第05讲 幂的运算（积的乘方、同底数幂的除法）（知识梳理+10考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第05讲 幂的运算（积的乘方、同底数幂的除法） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解与掌握幂的运算相关法则，并会用法则解决简单的实际问题. 2.通过法则的探究过程，培养学生的归纳概括的能力. 幂的运算 内容 补充说明 积的 乘方 把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 即 （n为整数） 1.逆用公式：（n为整数） 2.【扩展】（n为整数） 同底数幂相除 底数不变，指数相减 即 （a≠0，m，n都为整数） 1. 关键：看底数是否相同，指数相减是指被除式的指数减去除式的指数. 2.逆用公式：（a≠0，m、n都是整数）. 3.【扩展】（a≠0，m，n，p都是整数）. 4.【热考】零指数幂：（a≠0） 负整数指数幂：（a≠0） 5.【注意事项】 ①注意指数为1的情况，如：，计算时容易遗漏或将x的指数当做0. ②多个同底数幂相除时，应按顺序计算. 【考点一 积的乘方】 例1．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 变式1-1．（23-24八年级上·吉林长春·期末）计算： ． 变式1-2．（23-24七年级上·上海松江·阶段练习）成立的条件是（    ） A．为奇数 B．是正整数 C．是偶数 D．是负数 变式1-3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 【考点二 积的乘方的逆用】 例2．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）若，，则（    ） A．2 B．5 C． D．10 变式2-1．（23-24七年级上·河南郑州·期中）若代数式的值与x的取值无关，则的值为（　　） A．2 B． C． D． 变式2-2．（23-24八年级上·云南昆明·期中）若，，则 ． 变式2-3．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知，则的值为 ． 【考点三 利用积的乘方求未知数的值】 例3．（22-23七年级下·河南郑州·期中）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 变式3-1．（21-22八年级上·全国·课后作业）如果，那么、的值等于（    ） A．， B．， C．， D．， 【考点四 同底数幂相除】 例4．（2023·吉林四平·三模）若等式“”成立，则“◇”中的运算符号是（    ） A． B． C． D． 变式4-1．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）信息技术的存储设备常用B，，，等作为存储量的单位，其中，，（字节）．对于一部存储量为8的数码相机，它最多能拍摄并保存大小为的数码相片（    ） A．张 B．张 C．张 D．张 变式4-2．（23-24八年级上·福建莆田·开学考试）若，则 ． 【考点五 利用同底数幂相除求未知数的值】 例5．（23-24八年级上·福建福州·期末）若，则的值是 ． 变式5-1．（2023八年级上·全国·专题练习）若，则 ． 变式5-2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）（1）若，则 ； （2）已知，则 ， ． 【考点六 同底数幂相除的逆用】 例6．（22-23七年级下·河南郑州·阶段练习）已知，，则的值等于 ． 变式6-1．（22-23七年级下·甘肃酒泉·期末）若，，则的值为 ． 变式6-2．（22-23七年级下·江苏泰州·阶段练习）（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，，试用含，的式子表示． 变式6-3．（23-24八年级上·广东广州·期中）已知，，求代数式的值． 【考点七 幂的混合运算】 例7．（2023·江苏扬州·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 变式7-1．（2023·广西柳州·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 变式7-2．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）如果 ，，那么 ， ． 变式7-3．（23-24八年级上·重庆万州·阶段练习）尝试解决下列有关幂的问题： (1)若，求m的值； (2)若，求值； (3)若为正整数，且，求的值． 变式7-4．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）计算：． 变式7-5．（23-24八年级上·陕西安康·期末）计算：． 【考点八 利用幂的运算法则进行简便运算】 例8．（22-23七年级下·安徽宿州·阶段练习）小明使用比较简便的方法完成了一道作业题，如下框： 小明的作业 计算：． 解： ． 请你参考小明的方法解答下列问题． 计算： (1)； (2)． 变式8-1．（2023九年级·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 变式8-2．（23-24七年级上·广东阳江·期中）阅读下列各式：，…．． 请回答下列问题： (1)计算：__________，___________． (2)通过上述规律，归纳得出：__________；___________． (3)请应用上述性质计算：． 【考点九 利用幂的运算法则表示代数式】 例9．（23-24八年级上·福建泉州·期中）已知，，，请用含a，b，c的式子表示下列代数式： (1) (2) (3) 变式9-1．（23-24八年级上·全国·课后作业）若（，，m，n都是正整数），则，利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)若，，用含x的代数式表示y． 变式9-2．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段练习）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，用含x的代数式表示y． 【考点十 与幂的运算法则解决新定义问题】 例10．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）（新定义）探究应用：用“”、“”定义两种新运算：对于两个数，，规定，例如：， (1)求的值； (2)求的值； (3)当为何值时，的值与的值相等． 变式10-1．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）对于整数、定义运算：其中、为常数，如． (1)填空：当，时， ______ ； (2)若，，求的值． 变式10-2．（21-22七年级下·全国·单元测试）对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果且，那么数x叫做以a为底N的对数，记作：，例如：，则，其中的对数叫做常用对数，此时可记为．当，且，，时，． (1)解方程：． (2) ___________． (3)计算：． 变式10-3．（22-23七年级下·江西抚州·期末）对于整数a、b，我们定义：，．例如：，． (1)求的值； (2)若，求x的值． 一、单选题 1．（21-22八年级上·河南鹤壁·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·河南郑州·阶段练习）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 3．（2023·重庆万州·模拟预测）计算 ，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）计算的结果是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（23-24八年级上·贵州黔东南·阶段练习）若，则（    ） A．36 B．54 C．108 D．120 6．（2023·江苏盐城·模拟预测）下列计算中，结果是的是（   ） A． B． C． D． 7．（2023·云南昆明·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·四川眉山·期中）已知，，，则的值是（　　） A．2 B．1 C．0 D． 10．（22-23七年级下·陕西西安·期中）已知，，那么之间满足的等量关系是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（23-24七年级上·广东广州·期中）已知：，则的值为 ． 12．（21-22八年级上·吉林·期末）如图，王老师把家里的WIFI密码设置成了数学问题．吴同学来王老师家做客，看到WIFI图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了王老师家里的网络，那么她输入的密码是 ． 13．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）已知，，则 . 14．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）若，，则的值为 ． 15．（23-24八年级上·江苏南通·期中）若是正整数，且，则等于 ． 三、解答题 16．（22-23八年级上·广东东莞·期中）先化简，再求值：，其中． 17．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）如果，则，例如，则． (1)根据上述规定，若，则　　； (2)记，，，求之间的数量关系． 18．（23-24八年级上·山西长治·阶段练习）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，；（，为正整数）． 请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)已知，，，请把，，用“”连接起来： ； (2)若，，求的值； (3)计算：． 19．（23-24八年级上·湖北襄阳·开学考试）有一容积为立方厘米的长方体水池，测得水面的面积为平方厘米，这个水池的深度是多少？ ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 幂的运算（积的乘方、同底数幂的除法） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解与掌握幂的运算相关法则，并会用法则解决简单的实际问题. 2.通过法则的探究过程，培养学生的归纳概括的能力. 幂的运算 内容 补充说明 积的 乘方 把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 即 （n为整数） 1.逆用公式：（n为整数） 2.【扩展】（n为整数） 同底数幂相除 底数不变，指数相减 即 （a≠0，m，n都为整数） 1. 关键：看底数是否相同，指数相减是指被除式的指数减去除式的指数. 2.逆用公式：（a≠0，m、n都是整数）. 3.【扩展】（a≠0，m，n，p都是整数）. 4.【热考】零指数幂：（a≠0） 负整数指数幂：（a≠0） 5.【注意事项】 ①注意指数为1的情况，如：，计算时容易遗漏或将x的指数当做0. ②多个同底数幂相除时，应按顺序计算. 【考点一 积的乘方】 例1．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方，根据公式计算即可． 【详解】， 故选B． 变式1-1．（23-24八年级上·吉林长春·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方和积的乘方；熟练掌握幂的有关计算法则是解题的关键．利用幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）和积的乘方法则（把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘），即可解得答案． 【详解】解： 故答案为： 变式1-2．（23-24七年级上·上海松江·阶段练习）成立的条件是（    ） A．为奇数 B．是正整数 C．是偶数 D．是负数 【答案】C 【分析】由，可得，则为奇数，即是偶数，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴为奇数，即是偶数， 故选：C． 【点睛】本题考查了积的乘方，乘方．解题的关键在于熟练掌握：负数的偶次方为正数，负数的奇次方为负数． 变式1-3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了积的乘方运算，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键．积的乘方等于各因数乘方的积． （1）（2）（3）（4）根据积的乘方法则计算即可． 【详解】（1）． （2）原式 （3） （4） 【考点二 积的乘方的逆用】 例2．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）若，，则（    ） A．2 B．5 C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查积的乘方的逆用及代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据积的乘方的逆用得出，再代入计算即可． 【详解】解：，， ， 故选：B． 变式2-1．（23-24七年级上·河南郑州·期中）若代数式的值与x的取值无关，则的值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，先化简整式，根据代数式的值与x无关，求出m、n得值，再逆用积的乘方法则和同底数幂公式求出代数式的值． 【详解】解：原式 ． 代数式的值与x的取值无关， ，． ，． ． 故选：C． 变式2-2．（23-24八年级上·云南昆明·期中）若，，则 ． 【答案】/或/或 【分析】本题主要考查幂的乘方与积的乘方的逆运算，利用幂的乘方与积的乘方的法则进行运算即可，解题的关键是熟练掌握对相应的运算法则． 【详解】解：∵，， ∴， ， ， ∴， 故答案为：． 变式2-3．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知，则的值为 ． 【答案】1 【分析】根据非负式子和为0，它们分别等于0，解出a，b，代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：1； 【点睛】本题考查绝对值与完全平方的非负性，积的乘方的逆应用，解题的关键是熟练掌握非负式子和为0，它们分别等于0，． 【考点三 利用积的乘方求未知数的值】 例3．（22-23七年级下·河南郑州·期中）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用积的乘方运算法则计算，进而得出，的值． 【详解】解：， ， ，， 解得：，． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 变式3-1．（21-22八年级上·全国·课后作业）如果，那么、的值等于（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先根据同底数幂的乘法和积的乘方计算法则计算出，由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴3n=9，3m+3=15， 解得：n=3，m=4， 故选C． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，积的乘方，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则． 【考点四 同底数幂相除】 例4．（2023·吉林四平·三模）若等式“”成立，则“◇”中的运算符号是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了幂的运算，底数不变，指数相减是幂的除法运算，解答该题的关键是掌握幂的运算公式．根据整式的运算即可解答； 【详解】解： 故选：D． 变式4-1．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）信息技术的存储设备常用B，，，等作为存储量的单位，其中，，（字节）．对于一部存储量为8的数码相机，它最多能拍摄并保存大小为的数码相片（    ） A．张 B．张 C．张 D．张 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的乘方．根据乘方的定义，得．再根据同底数幂的乘法法则（m，n是正整数），可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴． , ∴最多能拍摄并保存大小为的数码相片张, 故选：B． 变式4-2．（23-24八年级上·福建莆田·开学考试）若，则 ． 【答案】10 【分析】此题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用同底数幂的除法法则变形，将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】∵ ∴ ∴． 故答案为：10． 【考点五 利用同底数幂相除求未知数的值】 例5．（23-24八年级上·福建福州·期末）若，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查同底数幂除法．根据同底数幂除法法则计算即可． 【详解】解：， ， ， 解得：， 故答案为：4． 变式5-1．（2023八年级上·全国·专题练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式除法，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据单项式除以单项式的法则计算即可解答． 【详解】解：， ， ， 解得：． 故答案为：． 变式5-2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）（1）若，则 ； （2）已知，则 ， ． 【答案】 【分析】（1）根据整式的除法运算即可求解； （2）根据整式的除法运算即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴，解得，， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查整式的除法运算，掌握其运算法则是解题的关键． 【考点六 同底数幂相除的逆用】 例6．（22-23七年级下·河南郑州·阶段练习）已知，，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查的是同底数幂的除法运算的逆运算，幂的乘方运算的逆运算，先把化为，再计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴ ． 故答案为：． 变式6-1．（22-23七年级下·甘肃酒泉·期末）若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，代数式求值，由可得，进而得到，代入已知计算即可求解，掌握同底数幂除法和幂的乘方的逆运算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ， ， ， ， ， 故答案为：． 变式6-2．（22-23七年级下·江苏泰州·阶段练习）（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，，试用含，的式子表示． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查幂的运算，掌握相关运算法则，是解题的关键． （1）逆用同底数幂的除法，幂的乘方运算，进行计算即可； （2）逆用积的乘方，列出方程进行求解即可； （3）逆用积的乘方进行计算即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）， ∴， ∴； （3）∵，， ∴． 变式6-3．（23-24八年级上·广东广州·期中）已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的除法的逆用法则，代数式求值，根据同底数幂的除法，幂的乘方的逆运用求出，再利用幂的乘方逆用法则求出，将，代入后求出的值，再求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ． 【考点七 幂的混合运算】 例7．（2023·江苏扬州·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘除法、幂的乘方和合并同类项，根据运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A. ，故计算错误，不合题意； B. ，故计算错误，不合题意； C. ，故计算错误，不合题意； D. ，计算错误，符合题意； 故选：D． 变式7-1．（2023·广西柳州·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方、同底数幂的乘法以及合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法、幂的乘方、同底数幂的乘法以及合并同类项的运算法则逐一计算即可得出答案． 【详解】A. ，原计算错误，不符合题意； B. ，原计算错误，不符合题意； C. ，计算正确，符合题意； D. ，原计算错误，不符合题意； 故选C． 变式7-2．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）如果 ，，那么 ， ． 【答案】 9 45 【分析】本题主要考查了幂的乘方法则及其逆用，同底数幂相乘法则的逆用，解题关键是熟练掌握幂的乘方法则和同底数幂相乘法则． 先根据已知条件和逆用幂的乘方法则计算，再根据同底数幂相乘把写成含有，的形式，再整体代入求值即可． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：9；45． 变式7-3．（23-24八年级上·重庆万州·阶段练习）尝试解决下列有关幂的问题： (1)若，求m的值； (2)若，求值； (3)若为正整数，且，求的值． 【答案】(1)15 (2)11 (3)512 【分析】本题考查同底数幂的乘除法，幂的乘法以及积的乘方，掌握同底数幂的除法法则，幂的乘法以及积的乘方法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘、除法法则，幂的乘方进行计算即可； （2）根据幂的乘法法则进行计算即可； （3）根据幂的乘方法则进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴ ． 变式7-4．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘除．根据幂的乘方，同底数幂的乘除法法则计算即可求解． 【详解】解： ． 变式7-5．（23-24八年级上·陕西安康·期末）计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方以及单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．分别根据同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方以及单项式除以单项式计算各项，然后再 合并即可得到答案． 【详解】解： ． 【考点八 利用幂的运算法则进行简便运算】 例8．（22-23七年级下·安徽宿州·阶段练习）小明使用比较简便的方法完成了一道作业题，如下框： 小明的作业 计算：． 解： ． 请你参考小明的方法解答下列问题． 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据积的乘方的逆运用进行变形，再求出答案即可； （2）根据积的乘方的逆运用进行变形，再求出答案即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算，能熟记是解此题的关键． 变式8-1．（2023九年级·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式逆用积的乘方运算法则进行计算即可； （2）先将变形为，再逆用积的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】本题主要考查了积的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 变式8-2．（23-24七年级上·广东阳江·期中）阅读下列各式：，…．． 请回答下列问题： (1)计算：__________，___________． (2)通过上述规律，归纳得出：__________；___________． (3)请应用上述性质计算：． 【答案】(1)1，1 (2)， (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法和积的乘方．熟练掌握同底数幂乘法和积的乘方法则，乘法交换律和结合律，是解答此题的关键． （1）先算括号内的乘法，再算乘方；先逆用积乘方法则，再算括号内乘法，然后乘方； （2）根据积乘方法则求出即可； （3）逆用同底数幂乘法法则拆开，，而后交换位置把指数是2021的因式结合起来，并逆用积乘方法则，各部分分别计算，最后相乘即得． 【详解】（1），； 故答案为：1，1； （2），； 故答案为：，； （3） ． 【考点九 利用幂的运算法则表示代数式】 例9．（23-24八年级上·福建泉州·期中）已知，，，请用含a，b，c的式子表示下列代数式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂旳乘法，积的乘方与幂的乘方，掌握其运算法则是解决此题的关键． （1）根据同底数幂的乘法运算法则计算即可； （2）根据幂的乘方与积的乘方的运算即可； （3）根据幂的乘方与积的乘方的运算即可． 【详解】（1）解：，， ； （2），， ； （3），， ． 变式9-1．（23-24八年级上·全国·课后作业）若（，，m，n都是正整数），则，利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)若，，用含x的代数式表示y． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利同底数幂的乘法逆运算法则可得出答案； （2）利用幂的乘方的逆用可得结果． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握各运算法则是解题关键． 变式9-2．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段练习）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，用含x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入，计算幂的乘方即可得； （2）利用同底数幂乘法的逆用可得，代入计算即可得； （3）利用幂的乘方的逆用可得，由此即可得． 【详解】（1）解：， ， 解得． （2）解：， ， ， 解得． （3）解：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆用、同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键． 【考点十 与幂的运算法则解决新定义问题】 例10．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）（新定义）探究应用：用“”、“”定义两种新运算：对于两个数，，规定，例如：， (1)求的值； (2)求的值； (3)当为何值时，的值与的值相等． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）根据新定义的运算，把相应的值代入式子中，再利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可； （2）根据新定义的运算，把相应的值代入式子中，再利用同底数幂的除法的法则进行运算即可； （3）根据题意列出相应的式子进行运算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：由题意得：， 则， ∴， 即， 解得：． 【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用． 变式10-1．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）对于整数、定义运算：其中、为常数，如． (1)填空：当，时， ______ ； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把相应的值代入进行运算即可； （2）把相应的值代入运算求得，，再利用幂的乘方的法则，同度数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则进行求解即可． 【详解】（1）解：当，时， ， 故答案为：． （2）解：，， ，， 整理得：，，解得：，， ． 【点睛】本题主要考查幂乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 变式10-2．（21-22七年级下·全国·单元测试）对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果且，那么数x叫做以a为底N的对数，记作：，例如：，则，其中的对数叫做常用对数，此时可记为．当，且，，时，． (1)解方程：． (2) ___________． (3)计算：． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据对数的定义得，结合底数的取值范围即可求得结果；、 （2）解法一：根据题目中提供的对数的性质进行计算即可； 解法二：设，利用对数的定义、幂的性质即可求得x的值； （3）逆用对数的性质：，即可求得结果． 【详解】（1）解：； ∴， ∴或（负数舍去）， 故； （2）解：解法一：； 解法二：设，则， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：； （3）解：． 【点睛】本题是材料问题，考查了对数的定义及性质，幂的运算性质，理解题中对数的定义及性质是解题的关键与难点． 变式10-3．（22-23七年级下·江西抚州·期末）对于整数a、b，我们定义：，．例如：，． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据题干中新定义进行转化，再计算同底数幂的乘法和除法，然后合并同类项，即可计算求值； （2）根据题干中新定义进行转化，再计算同底数幂的乘法和除法，得到，即可求出x的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ， 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法和同底数幂的除法，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 一、单选题 1．（21-22八年级上·河南鹤壁·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方等运算法则依次判断即可． 【详解】解：A、，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，不能合并，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．（22-23七年级下·河南郑州·阶段练习）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂乘法与积的乘方和有理数的混合运算，先根据同底数幂乘法的逆运算和积的乘方的逆运算进行计算，再求出答案即可． 【详解】解：原式 故选：C． 3．（2023·重庆万州·模拟预测）计算 ，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了积的乘方运算．直接利用积的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：． 故选：C． 4．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）计算的结果是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方等知识点，应用幂的乘方与积的乘方的逆运算将原式变形为，计算即可，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】 ； 故选：B． 5．（23-24八年级上·贵州黔东南·阶段练习）若，则（    ） A．36 B．54 C．108 D．120 【答案】C 【分析】此题主要考查了幂的乘方运算和积的乘方运算．结合已知将原式利用积的乘方运算法则和幂的乘方运算法则变形，进而求出答案． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 6．（2023·江苏盐城·模拟预测）下列计算中，结果是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除。据此相关性质内容化简选项，再进行作答即可． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是正确的； D、，故该选项是错误的； 故选：C 7．（2023·云南昆明·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，合并同类项以及同底数幂的除法，运用相关运算法则计算出各选项的结果后再进行判断即可得到答案． 【详解】解：A. ，故选项A计算错误，不符合题意； B. ，故选项B计算错误，不符合题意； C. ，故选项C计算错误，不符合题意； D. ，计算正确，故选项D符合题意， 故选：D． 8．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的除法，根据同底数幂的除法的性质进行计算． 【详解】解： ， 故选：B． 9．（23-24八年级上·四川眉山·期中）已知，，，则的值是（　　） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂相乘、同底数幂相除的逆运用：根据，代入，，，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵，，， ∴原式 故选：D 10．（22-23七年级下·陕西西安·期中）已知，，那么之间满足的等量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据乘方运算，积的乘方运算的逆运算法则即可求解． 【详解】解：∵变形得，，， ∴，则， 选项，，故选项错误，不符合题意； 选项，，故选项错误，不符合题意； 选项，，故选项错误，不符合题意； 选项，，故选项正确，符合题意； ∴之间满足的等量关系是， 故选：． 【点睛】本题主要考查乘方运算，掌握积的乘方运算及逆运算的法则是解题的关键． 二、填空题 11．（23-24七年级上·广东广州·期中）已知：，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了非负数的性质，积的乘方逆运算、同底数幂乘方逆运算，以及求代数式的值，根据非负数的性质求出a和b的值是解答本题的关键．先根据非负数的性质求出a和b的值，然后代入所给代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 12．（21-22八年级上·吉林·期末）如图，王老师把家里的WIFI密码设置成了数学问题．吴同学来王老师家做客，看到WIFI图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了王老师家里的网络，那么她输入的密码是 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，以及规律型：数字的变化类，由前面两个等式发现规律是解题的关键． 根据前面两个等式，得出密码规律：由汉字的拼音与字母x、y、z的指数组成．依此即可求解． 【详解】解：根据前面两个等式， 王⊕=， 浩⊕， 得出密码规律：由汉字的拼音与字母x、y、z的指数组成． ∴阳⊕． 故答案为：． 13．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）已知，，则 . 【答案】216 【分析】关键积的乘方的逆应用，幂的乘方的逆应用，计算即可，本题考查了积的乘方的逆应用，幂的乘方的逆应用，熟练掌握公式是解题的关键. 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：216. 14．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则求解． 【详解】解：． 故答案为：． 15．（23-24八年级上·江苏南通·期中）若是正整数，且，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法运算；根据题意得出，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵，则 ∴， 故答案为：． 三、解答题 16．（22-23八年级上·广东东莞·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，12 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先计算积的乘方，再计算同底数幂乘法，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解； ， 当时，原式． 17．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）如果，则，例如，则． (1)根据上述规定，若，则　　； (2)记，，，求之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据新定义列式计算即可求解； （）根据新定义列式，再根据同底数幂乘法的逆运算计算即可求解； 本题考查了乘方及同底数幂乘法的逆运算，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，则， ∴，则， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．（23-24八年级上·山西长治·阶段练习）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，；（，为正整数）． 请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)已知，，，请把，，用“”连接起来： ； (2)若，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再比较大小； （）根据逆用同底数幂的乘法和逆用幂的乘方即可求解； （）根据逆用同底数幂的乘法和逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再计算即可求解； 本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方法则，掌握法则的逆用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ， ． 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解： ， ， ∵，， ∴原式， ， ； （3）解： ， ， ， ， ， ， ． 19．（23-24八年级上·湖北襄阳·开学考试）有一容积为立方厘米的长方体水池，测得水面的面积为平方厘米，这个水池的深度是多少？ 【答案】这个水池的深度是160厘米 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算的应用，根据题意列式并进行计算即可． 【详解】（厘米）， 所以，这个水池的深度是160厘米． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$