知：， （1）求的值； （2）设x＝，y＝，求的值． 【典型例题六 二次根式的应用】 【例1】（23-24八年级下·河北保定·期中）已知三角形的一边长为，这条边上的高为，这个三角形的面积为（    ） A．15 B． C． D． 【例2】（2024·云南昆明·三模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么面积．若某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例3】（22-23八年级下·陕西延安·期末）为整数，则正整数n的最小值为 ． 【例4】（22-23八年级上·山东枣庄·期末）若长方形的周长是，一边长是，则它的面积是 ． 【例5】（22-23八年级下·陕西渭南·阶段练习）设长方形的面积为，相邻两边长分别为、，已知，，求． 【例6】（22-23七年级下·陕西渭南·期末）海啸是一种破坏力极强的海浪，由海底地震、火山爆发等引起，在广阔的海面上，海啸的行进速度可按公式计算，其中v表示海啸的速度（），d表示海水的深度，g表示重力加速度．若在海洋深度20m处发生海啸，求其行进的速度． 【变式训练1 同类二次根式】 1．（23-24八年级下·陕西安康·期中）若最简二次根式与二次根式可以合并，则的值为（    ） A．6 B．3 C．4 D．2 2．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）若两个最简二次根式与能够合并，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．9 3．（23-24八年级下·安徽六安·期中）若最简二次根式与能合并成一项，则 ． 4．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则 ． 5．（22-23八年级下·新疆·阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 6．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）若最简二次根式和是同类二次根式，求x、y平方和的平方根． 【变式训练2 二次根式的加减运算】 1．（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）数学活动课上，要用铁丝围一个长为，宽为的矩形框，若不考虑拼接，则需铁丝的长度为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东淄博·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·甘肃定西·阶段练习）计算： ． 4．（2024·广西桂林·一模）已知，，则 （结果保留两位小数）. 5．（2024八年级下·全国·专题练习）计算： 6．（23-24九年级下·辽宁鞍山·期中）计算： (1) (2) 【变式训练3 二次根式的混合运算】 1．（2024·重庆忠县·一模）估计的值应在（　） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 2．（23-24八年级下·江苏南通·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·新疆吐鲁番·阶段练习）已知，，则的值是 4．（23-24八年级下·青海海东·阶段练习）从“，，，”中选择一种运算符号，填入算式“□”的“□”中，使其运算结果为有理数，则实数的值可能是 ．（填一个即可） 5．（23-24八年级下·新疆阿克苏·期中）计算： (1) (2) 6．（23-24八年级下·山东淄博·期中）计算： (1) (2) 【变式训练4 己知字母的值，化简求值】 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若，，则的值为（    ） A．3 B． C．6 D． 2．（23-24八年级下·广东江门·期中）已知，，，下列结果计算正确的是（    ） A．12 B．8 C． D． 3．（22-23八年级上·上海金山·期中）已知x＝2﹣，那么（x﹣2）2﹣x的值为 ． 4．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知，则代数式的值为 ． 5．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）已知，，求值：． 6．（2024八年级下·天津·专题练习）已知，求代数式的值． 【变式训练5 己知条件式，化简求值】 1．（23-24八年级下·全国·假期作业）若，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．2 2．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为 ． 4．（22-23八年级下·全国·课后作业）若，则 ． 5．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）化简：，并求出时式子的值． 6．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，求的值． 【变式训练6 二次根式的应用】 1．（23-24八年级下·山东临沂·期中）电流通过导线时会产生热量，电流（单位：）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：）满足．已知导线的电阻为，时间导线产生的热量，电流的值是（    ） A．5 B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）有一块矩形木板，木工采用如图所示的方式在木板上截出两个面积分别为 和 的正方形木板，则原矩形木板的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）设矩形的面积为S，相邻的两边长分别为a、b，若，，则 ． 4．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）如图，将面积分别为2、3、6的三个正方形放置在一起，则三个正方形共同重叠的阴影部分面积S为 ． 5（23-24八年级下·广东云浮·期中）蔬菜是人们日常饮食中必不可少的食物之一，可以提供人体所必需的多种维生素、矿物质等营养物质．王奶奶家有一块长为m，宽为m的矩形田地用来种植蔬菜，求该矩形田地的面积． 6．（23-24八年级下·甘肃庆阳·期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛出的物体下落的时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足 （不考虑风速的影响）． (1)从高处抛下的物体落地所需的时间 ；从高处抛下的物体落地所需的时间 (2)是的多少倍？ (3)若从高空抛下的物体经过落地，则该物体下落的高度是多少？ 1．（23-24八年级下·河北承德·期中）下面能与合并的二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广西柳州·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）若，，则代数式的值为（    ） A． B． C． D．3 4．（22-23八年级下·江苏·期末）已知 ，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 5．（23-24八年级下·山西吕梁·期中）如图，一个矩形被分割成四部分，已知图形①②③都是正方形，且正方形③的面积为2，阴影部分的面积为，则正方形①的边长为（   ） A． B． C．3 D． 6．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 7．（2024·山西吕梁·模拟预测）计算： ． 8．（2024·山西晋城·三模）计算： ． 9．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）已知：，则的值为 ． 10．（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，在矩形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则的长为 ． 11．（2024·甘肃武威·三模）计算： 12．（23-24八年级下·北京·期中）已知，求代数式的值． 13．（23-24八年级上·陕西榆林·期中）如果最简二次根式与能够合并，求的值． 14．（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）计算： (1) (2) 15．（2024八年级下·浙江·专题练习）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：（其中、、为三角形的三边长，为面积）．若已知三角形的三边长分别为5，6，7，试运用公式计算该三角形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 二次根式加减（3大知识点+6大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 同类二次根式 题型二 二次根式的加减运算 题型三 二次根式的混合运算 题型四 己知字母的值，化简求值 题型五 己知条件式，化简求值 题型六 二次根式的应用 知识点01： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点02： 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点03：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【典型例题一 同类二次根式】 【例1】（23-24八年级下·广东韶关·期中）若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的加减法，根据只有被开方数相同的最简二次根式才能合并即可解答． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴． 故选：C 【例2】（23-24八年级下·河北唐山·期中）下列根式中能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同类二次根式的定义．根据题意，能够与合并即与为同类二次根式，逐项判断即可． 【详解】解：A.能与合并，此项符合题意； B.不能与合并，此项不符合题意； C.不能与合并，此项不符合题意； D.不能与合并，此项不符合题意． 故选：A． 【例3】（23-24八年级下·广东阳江·期中）最简二次根式与可以合并，则 【答案】2 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，根据同类二次根式的定义得到被开方数相同是解题的关键．因为最简二次根式与可以合并，所以它们是同类二次根式，被开方数相同，列出方程，解出m即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， 故答案为：2． 【例4】（2024·江苏无锡·一模）请写出的一个同类二次根式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握定义是解本题的关键．利用同类二次根式定义写出答案即可． 【详解】的同类根式有、…（答案不唯一） 故答案为： ． 【例5】（23-24八年级上·江西南昌·期中）如果和最简二次根式是同类二次根式，求的值． 【答案】 【分析】本题考查同类二次根式．先将化为最简二次根式，再根据被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式，列出等式进行求解即可． 【详解】解：∵和最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得：． 【例6】（22-23八年级下·吉林松原·期末）若最简二次根式与是可以合并的二次根式，求的值． 【答案】4 【分析】根据同类二次根式的概念进行计算即可． 【详解】解：因为最简二次根式与是可以合并的二次根式， 所以与是同类二次根式， 所以，解得：， 故． 【点睛】本题考查同类二次根式的的概念：最简二次根式的被开方数相同． 【典型例题二 二次根式的加减运算】 【例1】（2024八年级下·江苏·专题练习）计算的结果是（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，掌握运算法则是解本题的关键；直接合并同类二次根式即可． 【详解】解： ， 故选：C． 【例2】（23-24八年级下·河北衡水·期中）若则“〇”表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的加减运算是解题的关键；根据题意可计算即可． 【详解】解：由题意得：； 故选C． 【例3】（2024九年级下·云南·专题练习）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【例4】（23-24八年级下·河南三门峡·期中）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，先化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【例5】（23-24八年级下·广西南宁·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的加减法．先化简，再进行减法运算即可． 【详解】解： ． 【例6】（23-24七年级下·上海金山·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的加减运算，解题的关键是熟练掌握实数的运算法则， 根据实数的加减运算法则计算即可； 【详解】解： 【典型例题三 二次根式的混合运算】 【例1】（2024·河北唐山·二模）若，则=（   ） A．5 B．10 C．20 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的加法，二次根式的化简，熟练掌握知识点是解题的关键． 由，即可求解． 【详解】解：， ∴， 故选：C． 【例2】（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键． 【详解】解：A. ，原计算错误； B. 不是同类项，不能合并，原计算错误； C. ，原计算错误； D. ，计算正确； 故选D． 【例3】（2024·江苏南京·三模）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键． 先计算乘法，最后再进行减法运算， 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【例4】（2024·山东青岛·二模）计算： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算， 根据二次根式的混合运算法则进行运算即可得到答案 【详解】解： ． 故答案为． 【例5】（23-24八年级下·广西柳州·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算．根据题意，先算算术平方根，再算除法，最后算减法即可． 【详解】解：原式= ． 【例6】（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的加减乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则． （1）先计算二次根式乘法，再将其化简成最简二次根式，合并即可． （2）先化为最简二次根式，再合并即可． 【详解】（1） ． （2） ． 【典型例题四 己知字母的值，化简求值】 【例1】（22-23八年级下·全国·单元测试）若，则代数式的值是（       ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】将代入计算求解即可 【详解】当时， 故选：C 【点睛】此题考查了求代数式的值的能力，关键是能准确代入并熟练掌握二次根式的相关计算． 【例2】（22-23八年级下·山西·阶段练习）已知，，则的值是（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】D 【分析】先将整式整理为完全平方公式，再代入a、b的值求解即可． 【详解】 ∵已知，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，解题的关键是能够熟练的掌握完全平方公式及其变形． 【例3】（22-23八年级下·四川广安·期末）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】由、的值直接代入求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解答本题的关键在于对原式进行恰当的化简并代入求值． 【例4】 （22-23八年级下·黑龙江牡丹江·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】先求出(m+n)2、mn的值，再把m2+n2-3mn化成(m+n)2-5mn，代入求出其值即可． 【详解】解：∵m=，n=， ∴(m+n)2=()2=12， mn=()()=2， ∴=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式化简求值，解题的关键是熟练运用完全平方公式的变形进行二次根式的运算． 【例5】（22-23八年级上·上海·阶段练习）先化简，再求值，其中，． 【答案】， 【分析】根据分母有理化和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将、的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法． 【例6】（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先把、、的值代入，再化简二次根式即可． 【详解】解：，，． ， ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的化简． 【典型例题五 己知条件式，化简求值】 【例1】（22-23七年级上·山东烟台·期末）若则a的值为（    ） A．5 B． C．5或1 D．或1 【答案】C 【分析】根据二次根式的运算法则可得出，再分情况计算a的值即可． 【详解】解：， 当时，；当时，； 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的运算法则，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【例2】（23-24八年级下·广东汕头·期中）若，则代数式的值为（    ） A．2005 B．2006 C．2007 D．2008 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，根据题意得到，进而根据完全平方公式得到，由此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【例3】（22-23八年级下·广东汕头·期末）已知m+3n的值为2，则﹣m﹣3n的值是 ． 【答案】． 【分析】首先将原式变形，进而把已知代入，再利用二次根式的性质化简进而计算得出答案． 【详解】解：∵m+3n=， ∴﹣m﹣3n = = =， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质和整体代入思想的运用． 【例4】 （22-23八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）若，则的值为 【答案】 【分析】将变形为，然后将代入式子中消掉y即可得出答案. 【详解】∵ ∴ 当时， 原式= 当时， 原式= 故答案为 【点睛】本题主要考查代数式求值，通过变形找到将x用含y的代数式表示出来是解题的关键. 【例5】（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）已知a，b是有理数，若，求ab的平方根． 【答案】 【分析】根据二次根式及分数的意义，可得：，可求出a＝﹣2，此时b＝﹣4，即可得出答案． 【详解】解：若要使有意义， 则， 解得a＝﹣2，此时b＝﹣4， 则的平方根． 【点睛】本题考查二次根式的意义及平方根的求法，属于基础题型． 【例6】（22-23八年级上·江苏苏州·期末）已知：， （1）求的值； （2）设x＝，y＝，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由算术平方根及绝对值的非负性可得a，b的值，将a，b的值代入利用二次根式的除法法则计算即可； （2）将a，b的值代入x＝，y＝可得x，y的值，再将x，y的值代入，利用平方差公式使分母有理化，最后合并即可. 【详解】解：（1）∵， ∴a﹣2＝0，b﹣3＝0， ∴a＝2，b＝3， ∴； （2）∵x＝＝，y＝＝， ∴＝＝． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练的掌握二次根式分母有理化的方法是化简的关键. 【典型例题六 二次根式的应用】 【例1】（23-24八年级下·河北保定·期中）已知三角形的一边长为，这条边上的高为，这个三角形的面积为（    ） A．15 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据三角形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：依题意，这个三角形的面积为 故选：D． 【例2】（2024·云南昆明·三模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么面积．若某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根的含义以及无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解本题的关键． 首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案． 【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为， 则， 所以其面积， 的值为． 故选：A． 【例3】（22-23八年级下·陕西延安·期末）为整数，则正整数n的最小值为 ． 【答案】5 【分析】把的被开方数配成一个最小的完全平方数,因5是质数,不需要进行分解质因数,容易看出n为5． 【详解】∵5是质数, 是整数, ∴正整数n的最小值是5． 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质.把二次根式下的被开方数配成一个最小的完全平方数的形式是解题的关键． 【例4】（22-23八年级上·山东枣庄·期末）若长方形的周长是，一边长是，则它的面积是 ． 【答案】/ 【分析】先由已知条件求出另一边的长，再利用面积公式可得． 【详解】解：∵矩形的周长是，一边长是， ∴另一边长为：， ∴矩形的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，利用周长求出矩形的边长是解题的关键． 【例5】（22-23八年级下·陕西渭南·阶段练习）设长方形的面积为，相邻两边长分别为、，已知，，求． 【答案】 【分析】根据长方形的面积公式和二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：， 【点睛】此题考查二次根式除法的应用，掌握长方形面积计算公式是解决问题的关键． 【例6】（22-23七年级下·陕西渭南·期末）海啸是一种破坏力极强的海浪，由海底地震、火山爆发等引起，在广阔的海面上，海啸的行进速度可按公式计算，其中v表示海啸的速度（），d表示海水的深度，g表示重力加速度．若在海洋深度20m处发生海啸，求其行进的速度． 【答案】 【分析】根据公式及二次根式的运算法则即可求解． 【详解】解：由题意可知，， 则， ∴海啸行进的速度是． 【点睛】此题主要考查二次根式的计算，解题的关键是根据题中的公式列式求解． 【变式训练1 同类二次根式】 1．（23-24八年级下·陕西安康·期中）若最简二次根式与二次根式可以合并，则的值为（    ） A．6 B．3 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，熟悉掌握此概念是解题的关键． 化简后，建立关于的等式运算即可． 【详解】解：∵，且可以它此合并， ∴和是同类二次根式， ∴， 解得：； 故选：B． 2．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）若两个最简二次根式与能够合并，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式的定义，根据合并同类二次根式得出，，求出、的值，最后代入求出即可． 【详解】解：∵两个最简二次根式与能够合并， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．（23-24八年级下·安徽六安·期中）若最简二次根式与能合并成一项，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了同类二次根式等知识点，根据同类二次根式的定义可求出x的值，解题的关键是正确理解同类二次根式的定义． 【详解】由题意可知：， ∴， 故答案为：3． 4．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，解题关键是正确理解定义．根据同类二次根式的定义列方程求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：3． 5．（22-23八年级下·新疆·阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【答案】，． 【分析】根据同类二次根式的定义列方程即可求出． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式 解得： 即，． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 6．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）若最简二次根式和是同类二次根式，求x、y平方和的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，求一个数的平方根，被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式，据此可得方程组，解方程组求出x、y的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：最简二次根式和是同类二次根式， ，， 即， 解得， x、y的平方和为， x、y平方和的平方根为． 【变式训练2 二次根式的加减运算】 1．（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）数学活动课上，要用铁丝围一个长为，宽为的矩形框，若不考虑拼接，则需铁丝的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的加法，根据矩形周长公式，即可解答． 【详解】解：， 故选：B． 2．（23-24八年级下·山东淄博·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类二次根式，掌握合并二次根式的法则是解题的关键． 【详解】解：A. ，原计算错误； B. 不能合并，原计算错误； C. 不能合并，原计算错误； D. ，计算正确； 故选D． 3．（23-24八年级下·甘肃定西·阶段练习）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的加法，解答时先将各式化成最简二次根式再进行合并即可． 【详解】解：， 故答案为： 4．（2024·广西桂林·一模）已知，，则 （结果保留两位小数）. 【答案】 【分析】本题考查了无理数的运算，以及求近似数，把，代入，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为： 5．（2024八年级下·全国·专题练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算．先根据二次根式的性质化简，再计算加减即可． 【详解】解： ． 6．（23-24九年级下·辽宁鞍山·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，掌握运算法则是解本题的关键； （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式训练3 二次根式的混合运算】 1．（2024·重庆忠县·一模）估计的值应在（　） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】A 【分析】本题主要考查对无理数的估算，二次根式的乘法．先化简后，再根据即可得到答案． 【详解】 ， ， ， 故选：A． 2．（23-24八年级下·江苏南通·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用二次根式的加减法的法则，二次根式的除法的法则，二次根式的化简的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、，与2不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 3．（22-23八年级下·新疆吐鲁番·阶段练习）已知，，则的值是 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．把x、y的值代入，然后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：2． 4．（23-24八年级下·青海海东·阶段练习）从“，，，”中选择一种运算符号，填入算式“□”的“□”中，使其运算结果为有理数，则实数的值可能是 ．（填一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，结合二次根式的性质选择一种运算符号，使其运算结果为有理数即可得到答案，本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 【详解】∵是无理数， ∴要使运算结果为有理数，则“口”中的运算符号可以为“” 当时， , 故答案为：． 5．（23-24八年级下·新疆阿克苏·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减运算与混合运算，熟练掌握运算法则，并正确计算是关键． （1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）利用多项式除以单项式的法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（23-24八年级下·山东淄博·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，二次根式的化简，二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握知识点，正确化简计算是解题的关键． （1）先化简每一项，再合并同类二次根式； （2）先运用平方差公式和完全平方公式化简，再合并计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式训练4 己知字母的值，化简求值】 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若，，则的值为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式运算、代数式求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．将，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 2．（23-24八年级下·广东江门·期中）已知，，，下列结果计算正确的是（    ） A．12 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简求值．利用完全平方公式分解得到，代入数据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：A． 3．（22-23八年级上·上海金山·期中）已知x＝2﹣，那么（x﹣2）2﹣x的值为 ． 【答案】 【分析】先把x的值代入（x﹣2）2﹣x中，然后利用二次根式的性质计算． 【详解】解：∵x＝2﹣， ∴（x﹣2）2﹣x＝（2﹣﹣2）2﹣（2﹣） ＝2﹣2＋ ＝． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练掌握二次根式运算法则，准确进行计算． 4．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知，则代数式的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了求代数式的值，将化为，再利用完全平方公式进行简便计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：1． 5．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）已知，，求值：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据已知条件求得的值，然后根据完全平方公式变形，代入进行计算即可求解． 【详解】解：，， ，， ． 6．（2024八年级下·天津·专题练习）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的化简求值，所求式子配方后，将x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：， 当时，原式． 【变式训练5 己知条件式，化简求值】 1．（23-24八年级下·全国·假期作业）若，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】略 2．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件得出x、y同号，并且x、y都是负数，求出x=-1，y=-4或x=-4，y=-1，再求出答案即可． 【详解】解：，， 、同号，并且、都是负数， 解得：，或，， 当，时， ； 当，时， ， 则的值是， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简与求值，能选择适当的方法求解是解此题的关键． 3．（23-24八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为 ． 【答案】4 【分析】把代入二次根式求值即可得结果．本题主要考查代数式求值，算术平方根，解答本题的关键要注意二次根式的符号． 【详解】解：根据题意，把代入得： ． 故答案为：4． 4．（22-23八年级下·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，先根据二次根式有意义的条件得到，由此化简绝对值推出，进而可得． 【详解】解；∵要有意义， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）化简：，并求出时式子的值． 【答案】； 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先根据二次根式的性质进行化简，再将代入原式即可求解，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 将代入原式得：． 6．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的运算法则化简得到，再把，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴a、b同号，且a、b均为正数数， ∴ ． 【变式训练6 二次根式的应用】 1．（23-24八年级下·山东临沂·期中）电流通过导线时会产生热量，电流（单位：）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：）满足．已知导线的电阻为，时间导线产生的热量，电流的值是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的实际应用．将已知量代入物理公式，即可求得电流I的值． 【详解】解：通电时间t（单位：s)与产生的热量Q（单位：J）满足， 所以电流． 故电流I的值为 ， 故选：B． 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）有一块矩形木板，木工采用如图所示的方式在木板上截出两个面积分别为 和 的正方形木板，则原矩形木板的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式的应用，掌握二次根式的性质、无理数的估算是解题的关键．根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案． 【详解】解：（1）两个正方形的面积分别为和， 这两个正方形的边长分别为和， 原矩形木板的面积为， 故选：B 3．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）设矩形的面积为S，相邻的两边长分别为a、b，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算的应用，根据题意得：．将，，代入即可得到b的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）如图，将面积分别为2、3、6的三个正方形放置在一起，则三个正方形共同重叠的阴影部分面积S为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是求算术平方根、二次根式计算的应用，先求出三个正方形的边长，再根据图形求出阴影部分的长和宽，即可求出面积． 【详解】解：面积分别为2、3、6的三个正方形边长分别为：， 阴影部分长为，宽为， 阴影部分面积为， 故答案为：． 5（23-24八年级下·广东云浮·期中）蔬菜是人们日常饮食中必不可少的食物之一，可以提供人体所必需的多种维生素、矿物质等营养物质．王奶奶家有一块长为m，宽为m的矩形田地用来种植蔬菜，求该矩形田地的面积． 【答案】该矩形田地的面积为 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据矩形面积公式等于长乘宽进行列式，代入数值，即可作答． 【详解】解： 答：该矩形田地的面积为 6．（23-24八年级下·甘肃庆阳·期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛出的物体下落的时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足 （不考虑风速的影响）． (1)从高处抛下的物体落地所需的时间 ；从高处抛下的物体落地所需的时间 (2)是的多少倍？ (3)若从高空抛下的物体经过落地，则该物体下落的高度是多少？ 【答案】(1)； (2)是的倍 (3)下落的高度是 【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用： （1）根据所给公式代值计算即可； （2）根据（1）的计算结果求解即可； （3）把代入公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， 故答案为：；； （2）解：， ∴是的倍； （3）解：由题意得，， 解得， ∴下落的高度是． 1．（23-24八年级下·河北承德·期中）下面能与合并的二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式以后如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再看看是否是同类二次根式即可． 【详解】解：A．从整体上看不是二次根式，故本选项不符合题意； B． ，不能与合并，故本选项不符合题意； C． ，能与合并，故本选项符合题意； D．，不能与合并，故本选项不符合题意； 故选：C 2．（23-24八年级下·广西柳州·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的运算法则是关键． 根据二次根式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A．；选项错误，不符合题意； B．；选项错误，不符合题意； C．无意义；选项错误，不符合题意 D．；选项正确，符合题意； 故选：D． 3．（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）若，，则代数式的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质及代数式求值，把、的值代入，根据二次根式的性质化简即可得答案．熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 4．（22-23八年级下·江苏·期末）已知 ，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】将化为，将，代入值进行计算即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查求代数式的值，将式子进行配方以及采用整体代入法是解题的关键． 5．（23-24八年级下·山西吕梁·期中）如图，一个矩形被分割成四部分，已知图形①②③都是正方形，且正方形③的面积为2，阴影部分的面积为，则正方形①的边长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，二次根式的加减运算等知识点，根据开方运算，可得正方形③的边长，再根据阴影面积可得阴影长，进而可得正方形②的边长，利用长方形的边长的和差，即可得答案，熟练掌握利用算术平方根和线段的和差得出边长是解决此题的关键． 【详解】∵正方形③的面积为2， ∴正方形③的边长是， ∵阴影部分的面积为， ∴阴影部分的长， ∴正方形②的边长为， ∴正方形①的边长是， 故选：B． 6．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是同类二次根式的含义，掌握“同类二次根式的定义”是解本题的关键．把二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则二次根式为同类二次根式，根据定义建立方程求解即可． 【详解】解： 最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得． 故答案为：2． 7．（2024·山西吕梁·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的加法运算，先化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：， 故答案为： 8．（2024·山西晋城·三模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）已知：，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，正确的计算是解题的关键．根据完全平方公式计算和变形即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故答案为：5． 10．（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，在矩形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质和加减运算的应用，根据两张正方形纸片面积，利用二次根式的性质求出它们的边长，再求出的长． 【详解】解：∵两张正方形纸片面积分别为和， ∴它们的边长分别是：，， ∴． 故答案为：． 11．（2024·甘肃武威·三模）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的加减法，将原式中的二次的二次根式化简后再合并即可 【详解】解： 12．（23-24八年级下·北京·期中）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式化简求值．由，可得，故，即得代数式的值为． 【详解】解：， ， ， ， ， ； 代数式的值为． 13．（23-24八年级上·陕西榆林·期中）如果最简二次根式与能够合并，求的值． 【答案】 【分析】利用同类二次根式的概念即可求出． 【详解】∵两个最简二次根式只有同类二次根式才能合并， ∴与是同类二次根式， ∴， 解得． 【点睛】本题考查同类二次根式的概念，掌握同类二次根式的概念为关键． 14．（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）化简各个二次根式后合并同类二次根式即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式展开，再进行加减法即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 15．（2024八年级下·浙江·专题练习）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：（其中、、为三角形的三边长，为面积）．若已知三角形的三边长分别为5，6，7，试运用公式计算该三角形的面积． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的应用，根据题目中的公式即可解答本题． 【详解】解：由题意可得，三角形的三边长分别为5，6，7， 则该三角形的面积 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$