第07讲 二次根式乘除（3大知识点+8大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假七升八数学衔接讲义（北师大版）

第07讲 二次根式乘除（3大知识点+8大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 二次根式的乘法 题型二 二次根式的除法 题型三 二次根式的乘除混合运算 题型四 最简二次根式的判断 题型五 化为最简二次根式 题型六 己知最简二次根式求参数 题型七 分母有理化 题型八 比较二次根式的大小 知识点01： 二次根式的乘法法则 1. 二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 3.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广 知识点02：二次根式的除法法则 1.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.二次根式的除法法则的推广 注意： （1） a≥0，b＞0时，才有意义； （2） 如果被开方数时带分数，应先化成假分数 知识点03：最简二次根式 1. 最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2. 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【典型例题一 二次根式的乘法】 【例1】（23-24八年级下·辽宁大连·期中）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·新疆阿克苏·阶段练习）计算×的结果是（   ） A．6 B．6 C．6 D．6 【例3】（2024·山西晋城·二模）计算的结果为 ． 【例4】（2024·广东清远·三模）若一个数与相乘等于一个整数，则这个数可以为 ． 【例5】（23-24八年级下·吉林·期中）计算：． 【例6】（2024八年级下·全国·专题练习）计算：； 【典型例题二 二次根式的除法】 【例1】（23-24八年级下·山东临沂·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·北京朝阳·阶段练习）矩形的面积是，它的长为，则这个矩形的宽为 ． 【例4】（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）计算： ． 【例5】（22-23八年级下·江苏常州·阶段练习）计算：÷． 【例6】（22-23八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【典型例题三 二次根式的乘除混合运算】 【例1】（22-23八年级下·辽宁大连·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级·全国·假期作业）计算的结果是（　　） A．1 B． C． D． 【例3】（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【例4】（22-23八年级下·河北邯郸·期中）若，则 ， ． 【例5】（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）计算：． 【例6】（2023八年级上·全国·专题练习）计算：． 【典型例题四 最简二次根式的判断】 【例1】（23-24八年级下·新疆阿克苏·期中）下列二次根式不是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·山西吕梁·期中）请写出一个被开方数不大于5的最简二次根式是 ． 【例4】（23-24九年级上·河南南阳·期末）若是最简二次根式，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【例5】（22-23八年级·全国·假期作业）判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【例6】（22-23九年级上·全国·单元测试）在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简． （1），（2），（3），（4），（5）． 【典型例题五 化为最简二次根式】 【例1】（23-24八年级下·广西百色·期中）化简的结果是（    ） A．10 B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·广西南宁·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级上·陕西西安·期末）化简： ． 【例4】（23-24八年级下·山东烟台·期中）将 化为最简二次根式为 ． 【例5】（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）已知x，y为实数，且，求代数式的值． 【例6】（23-24八年级下·北京朝阳·阶段练习）把下列二次根式化为最简二次根式： (1) (2) (3) (4) 【典型例题六 己知最简二次根式求参数】 【例1】（22-23九年级上·四川遂宁·期中）若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（     ） A． B． C． D． 【例2】（22-23八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【例3】（23-24八年级下·吉林·阶段练习）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值： ． 【例4】（23-24八年级下·山东日照·期中）已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a的值 ． 【例5】（22-23八年级下·江西赣州·期中）若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 【例6】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）已知是最简二次根式，且与可以合并，求的值． 【典型例题七 分母有理化】 【例1】（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）的倒数是（   ） A． B． C． D． 【例2】（22-23九年级上·山西·阶段练习）化简的结果为（    ） A．1 B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·广东中山·期中）计算的结果是 ． 【例4】（2024九年级·全国·竞赛）已知正整数满足不等式，则的取值共有 个． 【例5】（22-23八年级上·上海·期中）计算：． 【例6】（22-23八年级上·上海·期末）计算： 【典型例题八 比较二次根式的大小】 【例1】（2023八年级·全国·专题练习）若a为正数，则有（    ） A．a＞ B．a＝ C．a＜ D．a与的关系不确定 【例2】（22-23八年级上·北京昌平·期中）已知0<<1，则、 、 、的大小关系是（    ） A．<<< B．<<< C．<<< D．<<< 【例3】（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）比较大小 （填“”或“”号） 【例4】（2024·广东云浮·一模）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【例5】（23-24八年级下·全国·课后作业）比较大小： (1)与； (2)与． 【例6】（23-24八年级上·上海松江·阶段练习）比较与的大小． 【变式训练1 二次根式的乘法】 1．（2023八年级下·浙江·专题练习）计算（　　） A． B．4 C．2 D．1 2．（23-24七年级下·河南新乡·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山西太原·三模）计算： ． 4．（2024八年级下·江苏·专题练习）直角三角形的两条直角边长分别为、，则这个直角三角形的面积为 ． 5．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）计算：． 6．（22-23八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练2 二次根式的除法】 1．（23-24八年级下·广东潮州·期中）计算的结果是（    ） A． B．2 C． D． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算÷的结果是（　　） A．4 B．2 C． D． 3．（22-23八年级下·吉林长春·期末） ． 4．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）有一个密码系统，其原理如图所示，当输入x的值为时，输出的结果是 ． 5．（22-23八年级下·全国·课后作业）已知长方体的体积，高，求它的底面积S． 6．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式训练3 二次根式的乘除混合运算】 1．（22-23八年级上·广东深圳·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·河南周口·期末）规定，则的值是（ ） A． B． C． D． 3．（2023八年级下·浙江·专题练习）计算： ． 4．（22-23八年级下·全国·单元测试）计算：的结果为 ． 5．（22-23八年级下·吉林·期末）计算：． 6．（2023八年级·全国·专题练习）计算∶． 【变式训练4 最简二次根式的判断】 1．（2024八年级下·安徽·专题练习）下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·重庆·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·福建泉州·期末）写出一个最简二次根式 ．（填一个正确的即可） 4．（22-23八年级上·上海青浦·期末）在二次根式，，，中，最简二次根式有 个． 5．（23-24八年级上·陕西西安·期中）若最简二次根式与可以合并，求的值． 6．（22-23九年级上·全国·课后作业）判断下列二次根式是否是最简二次根式，并说明理由． ； ； ； ； ； ． 【变式训练5 化为最简二次根式】 1．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）化为最简二次根式的结果为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·山东滨州·期末）下列各式化成最简二次根式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·山西太原·期中）将化成最简二次根式为 ． 4．（22-23八年级下·河南驻马店·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 ． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）设a，b为实数，且满足（a–3）2+（b–1）2=0，求的值． 6．（22-23九年级上·甘肃天水·阶段练习）把下列二次根式化简最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练6 己知最简二次根式求参数】 1．（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）已知n为正整数，且是整数，则n的最小值是（    ） A．20 B．5 C．4 D．2 2．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若的值是一个整数，则正整数的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 3．（2023八年级上·全国·专题练习）写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是 ． 4．（22-23八年级上·全国·单元测试）若是最简二次根式，则 ； ． 5．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知最简二次根式与可以合并，b的算术平方根为2，c是8的立方根，求的值． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 【变式训练7 分母有理化】 1．（22-23八年级下·全国·课后作业）已知，，则m和n的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·河北石家庄·期中）的倒数是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·上海闵行·期末）分母有理化： ． 4．（23-24八年级上·上海徐汇·期中）的有理化因式是 ． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）化简： （1）；            （2）；            （3）． 6．（22-23八年级上·山东济南·期中）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如： ①；②等运算都是分母有理化． 根据上述材料， （1）化简： （2）化简： （3）计算：． 【变式训练8 比较二次根式的大小】 1．（22-23八年级下·湖北黄石·期末）比较的大小，正确的是（  ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·广东河源·单元测试）2、、15三个数的大小关系是（    ） A．2＜15＜ B．＜15＜2 C．2＜＜15 D．＜2＜15 3．（23-24八年级下·河南·阶段练习）任意写一个大于5的二次根式 ． 4．（23-24八年级上·陕西西安·期末）比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 5．（2023九年级·全国·专题练习）比较与的大小． 6．（22-23八年级上·陕西渭南·期中）一块长方形纸片的面积是，长、宽之比为． (1)求这块长方形纸片的长与宽；（结果保留根号） (2)小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出这个长方形，她能完成吗？ 1．（23-24八年级下·重庆·期中）估计 的值应在（     ） A．2和3之间 B．4和5之间 C．3和4之间 D．6和7之间 2．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）下列二次根式中，为最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）下列实数中，无理数的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·河北保定·期中）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级上·上海·期中）计算：＝ ． 7．（22-23八年级上·上海虹口·阶段练习）在，，，，中，最简二次根式有 个． 8．（22-23八年级下·广东东莞·期中）把化为最简二次根式，结果是 ． 9．（22-23八年级下·吉林长春·阶段练习）将二次根式分母有理化后的结果是 ． 10．（23-24九年级上·福建泉州·期中）比较大小： （填“>”或“<”或“=”号）； 11．（22-23八年级上·全国·课后作业）通过估算，比较与的大小． 12．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) 13．（22-23八年级下·山东济南·阶段练习）如果最简二次根式与同类二次根式，且，求x，y的值． 14．（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．（22-23八年级·上海·假期作业）将下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)（） (4)（，，）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 二次根式乘除（3大知识点+8大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 二次根式的乘法 题型二 二次根式的除法 题型三 二次根式的乘除混合运算 题型四 最简二次根式的判断 题型五 化为最简二次根式 题型六 己知最简二次根式求参数 题型七 分母有理化 题型八 比较二次根式的大小 知识点01： 二次根式的乘法法则 1. 二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 3.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广 知识点02：二次根式的除法法则 1.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.二次根式的除法法则的推广 注意： （1） a≥0，b＞0时，才有意义； （2） 如果被开方数时带分数，应先化成假分数 知识点03：最简二次根式 1. 最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2. 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【典型例题一 二次根式的乘法】 【例1】（23-24八年级下·辽宁大连·期中）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据二次根式的加法法则对C选项进行判断；根据二次根式的乘方运算对D选项进行判断． 【详解】解：．与不能合并，所以A选项符合题意； B．，所以B选项不符合题意； C．，所以C选项不符合题意； D．，所以D选项不符合题意． 故选：． 【例2】（23-24八年级下·新疆阿克苏·阶段练习）计算×的结果是（   ） A．6 B．6 C．6 D．6 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确掌握二次根式乘法法则是解题关键．直接运用二次根式乘法法则计算得出答案． 【详解】解：原式 ． 故选：A 【例3】（2024·山西晋城·二模）计算的结果为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的乘法；根据二次根式的乘法法则，把被开方数相乘再化简即可． 【详解】解：； 故答案为：3． 【例4】（2024·广东清远·三模）若一个数与相乘等于一个整数，则这个数可以为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次根数的乘法，根据二次根式的乘法法则，进行计算求解即可． 【详解】解：，满足题意， ∴这个数可以为； 故答案为：（答案不唯一）． 【例5】（23-24八年级下·吉林·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，求解算术平方根，先计算二次根式的乘法运算，求解算术平方根，再合并即可． 【详解】解： =； 【例6】（2024八年级下·全国·专题练习）计算：； 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，先计算乘法，再化简，即可求解． 【详解】解： ． 【典型例题二 二次根式的除法】 【例1】（23-24八年级下·山东临沂·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据二次根式的加减乘除计算法则求解即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 【例2】（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的除法运算，掌握分母有理化是解题的关键． 【详解】解：， 故选A． 【例3】（23-24八年级下·北京朝阳·阶段练习）矩形的面积是，它的长为，则这个矩形的宽为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，用矩形的面积除以矩形的长即可求出矩形的宽． 【详解】解： 故答案为：． 【例4】（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行化简． 【详解】解：． 故答案为：． 【例5】（22-23八年级下·江苏常州·阶段练习）计算：÷． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝ 【点睛】本题考查二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 【例6】（22-23八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的乘法运算法则计算即可； （2）根据二次根式的除法运算法则计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除运算，掌握二次根式的乘法和除法运算法则是解答本题的关键． 【典型例题三 二次根式的乘除混合运算】 【例1】（22-23八年级下·辽宁大连·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质化简，二次根式的混合运算即可求解． 【详解】解：、与不是同类二次根式，不能合并，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． 【例2】（23-24八年级·全国·假期作业）计算的结果是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的乘除混合运算的运算顺序和运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合与运算，解题的关键是掌握二次根式的乘除混合运算法则和运算顺序． 【例3】（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：2． 【例4】（22-23八年级下·河北邯郸·期中）若，则 ， ． 【答案】 2 【分析】利用二次根式的乘除运算法则计算，可得结果． 【详解】解：∵ 即， ∴ ∴， 故答案为：，2． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握相应的运算法则． 【例5】（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）计算：． 【答案】0 【分析】先进行乘除运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握相关运算法则，正确的计算． 【例6】（2023八年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除运算法则，求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握二次根式的乘除运算法则． 【典型例题四 最简二次根式的判断】 【例1】（23-24八年级下·新疆阿克苏·期中）下列二次根式不是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：，而其它二次根式是最简二次根式， 故选：A． 【例2】（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A． ，被开方数含分母不是整数，不是最简二次根式，不符合题意； B． 能开得尽方，不是最简二次根式，不符合题意； C． 被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；     D． ，是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 【例3】（23-24八年级下·山西吕梁·期中）请写出一个被开方数不大于5的最简二次根式是 ． 【答案】答案不唯一，如 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念和二次根式的性质，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母、被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据二次根式的性质和最简二次根式的概念进行解答即可． 【详解】解：被开方数不大于5的最简二次根式， 可取，答案不唯一． 故答案为：． 【例4】（23-24九年级上·河南南阳·期末）若是最简二次根式，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义．最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：当时，是最简二次根式， 故答案为：3（答案不唯一）． 【例5】（22-23八年级·全国·假期作业）判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【答案】（3）（4）是最简二次根式，（1）（2）（5）（6）不是最简二次根式，原因见解析 【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：（1） 不是最简二次根式，被开方数含能开得尽方的因式； （2）不是最简二次根式，被开方数含分母． （3）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； （4）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； （5）不是最简二次根式，被开方数含分母． （6） 不是最简二次根式，被开方数含分母． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【例6】（22-23九年级上·全国·单元测试）在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简． （1），（2），（3），（4），（5）． 【答案】（1）不是，；（2）不是，；（3）是；（4）不是，；（5）不是，. 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】（1），含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式． （2），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式； （3），被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式； （4），在二次根式的被开方数中，含有小数，不是最简二次根式； （5），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．解决此题的关键，是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【典型例题五 化为最简二次根式】 【例1】（23-24八年级下·广西百色·期中）化简的结果是（    ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了二次根式的性质与化简．化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数(或因式)都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2．将20转化为的形式，然后化简即可． 【详解】解：． 故选：C． 【例2】（23-24八年级下·广西南宁·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 【例3】（23-24八年级上·陕西西安·期末）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查的是化为最简二次根式，把被开方数的分子分母都乘以5，再化简即可． 【详解】解： ， 故答案为： 【例4】（23-24八年级下·山东烟台·期中）将 化为最简二次根式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查最简二次根式，正确理解概念是解题的关键． 最简二次根式的概念：“（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”，依据概念化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【例5】（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）已知x，y为实数，且，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，化简二次根式，代数式求值，先根据二次根式被开方数的非负性求出x的值，进而求出y值，再代入求值即可． 【详解】解：， ，， ， ， ， ． 【例6】（23-24八年级下·北京朝阳·阶段练习）把下列二次根式化为最简二次根式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的性质，最简二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质化简即可． （2）根据二次根式的性质化简即可． （3）根据二次根式的性质化简即可． （4）根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【典型例题六 己知最简二次根式求参数】 【例1】（22-23九年级上·四川遂宁·期中）若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把化成最简二次根式，由最简二次根式的含义：被开方数相同，可得关于m的方程，解方程即可． 【详解】∵，而最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．但要注意，要把化成最简二次根式． 【例2】（22-23八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．所以根据题意得解出a的值即可． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， 故选B． 【点睛】此题考查了同类二次根式的知识，解答本题需要掌握同类二次根式的被开方数相同这个知识点，属于基础题． 【例3】（23-24八年级下·吉林·阶段练习）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值： ． 【答案】10（答案不唯一） 【分析】根据最简二次根式的特点：被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，被开方数不含分母，进行求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴不能开方，不含分母， ∴的值可以为2，此时； 故答案为：10（答案不唯一）． 【例4】（23-24八年级下·山东日照·期中）已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a的值 ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念解答即可． 【详解】解：当时，，是最简二次根式， 故答案为：2（答案不唯一）． 【例5】（22-23八年级下·江西赣州·期中）若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值 【详解】解：∵ 与是被开方数相同的最简二次根式 解得： ∴符合题意 【点睛】本题考查了最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．本题求出a，b后还需检验，因为被开方数必须为非负数． 【例6】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）已知是最简二次根式，且与可以合并，求的值． 【答案】 【分析】先化简，则，再根据同类二次根式的定义即可列式作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了同类二次根式以及最简二次根式；几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式；熟练掌握这两个知识点的应用是解题的关键． 【典型例题七 分母有理化】 【例1】（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了倒数的定义，二次根式的分母有理化，正确把握倒数的定义是解题关键．直接利用倒数的定义分析得出答案． 【详解】解：，， 的倒数是， 故选：D． 【例2】（22-23九年级上·山西·阶段练习）化简的结果为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分母有理化，给分子、分母同乘以即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 【例3】（23-24八年级下·广东中山·期中）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化．分子分母同时乘，计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【例4】（2024九年级·全国·竞赛）已知正整数满足不等式，则的取值共有 个． 【答案】18 【分析】本题考查分母有理化，找出规律得出，即，进而可得出答案． 【详解】解： ， ∴ ， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的取值共有个， 故答案为：18． 【例5】（22-23八年级上·上海·期中）计算：． 【答案】． 【分析】先将除法运算写成分数的形式，再根据分母有理化的方法即可得． 【详解】解：原式， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解题关键． 【例6】（22-23八年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【分析】利用平方差公式使分母有理化，再合并同类二次根式即可. 【详解】解： 【点睛】本题考查了二次根式，灵活的利用平方差公式将二次根式的分母有理化是解题的关键. 【典型例题八 比较二次根式的大小】 【例1】（2023八年级·全国·专题练习）若a为正数，则有（    ） A．a＞ B．a＝ C．a＜ D．a与的关系不确定 【答案】D 【分析】根据的取值范围，对和的大小关系分情况进行分类讨论即可解决． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； 所以，与的关系不确定， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质，解题的关键是：掌握二次根式的意义和性质． 【例2】（22-23八年级上·北京昌平·期中）已知0<<1，则、 、 、的大小关系是（    ） A．<<< B．<<< C．<<< D．<<< 【答案】C 【分析】可根据条件，运用取特殊值的方法比较大小． 【详解】∵0＜x＜1， ∴设x＝， 则x2＝（）2＝， ＝1÷＝1×2＝2． ＝， ∴<<< 故选C． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，利用特殊值比较一些式子的大小是有效的方法． 【例3】（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）比较大小 （填“”或“”号） 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的比较大小，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质，把跟号外的移到根号内，即可进行比较． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【例4】（2024·广东云浮·一模）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的大小比较，关键在于利用平方法先转化为有理数的大小比较，进而解答．先比较两个数的平方大小，即可得到原数的大小关系． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【例5】（23-24八年级下·全国·课后作业）比较大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）把各数变形后，比较二次根式被开方数的大小即可； （2）把各数变形后，比较二次根式被开方数的大小即可． 【详解】（1）解：，，， ， ； （2）解：，，， ， ， ． 【例6】（23-24八年级上·上海松江·阶段练习）比较与的大小． 【答案】 【分析】观察得代数式的被开方数的差相等，先将代数式转变为分式的形式，比较分式的大小即可求解． 【详解】解：∵， ， 且， ∴． 【点睛】本题考查了代数式的大小比较，解题的关键是借助被开方数的差相等，将代数式转化为分式的形式进行比较． 【变式训练1 二次根式的乘法】 1．（2023八年级下·浙江·专题练习）计算（　　） A． B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的乘法，解答的关键是对二次根式的乘法的法则的掌握． 利用二次根式的乘法的法则进行运算即可． 【详解】解：． 故选：C． 2．（23-24七年级下·河南新乡·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的乘法，根据乘法法则计算即可． 【详解】解：原式； 故选B． 3．（2024·山西太原·三模）计算： ． 【答案】3 【分析】此题考查了二次根式的乘法，根据二次根式乘法法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：3 4．（2024八年级下·江苏·专题练习）直角三角形的两条直角边长分别为、，则这个直角三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则．根据三角形的面积公式列式计算即可． 【详解】解：根据题意，这个直角三角形的面积为． 故答案为：． 5．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）计算：． 【答案】5 【分析】按照分配律进行二次根式的乘法运算，再合并即可． 【详解】解： ； 【点睛】本题考查的是二次根式的乘法运算，熟记二次根式的乘法的运算法则是解本题的关键． 6．（22-23八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4)8 【分析】（1）把被开方数相乘即可， （2）先把被开方数相乘，再把结果化成最简形式即可， （3）把被开方数相乘即可， （4）先把被开方数相乘，再把结果化成最简形式即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查的是二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法法则是解答此题的关键． 【变式训练2 二次根式的除法】 1．（23-24八年级下·广东潮州·期中）计算的结果是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】题目主要考查二次根式的除法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据二次根式除法的运算法则计算即可得答案． 【详解】解：． 故选：A． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算÷的结果是（　　） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的除法运算法则即可求出答案． 根据二次根式的除法运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式 故答案为：2． 3．（22-23八年级下·吉林长春·期末） ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则计算，即可求解． 【详解】解：原式． 故答案为：． 4．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）有一个密码系统，其原理如图所示，当输入x的值为时，输出的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算，计算即可求得答案． 【详解】原式． 故答案为：． 5．（22-23八年级下·全国·课后作业）已知长方体的体积，高，求它的底面积S． 【答案】 【分析】长方体底面积等于体积除以高． 【详解】 【点睛】本题考查二次根式除法在计算长方体底面积中的应用，掌握二次根式除法、分母有理化是本题解题关键． 6．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则逐个计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）． 【变式训练3 二次根式的乘除混合运算】 1．（22-23八年级上·广东深圳·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的运算法则即可求解． 【详解】A、不能计算，故错误；     B、，正确； C、3+2不能计算，故错误；     D、，故错误； 故选B． 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 2．（22-23八年级下·河南周口·期末）规定，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据规定及平方差公式知，将a=1，b=代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选择：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，解答本题的关键是理解题意，结合计算式特点，灵活运用平方差公式简化计算． 3．（2023八年级下·浙江·专题练习）计算： ． 【答案】12 【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则即可求解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：12． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除，正确掌握相关运算法则是解题的关键． 4．（22-23八年级下·全国·单元测试）计算：的结果为 ． 【答案】1 【分析】把除法变成乘法，再根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除，把运算统一到乘法上是解题的关键． 5．（22-23八年级下·吉林·期末）计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除法法则即可得． 【详解】原式 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘除法法则是解题关键． 6．（2023八年级·全国·专题练习）计算∶． 【答案】 【分析】根据二次根式的运算法则，从左到右依次计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则和运算顺序． 【变式训练4 最简二次根式的判断】 1．（2024八年级下·安徽·专题练习）下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的定义：被开方数中不含有开得尽方的因数或因式，被开方数中不含有分母；属于基础题型，熟知最简二次根式的定义是正确判断的关键．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、被开方数中含有分母，不是最简二次根式，本选项错误； B、被开方数中含有，能开得尽方，不是最简二次根式，本选项错误； C、被开方数中含有8，而，不是最简二次根式，本选项错误； D、是最简二次根式，本选项正确． 故选D． 2．（23-24八年级下·重庆·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，满足被开方数不含有分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、不是二次根式，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 3．（23-24九年级上·福建泉州·期末）写出一个最简二次根式 ．（填一个正确的即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义．最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：这个最简二次根式可以是， 故答案为：（答案不唯一） 4．（22-23八年级上·上海青浦·期末）在二次根式，，，中，最简二次根式有 个． 【答案】2/两 【分析】根据最简二次根式的定义求解即可． 【详解】解：在二次根式，，，中，最简二次根式为，，共2个， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解答的关键是熟知最简二次根式应满足下列两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 5．（23-24八年级上·陕西西安·期中）若最简二次根式与可以合并，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是同类二次根式，最简二次根式，根据同类二次根式的概念列方程，解方程即可． 【详解】解：最简二次根式与可以合并， 与是同类二次根式， ， ． 6．（22-23九年级上·全国·课后作业）判断下列二次根式是否是最简二次根式，并说明理由． ； ； ； ； ； ． 【答案】（1）不是最简二次根式；不是最简二次根式；（3）是最简二次根式；（4）不是最简二次根式；不是最简二次根式；（6）是最简二次根式． 【分析】根据最简二次根式的定义分别进行判断即可． 【详解】，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 是最简二次根式． 【点睛】此题主要考查了最简二次根式的定义，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【变式训练5 化为最简二次根式】 1．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）化为最简二次根式的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简，解题关键是熟练运用二次根式性质进行化简，准确进行计算． 【详解】， 故选：B． 2．（23-24八年级上·山东滨州·期末）下列各式化成最简二次根式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对最简二次根式的定义的理解，先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断是解此题的关键． 【详解】解：A. ，化简不正确； B. ，化简不正确； C. ，化简不正确； D. ，化简正确； 故选D． 3．（23-24八年级上·山西太原·期中）将化成最简二次根式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是最简二次根式，熟练运用二次根式的性质是解题的关键．直接利用二次根式性质化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 4．（22-23八年级下·河南驻马店·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 ． 【答案】3 【分析】由n为正整数，也是正整数，知是一个完全平方数，从而得出结果． 【详解】解：∵n为正整数， ∴也是正整数， ∴是一个完全平方数， ∴n的最小值是3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，涉及的知识点：如果是整数，那么a是一个完全平方数． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）设a，b为实数，且满足（a–3）2+（b–1）2=0，求的值． 【答案】 【详解】试题分析：根据平方的非负性，得出a、b的值，再代入. 解：∵（a﹣3）2+（b﹣1）2=0， ∴a﹣3=0，b﹣1=0， 解得a=3，b=1， ∴== ． 6．（22-23九年级上·甘肃天水·阶段练习）把下列二次根式化简最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)4 (2) (3) (4) 【分析】利用二次根式化简即可． 【详解】（1）解：==4 ； （2）解：===； （3）解：==； （4）解：． 【点睛】本题主要考查化简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键． 【变式训练6 己知最简二次根式求参数】 1．（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）已知n为正整数，且是整数，则n的最小值是（    ） A．20 B．5 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义和性质，首先根据二次根式的性质化简为最简二次根式，然后再确定n的值． 【详解】解：∵ 是整数，n是正整数， ∴n的最小值为5， 故选B 2．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若的值是一个整数，则正整数的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘法以及化简等知识根据二次根式的乘法法则计算得到，再根据已知条件即可确定正整数a的最小值． 【详解】解：是一个整数， 是一个整数， 正整数的最小值为， 故选D． 3．（2023八年级上·全国·专题练习）写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】当时，， 是最简二次根式， 故答案为：1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．掌握最简二次根式需满足1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式是解题关键． 4．（22-23八年级上·全国·单元测试）若是最简二次根式，则 ； ． 【答案】 0 【分析】利用最简二次根式的定义：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：0；． 【点睛】此题考查了最简二次根式，熟练掌握二次根式的定义是解本题的关键． 5．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知最简二次根式与可以合并，b的算术平方根为2，c是8的立方根，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根，最简二次根式和同类二次根式的定义，根据题意可知最简二次根式与是同类二次根式，则，可得，根据算术平方根和立方根的定义可得，据此代值计算即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， ∵b的算术平方根为2，c是8的立方根， ∴， ∴． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 【答案】4，±2． 【分析】根据最简二次根式的定义得出a=1，2b﹣5=1，进而求出答案． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴a=1，2b﹣5=1， 解得：a=1，b=3， ∴==4， ∴的平方根为±2． 【点睛】本题考查最简二次根式以及平方根，熟悉最简二次根式的定义是解题关键． 【变式训练7 分母有理化】 1．（22-23八年级下·全国·课后作业）已知，，则m和n的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将化简后和进行比较即可得出答案． 【详解】∵，， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查了分母有理化和实数的大小比较，利用分母有理化进行化简是解题的关键． 2．（22-23八年级上·河北石家庄·期中）的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用倒数的定义得出的倒数是，再化简即可得出答案． 【详解】解：的倒数是， 故选：D． 【点睛】本题考查了倒数（乘积是1的两个数互为倒数），分母有理化，正确理解倒数的定义是解题的关键． 3．（23-24八年级上·上海闵行·期末）分母有理化： ． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，根据，分子和分母同时乘上，化简即可作答． 【详解】解：依题意， 故答案为： 4．（23-24八年级上·上海徐汇·期中）的有理化因式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数因式的定义，根据“ 如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式”，即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴的有理化因式是， 故答案为：． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）化简： （1）；            （2）；            （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】利用二次根式的性质，进行化简，即可求解． 【详解】（1）； （2）； （3）． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 6．（22-23八年级上·山东济南·期中）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如： ①；②等运算都是分母有理化． 根据上述材料， （1）化简： （2）化简： （3）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）直接找出有理化因式，进而分母有理化得出答案； （2）直接找出有理化因式，进而分母有理化得出答案； （3）利用已知分别化简各二次根式，进而求出答案. 【详解】解：（1）原式 （2）原式 （3）原式 【点睛】此题主要考查分母有理化，准确找出分母有理化因式是解题的关键. 【变式训练8 比较二次根式的大小】 1．（22-23八年级下·湖北黄石·期末）比较的大小，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将根号外边的数移入到根号里面可进行大小比较． 【详解】解：， ， 即：； 故选：A． 【点睛】此题考查了实数的大小比较．注意：两个负数，绝对值大的反而小． 2．（22-23八年级上·广东河源·单元测试）2、、15三个数的大小关系是（    ） A．2＜15＜ B．＜15＜2 C．2＜＜15 D．＜2＜15 【答案】A 【分析】将分别化成，再进行比较即可． 【详解】且 即 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的比较大小，比较被开方数，是常用的比较实数大小的方法． 3．（23-24八年级下·河南·阶段练习）任意写一个大于5的二次根式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查二次根式的比较大小．根据，可得，即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：（答案不唯一） 4．（23-24八年级上·陕西西安·期末）比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的大小比较，掌握二次根式的大小比较的方法是解本题的关键． 【详解】解：∵，而， ∴， 故答案为：． 5．（2023九年级·全国·专题练习）比较与的大小． 【答案】 【分析】先将化为二次根式为，再与进行大小比较． 【详解】 ． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，当要判断大小的两个数中只有一个数带根号时，可以给另一个数添加根号，然后比较根号下两个数的大小． 6．（22-23八年级上·陕西渭南·期中）一块长方形纸片的面积是，长、宽之比为． (1)求这块长方形纸片的长与宽；（结果保留根号） (2)小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出这个长方形，她能完成吗？ 【答案】(1)面积为的长方形的长为，宽为 (2)小丽不能用这块正方形纸片截出符合要求的长方形纸片 【分析】（1）设面积为的长方形的长，宽分别为，，根据几何图形的面积的计算公式，求一个数的平方根的运算方法即可求解； （2）设面积为的正方形的边长为，根据几何图形的面积公式，可求出正方形的边长，与长方形的边长进行比较（无理数比较大小）即可求解． 【详解】（1）解：设面积为的长方形的长，宽分别为，， ∴， ∴，解得，（负值含去）， ∴，， ∴面积为的长方形的长为，宽为． （2）解：设面积为的正方形的边长为，则， ∴，（负值舍去）， ∴面积为的正方形的边长为， ∵， ∴，即长方形纸片的长大于正方形纸片的边长， ∴小丽不能用这块正方形纸片截出符合要求的长方形纸片． 【点睛】本题主要考查几何图形的面积与二次根式的计算，二次根式比较大小，利用平方根的含义解方程等知识的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 1．（23-24八年级下·重庆·期中）估计 的值应在（     ） A．2和3之间 B．4和5之间 C．3和4之间 D．6和7之间 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，无理数的估算，先根据二次根式的乘法计算法则得到，再估算出即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴， 故选：A． 2．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，直接根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：C． 3．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）下列二次根式中，为最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）最简二次根式分母中不含有根号判断即可．． 【详解】解：A、的被开方数是小数，不是最简二次根式，故该项不符合题意； B、的被开方数是分数，不是最简二次根式，故该项不符合题意； C、是最简二次根式，故该项符合题意； D、是整数，不是最简二次根式，故该项不符合题意； 故选：C． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）下列实数中，无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数的定义，二次根式化简，零指数，掌握无理数的定义是解题的关键． 先化简各数，再根据无限不循环小数为无理数，逐项判断即可，注意带根号的要开不尽方才是无理数． 【详解】解：A、是无理数，故此选项符合题意； B、是分数属有理数，不是无理数，故此选项不符合题意； C、是有理数，不是无理数，故此选项不符合题意； D、是有理数，不是无理数，故此选项不符合题意； 故选：A． 5．（22-23八年级下·河北保定·期中）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将分子分母同时乘以，将分母有理化，即可得到答案． 【详解】原式== 故选：A． 【点睛】本题考查分母有理化，正确计算是解题的关键． 6．（22-23八年级上·上海·期中）计算：＝ ． 【答案】2 【分析】把二次根式的被开方数进行乘除，再把除法化为乘法，约分后，化简二次根式． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝ ＝2． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了二次根式得乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式得乘除混合运算法则． 7．（22-23八年级上·上海虹口·阶段练习）在，，，，中，最简二次根式有 个． 【答案】1 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：的被开方数是小数，故不是最简二次根式， 的被开方数可以分解成，则含有开得尽方的因数4，故不是最简二次根式， 是最简二次根式， 的被开方数含有分母，故不是最简二次根式， 被开方数含有开得尽方的因式 ，故不是最简二次根式， ∴最简二次根式有1个． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，具备以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式． 8．（22-23八年级下·广东东莞·期中）把化为最简二次根式，结果是 ． 【答案】/ 【分析】根据二次根式的性质解答即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和最简二次根式，掌握二次根式的性质是解题关键． 9．（22-23八年级下·吉林长春·阶段练习）将二次根式分母有理化后的结果是 ． 【答案】 【分析】根据分母有理化可分子分母同乘以，然后问题可求解． 【详解】解：； 故答案为． 【点睛】本题主要考查分母有理化，熟练掌握分母有理化是解题的关键． 10．（23-24九年级上·福建泉州·期中）比较大小： （填“>”或“<”或“=”号）； 【答案】< 【分析】本题考查二次根式的大小比较，将各数写成某数的算术平方根的形式，比较被开方数即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为： 11．（22-23八年级上·全国·课后作业）通过估算，比较与的大小． 【答案】． 【分析】根据二次根式的性质得，，然后求解即可． 【详解】解：根据二次根式的性质得， ∵ ∴，即 故答案为 【点睛】此题考查了二次根式比较大小，涉及了二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式的大小比较方法． 12．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的除法计算，熟知二次根式的除法法则是解题的关键． （1）根据二次根式的除法法则可解决问题． （2）根据二次根式的除法法则可解决问题． 【详解】（1） （2） 13．（22-23八年级下·山东济南·阶段练习）如果最简二次根式与同类二次根式，且，求x，y的值． 【答案】x=4，y=3． 【分析】根据同类二次根式的概念列式求出a，根据算术平方根的非负性计算即可． 【详解】∵最简二次根式与同类二次根式， ∴3a+4=19-2a， 解得，a=3， ∴，即 ∵≥0，≥0， ∴12-3x=0，y-3=0， 解得，x=4，y=3． 【点睛】本题考查的是最简二次根式、同类二次根式的概念以及二次根式的性质，掌握二次根式是非负数是解题的关键． 14．（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算 （1）根据二次根式乘除法法则计算即可； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可； （3）根据二次根式乘除法法则计算即可； （4）根据二次根式乘除法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 ； （3）原式； （4）原式． 15．（22-23八年级·上海·假期作业）将下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)（） (4)（，，）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解； （2）将小数化为分数，根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解； （3）根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解； （4）根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解： （3）解：． （4）解：． 【点睛】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，掌握二次根式的性质，二次根式分母有理化的计算方法是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$