第04讲 幂的运算（同底数幂的乘法、幂的乘方）（知识梳理+10考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第04讲 幂的运算（同底数幂的乘法、幂的乘方） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解与掌握幂的运算相关法则，并会用法则解决简单的实际问题. 2.通过法则的探究过程，培养学生的归纳概括的能力. 幂的运算 内容 补充说明 同底数幂相乘 底数不变，指数相加 即 （m，n都是整数） 1.逆用公式：（m，n都是整数） 2.【扩展】（m，n，p都是整数） 幂的 乘方 底数不变，指数相乘 即 （m，n都是整数） 1.负号在括号内时,偶次方结果为正,奇次方为负,负号在括号外结果都为负. 2.逆用公式：（m，n都是整数） 3.【扩展】（m，n，p都是整数） 【幂的运算注意事项】 1）幂的乘方法则的条件是“幂”的乘方，结论是“底数不变，指数相乘”．这里的“底数不变”是指“幂”的底数“a”不变．例如：，其中，“幂”的底数是“a”，而不是“”，指数相乘是指“3×2”． 2）同底数幂的乘法和幂的乘方在应用时，不要发生混淆． 【考点一 同底数幂相乘】 例1．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 变式1-1．（20-21七年级下·广东深圳·阶段练习）计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 变式1-2．（23-24八年级上·湖北襄阳·开学考试）下列计算中①，②，③，④，⑤，其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点二 利用同底数幂乘法求未知数的值】 例2．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）若，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2-1．（23-24八年级上·广东珠海·期末）若，则 ． 变式2-2．（23-24八年级上·海南海口·期中）在等式中，括号内所填的代数式应当是（    ）． A． B． C． D． 变式2-3．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）若，则 ． 【考点三 同底数幂乘法的逆用】 例3．（23-24八年级上·甘肃武威·期末）已知，，求的值是（        ） A．5 B．10 C．15 D．20 变式3-1．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）若，且，，则 的值等于 ． 变式3-2．（21-22七年级下·浙江嘉兴·期末）已知，，若用含的代数式表示，则 ． 【考点四 与同底数幂乘法有关的新定义问题】 例4．（22-23八年级上·北京·期中）定义一种新运算，若，则，例，．已知，则的值为 ． 变式4-1．（22-23七年级下·安徽淮北·阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果，那么． 例如：∵，∴．我们还可以利用此定义证明等式成立． 证明如下： 设，则． ∴． ∴，即． (1)根据上述规定，填空：＝______，＝______，＝______； (2)计算：_______________，并说明理由； (3)记，，，求证：． 【考点五 用科学记数法表示数的乘法】 例5．（2023·河南周口·三模）2022年10月9日，我国发射“夸父一号”科学卫星对太阳进行探测．这次发射“夸父一号”将利用太阳活动峰年的契机对太阳进行观测．地球的体积约为立方千米，太阳的体积约为地球体积的倍，则太阳的体积是（　　）立方千米． A． B． C．1.4 × 10⁸ D．1.4× 10⁷ 变式5-1（23-24八年级上·甘肃天水·期中）光速约为米/秒，太阳光射到地球上的时间约为秒，求地球与太阳的距离，用科学记数法表示为 米． 变式5-2．（23-24八年级上·吉林长春·期末）世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达米，底边长米，用了约块大石块，每块重约千克，请问：胡夫金字塔总重约为多少千克？ 【考点六 幂的乘方运算】 例6．（23-24八年级上·贵州黔东南·阶段练习）若，则等于（    ） A．5 B．10 C．25 D．125 变式6-1．（23-24八年级上·吉林通化·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 变式6-2．（23-24八年级上·北京·期末）已知，求的值为（　　） A． B． C． D． 【考点七 利用幂的乘方运算求未知数的值】 例7．（23-24八年级上·广西钦州·阶段练习）若，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 变式7-1（23-24八年级上·四川眉山·阶段练习）当的值为 时，． 变式7-2．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）如果，那么m、n的值是（      ） A． ， B．， C．． D．， 变式7-3．（22-23七年级下·安徽滁州·阶段练习）在幂的运算中规定：若（且，、是正整数），则．利用上面结论解答下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【考点八 幂的乘方的逆用】 例8．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若，，则 ． 变式8-1．（23-24八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）若．则 ． 变式8-2．（23-24八年级上·贵州黔东南·阶段练习）在幂的运算中规定：若（且，x，y是正整数），则． 利用上面的结论解答下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求x的值． 【考点九 利用幂的运算性质比较大小】 例9．（23-24八年级上·全国·课堂例题）在比较和的大小时，我们可以这样来处理： ． ，即． 根据上述材料，回答下列问题： (1)请比较下列两组数的大小： ①和；②和． (2)（1）中的两道题都是通过“幂的乘方”公式构造了相同的____________，从而比较大小，试用类似的方法，比较的大小． 变式9-1．（22-23七年级下·陕西榆林·期末）阅读材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： ①比较，的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大； ②比较和的大小：因为，，所以． 可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大． 根据上述材料，解答下列问题： (1)比较大小：__________（填“”或“”） (2)已知，，，试比较，，的大小． 【考点十 与幂的乘方运算有关的新定义问题】 例10．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)，求的值； (3)若运算的结果为，则t的值是多少？ 变式10-1．（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）定义一种新运算（其中），例如，依据上面的公式解决下列问题： (1)求的结果； (2)若，求k的值． 变式10-2．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如果，那么称为的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空：_______； (2)劳格数有如下运算性质： 若为正数，则，． 根据运算性质， 填空： ______（为正数）． 若，则______， ______；（答案精确到小数点后一位） (3)已知，，，则之间的等量关系式为______． 1．（23-24八年级上·广西钦州·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河北保定·期末）若，则（   ） A．9 B．8 C．6 D．5 3．（23-24八年级上·河南南阳·期中）在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是纳米，则个这样的细胞排成的细胞链的长是（    ） A．纳米 B．纳米 C．纳米 D．纳米 4．（23-24八年级上·吉林长春·期末）下列各式中结果为的是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 6．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若，求的值是（    ） A．5 B．6 C． D． 9．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如果一个正方体的棱长是，那么这个正方体的体积是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（23-24八年级上·浙江台州·期末）定义一种新运算：若，则．例如：，则．已知，则的值为 ． 12．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）电子文件的大小常用，，，等作为单位，其中．若某视频文件的大小约为，则 B． 13．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）若，，则 ；当时，则 ． 14．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）若与的和仍是一个单项式，则 ． 15．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，，且，则的值是 ． 16．（2017·黑龙江大庆·二模）若，，则 ． 三、解答题 17．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）先阅读下列材料，再解答后面的问题． 一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）． 例如：，记为（即），则4叫做以3为底81的对数．可以记为． (1)①计算以下各对数的值：___________， _________，__________； ②、、之间的数量关系是____________________； (2)猜想一般性的结论：___________________（结果用含a，M，N的式子表示）（且），并写出证明过程． 18．（23-24八年级上·广西钦州·阶段练习）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 19．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知，用含a，b的式子表示下列代数式： (1)． (2)． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 幂的运算（同底数幂的乘法、幂的乘方） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解与掌握幂的运算相关法则，并会用法则解决简单的实际问题. 2.通过法则的探究过程，培养学生的归纳概括的能力. 幂的运算 内容 补充说明 同底数幂相乘 底数不变，指数相加 即 （m，n都是整数） 1.逆用公式：（m，n都是整数） 2.【扩展】（m，n，p都是整数） 幂的 乘方 底数不变，指数相乘 即 （m，n都是整数） 1.负号在括号内时,偶次方结果为正,奇次方为负,负号在括号外结果都为负. 2.逆用公式：（m，n都是整数） 3.【扩展】（m，n，p都是整数） 【幂的运算注意事项】 1）幂的乘方法则的条件是“幂”的乘方，结论是“底数不变，指数相乘”．这里的“底数不变”是指“幂”的底数“a”不变．例如：，其中，“幂”的底数是“a”，而不是“”，指数相乘是指“3×2”． 2）同底数幂的乘法和幂的乘方在应用时，不要发生混淆． 【考点一 同底数幂相乘】 例1．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据运算法则：底数不变，指数相加计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 变式1-1．（20-21七年级下·广东深圳·阶段练习）计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据相应的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 变式1-2．（23-24八年级上·湖北襄阳·开学考试）下列计算中①，②，③，④，⑤，其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法运算，熟练掌握：同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键，根据合并同类项和同底数幂的乘法运算法则进行判断即可． 【详解】①，正确； ②，正确； ③，原计算错误； ④，正确； ⑤，原计算错误； 综上，正确的有3个， 故选：C． 【考点二 利用同底数幂乘法求未知数的值】 例2．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）若，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法．掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：， ∴， 解得：． 故选D． 变式2-1．（23-24八年级上·广东珠海·期末）若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 变式2-2．（23-24八年级上·海南海口·期中）在等式中，括号内所填的代数式应当是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法的运算及其性质，解答本题的关键在于熟练掌握同底数幂的乘法性质及灵活运用． 【详解】解：由同底数幂的乘法运算法则可得， ， ∴ ∴括号内所填的代数式应当是：． 故选：C． 变式2-3．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法．根据同底数幂乘法法则计算，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为： 【考点三 同底数幂乘法的逆用】 例3．（23-24八年级上·甘肃武威·期末）已知，，求的值是（        ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆运算，解题的关键是熟练运用同底数幂的运算法则．根据同底数幂的运算法则即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：，， ， ． 故选B 变式3-1．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）若，且，，则 的值等于 ． 【答案】15 【分析】 本题考查了同底数幂的乘法，解答本题的关键是掌握同底数幂的乘法法则∶同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 根据同底数幂的乘法法则求解． 【详解】 解：当，时， ． 故答案为：15． 变式3-2．（21-22七年级下·浙江嘉兴·期末）已知，，若用含的代数式表示，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆用，根据同底数幂乘法的逆运算法则把y表示为，进而得到，即，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【考点四 与同底数幂乘法有关的新定义问题】 例4．（22-23八年级上·北京·期中）定义一种新运算，若，则，例，．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】 本题考查了乘方、同底数幂的运算等知识点，根据新定义运算表示出左右两侧的数，再根据相应的运算法则求解即可，理解新定义运算和掌握对应知识的运算法则是解题的关键． 【详解】解：设， 则由题意可得， 即 故答案为：． 变式4-1．（22-23七年级下·安徽淮北·阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果，那么． 例如：∵，∴．我们还可以利用此定义证明等式成立． 证明如下： 设，则． ∴． ∴，即． (1)根据上述规定，填空：＝______，＝______，＝______； (2)计算：_______________，并说明理由； (3)记，，，求证：． 【答案】(1)2，2，3 (2) (3)见解析 【分析】（1）按照题目给出的运算方法计算即可； （2）按照题目给出的运算方法计算即可； （3）按照题目给出的运算方法计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：2，2，3． （2）解： 设，则． ∴． ∴，即； 故答案为：． （3）解：因为，，， 所以， 因为， 所以， 所以即． 【点睛】本题考查了幂的运算和新定义运算，解题关键是准确理解题意，熟练运用幂的运算法则进行计算． 【考点五 用科学记数法表示数的乘法】 例5．（2023·河南周口·三模）2022年10月9日，我国发射“夸父一号”科学卫星对太阳进行探测．这次发射“夸父一号”将利用太阳活动峰年的契机对太阳进行观测．地球的体积约为立方千米，太阳的体积约为地球体积的倍，则太阳的体积是（　　）立方千米． A． B． C．1.4 × 10⁸ D．1.4× 10⁷ 【答案】A 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：依题意，． 故选：A． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 变式5-1（23-24八年级上·甘肃天水·期中）光速约为米/秒，太阳光射到地球上的时间约为秒，求地球与太阳的距离，用科学记数法表示为 米． 【答案】 【分析】用速度乘以时间求出距离，用科学记数法进行表示即可． 【详解】解：米； 故答案为： 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 变式5-2．（23-24八年级上·吉林长春·期末）世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达米，底边长米，用了约块大石块，每块重约千克，请问：胡夫金字塔总重约为多少千克？ 【答案】胡夫金字塔总重约为千克 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算，科学记数法的含义，根据同底数幂的乘法进行法则进行计算，将最后的结果写成科学记数法的形式即可得出答案． 【详解】解：由题意，得： （千克） 答：胡夫金字塔总重约为千克． 【考点六 幂的乘方运算】 例6．（23-24八年级上·贵州黔东南·阶段练习）若，则等于（    ） A．5 B．10 C．25 D．125 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方运算，根据幂的乘方进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 变式6-1．（23-24八年级上·吉林通化·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方．根据题意利用公式“”即可计算出本题答案． 【详解】解：， 故选：B． 变式6-2．（23-24八年级上·北京·期末）已知，求的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则，熟练掌握幂的原式性质和整体代入的方法是解题的关键．利用幂的乘方与积的乘方的逆运算化简后，利用同底数幂的乘法法则和整体代入的方法解答即可． 【详解】解∶原式 原式 故选：B． 【考点七 利用幂的乘方运算求未知数的值】 例7．（23-24八年级上·广西钦州·阶段练习）若，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方；根据幂的乘方进行计算即可求解． 【详解】解：， ∴ 解得：， 故选：A． 变式7-1（23-24八年级上·四川眉山·阶段练习）当的值为 时，． 【答案】2 【分析】 本题考查了同底数幂的计算法则，将等式左边转化成同底数幂，再依次计算，可得，即可解答，熟知同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 解得 故答案为：2． 变式7-2．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）如果，那么m、n的值是（      ） A． ， B．， C．． D．， 【答案】C 【分析】本题考查的是幂的乘方运算，根据幂的乘方运算可得，再建立简单方程求解即可，熟记幂的运算法则是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解得：，； 故选C． 变式7-3．（22-23七年级下·安徽滁州·阶段练习）在幂的运算中规定：若（且，、是正整数），则．利用上面结论解答下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)3 (2)1 【分析】（1）根据，得即得，计算即可． （2）根据，得，故，，计算即可．本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法的逆应用，熟练掌握公式计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， 解得． （2）∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 【考点八 幂的乘方的逆用】 例8．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了幂的乘方运算，解题的关键是掌握幂的乘方，底数不变，指数相乘．根据幂的乘方运算法则将原式化为，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 变式8-1．（23-24八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）若．则 ． 【答案】6561/ 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方的逆运用，代数式求值； 根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：6561． 变式8-2．（23-24八年级上·贵州黔东南·阶段练习）在幂的运算中规定：若（且，x，y是正整数），则． 利用上面的结论解答下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是： （1）利用幂的乘方的法则变形，得到，再进行运算即可； （2）利用同底数幂的乘法法则变形，得到，再进行运算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得； （2）∵， ∴． ， ∴， 解得． 【考点九 利用幂的运算性质比较大小】 例9．（23-24八年级上·全国·课堂例题）在比较和的大小时，我们可以这样来处理： ． ，即． 根据上述材料，回答下列问题： (1)请比较下列两组数的大小： ①和；②和． (2)（1）中的两道题都是通过“幂的乘方”公式构造了相同的____________，从而比较大小，试用类似的方法，比较的大小． 【答案】(1)① ； ② (2)指数 ， 【分析】（1）根据阅读材料，利用幂的乘方运算及其逆运算，将各数转化为指数相同的形式比较大小即可得到答案； （2）根据阅读材料，利用幂的乘方运算及其逆运算，将各数转化为底数相同的形式比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵， 又∵， ∴，即； ②∵，， 又∵， ∴，即； （2）解：（1）中的两道题都是通过“幂的乘方”公式构造了相同的指数，从而比较大小； 又∵， ∴，即． 【点睛】本题考查幂的大小比较，读懂题中材料，灵活运用幂的乘方运算及其逆运算按材料中的方法求解是解决问题的关键． 变式9-1．（22-23七年级下·陕西榆林·期末）阅读材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： ①比较，的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大； ②比较和的大小：因为，，所以． 可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大． 根据上述材料，解答下列问题： (1)比较大小：__________（填“”或“”） (2)已知，，，试比较，，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂的乘方的逆运算进行化简比较即可； （2）根据题目中的方法，变化成指数相同时，比较底数即可． 【详解】（1）因为，， 所以． 故答案为：； （2）因为， ， ， 且， 所以， 所以． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算及有理数的乘方运算，熟练掌握幂的乘方的逆运算是解题关键． 【考点十 与幂的乘方运算有关的新定义问题】 例10．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)，求的值； (3)若运算的结果为，则t的值是多少？ 【答案】(1)96 (2)96 (3)2 【分析】（1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据同底数幂的乘法以及幂的乘方进行计算即可求解； （3）根据新定义得出，即可求解． 【详解】（1）解：依题意， （2）∵， ∴ ． （3）因为， 即， 即， 所以． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 变式10-1．（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）定义一种新运算（其中），例如，依据上面的公式解决下列问题： (1)求的结果； (2)若，求k的值． 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）根据新定义运算计算即可； （2）根据新定义运算即可列方程，进而可求出值． 【详解】（1）根据新定义运算可得：， （2）由题意可得：， ． ∵ ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查新定义运算及整数指数幂，解题关键是理解新定义运算并进行运用． 变式10-2．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如果，那么称为的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空：_______； (2)劳格数有如下运算性质： 若为正数，则，． 根据运算性质， 填空： ______（为正数）． 若，则______， ______；（答案精确到小数点后一位） (3)已知，，，则之间的等量关系式为______． 【答案】(1) (2)3，1.3，0.15 (3) 【分析】（1）根据劳格数的定义进行计算即可得到答案； （2）根据可得，代入进行计算即可得到的值，利用，求出，代入计算即可，根据得到，求出，代入计算即可得到答案； （3）分别表示出，，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：，为正数， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：3，1.3，0.15； （3）解：，，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义下有理数的运算、幂的乘方，理解题意，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 1．（23-24八年级上·广西钦州·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 2．（23-24八年级上·河北保定·期末）若，则（   ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟知同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键． 把化为，然后把已知条件代入计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：C． 3．（23-24八年级上·河南南阳·期中）在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是纳米，则个这样的细胞排成的细胞链的长是（    ） A．纳米 B．纳米 C．纳米 D．纳米 【答案】B 【分析】本题有理数乘法的应用，同底数幂乘法．由题意列式，计算求值即可．掌握同底数相乘，底数不变，指数相加是解题关键． 【详解】解：纳米， 故选：B． 4．（23-24八年级上·吉林长春·期末）下列各式中结果为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则，同类项合并法则，牢记运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，选项错误； B、，选项正确； C、，选项错误； D、，选项错误． 故选：B． 5．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂相乘底数不变指数相加，根据求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， 故选：C． 6．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算、幂的乘方的逆运算，利用同底数幂的乘法的逆运算、幂的乘方的逆运算计算即可求解，掌握同底数幂的乘法的逆运算、幂的乘方的逆运算是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 7．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂乘法，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据合并同类项、幂的乘方和同底数幂乘法法则求解判断即可． 【详解】A、，故选项不符合题意； B、，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：B． 8．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若，求的值是（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法法则的逆运算，比较简单．先逆用同底数幂的乘法法则把化成的形式，再把代入计算即可． 【详解】解：， ∴， 故选D． 9．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂乘法运算，幂的乘方的逆运算，由得到，即可求解，掌握同底数幂乘法运算和幂的乘方的逆运算的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故选：． 10．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如果一个正方体的棱长是，那么这个正方体的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方；根据正方体的体积公式列式，利用幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：如果一个正方体的棱长是，那么这个正方体的体积是， 故选：C． 二、填空题 11．（23-24八年级上·浙江台州·期末）定义一种新运算：若，则．例如：，则．已知，则的值为 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了新定义的运算、同底数幂乘法运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．设，，，易得，，，且，然后根据，即可求得的值． 【详解】解：设，，， 则有，，，且， ∴，即有． 故答案为：30． 12．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）电子文件的大小常用，，，等作为单位，其中．若某视频文件的大小约为，则 B． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法运算即可． 【详解】解： 故答案为：． 13．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）若，，则 ；当时，则 ． 【答案】 6 8 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握相应的运算法则和逆运算是解题的关键． 【详解】解：由，可得， 由，可得， 故答案为：6，． 14．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）若与的和仍是一个单项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义以及合并同类项：含有相同的字母并且相同的字母的指数也相同，合并同类项的法则：系数直接相加减，字母以及字母的指数不变；据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵与的和仍是一个单项式， ∴与是同类项， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 15．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，，且，则的值是 ． 【答案】1 【分析】 本题考查了同底数幂的乘法及其逆用、幂的乘方；由，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：1． 16．（2017·黑龙江大庆·二模）若，，则 ． 【答案】18 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法，牢记运算性质是关键．先把两边平方，从而求出的值，再根据同底数幂的乘方求出的值． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：18． 三、解答题 17．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）先阅读下列材料，再解答后面的问题． 一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）． 例如：，记为（即），则4叫做以3为底81的对数．可以记为． (1)①计算以下各对数的值：___________， _________，__________； ②、、之间的数量关系是____________________； (2)猜想一般性的结论：___________________（结果用含a，M，N的式子表示）（且），并写出证明过程． 【答案】(1)①2，4，6；② (2)，证明见解析 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算． （1）①根据材料叙述，结合，，即可得出答案； ②根据①的答案可得出、、之间满足的关系式； （2）设，，则，分别表示出及的值，即可得出猜想． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴，，； 故答案为：2，4，6； ②∵， ∴； 故答案为：； （2）解：猜想． 证明：设，，则， 故可得，， 即． 故答案为：． 18．（23-24八年级上·广西钦州·阶段练习）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）8 【分析】 本题考查代数式求值，涉及幂的乘方运算的逆运算、同底数幂的乘法运算、一元一次方程及代数式求值等知识，熟练掌握幂的乘方运算的逆运算、同底数幂的乘法运算变形求解即可得到答案． （1）根据幂的乘方运算的逆运算、同底数幂的乘法运算，将化为，得到一元一次方程求解即可得到答案； （2）根据幂的乘方运算的逆运算、同底数幂的乘法运算，根据，由条件得到，整体代入即可得到答案． 【详解】 解：（1）， ，即， ∴，解得； （2）， ， ， ． 19．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知，用含a，b的式子表示下列代数式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法法则以及幂的乘方法则，熟练掌握上述法则及其逆运用，是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法法则即可求解； （2）根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$