第02讲 立方根（知识梳理+9考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第02讲 立方根 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解立方根的概念； 2.会求一个数的立方根； 3.理解平方根与立方根的联系与区别. 相关概念 概念 补充与拓展 立方根 如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x叫做a的立方根或三次方根. 数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 立方根的性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根． 互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 立方根等于本身的有0和±1 . 立方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向左或右移动三位，那么立方根的小数点相应的向左或右移动一位. 例如：已知＝0.1738，＝1.738，则a的值为0.00528 求一个数的立方根的运算叫做开立方. 求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根. 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. 平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 性质 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为±，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在±中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究，即. 常见实数的平方与立方： 常见数的平方 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 112 122 132 142 152 162 172 182 192 202 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 常见数的立方 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 【考点一 理解立方根的概念】 例1．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．一个正数有两个立方根，它们的和为0 B．负数没有立方根 C．如果一个数没有平方根，那么它一定没有立方根 D．一个数的立方根与这个数同号 变式1-1．（23-24八年级上·山西长治·期中）下列语句正确的是（    ） A．任何一个数都有平方根 B．一个数不一定有立方根 C．一个数的算术平方根一定大于0 D．实数与数轴上的点一一对应 变式1-2．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）已知，则下列说法正确的是（　　） A．是的立方根 B．是的立方根 C．是的立方根 D．是的立方根 【考点二 求一个数的立方根】 例2．（2023八年级上·江苏·专题练习）下列选项中正确的是（　　） A．27的立方根是 B．的平方根是 C．9的算术平方根是3 D．立方根等于平方根的数是1 变式2-1．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）若实数的立方根与的立方根互为相反数，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．（23-24八年级上·四川达州·期末）的立方根与9的平方根的和是（　　） A．0 B．6 C． D．0或 【考点三 立方根的性质与数轴综合】 例3．（23-24八年级上·河南平顶山·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和．如图，在数轴上表示实数的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 变式3-1．（22-23七年级下·云南曲靖·期中）已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示：化简： ．    变式3-2．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）（1）若实数a，b满足，求的算术平方根． （2）已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示．化简：．      【考点四 根据立方根的性质求字母的值】 例4．（23-24八年级上·河南新乡·期中）当时，的值为（    ） A． B． C． D． 变式4-1．（23-24八年级上·山东青岛·期中）若，则的值为（    ） A． B． C．25 D．5 变式4-2．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）若，则整数a的值不可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式4-3．（23-24八年级上·江西吉安·期中）已知正数x的两个平方根分别是与，的立方根是． (1)求a、b的值； (2)求的值． 【考点五 根据立方根的定义解方程】 例5．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）求x的值： (1)； (2)． 变式5-1．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）求下列各式中的． (1) (2) 【考点六 平方根与立方根的综合应用】 例6．（23-24八年级上·甘肃张掖·期中）已知：的算术平方根是5；的立方根为；c是的整数部分； (1)求的值； (2)求的平方根． 变式6-1．（20-21七年级下·吉林松原·期中）已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 变式6-2．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知x是的立方根，8是的算术平方根，z是的整数部分．求的平方根． 变式6-3．（23-24八年级上·贵州贵阳·阶段练习）已知的立方根是的算术平方根为． (1)分别求的值； (2)求的平方根． 【考点七 与立方根有关的规律探究问题】 例7．（23-24八年级上·四川达州·期中）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ； ②已知，则 ． 变式7-1．（22-23七年级下·广西南宁·期中）阅读理解，观察下列式子： ① ； ② ； ③ ； ④； …… 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)【观察与发现】：根据以上式子反映的规律，请再写出一个类似的等式： ． (2)【分析与归纳】：根据等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数，若 ，则；反之也成立． (3)【拓展与应用】：根据上述归纳的真命题，解答下列问题：若与的值互为相反数，且，求的值． 【考点八 利用立方根解决实际问题】 例8．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）球形容器又称球罐、壳体是球形，是贮存和运输各种气体、液体的一种有效、经济的压力容器．现某公司要生产一种容积为升的球形容器存放某种特殊气体，则这种球形的内半径是多少分米？（注：球的体积公式是，其中是球的半径） 变式8-1．（23-24八年级上·山西晋中·期中）某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间可以用下面的公式“”来估计，其中是雷雨区域的直径． (1)如果雷雨区域直径为，那么这场雷雨大约持续多长时间？（结果精确到） (2)如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径是否超过？ 变式8-2．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）有A、B两个正方体，已知正方体A的体积是正方体B的体积的8倍，正方体B的棱长为1，求正方体A的棱长． 【考点九 与立方根有关的新定义问题】 例9．（22-23八年级上·江苏苏州·阶段练习）定义新运算：对任意实数、，都有，例如：，那么 ． 变式9-1．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）在正实数范围内定义一种运算“”：当时， ；当时，．则方程的解是 ． 变式9-2．（23-24八年级上·河南南阳·期中）对于任意实数a、b，用“※”定义新运算如下： (1)．如．已知的结果是6，求的值． (2)．如．已知结果为，求的值． 一、单选题 1．（21-22七年级上·浙江杭州·期中）如果，，那么约等于（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）正整数a、b分别满足，则 (  ) A．16 B．9 C．8 D．4 4．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．与是互为相反数 B．与互为相反数 C．与是互为相反数 D．与互为相反数 5．（23-24八年级上·海南海口·期末）下列说法正确的是（　　） A．1的平方根是1 B．平方根是本身的数是0和1 C．1的立方根是1 D．立方根是本身的数是0和1 6．（23-24八年级上·吉林长春·期末）的立方根为（    ） A． B．4 C．8 D． 7．（23-24八年级上·四川宜宾·期中）一个正方体木块的体积是，现将它锯成8块同样大小的小正方体木块，每个小正方体木块的棱长是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）若，，则x的值为（    ） A．2370 B．23700 C． D． 9．（23-24八年级上·吉林长春·期末）已知为实数，且，则的立方根为（    ） A． B．3 C．1 D． 10．（23-24八年级上·河北衡水·阶段练习）若一个正数的两个平方根是和，则的立方根为（　　） A． B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）的倒数是 ． 12．（22-23八年级上·云南文山·期末）已知：，那么的立方根等于 ． 13．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，，数轴上点表示的数为，则的立方根是 ．    14．（23-24八年级上·广东梅州·期中）若第三象限内的点满足，则点P的坐标是 ． 15．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）若a、b、c为的三边长，且满足，则c的取值范围是 ． 三、解答题 16．（23-24八年级上·贵州毕节·阶段练习）已知的立方根为3，的算术平方根为4． (1)求m，n的值； (2)若a和b是连续的整数，且，求的值 17．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知某正数的两个平方根，它们分别是和的立方根是，求的算术平方根． 18．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）（1）通过计算下列各式的值探究问题： （1）①______；______；______；______．综上，对于任意有理数，______． ②______；______；______；______．综上，对于任意有理数，______． （2）应用（1）所得结论解决问题：有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，化简． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 立方根 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解立方根的概念； 2.会求一个数的立方根； 3.理解平方根与立方根的联系与区别. 相关概念 概念 补充与拓展 立方根 如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x叫做a的立方根或三次方根. 数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 立方根的性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根． 互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 立方根等于本身的有0和±1 . 立方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向左或右移动三位，那么立方根的小数点相应的向左或右移动一位. 例如：已知＝0.1738，＝1.738，则a的值为0.00528 求一个数的立方根的运算叫做开立方. 求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根. 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. 平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 性质 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为±，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在±中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究，即. 常见实数的平方与立方： 常见数的平方 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 112 122 132 142 152 162 172 182 192 202 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 常见数的立方 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 【考点一 理解立方根的概念】 例1．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．一个正数有两个立方根，它们的和为0 B．负数没有立方根 C．如果一个数没有平方根，那么它一定没有立方根 D．一个数的立方根与这个数同号 【答案】D 【分析】此题主要考查了实数的性质，以及平方根、立方根的含义和求法，逐项判断即可，熟练掌握平方根、立方根的含义和求法是解题的关键． 【详解】解：A、一个正数的立方根有一个，故选项不符合题意； B、负数也有立方根，故选项不符合题意； C、负数有立方根，但没有平方根，故选项不符合题意； D、一个数的立方根与这个数同号，故选项符合题意； 故选：D． 变式1-1．（23-24八年级上·山西长治·期中）下列语句正确的是（    ） A．任何一个数都有平方根 B．一个数不一定有立方根 C．一个数的算术平方根一定大于0 D．实数与数轴上的点一一对应 【答案】D 【分析】本题主要考查平方根、立方根及实数与数轴，熟练掌握平方根、立方根及实数与数轴是解题的关键；因此此题可根据平方根、立方根及实数与数轴可进行求解． 【详解】解：A、非负数都有平方根，故原说法错误，不符合题意； B、任何一个数都有立方根，故原说法错误，不符合题意； C、一个数的算术平方根一定大于等于0，故原说法错误，不符合题意； D、实数与数轴上的点一一对应，说法正确，故符合题意； 故选D． 变式1-2．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）已知，则下列说法正确的是（　　） A．是的立方根 B．是的立方根 C．是的立方根 D．是的立方根 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的概念，掌握立方根的概念是解题的关键，根据立方根的概念，求立方根逐一验证选项即可． 【详解】解：， 是的立方根，故选项A、C、 D均错误； B正确． 故选：B． 【考点二 求一个数的立方根】 例2．（2023八年级上·江苏·专题练习）下列选项中正确的是（　　） A．27的立方根是 B．的平方根是 C．9的算术平方根是3 D．立方根等于平方根的数是1 【答案】C 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，根据相关定义逐一判断即可． 【详解】解：A、27的立方根是3，故选项错误； B、，4的平方根是，故选项错误； C、9的算术平方根是3，故选项正确； D、立方根等于平方根的数是0和1，故选项错误． 故选：C． 变式2-1．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）若实数的立方根与的立方根互为相反数，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的运算，相反数，立方根，根据题意列出，移项，再两边同时进行3次方，即可判断． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 变式2-2．（23-24八年级上·四川达州·期末）的立方根与9的平方根的和是（　　） A．0 B．6 C． D．0或 【答案】D 【分析】本题主要考查的是立方根和平方根，依据平方根和立方根求得这两个数，然后利用加法法则计算即可． 【详解】解：的立方根是，9的平方根是， ，． 故选：D． 【考点三 立方根的性质与数轴综合】 例3．（23-24八年级上·河南平顶山·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和．如图，在数轴上表示实数的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的概念及无理数的估算；根据一个正数x的两个不同的平方根互为相反数及平方根的定义，可得，，得出表示出的值，再利用夹逼法进行无理数的估算即可． 【详解】一个正数x的两个不同的平方根分别是和， ，， 解得， ， ， ，即， 故选：B． 变式3-1．（22-23七年级下·云南曲靖·期中）已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示：化简： ．    【答案】b 【分析】根据数轴可知，则可知，，即可根据平方根，立方根的性质进行化简． 【详解】根据数轴可知，则可知，， 故答案为：b． 【点睛】本题主要考查了平方根、立方根的性质，根据数轴得出数与0的大小关系是解题的关键． 变式3-2．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）（1）若实数a，b满足，求的算术平方根． （2）已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示．化简：．      【答案】（1）5；（2） 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性求出a，b，代入计算，可得算术平方根； （2）根据数轴可得，继而推出，再利用二次根式和立方根的性质化简即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的算术平方根为； （2）由数轴可得：， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了非负数的性质，算术平方根，二次根式的性质和立方根的性质，实数与数轴，解题的关键是熟练掌握各知识点，否则缺乏解题的连贯性． 【考点四 根据立方根的性质求字母的值】 例4．（23-24八年级上·河南新乡·期中）当时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查立方根和乘方运算，解题的关键是熟练运用立方根的定义． 【详解】解：当时， ， ∴当时，的值为． 故选：C． 变式4-1．（23-24八年级上·山东青岛·期中）若，则的值为（    ） A． B． C．25 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的非负性与绝对值的非负性，求一个数的立方根，先运用非负数的性质求得，的值，再代入求解． 【详解】解：依题意， 解得：， ∴， 故选：A． 变式4-2．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）若，则整数a的值不可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据立方根得出，然后估算出，即可求解． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴整数a的值可为3或4或5， ∴整数a的值不可能为2． 故选：A． 【点睛】题目主要考查实数的估算及立方根的计算，熟练掌握实数的估算方法是解题关键． 变式4-3．（23-24八年级上·江西吉安·期中）已知正数x的两个平方根分别是与，的立方根是． (1)求a、b的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】 本题考查了算术平方根，平方根，立方根的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据立方根与平方根的定义求得b,a的值； （2）将b,a的值代入，即可求解． 【详解】（1） 解：∵x的平方根是与， ， ， 的立方根是 ， ， 即a、b的值分别为4，； （2）解：当时， ． 【考点五 根据立方根的定义解方程】 例5．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）求x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键． （1）利用平方根进行求解即可； （2）利用立方根进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴或； （2）， ∴， ∴． 变式5-1．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）求下列各式中的． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查了根据平方根和立方根的定义解方程，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义． （1）先将常数项移到等号右边，再化系数为1，最后根据平方根的定义，即可解答； （2）先将常数项移到等号右边，再化系数为1，最后根据立方根的定义，即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， 解得∶； （2）解：， ， ， 解得：． 【考点六 平方根与立方根的综合应用】 例6．（23-24八年级上·甘肃张掖·期中）已知：的算术平方根是5；的立方根为；c是的整数部分； (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是算术平方根的定义、估算无理数的大小，求得a、b、c的值是解题的关键． （1）先依据算术平方根、立方根的定义得到关于a，b的方程，从而可求得a，b的值，然后估算出的范围可得到c的值，然后代入计算即可； （2）根据（1）可求出的值，最后再求平方根即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是5， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴， ∵， ∴， 又c是的整数部分， ∴， ∴ （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根是． 变式6-1．（20-21七年级下·吉林松原·期中）已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据立方根、算术平方根的定义可得方程组，解方程组即可求解； （）由，可得，求的平方根即可求解； 本题考查了立方根、算术平方根、平方根的定义，根据立方根、算术平方根的定义求出的值是解题的关键． 【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根是， ∴，， 即， 解得， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴的平方根是． 变式6-2．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知x是的立方根，8是的算术平方根，z是的整数部分．求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，立方根，熟练掌握平方根，立方根的意义是解题的关键．根据平方根，立方根的意义求出x的值，的值，再估算出的值，求出z的值，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：∵x是的立方根， ∴， ∴， ∵8是的算术平方根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵z是的整数部分， ∴， ∴， ∴的平方根是． 变式6-3．（23-24八年级上·贵州贵阳·阶段练习）已知的立方根是的算术平方根为． (1)分别求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2)或 【分析】本题考查立方根，算术平方根，平方根．熟练掌握相关概念，是解题的关键． （1）根据立方根，平方根和算术平方根的定义进行求解即可； （2）先求出3a−b+c的值，再计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根为， ∴，， 解得：，， ∵， ∴； （2）当时， ∴， ∴的平方根是． 当时， ∴， ∴的平方根是． 综上所述，的平方根是或． 【考点七 与立方根有关的规律探究问题】 例7．（23-24八年级上·四川达州·期中）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ； ②已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的性质，依据被开方数小数点向左或向右移动3位对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键． 【详解】解：①， ， 故答案为：； ②， ， 故答案为：． 变式7-1．（22-23七年级下·广西南宁·期中）阅读理解，观察下列式子： ① ； ② ； ③ ； ④； …… 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)【观察与发现】：根据以上式子反映的规律，请再写出一个类似的等式： ． (2)【分析与归纳】：根据等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数，若 ，则；反之也成立． (3)【拓展与应用】：根据上述归纳的真命题，解答下列问题：若与的值互为相反数，且，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)（或互为相反数） (3)9 【分析】（1）根据以上式子反映的规律写出符合题意的一个式子即可； （2）观察规律若，则； （3）按照规律计算出和的值，再计算的值即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：根据等式①，②，③，④所反映的规律， 若，则， 故答案为：（或a，b互为相反数）； （3）解：与的值互为相反数， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了立方根性质的应用，观察并总结规律是解题的关键． 【考点八 利用立方根解决实际问题】 例8．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）球形容器又称球罐、壳体是球形，是贮存和运输各种气体、液体的一种有效、经济的压力容器．现某公司要生产一种容积为升的球形容器存放某种特殊气体，则这种球形的内半径是多少分米？（注：球的体积公式是，其中是球的半径） 【答案】3分米． 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用，解答本题的关键在于熟练掌握立方根的概念及运算． 【详解】解：注：1升=1立方分米， 设这种球形的内半径是R分米， 则，由题意得： ， ， ； 答：这种球形的内半径是3分米． 变式8-1．（23-24八年级上·山西晋中·期中）某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间可以用下面的公式“”来估计，其中是雷雨区域的直径． (1)如果雷雨区域直径为，那么这场雷雨大约持续多长时间？（结果精确到） (2)如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径是否超过？ 【答案】(1)如果雷雨区域直径为，那么这场雷雨大约能持续大约持续 (2)如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径没有超过 【分析】本题主要考查了平方根，立方根的应用． 对于（1），将代入关系式，根据平方根的定义解答； 对于（2），将代入关系式，再比较结果，可得答案． 【详解】（1）当时，，根据题意，得， 答：如果雷雨区域直径为，那么这场雷雨大约能持续大约持续． （2）当时，， 即，所以． 又因为，且，所以． 答：如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径没有超过． 变式8-2．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）有A、B两个正方体，已知正方体A的体积是正方体B的体积的8倍，正方体B的棱长为1，求正方体A的棱长． 【答案】正方体A的棱长为． 【分析】设正方体A的棱长是，正方体B的棱长是1，根据题意得出，根据立方根的定义得出，即可求解． 【详解】设正方体A的棱长是，由题意得： ， 解得， 即正方体A的棱长为． 【点睛】本题考查立方根的实际应用，熟悉立方根的定义是解题的关键． 【考点九 与立方根有关的新定义问题】 例9．（22-23八年级上·江苏苏州·阶段练习）定义新运算：对任意实数、，都有，例如：，那么 ． 【答案】 【分析】根据题目所给的定义新运算先求出，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题主要考查实数的新定义运算，关键是根据题意得到算式，然后由立方根的运算法则进行求解即可． 变式9-1．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）在正实数范围内定义一种运算“”：当时， ；当时，．则方程的解是 ． 【答案】或 【分析】直接利用当时，当时，分别得出等式，进而得出答案． 【详解】解：， 当时， ， 故， 解得：， 当时， ， ， 故， 解得：， 综上所述：或． 故答案为：或． 【点睛】此题主要考查了新定义运算，实数的运算，正确分情况讨论是解题关键． 变式9-2．（23-24八年级上·河南南阳·期中）对于任意实数a、b，用“※”定义新运算如下： (1)．如．已知的结果是6，求的值． (2)．如．已知结果为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，根据平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是 的关键． （1）根据题目所给新定义的运算法则，得出，根据平方根的定义即可求解； （2）根据题目所给新定义的运算法则，得出，根据立方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得， ∵ ∴，则 ∴． （2）解：由题意，得， ∵， ∴ ，则， ∴ ∴． 一、单选题 1．（21-22七年级上·浙江杭州·期中）如果，，那么约等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，根据被开方数的小数点每向右（左）移动三位，其立方根的小数点每向右（左）移动一位进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 2．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求立方根和算术平方根，根据立方根和算术平方根的定义，逐一进行求解即可． 【详解】解：A、，选项计算正确，符合题意； B、，选项计算错误，不符合题意； C、，选项计算错误，不符合题意； D、，选项计算错误，不符合题意； 故选A． 3．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）正整数a、b分别满足，则 (  ) A．16 B．9 C．8 D．4 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，利用无理数的估算求得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∴，， ∴， 故选：A． 4．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．与是互为相反数 B．与互为相反数 C．与是互为相反数 D．与互为相反数 【答案】D 【分析】根据乘方、二次根式的性质、立方根、绝对值化简，再根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：，即与是互为相反数，故A不符合题意； ，即与互为相反数，故B不符合题意； ，即与是互为相反数，故C不符合题意； ，故与不是互为相反数，故D符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查乘方、二次根式的性质、立方根、绝对值和相反数的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和立方根的定义． 5．（23-24八年级上·海南海口·期末）下列说法正确的是（　　） A．1的平方根是1 B．平方根是本身的数是0和1 C．1的立方根是1 D．立方根是本身的数是0和1 【答案】C 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的性质，解题关键是区分平方根、算术平方根和立方根的性质的不同点．另外，特殊值法是解本题的有效方法．先理解正数的平方根有两个且它们互为相反数；0的平方根和算术平方根是它本身；1的算术平方根是它本身；负数没有平方根和算术平方根，但是有立方根；再根据以上性质对四个选项进行分析即得． 【详解】A．１的平方根是，故此选项错误； B．平方根是本身的数是0，故此选项错误； C．1的立方根是1，故此选项正确； D．立方根是本身的数是0和，此选项错误． 故选：C． 6．（23-24八年级上·吉林长春·期末）的立方根为（    ） A． B．4 C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是求解一个数的立方根，由可得答案，熟记立方根的含义是解本题的关键． 【详解】解：的立方根为； 故选A 7．（23-24八年级上·四川宜宾·期中）一个正方体木块的体积是，现将它锯成8块同样大小的小正方体木块，每个小正方体木块的棱长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根的计算，先计算每个立方体的体积，再求立方根计算即可． 【详解】解：一个正方体木块的体积是，将它锯成8块同样大小的小正方体木块， 则每个小正方体木块的体积为， 所以每个小正方体木块的棱长是， 故选：A． 8．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）若，，则x的值为（    ） A．2370 B．23700 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，掌握立方根的值扩大了10倍，被开方数就扩大1000倍是解题的关键．据此即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：立方根的值扩大了10倍，被开方数就扩大1000倍， 即 故选：B． 9．（23-24八年级上·吉林长春·期末）已知为实数，且，则的立方根为（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】D 【分析】此题考查了算术平方根的性质和立方根的概念，首先根据求出，然后根据立方根的概念求解即可．解题的关键是熟练掌握算术平方根的性质和立方根的概念． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴的立方根为． 故选：D． 10．（23-24八年级上·河北衡水·阶段练习）若一个正数的两个平方根是和，则的立方根为（　　） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了实数中的平方根和立方根等基础知识点，解题的关键是掌握相关的计算能力．根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程，求解即可得出的值，再求立方根即可． 【详解】解：一个正数的两个平方根是和， ， ， ∴， ∵， ∴的立方根为， 故选：A． 二、填空题 11．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的运算，倒数的定义，解题的关键是掌握立方根的运算法则．根据立方根的运算直接求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故答案为：． 12．（22-23八年级上·云南文山·期末）已知：，那么的立方根等于 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根及偶次幂的非负性，立方根，根据算术平方根及偶次幂的非负性求得x，y的值，然后代入求得的值，再利用立方根的定义即可求解；理解非负性是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ，， 则，， ， 的立方根为， 故答案为：． 13．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，，数轴上点表示的数为，则的立方根是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查的就是数轴上点所表示的数，求一个数的立方根，解答本题的关键是求出点A在数轴上所表示的数． 首先得到点A表示的数为，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴点A表示的数为 ∴， ∴的立方根是． 故答案为：． 14．（23-24八年级上·广东梅州·期中）若第三象限内的点满足，则点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，算术平方根，各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．先求的值，再根据各象限内点的坐标的符号特征，可得答案． 【详解】解：∵为第三象限内的点， ∴， ∵， ∴， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 15．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）若a、b、c为的三边长，且满足，则c的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查根式的非负性，三角形三边关系，根据非负式子和为0，它们分别等于0求出两边，再根据三角形三边关系求解即可得到答案； 【详解】解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∵a、b、c为的三边长， ∴，即， 故答案为：． 三、解答题 16．（23-24八年级上·贵州毕节·阶段练习）已知的立方根为3，的算术平方根为4． (1)求m，n的值； (2)若a和b是连续的整数，且，求的值 【答案】(1)， (2) 【分析】 本题主要考查了立方根和算术平方根，熟练掌握立方根和算术平方根的概念，实数的大小范围，是解本题的关键． （1）根据立方根与算术平方根的定义列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即得m与n的值； （2）根据，，求出a与b，即可求出的值． 【详解】（1） ∵的立方根为3，的算术平方根为4， ∴，解得， （2） ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵a和b是连续的整数，且， ∴，， ∴． 17．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知某正数的两个平方根，它们分别是和的立方根是，求的算术平方根． 【答案】3 【分析】本题考查了立方根和平方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键，根据一个数的平方根互为相反数，有，可求出a值，又b的立方根是，可求出b值，继而代入求出答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 又， ， 算术平方根为3． 18．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）（1）通过计算下列各式的值探究问题： （1）①______；______；______；______．综上，对于任意有理数，______． ②______；______；______；______．综上，对于任意有理数，______． （2）应用（1）所得结论解决问题：有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，化简． 【答案】（1）①3，0，2，，；②3，0，，，；（2） 【分析】本题主要考查了实数的运算，掌握算术平方根、立方根的意义和求法是解决本题的关键． （1）①先计算被开方数，再算算术平方根，根据被开方数和结果得结论； ②先计算被开方数，再算立方根，根据被开方数和结果得结论； （2）根据数轴和（1）的结论，化简绝对值和各式． 【详解】解：（1）①；；；． 综上，对于任意有理数，． ②；；；． 综上，对于任意有理数，． 故答案为：①3，0，2，，；②3，0，，，． （2）由数轴知，，，． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$