第03讲 实数（知识梳理+10考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第03讲 实数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解无理数与实数的概念； 2.理解实数与数轴上的点一一对应； 3.掌握实数大小的比较方法及运算. 一、实数的基础 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 实数的分类： 见思维导图 二、实数的运算 实数的四则运算： 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用. 1. 实数的加法法则：1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 2. 实数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数. 3. 实数的乘方法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 4. 实数的除法法则：1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 5. 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 三、比较实数的大小 1）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； 2）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； 3）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； 4）作差比较法： a，b是任意两个实数，若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a<b. 5）作商比较法：a、b为正数，若>1，则a>b；若=1，则a=b；若<1，则a<b a、b为负数，若>1，则a<b；若=1，则a=b；若<1，则a>b 6）倒数比较法：若>，ab>0,则a<b； 7）平方比较法：a、b为正数，若a2>b2，则a>b. a、b为负数，若a2>b2，则a<b. 【考点一 实数的分类】 例1．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）将下列各数填入相应的集合内： ． (1)有理数集合：{           }； (2)无理数集合：{           }； (3)正实数集合：{           }； (4)负实数集合：{           }． 变式1-1．（23-24八年级上·广东佛山·期中）将下列各数的序号填入相应的括号内： ①；②；③0；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨2；⑩． 负分数集合：{___________________…）； 整数集合：{___________________…）； 正有理数集合：{___________________…）； 无理数集合：{___________________…）． 变式1-2．（21-22八年级·江苏·假期作业）把下列各数分别填入相应的大括号中． ，，0，，，，，，，，，． (1)正数集合：　　 ； (2)负数集合：　　 ； (3)负整数集合：　　 ； (4)非负分数集合：　　 ； (5)无理数集合：　　 ． 【考点二 估算无理数】 例2．（2022·福建·模拟预测）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（   ） A． B． C． D．π 变式2-1．（23-24八年级上·内蒙古包头·阶段练习）若为两个连续整数，且，则的值是（     ） A．3 B．4 C．6 D．5 变式2-2．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）若a、b均为正整数，当时，我们称b是的“整值”， 则的整值是 ． 变式2-3．（23-24八年级上·北京延庆·期末）已知是无理数，且，写出一个满足条件的的值是 ． 【考点三 无理数整数部分与小数部分的计算】 例3．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如果的小数部分为a，的小数部分为b，则 ． 变式3-1．（23-24八年级上·广东梅州·期中）已知的小数部分为a，的小数部分为b，则 变式3-2．（23-24八年级上·江苏南通·期中）已知的整数部分为，小数部分为，则的值是 ． 变式3-3．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）观察：，即的整数部分为2，小数部分为．请你运用上述规律解决下面的问题： (1)规定用符号表示实数的整数部分，例如：，按此规定的值为_______； (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的值． 【考点四 实数与数轴综合】 例4．（22-23八年级下·广东揭阳·阶段练习）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 变式4-1．（22-23八年级上·全国·期中）如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为 ．（可以用含根号的式子表示） 变式4-2．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图所示，半径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达点，则点表示的数是 ．若点表示，则点在点的 边（填“左”、“上”、“右”） 变式4-3．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，无理数也可以在数轴上表示出来．    (1)如图1，点表示的数是________； (2)如图2，直线垂直数轴于原点，请用尺规在数轴上作出表示的点（不写作法，保留作图痕迹）． 变式4-4．（23-24八年级上·四川成都·期中）（1）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示： 化简： （2）已知，求的值． 【考点五 实数的混合运算】 例5．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）计算：． 变式5-1．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）计算： 变式5-2．（23-24八年级上·陕西榆林·期中）计算： 【考点六 比较实数的大小】 例6．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）实数，和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 变式6-1．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）已知，如图所示，实数a、b、c在数轴上的位置．    (1)比较下列各式与0的大小（用“”连接）： a______0，______0，______0，______0． (2)化简：． 变式6-2．（23-24八年级上·北京昌平·期中）阅读理解，并回答问题． 阅读材料1： ∵，∴，即． ∴的整数部分为2，小数部分为． 阅读材料2： 对于任意实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．我们把这种比较两个数大小的方法称为作差法． 例如：比较与的大小时，可以计算，得， ∵，∴．∴． (1)请表示出的整数部分和小数部分； (2)试判断与的大小，并说明理由． 【考点七 程序设计与实数运算】 例7．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，则最后输出的值是 ． 变式7-1．（23-24八年级上·河南郑州·期中）根据图中的程序，当输入为64时，输出的值是 变式7-2．（22-23七年级下·河北张家口·期末）如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示．      (1)当输入的x值为时，求输出的y值； (2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由； (3)若输出的y值是，直接写出x的负整数值． 变式7-3．（21-22七年级下·山东德州·期中）如图是一个数值转换器的工作原理． (1)当输入的值为时，求输出的值； (2)是否存在输入值后，始终输不出值的情况，若存在，请写出所有满足要求的值；若不存在，请说明理由； (3)若输出的值是，请写出四个满足要求的值． 【考点八 实数运算与新定义问题】 例8．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a，b，都有，例如图，那么 ． 变式8-1．（23-24八年级上·江西吉安·期末）对于X，Y定义一种新运算“*”：，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算．若成立，那么 ． 变式8-2．（23-24八年级上·重庆·期中）对于整数定义运算，（其中为常数），如． (1)当，时，求的值； (2)若，，求的值． 变式8-3．（23-24八年级上·河南南阳·期中）对于任意实数a、b，用“※”定义新运算如下： (1)．如．已知的结果是6，求的值． (2)．如．已知结果为，求的值． 【考点九 实数运算与规律探究问题】 例9．（23-24八年级上·河北衡水·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：则按此规律可推得这一列数中的第729个数应是（    ） A． B． C．27 D．9 变式9-1．（23-24八年级上·福建漳州·期中）将、、、……按如图方式排列．若规定表示第x排从左向右第y个数，若在，则的值为 ． 变式9-2．（2023八年级上·江苏·专题练习）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中a、b为有理数，x为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题： (1)如果，其中a、b为有理数，那么　　，　　； (2)如果，其中a、b为有理数，求的平方根． 变式9-3．（2022·湖南张家界·一模）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如，计算：；．根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：________，_______； (2)计算：； (3)计算：． 变式9-4．（21-22七年级下·吉林白城·期末）观察表格，回答问题： a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则________； ②已知，若，用含m的代数式表示b，则________； (3)试比较与a的大小． 当________时，；当________时，；当________时，． 【考点十 实数运算的实际应用】 例10．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 变式10-1．（21-22七年级下·天津河西·期中）已知点P的坐标为，这里a，b都是有理数，分别是点P到x轴和y轴的垂线段，且四边形的面积为，求点P的坐标． 变式10-2．（22-23七年级下·福建莆田·期中）虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？ 变式10-3．（21-22八年级上·全国·课后作业）用电器的电阻、功率与它两端的电压之间有关系：．有两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为，乙的电阻为．现测得某用电器的功率为，两端电压在，该用电器到底是甲还是乙？ 变式10-4．（20-21八年级上·江苏苏州·阶段练习）数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题： 问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得， ∵a，b都是有理数， ∴也是有理数， ∵是无理数， ∴， ∴， ∴ 解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值． 一、单选题 1．（2024·河南周口·三模）在下列四个数中，最大的数是（    ） A． B．0 C．1 D． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）下列各数为无理数的是（   ） A． B．π C．0.618 D． 3．（23-24七年级下·云南昭通·期中）的相反数是（    ） A．2 B． C． D． 4．（2024·江苏南通·模拟预测）实数与数轴上的点一一对应，请观察如图所示的数轴，无理数在数轴上对应的点可能是（　　）    A．点A B．点B C．点C D．点D 5．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）公元前年，古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现了边长为的正方形的对角线长不能用有理数表示，为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．下列各数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·广东韶关·期中）按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·福建厦门·期中）如图，半径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动（无滑动）两周到达点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知是无理数，则a的值可以为（       ） A． B． C．0 D．8 9．（2024·安徽淮北·二模）已知三角形的两边长分别为，第三边长为，若为整数，则的值不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2024·河北保定·二模）如图，正方形M的边长为m，正方形N的边长为n，若两个正方形的面积分别为9和5，则下列关于m和n的说法，正确的是（    ） A．m为有理数，n为无理数 B．m为无理数，n为有理数 C．m，n都为有理数 D．m，n都为无理数 二、填空题 11．（2024年河北省唐山市市多校中考三模数学试题）定义新运算：对于任意实数，均有，则不等式的解集为 ． 12．（23-24九年级下·浙江杭州·期中）已知，则整数n的值是 ． 13．（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期中）用“@”表示一种新运算；对于任意正实数a，b，都有，如，则的结果是 ． 14．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）已知，则的整数部分为 ． 15．（23-24七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，数轴上A，B点对应的实数分别是1和．若点A关于点B的对称点为点C（即），则点C所对应的实数为 ．    三、解答题 16．（23-24七年级下·重庆渝北·期中）【阅读理解】 的整数部分是2，则的小数部分可以表示为． 【问题解决】 (1)若，且是整数，求的值； (2)已知的小数部分是，的小数部分是，且，求的值． 17．（23-24七年级下·吉林松原·期中）计算：． 18．（23-24七年级下·吉林·期中）对于有理数和，定义新运算：，其中、是常数，已知，． (1)求、的值； (2)若，，求的值． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 实数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解无理数与实数的概念； 2.理解实数与数轴上的点一一对应； 3.掌握实数大小的比较方法及运算. 一、实数的基础 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 实数的分类： 见思维导图 二、实数的运算 实数的四则运算： 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用. 1. 实数的加法法则：1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 2. 实数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数. 3. 实数的乘方法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 4. 实数的除法法则：1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 5. 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 三、比较实数的大小 1）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； 2）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； 3）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； 4）作差比较法： a，b是任意两个实数，若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a<b. 5）作商比较法：a、b为正数，若>1，则a>b；若=1，则a=b；若<1，则a<b a、b为负数，若>1，则a<b；若=1，则a=b；若<1，则a>b 6）倒数比较法：若>，ab>0,则a<b； 7）平方比较法：a、b为正数，若a2>b2，则a>b. a、b为负数，若a2>b2，则a<b. 【考点一 实数的分类】 例1．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）将下列各数填入相应的集合内： ． (1)有理数集合：{           }； (2)无理数集合：{           }； (3)正实数集合：{           }； (4)负实数集合：{           }． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查实数的分类： （1）根据分数和整数统称为有理数，作答即可； （2）根据无理数是无限不循环小数，作答即可； （3）根据大于0的实数，是正实数，作答即可； （4）根据小于0的实数，是负实数，作答即可． 【详解】（1）解： 有理数集合：{} （2）无理数集合：{} （3）正实数集合：{} （4）负实数集合：{} 变式1-1．（23-24八年级上·广东佛山·期中）将下列各数的序号填入相应的括号内： ①；②；③0；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨2；⑩． 负分数集合：{___________________…）； 整数集合：{___________________…）； 正有理数集合：{___________________…）； 无理数集合：{___________________…）． 【答案】负分数集合：{⑦，⑩）；整数集合：{①，③，⑤，⑨）；正有理数集合：{②，⑥，⑨）；无理数集合：{④，⑧）． 【分析】本题主要考查了实数的分类，解题的关键是熟练掌握有理数和无理数的定义：有理数是整数和分数的统称，无理数是无限不循环小数的统称． 【详解】解：①是整数，是负有理数； ②是正有理数； ③0是整数； ④是无理数； ⑤是整数； ⑥是正有理数； ⑦是负分数； ⑧是无理数； ⑨2是整数，是正有理数； ⑩是负分数． ∴负分数集合：{⑦，⑩）； 整数集合：{①，③，⑤，⑨）； 正有理数集合：{②，⑥，⑨）； 无理数集合：{④，⑧）． 变式1-2．（21-22八年级·江苏·假期作业）把下列各数分别填入相应的大括号中． ，，0，，，，，，，，，． (1)正数集合：　　 ； (2)负数集合：　　 ； (3)负整数集合：　　 ； (4)非负分数集合：　　 ； (5)无理数集合：　　 ． 【答案】(1)，，，，，， (2)，，， (3) (4)，，， (5)， 【分析】（1）先化简，再根据正数的含义作答即可； （2）先化简 再根据负数的含义作答即可； （3）整数分为正整数，0，负整数，再根据负整数的含义作答即可； （4）非负分数即正分数，根据概念作答即可； （5）无限不循环的小数是无理数，根据无理数的含义作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴正数集合：，，，，，，； （2）∵ ∴负数集合：，，，； （3）负整数集合：； （4）非负分数集合：，，，； （5）无理数集合：，． 【点睛】本题考查实数分类，有理数与无理数统称实数，整数与分数统称有理数，关键是理解实数的分类． 【考点二 估算无理数】 例2．（2022·福建·模拟预测）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（   ） A． B． C． D．π 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，正确确定点P对应的数的大小是解答本题的关键． 先根据数轴确定点P对应的数的大小，再结合选项进行判断即可． 【详解】解：由数轴可得，点P对应的数在1与2之间， A、，故本选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B 变式2-1．（23-24八年级上·内蒙古包头·阶段练习）若为两个连续整数，且，则的值是（     ） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算和代数式求值，熟练掌握无理数的估算是解题关键．先估算在哪两个连续整数之间求得的值，然后将其代入中计算即可． 【详解】解： 则， 故选A． 变式2-2．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）若a、b均为正整数，当时，我们称b是的“整值”， 则的整值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查根数的估算，根据夹逼法求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的整值是， 故答案为：． 变式2-3．（23-24八年级上·北京延庆·期末）已知是无理数，且，写出一个满足条件的的值是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的估算，根据是无理数，且，得出，从而即可得出答案，准确进行估算是解此题的关键． 【详解】解：是无理数，且， ， 满足条件的的值是（答案不唯一）． 【考点三 无理数整数部分与小数部分的计算】 例3．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如果的小数部分为a，的小数部分为b，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，代数式求值，先根据无理数的估算求出a、b的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：， ， 的小数部分， ， ， 的小数部分， ， 故答案为：． 变式3-1．（23-24八年级上·广东梅州·期中）已知的小数部分为a，的小数部分为b，则 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，先求出的范围，推出和，求出a、b的值，再代入求出即可． 【详解】解：， ，， ， ， ， 故答案为：． 变式3-2．（23-24八年级上·江苏南通·期中）已知的整数部分为，小数部分为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算、求代数式的值、利用平方差公式进行计算，先估算出，得出，从而得出，，代入式子，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：， ，即， ， 的整数部分为，小数部分为， ，， ， 故答案为：． 变式3-3．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）观察：，即的整数部分为2，小数部分为．请你运用上述规律解决下面的问题： (1)规定用符号表示实数的整数部分，例如：，按此规定的值为_______； (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】此题考查了无理数的估算． （1）先估算出，得到，根据定义即可得到答案； （2）先估算出的小数部分，的整数部分为，进一步计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4 （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2， ∴的小数部分， ∵， ∴， ∴的整数部分为， ∴． 【考点四 实数与数轴综合】 例4．（22-23八年级下·广东揭阳·阶段练习）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查实数与数轴相关的性质，熟练相关的知识是解题的关键；根据数轴上a，b，c位置，实数的性质和不等式的性质逐项分析即可． 【详解】从数轴上可知，，； 则，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D错误； 故选：A． 变式4-1．（22-23八年级上·全国·期中）如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为 ．（可以用含根号的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，掌握两点间的距离公式为：两点间的距离较大的数较小的数，是解题的关键． 先根据勾股定理求出的长，即为的长，再根据两点间的距离公式便可求出的长，则可得出答案． 【详解】解：由勾股定理可得，， 则， 点表示的数是1， ， 点所表示的数为． 故答案为：． 变式4-2．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图所示，半径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达点，则点表示的数是 ．若点表示，则点在点的 边（填“左”、“上”、“右”） 【答案】 右 【分析】本题主要考查了数轴，实数的大小比较．求出圆的周长，可得点表示的数，再根据，可得点在点的右边，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， ∴点表示的数是； ∵ ∴， ∴点在点的右边． 故答案为：；右． 变式4-3．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，无理数也可以在数轴上表示出来．    (1)如图1，点表示的数是________； (2)如图2，直线垂直数轴于原点，请用尺规在数轴上作出表示的点（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理的应用； （1）利用勾股定理求出斜边长度即可得答案； （2）先作出长为的线段，再以表示的点为圆心，在原点左侧截取点P，使P到表示1的点距离为即可求解． 【详解】（1）解：如图：    ∵ ∴点表示的数是， 故答案为：． （2）如图所示，点即为所求．    变式4-4．（23-24八年级上·四川成都·期中）（1）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示： 化简： （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质、化简与混合运算，准确化简各式是解题的关键． （1）先化简各式，然后再进行计算即可； （2）先计算出的值，再代入求值即可． 【详解】解：（1）由数轴知：， ， ； （2）由， ， ． 【考点五 实数的混合运算】 例5．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）计算：． 【答案】16 【分析】 本题考查了实数的混合运算． 先将算术平方根，立方根化简，再进行计算即可． 【详解】解： ． 变式5-1．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，解题关键是熟练掌握混合运算法则和实数整数指数幂的性质； 按照实数混合运算法则，先算乘方和开方和去绝对值，最后算加减即可． 【详解】解： ． 变式5-2．（23-24八年级上·陕西榆林·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算立方根、算术平方根和绝对值，再进行加减计算即可． 【详解】解： 【考点六 比较实数的大小】 例6．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）实数，和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比较实数的大小，无理数的估算等知识．先估算出，，即可得到，进而得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C 变式6-1．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）已知，如图所示，实数a、b、c在数轴上的位置．    (1)比较下列各式与0的大小（用“”连接）： a______0，______0，______0，______0． (2)化简：． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）观察数轴得：，，再根据有理数的加减法运算法则，即可判断； （2）先根据算术平方根的性质化简，再根据绝对值的性质化简，然后去括号，合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解：观察数轴得：，， ∴，，； 故答案为：，，，； （2）解： 【点睛】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，算术平方根的含义，绝对值的化简，合并同类项，掌握“利用算术平方根的含义进行化简，绝对值的化简”是解本题的关键． 变式6-2．（23-24八年级上·北京昌平·期中）阅读理解，并回答问题． 阅读材料1： ∵，∴，即． ∴的整数部分为2，小数部分为． 阅读材料2： 对于任意实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．我们把这种比较两个数大小的方法称为作差法． 例如：比较与的大小时，可以计算，得， ∵，∴．∴． (1)请表示出的整数部分和小数部分； (2)试判断与的大小，并说明理由． 【答案】(1)的整数部分为，小数部分为； (2)，理由见解析 【分析】（1）先估算的大小，根据题意利用作差法，即可求解； （2）根据作差法比较，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则的整数部分为，小数部分为； （2）解：，理由如下， ∵， ∴． 【点睛】本题考查无理数的估算及实数的大小比较，（2）中采用作差法进行比较大小是解题的关键． 【考点七 程序设计与实数运算】 例7．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，则最后输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据运算程序运算即可得到结果，理解运算程序是解题的关键． 【详解】解：， ∵不是无理数， ∴最后输出的值为， 故答案为：． 变式7-1．（23-24八年级上·河南郑州·期中）根据图中的程序，当输入为64时，输出的值是 【答案】 【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，先把64输入，计算出y的值，若结果为无理数则输出结果，若结果为有理数，继续把y的值输入进行计算，如此反复直至y的结果为无理数即可得到答案． 【详解】解：输入64时，，是有理数， 输入时，，是有理数， 输入2时，，是无理数， ∴输出结果为， 故答案为：． 变式7-2．（22-23七年级下·河北张家口·期末）如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示．      (1)当输入的x值为时，求输出的y值； (2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由； (3)若输出的y值是，直接写出x的负整数值． 【答案】(1) (2)1或2或3，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案； （3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，， 4的算术平方根为， 而2是有理数，2的算术平方根为， 故答案为：； （2）解：1或2或3，理由如下： ∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1， ∴当或0时， 解得或2或3， ∴当或2或3时，无论进行多少次运算都不可能是无理数； （3）解：若1次运算就是， ∴ ∴ ∴解得或， ∴x为负整数， 则输入的数为； 若2次运算输出的数是， ∴ ∴ ∴解得或 ∵ ∴不符合题意， 综上所述，． 【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是解题的关键． 变式7-3．（21-22七年级下·山东德州·期中）如图是一个数值转换器的工作原理． (1)当输入的值为时，求输出的值； (2)是否存在输入值后，始终输不出值的情况，若存在，请写出所有满足要求的值；若不存在，请说明理由； (3)若输出的值是，请写出四个满足要求的值． 【答案】(1) (2)或或 (3)或或或时，输出的值是，答案不唯一． 【分析】（1）根据运算规则计算即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，即可判断； （3）根据运算法则，9的算术平方根是3，3的算术平方根是，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数． 【详解】（1）解：，16的算术平方根是4， 4不是无理数，4的算术平方根是2， 2不是无理数，2的算术平方根是，是无理数， 故输出的值是． 故答案是：． （2）解：存在输入值后，始终输不出值的情况． ∵0和1的算术平方根是0和1， ∴当或时，始终输不出值， ∴或或． （3）解：∵9的算术平方根是3，3的算术平方根是， ∴当或， 即或或或时，输出的值是，(答案不唯一)． 【点睛】本题考查了绝对值，算术平方根，正确理解给出的运算方法是关键． 【考点八 实数运算与新定义问题】 例8．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a，b，都有，例如图，那么 ． 【答案】17 【分析】本题考查了实数的运算，正确运用已知公式是解题的关键． 直接利用已知运算公式计算得出答案． 【详解】解：由题意可得：． 故答案为：17． 变式8-1．（23-24八年级上·江西吉安·期末）对于X，Y定义一种新运算“*”：，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算．若成立，那么 ． 【答案】7 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、负整数指数幂、不等式的解法，根据新定义得出正确的关系式是解题的关键． 根据二次根式的性质即可得出，再根据负整数指数幂即可得出，再根据新运算的定义将原式展开求解即可得出答案． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ． 故答案为：7． 变式8-2．（23-24八年级上·重庆·期中）对于整数定义运算，（其中为常数），如． (1)当，时，求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义下的实数运算： （1）根据新定义，将值代入计算即可； （2）根据条件结合新定义的运算方法可得，，再代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：，， ， ，， ． 变式8-3．（23-24八年级上·河南南阳·期中）对于任意实数a、b，用“※”定义新运算如下： (1)．如．已知的结果是6，求的值． (2)．如．已知结果为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，根据平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是 的关键． （1）根据题目所给新定义的运算法则，得出，根据平方根的定义即可求解； （2）根据题目所给新定义的运算法则，得出，根据立方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得， ∵ ∴，则 ∴． （2）解：由题意，得， ∵， ∴ ，则， ∴ ∴． 【考点九 实数运算与规律探究问题】 例9．（23-24八年级上·河北衡水·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：则按此规律可推得这一列数中的第729个数应是（    ） A． B． C．27 D．9 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解．根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，从而可以得到这一列数中的第729个数． 【详解】解：一列实数：，，，，，，，，，，… 这些数每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根， 这一列数中的第个数应是， 故选D． 变式9-1．（23-24八年级上·福建漳州·期中）将、、、……按如图方式排列．若规定表示第x排从左向右第y个数，若在，则的值为 ． 【答案】27 【分析】观察式子，得到如下规律，第排的个数为个，前排的总数为个，奇数排是从左到右依次增大排列，偶数排是从右到左依次增大排列，根据规律求解即可． 【详解】解：观察式子可得， 第1排的个数为，前1排的总数为， 第2排的个数为，前2排的总数为，从右到左依次增大排列， 第3排的个数为，前3排的总数为，从左到右依次增大排列， 第4排的个数为，前4排的总数为，从右到左依次增大排列， …… 第排的个数为个，前排的总数为个，奇数排是从左到右依次增大排列，偶数排是从右到左依次增大排列， 因为，， 所以是在第45排，即， 第45排，为奇数排，从左向右依次增大， 因为，所以， 将，代入得 故答案为：27． 【点睛】此题考查了数字类规律的探索问题，涉及了有理数的乘方，算术平方根，解题的关键是理解题意，正确找出数字的规律． 变式9-2．（2023八年级上·江苏·专题练习）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中a、b为有理数，x为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题： (1)如果，其中a、b为有理数，那么　　，　　； (2)如果，其中a、b为有理数，求的平方根． 【答案】(1)2，6 (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，平方根，本题是阅读型题目，正确理解题干中的信息并熟练运用是解题的关键． （1）利用材料中的规定列出a，b的方程，解方程即可得出结论； （2）利用材料中的规定列出a，b的方程，解方程求得a，b的值，再利用平方根的意义解答即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴． 故答案为：2；6； （2）∵， ∴， ∴， ∴． ∵16的平方根为， ∴的平方根为． 变式9-3．（2022·湖南张家界·一模）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如，计算：；．根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：________，_______； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1)−i，1； (2)10-5i； (3)i−1 【分析】（1）把化为，把化为，再结合进行计算； （2）根据复数的乘法法则进行计算即可； （3）根据，，可知，…，且，，然后将原式化简求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：−i，1； （2）解： ； （3）∵，，， ∴，，，……， ∴，……，，， ∴ ＝0＋……＋0＋i－1 ＝i−1． 【点睛】此题考查了新定义，实数的运算，关键是能根据新定义和实数的运算方法进行准确计算． 变式9-4．（21-22七年级下·吉林白城·期末）观察表格，回答问题： a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则________； ②已知，若，用含m的代数式表示b，则________； (3)试比较与a的大小． 当________时，；当________时，；当________时，． 【答案】(1)0.1；10； (2)①31.6；②； (3)，或0，． 【分析】（1）由表格得出规律，求出与的值即可； （2）根据得出的规律确定出所求即可； （3）分类讨论的范围，比较大小即可． 【详解】（1）解：，． 故答案为：0.1；10； （2）解：①根据题意得：． ②结果扩大100倍，则被开方数扩大10000倍， ． 故答案为：31.6；； （3）解：当或1时，； 当时，； 当或0时，； 当时，， 故答案为：，或0，． 【点睛】本题考查了实数的比较，弄清题中的规律是解本题的关键． 【考点十 实数运算的实际应用】 例10．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 【答案】(1) (2)该座钟大约发出了420次滴答声 【分析】（1）将数据代入函数关系式，进行计算即可； （2）用总时间除以一个周期的时间进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； （2）（次）． 答：该座钟大约发出了420次滴答声． 【点睛】本题考查求实数运算的实际应用．属于基础题型，正确的计算，是解题的关键． 变式10-1．（21-22七年级下·天津河西·期中）已知点P的坐标为，这里a，b都是有理数，分别是点P到x轴和y轴的垂线段，且四边形的面积为，求点P的坐标． 【答案】或或或 【分析】先证明四边形是长方形，可得，从而得到或，即可求解． 【详解】解：∵分别是点P到x轴和y轴的垂线段， ∴， ∴四边形是长方形， ∵四边形的面积为， ∴， ∵点P的坐标为， ∴， 即， ∴或， 由①得：， ∵a，b都是有理数， ∴，解得：或， 同理由②得：或， ∴点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了长方形与图形相结合的问题，能够熟练运用已学知识求解一些简单的图形结合问题． 变式10-2．（22-23七年级下·福建莆田·期中）虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？ 【答案】圆形广场围墙米，正方形广场围墙米，选择圆形广场的建设方案，理由见详解 【分析】分别计算出圆形花园和正方形花园所需围墙的长度，比较即可作答． 【详解】当为圆形时，设圆的半径为，则有：， 即：（负值舍去）， 则此时花园的围墙为：（米）； 当广场为正方形时，设正方形边长为，则有：， 即：（负值舍去）， 则此时花园的围墙为：（米）； ∵， ∴建造成圆形时，广场的围墙会更短， 则建造成本更低， ∴作为投资商，会选择建圆形花园． 【点睛】此题主要考查实数的大小的比较在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学． 变式10-3．（21-22八年级上·全国·课后作业）用电器的电阻、功率与它两端的电压之间有关系：．有两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为，乙的电阻为．现测得某用电器的功率为，两端电压在，该用电器到底是甲还是乙？ 【答案】甲 【分析】根据，得到，分别求出甲乙的电压，故可求解． 【详解】∵ ∴ ∴，，该用电器是甲． 【点睛】此题主要考查了实数的运算在实际问题中的应用，锻炼了学生估计无理数大小的能力，本题还用到物理中的电功率的知识． 变式10-4．（20-21八年级上·江苏苏州·阶段练习）数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题： 问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得， ∵a，b都是有理数， ∴也是有理数， ∵是无理数， ∴， ∴， ∴ 解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值． 【答案】8或0 【分析】根据题目中例题的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，从而可以求得x+y的值． 【详解】解：∵， ∴（x2-2y-8）+（y-4）=0， ∴x2-2y-8=0，y-4=0， 解得，x=±4，y=4， 当x=4，y=4时，x+y=4+4=8， 当x=-4，y=4时，x+y=（-4）+4=0， 即x+y的值是8或0． 【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是明确题目中例题的解答方法，然后运用类比的思想解答所求式子的值． 一、单选题 1．（2024·河南周口·三模）在下列四个数中，最大的数是（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 【详解】解：∵ ， ∴其中最大的数是. 故选A． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）下列各数为无理数的是（   ） A． B．π C．0.618 D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的识别．熟练掌握无理数的定义，是解题的关键．根据无理数的定义：无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：，，，是无理数的是； 故选B． 3．（23-24七年级下·云南昭通·期中）的相反数是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，解题的关键是熟练掌握只有符号不同的两个数互为相反数，根据相反数的定义进行求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 4．（2024·江苏南通·模拟预测）实数与数轴上的点一一对应，请观察如图所示的数轴，无理数在数轴上对应的点可能是（　　）    A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，掌握算术平方根的定义，理解数轴表示数的意义是正确详解的关键．估算无理数的大小，进而得出的取值范围，再根据数轴表示数的意义进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 而点D所表示的数大于2且小于3， 因此无理数在数轴上对应的点可能是点D， 故选：D． 5．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）公元前年，古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现了边长为的正方形的对角线长不能用有理数表示，为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．下列各数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据无理数的定义，判断每个选项是否符合无限不循环小数的特征即可解答．本题考查了无理数的定义，理解无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是有限小数， ∴是有理数， ∴项不符合题意； ∵是无限不循环小数， ∴是无理数， ∴项符合题意； ∵是分数，属于有理数，不是无理数， ∴项不符合题意； ∵，属于有理数，不是无理数， ∴是有理数， ∴项不符合题意； 故选． 6．（23-24七年级下·广东韶关·期中）按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究，根据已有数据，得到第个数为，进而求出第8个数即可． 【详解】解：，，，， ∴第个数为， ∴第8个数为； 故选C． 7．（23-24七年级下·福建厦门·期中）如图，半径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动（无滑动）两周到达点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，先求出滚动两周的距离，然后根据数轴上的点与实数一一对应，得出点表示的数即可，求出滚动两周的距离是解题的关键． 【详解】解：向右滚动两周的距离，点表示的数是， ∴点表示的数是，即， 故选：D． 8．（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知是无理数，则a的值可以为（       ） A． B． C．0 D．8 【答案】D 【分析】本题考查无理数的定义，把各数代入计算，然后根据无理数的定义判断即可解题． 【详解】解：A.当时，，是有理数； B.当时，，是有理数； C.当时，，是有理数； D.当时，，是无理数； 故选：D． 9．（2024·安徽淮北·二模）已知三角形的两边长分别为，第三边长为，若为整数，则的值不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，再估算出第三边的范围，结合整数直接求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，设第三边为x，即， ∵，即 ∴， ∵第三条边长为整数， ∴x可能为：2，3，4， 则第三边长不可能为1， 故选：A 10．（2024·河北保定·二模）如图，正方形M的边长为m，正方形N的边长为n，若两个正方形的面积分别为9和5，则下列关于m和n的说法，正确的是（    ） A．m为有理数，n为无理数 B．m为无理数，n为有理数 C．m，n都为有理数 D．m，n都为无理数 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根、实数的分类，先根据正方形面积公式求得边长m、n，再根据实数的分类判断即可． 【详解】解：由题意，，， ∴，， ∴m为有理数，n为无理数， 故选：A． 二、填空题 11．（2024年河北省唐山市市多校中考三模数学试题）定义新运算：对于任意实数，均有，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据定义，变形为，解不等式即可． 本题考查了新定义，解不等式，正确理解定义，准确转化为不等式解答是解题的关键． 【详解】根据定义，变形为， 解得． 故答案为：． 12．（23-24九年级下·浙江杭州·期中）已知，则整数n的值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了无理数的估算，估算出的大小即可求解． 【详解】解：， ， 即， 故； 故答案为：7． 13．（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期中）用“@”表示一种新运算；对于任意正实数a，b，都有，如，则的结果是 ． 【答案】3 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：根据题中的新定义得： ． 故答案为：3． 14．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）已知，则的整数部分为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查非负数的性质和无理数的估算，先根据非负数的性质得出的值，再求出的整数部分即可． 【详解】解：∵，且， ∵ 解得， ∴， ∵ ∴ ∴的整数部分为2， 故答案为：2． 15．（23-24七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，数轴上A，B点对应的实数分别是1和．若点A关于点B的对称点为点C（即），则点C所对应的实数为 ．    【答案】/ 【分析】此题的考查了实数与数轴，一元一次方程的应用等知识，点C所对应的实数为x，根据列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设点C所对应的实数为x， ∵， ∴ 解得 即点C所对应的实数为． 故答案为： 三、解答题 16．（23-24七年级下·重庆渝北·期中）【阅读理解】 的整数部分是2，则的小数部分可以表示为． 【问题解决】 (1)若，且是整数，求的值； (2)已知的小数部分是，的小数部分是，且，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了无理数的整数部分，无理数的估算，利用平方根解方程 （1）因为得，结合即可得出整数的值； （2）先求出，得，，可得，同理得，代入计算即可 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴，即 而，且是整数， ∴； （2）解：∵， ∴ ∴ ∴， ∵的小数部分是，的小数部分是， ∴， ∵， ∴ ∴，， 则或 17．（23-24七年级下·吉林松原·期中）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了立方根，绝对值，算术平方根，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算立方根，化简绝对值，计算算术平方根，然后计算加减即可． 【详解】 ． 18．（23-24七年级下·吉林·期中）对于有理数和，定义新运算：，其中、是常数，已知，． (1)求、的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查定义新运算，二元一次方程组的运用，理解新定义的运算方法，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）根据新定义运算的规则可得关于的二元一次方程组，运用加减消消元法即可求解； （2）根据题意，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， 得，， 整理得，， 解得，， 把代入①得，， 解得，， ∴； （2）解：根据题意得，， 解得，． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$