2024年天津市九年级中考数学模拟汇编——图形综合（填空题）

· 2024年天津中考模拟汇编——图形综合（填空题） 知识清单： 1. 全等三角形的判定： SSS（边边边）：如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。 SAS（边角边）：如果两个三角形的两边及它们之间的夹角分别相等，则这两个三角形全等。 ASA（角边角）：如果两个三角形的两角及它们之间的夹边分别相等，则这两个三角形全等。 AAS（角角边）：如果两个三角形的两角及其中一个角的对边分别相等，则这两个三角形全等。 HL（斜边、直角边）：在直角三角形中，如果一条斜边和一条直角边分别相等，则这两个直角三角形全等。 2. 四边形的性质： （1） 平行四边形常用到的性质： ①平行四边形的两组对边分别平行且相等。 ②平行四边形的两条对角线互相平分。 ③平行四边形的四个内角和为360度，两组对角分别对应相等，任意两个邻角都互补。 ④平行四边形的任何一条对角线都能把它分成两个全等的三角形； 平行四边形的两条对角线，可以把它分成四个未必全等、但面积一定相等的三角形。 ⑤平行四边形的两条对角线的长度的平方和，等于四条边长度的平方和。考虑到平行四边形的对边长相等，更进一步地，平行四边形的两条对角线的长度的平方和，等于平行四边形的一组邻边长度平方和的2倍。 （2） 长方形的性质: ①长方形的四个角都是直角； ②长方形的邻边互相垂直； ③对角线互相平分且相等； ④长方形的任何一条对角线都能把它分成两个全等的直角三角形。 ⑤长方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。 （3） 菱形的性质： ①四条边长都相等； ②对角线互相垂直平分； ③菱形都是中心对称图形； ④具备平行四边形的一切性质。 （4） 正方形的性质： 1 四个角都是直角，四条边长都相等； 2 对角线长度相等且互相垂直平分； 3 任意一组邻边都垂直且长度相等； 4 正方形的任何一条对角线都能把它分成两个全等的等腰直角三角形。 5 正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形； 6 所有的正方形，既是中心对称图形，也是轴对称图形。 3. 三角形中位线： （1） 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 （2） 定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。 （3） 特点：若在一个三角形中，一条线段是平行于一条边，且等于平行边的一半（这条线段的端点必须是交于另外两条边上的中点），这条线段就是这个三角形的中位线。 （4） 说明：在几何题中，特别是在两直线平行或线段的等量关系或角的等量关系中，三角形中位线起着独特的作用，有时甚至非它莫许。因此凡是题设中有中点出现，就不妨设法应用中位线定理来进行计算，也许很有效。 1．（2024·天津和平·二模）如图，正方形的边长为4，点在边上，，作等腰直角三角形． （1）的长为 ． （2）若为AF的中点，连接DM，则DM的长为 ． 2．（2024·天津滨海新·一模）如图，菱形的边长为6，对角线的长为，为的中点，过点作的垂线，垂足为，与交于点，与的延长线交于点． （1）的长为 ． （2）若为的中点，连接，则的长为 ． 3．（2024·天津·一模）如图，E是正方形对角线上一点，过点E作的垂线，交于点F，以，为边作矩形，连接， （1）的长为 ； （2）若，则的长为 ． 4．（2024·天津西青·一模）如图，在中，对角线，相交于点，，，为上一点，平分，过点作于点，交于点． （1）写出图中的一个等腰直角三角形是 ； （2）若，则的长为 ． 5．（2024·天津河北·一模）如图，在边长为6的正方形中，点M为的中点，点E在上，，等腰三角形中，． （1）的面积为 ； （2）若N为的中点，则的值为 ． 6．（2024·天津河东·一模）如图，在中，，，点在外，连接，过点作，交于点，连接，若，则 （Ⅰ）线段的长等于 ； （Ⅱ）的面积为 ． 7．（2024·天津武清·三模）如图，菱形的边长为5，对角线的长为8． （1）的面积为 ； （2）点E是边上一点，过点E作的垂线，交于点F，交的延长线于点G，若点F为的中点，则的长为 ．    8．（2024·河南南阳·一模）如图，矩形中，，，把沿着翻折得到，连接交于点，点是的中点，点是的中点，连接，则的长为 ． 9．（2024·天津和平·三模）如图，在菱形中，对角线交于点O，点E为的中点，连接，．    （Ⅰ）的面积为 ； （Ⅱ）若点F为的中点，连接交于点G，，则线段的长为 ． 10．（2024·天津红桥·三模）如图，在中，，，，D为边的中点，点E在边上，且． （1）的长为 ． （2）若点F为的中点，点G为的中点，则的长为 ． 11．（2024·天津滨海新·二模）如图，四边形是正方形，边长为，是边上的动点，在正方形的外侧以为边作正方形，连接，若为的中点，连接，则线段的最小值为 ． 12．（2024·天津·二模）如图，正方形的边长为4，点E是边的中点，，交正方形外角的平分线于点F． （1）的面积为 ； （2）若M是的中点，连接，则的长为 ． 13．（2024·天津红桥·二模）如图，在中，． （1）的面积为 ； （2）以为边作正方形，过点作，与的延长线相交于点，则的长为 ． 14．（2024·天津河西·一模）如图，在四边形中，，，连接对角线AC、BD，，，若为的中点，为的中点，连接．    （Ⅰ）四边形的面积为 ． （Ⅱ）的长为 ． 15．（2024·天津河北·二模）如图， 正方形的边长为，作以为底的等腰三角形，    (1)的面积为 ； (2)若，分别为，的中点，为的中点，射线，相交于点， 则的长为 ． 16．（2024·天津西青·二模）如图，在正方形中，对角线相交于点O，点E是上一点，连接并延长至点F，使得，过点F作，交的延长线于点H连接．    （Ⅰ）的度数是 （度）； （Ⅱ）若，，则的长为 ． 17．（2024·天津南开·一模）如图，在等腰中，，过点C作，连接，交于点，点为中点，连接，，若，则 ． 18．（2024·天津河西·二模）如图，在边长为4的正方形的外侧，作直角三角形，，且． （Ⅰ）与的长度和为 ； （Ⅱ）若O为的中点，连接，则的长为 ． 19．（2024·天津河东·二模）如图，E为平行四边形外一点，且满足，，，． （Ⅰ）平行四边形的面积为 ； （Ⅱ）若点M，N分别在线段，上，连接，当时，连接，，的最小值为 ． 20．（2024·天津南开·二模）如图，，均为等腰直角三角形，其中，，点A，E，D在同一直线，与相交于点F，G为的中点，连接，． （1）的度数为 ． （2）若F为的中点，且，则的长为 ． 21．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在等边中，点F为延长线上一点，点D是的中点，连接交于点M，以为边向下作等边，连接，若，，则的长为 ． 22．（2024·天津和平·一模）如图，已知半圆的直径长为2，点为中点，为上任意一点，与相交于点． （1） （度）； （2）的最小值为 ． 试卷第6页，共8页 试卷第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1． 【分析】1）在上取一点，使，构造等腰直角、，从而可得， （2）延长交延长线于点，可得等腰直角，为中位线，由此即可解题． 【详解】解：（1）在上取一点，使， 在正方形的边长为4， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵在等腰直角中，， ∴， ∴， ∵， ∴， （2）延长交延长线于点， 由（1）：，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为（1），（2）． 【点睛】本题是正方形与三角形的综合，主要考查了三角形全等、正方形的性质、勾股定理，利用一线三垂直作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 2． 3 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握萎形的性质是解题的关键． (1)利用条件证明出，即可得到答案； (2) 连接交于点O，连接，利用平行线段成比例求出，再求出，在中求出，在中 ，再求出G为，求出是的中位线，从而求出长度即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， 在与中 ， 为的中点， ， 故答案为：3． （2）连接交于点O，连接， 为菱形， ， E为的中点，， ， ， ， ， 在中 ， 在中 ， ， ， G为的中点， 又为的中点， 是的中位线， ， 故答案为：． 3． 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理． （1）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，利用正方形的性质，证明，根据矩形的性质易得，即可证得，得到，进而证得矩形是正方形，再根据正方形性质证得，，，然后由全等三角形判定（边角边）可证得，即可得到，解题关键是合理添加辅助线构造全等三角形，找到对应边的关系； （2）如图，过点作，垂足为，由正方形性质易得是等腰直角三角形，求得，再根据，得，然后根据勾股定理得，计算即可得出答案，解题关键是合理添加辅助线构造直角三角形，并利用勾股定理解三角形． 【详解】解：（1）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 四边形是正方形， ，， ， ， ，，，四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 矩形是正方形， ， ， 又， ， ， 故答案为：； （2）如图，过点作，垂足为， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， 故答案为． 4． （答案不唯一） 4 【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义即可求解； （2）过点作，由是等腰三角形，根据三线合一可知点是的中点，可证得，根据已知可求得，从而得，为等腰直角三角形，可得，因此可证明，则，在中，利用勾股定理可求得，即得答案． 【详解】（1）解： 是等腰直角三角形 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：过点作，交于， ， 由题意得： . 又BE平分， ，点为的中点， ， ， ， 又 ， ， ， 又， ， 又， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得（负值不符合题意，已舍去），即， ． 故答案为：4． 【点睛】考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三线合一的应用，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理求三角形边长，熟记图形的性质定理是解题的关键． 5． / 【分析】（1）如图1，作的延长线于，则，，由，可得，则，根据，计算求解即可； （2）如图2，连接交的延长线于，作的延长线于，连接，则四边形是矩形，则，，，证明，则，，，是的中点，是的中位线，则，由勾股定理得，，进而可求． 【详解】（1）解：如图1，作的延长线于， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图2，连接交的延长线于，作的延长线于，连接，则四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴，是的中点， 又∵N为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴由勾股定理得，； ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，正弦，全等三角形的判定与性质，中位线，勾股定理，矩形的判定与性质等知识．熟练掌握正方形的性质，正弦，全等三角形的判定与性质，中位线，勾股定理，矩形的判定与性质是解题的关键． 6． 2 5 【分析】（1）直接根据勾股定理求解即可； （2）根据证明得，可得A，C，B，E四点共圆，从而，然后求出，再根据勾股定理求出即可求解． 【详解】解：（1）， ∴． ∵， ∴； （2） ∵ ∴ ∴ ∴A，C，B，E四点共圆， ∴． 是等腰直角三角形 ∴ 故答案为：2，5． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，四点共圆，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 7． 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理及勾股定理等知识， 熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键． （1）连接， 交于点，先证，再得到是的中位线，再证四边形是平行四边形，得，然后由勾股定理求出即可求出三角形的面积； （2）先证明是的中位线，得到的长，再证明四边形是平行四边形，得到，即可求解． 【详解】解：（1）连接， 交于点，如图所示：    ∵菱形的边长为5， ， ∴，，，， 在中， ∴， 故答案为：； （2）由（1）可得： ∵， ∴， ∵点是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵是菱形的对角线， 又∵ ∴四边形是平行四边形， ， ∴，， ∴， 故答案为：． 8． 【分析】如图所示，连接，过点作于点，与交于点，可证都是等腰直角三角形，点是的中点，可得是的中位线，是的中位线，再证，可得，在中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，与交于点，      ∵四边形是矩形，， ∴，，， ∵沿着翻折得到， ∴，，则， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴，且， ∴是等腰直角三角形，则， 在中，点是的中点，，， ∴， ∴，即， ∴，即点是的中点， ∴是的中位线，则， ∵，， ∴点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∴点是的中点， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质，中位线的判定和性质，直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 9． 12 【分析】（1）根据三角形中线求面积即可； （2）过点E作于点M，由菱形的性质，是的中位线，得，因此，推出，得到，从而求出的长，得到的长，求出的长，由三角形面积公式求出长，得到的长，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：（1）为的中点， ， ； （2）如图，过点E作于点M，     四边形为菱形， ， ， ， ， ， 为的中位线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，三角形中线求面积，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，关键是过点E作于点M，证明，求出的长． 10． 1 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确添加辅助线、掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． （1）根据勾股定理即可求解； （2）作，连接并延长交于，连接，先证明，可得，又勾股定理求得，再利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：（1）∵，D为边的中点， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：1； （2）作，连接并延长交于，连接， ∵，， ∴，，， 又∵点G为的中点， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵点F为的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，垂线段最短，勾股定理，连接，延长交点，连接，可得为等腰直角三角形，进而得，得到为的中位线，即得，可得当取最小值时，取最小值时，由当时，的值最小，此时，点为的中点，得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，延长交点，连接，则， ∵四边形是正方形， ∴    ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴点为的中点， ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴当取最小值时，取最小值时， 当时，的值最小，此时，点为的中点，， ∴， 故答案为：． 12． 12 【分析】（1）取中点N，连接，，由勾股定理求得，证明，得到，再由三角形面积公式求得，，然后由求解； （2）过点D作于H，根据，得，得出，再在中，由勾股定理，求得，则，从而可求得，在中，由勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）取中点N，连接，， 正方形， ，， 为的中点， ∴ 由勾股定理，得， ∵N是的中点， ∴ ∴，， ∴ ∴ ∵为正方形外角的平分线， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∵ ∴； 故答案为：12． （2）过点D作于H，如图， 正方形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 在中，由勾股定理，得，即 ∴ ∴ 由（1）知 ∵M是的中点， ∴ ∴ 在中，由勾股定理，得 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，解直角三角形．正确作出辅助线，构造全等三角形与直角三角形是解题的关键． 13． 2 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正方形的性质； （1）过点作于点，勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （2）过点作交的延长线于点，证明，，进而得出，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）如图所示，过点作于点， ∵ ∴ 在中， ∴， 故答案为：． （2）如图所示，过点作交的延长线于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ 由 ∴ ∴ 同理可得 ∴ ∴ 在中，， 故答案为：． 14． 40 【分析】本题考查了垂直平分线的判定和三角形中位线的应用、勾股定理，根据，，由垂直平分线判定定理可得，由此根据四边形的面积为，在取的中点M，连接、，可得、是中位线，是直角三角形，由勾股定理即可求出． 【详解】解：（Ⅰ）∵，， ∴， ∴四边形的面积为 （Ⅱ）在取的中点M，连接、，    ∵E为的中点， ∴，， 同理：，， ∵， ∴，∴， 故答案为：（Ⅰ）40，（Ⅱ）． 15． 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理； （1）过作于，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）连接，由为的中点，得到，根据等腰三角形的性质得到，根据正方形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，由（1）知，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）过作于，   ， ， ， 的面积为， 故答案为：； （2）连接， 为的中点， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ，， 为的中点， ， ， ， 由（1）知，， ， 为的中点， ， ， ， ； 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定， 三角形中位线定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等： （Ⅰ）根据正方形的性质得到，再由三角形中位线定理得到，则，即； （Ⅱ）连接，作于点，证明，得到，再证明是等腰直角三角形，得到，设，则，，，进而得到，解得，则，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得． 【详解】解；（Ⅰ）∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴是得中位线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：90； （Ⅱ）如图所示，连接，作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴    ∵是正方形的对角线， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 17．5 【分析】延长交于点，连接，由直角三角形斜边上的中线性质得，进而证明是线段的垂直平分线，得，，再证明，得，则，进而由勾股定理求出，然后证明四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， ，点为的中点， ， 点在线段的垂直平分线上， 是等腰直角三角形， ， 是线段的垂直平分线， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键． 18． 【分析】（Ⅰ）根据是直角三角形，，，直接解直角三角形即可得到与的长度，即可得到结果； （Ⅱ）过点O，E作的垂线，垂足为，过点E作的垂线，交延长线与点Q，证明四边形是矩形，解直角三角形即可得到的长度，证明，求出的长度，最后利用勾股定理即可得到结果． 【详解】解：（Ⅰ）三角形中，，且，， ， ， 故答案为：； （Ⅱ）过点O，E作的垂线，垂足为，过点E作的垂线，交延长线与点Q， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， O为的中点， ， G为的中点， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，正方形的性质，三角形相似的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题的关键． 19． 【分析】（Ⅰ）过点D作于点G． 则，求出，由直角三角形的性质可得出，由勾股定理求出，根据平行四边形的面积公式计算即可． （Ⅱ）作E关于的对称点，连接，，把平移到处，连接，，过点作的延长线与点H，则四边形为平行四边形，，，，证明四边形为平行四边形，则，由四边形为平行四边形，得出，，，由勾股定理求出，，由，可得出，最后由当三点共线时，可求出的最小值． 【详解】解：（Ⅰ）过点D作于点G， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 故答案为：6． （Ⅱ）作E关于的对称点，连接，，把平移到处，连接，，过点作的延长线与点H，如图， 则四边形为平行四边形，，，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴ ， ∴ ∵，， ∴， 当三点不共线时，， 当三点共线时，， ∴故答案为：． 【点睛】本题主要考查了含直角三角形的性质，平行四边形的判定以及性质，利用轴对称求最小值以及勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 20． /90度 【分析】（1）先证得进而可求出的度数； （2）作于点H，则，可证明，则，再由勾股定理求得，依据，解得，则，，进而可求出的长． 【详解】解：（1）∵，均为等腰直角三角形，，， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， ∴． 故答案为； （）作于点H，则，， ∴， ∵F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 21．8 【分析】如图，记的中点为，连接，则是的中位线，，，证明四边形是菱形，，是等边三角形，证明，则，证明，则，，由，即，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵等边， ∴，， 如图，记的中点为，连接， 又∵D是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴四边形是菱形，，是等边三角形， ∴，，， ∵等边， ∴，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∵等边，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了中位线，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定等知识．熟练掌握中位线，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 22． / 【分析】（1）由点为中点，得到，再由圆周角定理及其推论可得是等腰直角三角形，从而确定，最后，根据四边形是圆的内接四边形求解即可得到答案； （2）由（1）中结论，结合已知条件得到是等腰直角三角形，即，由瓜豆原理，利用全等三角形判定与性质确定点在以为圆心、为半径的圆上运动，且，如图所示，结合点到圆周上动点距离最值求法与勾股定理即可得到答案． 【详解】解：（1）点为中点， ，则， 半圆的直径为， ，即是等腰直角三角形， ， 四边形是圆的内接四边形， ，则， （2）由（1）知，是等腰直角三角形， 半圆的直径为， ，则， ， 是等腰直角三角形，即， ，， 在上运动过程中始终保持、， 连接，将绕着点顺时针旋转到，连接、，如图所示： ， ， ， 在和中， ， ， 半圆的直径长为2，点为中点， ，， 根据题意，是动点，在上运动，则旋转的角度是， 点在以为圆心、为半径的圆上运动，旋转的角度是，即，连接，如图所示： 四边形是正方形，且边长为， ， 由点到圆周上动点距离关系可知，当三点共线时，可取到最小值， 在中，， 的最小值为， 故答案为：（1）；（2）． 【点睛】本题考查圆综合，涉及圆周角定理及其推论、等腰直角三角形的判定与性质、圆内接四边形性质、瓜豆原理、点到圆周上动点距离最值、勾股定理、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握圆的性质是解决问题的关键． 答案第12页，共33页 答案第11页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 $$