1.3二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（十二大题型提分练）数学浙教版九年级上册

九年级上册数学《第1章 二次函数》 1.3 二次函数y＝ax2 +bx+c的图象与性质 知识点一 将二次函数y＝ax2+bx+c化成y＝a（x-h）2+k ★1、运用配方法，可以将二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与顶点式y＝a(x﹣h)2+k相互转化. （1）通过去括号、合并同类项可将顶点式化为一般式. （2）用配方法可把二次函数的一般式化为顶点式. 即：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）可以转化为y＝a(x＋)2＋； ★2、从函数解析式y＝a(x﹣h)2+k我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，我们称y＝a(x﹣h)2+k 为顶点式， 将顶点式y＝a(x﹣h)2+k去括号，合并同类项就化成一般式y＝ax2＋bx＋c. 知识点二 二次函数y＝ax2+bx+c图象的两种画法 ★1、描点法 （1）运用配方法将二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）化成y＝a(x﹣h)2+k（a≠0）的形式. （2）确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. （3）在对称轴两侧,以顶点为中心,左右对称描点. （4）用平滑的曲线将描出点顺次连接起来. ★2、平移法 （1）运用配方法将二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）化成y＝a(x﹣h)2+k（a≠0）的形式,确定其顶点坐标为(h，k). （2）作出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象. （3）将函数数y＝ax2(a≠0)的图象平移，使其顶点(0,0)平移到(h，k)，平移后的图象就是y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象. 知识点三 二次函数y＝ax2+bx+c图象与性质 y＝ax2+bx+c a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x= 直线x= 顶点坐标 （，），抛物线最低点 （，），抛物线最高点 最值 当 x = 时，y最小值 = 当x = 时，y最大值 = 增减性 当x＜时，y随x增大而减小； 当x＞ 时，y随x增大而增大. 当x＞时，y随x增大而增大； 当x＜ 时，y随x增大而减小. 知识点四 二次函数y＝ax2+bx+c的图象与系数的关系 ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． 当c＞0时，图象过原点； 当c=0时，与y轴交于正半轴； 当c＜0时，与y轴交于负半轴； ④当x＝1时，y的值为a＋b＋c， 当x＝－1时，y的值为a－b＋c． ⑤当对称轴x＝1时，x＝＝1，∴－b＝2a，此时2a＋b＝0； 当对称轴x＝－1时，x＝＝－1，∴b＝2a，此时2a－b＝0． 题型一 用配方法把一般式化为顶点式 解题技巧提炼 用配方法把二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）转化成顶点式y＝a(x＋)2＋（a≠0）简记为“一提、二配、三计算”； 1．（2023秋•罗山县期末）用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为顶点式的形式为（　　） A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x﹣4）2﹣25 C．y＝（x+4）2+7 D．y＝（x+4）2﹣25 【分析】利用配方法把二次函数的一般形式配成二次函数的顶点式． 【解答】解：y＝x2﹣8x﹣9 ＝x2﹣8x+16﹣16﹣9 ＝（x﹣4）2﹣25， 故选：B． 【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，题目中给出的是一般形式，利用配方法可以化成顶点式． 2．（2023秋•密山市校级期末）把二次函数y＝x2+2x﹣2配方成顶点式为（　　） A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x+1）2﹣3 D．y＝（x+2）2﹣1 【分析】由于二次项系数是1，直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【解答】解：y＝x2+2x﹣2＝（x2+2x+1）﹣2﹣1＝（x+1）2﹣3． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式： （1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）； （2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k； （3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）． 3．（2023秋•和平区校级期中）用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x﹣4）2﹣25 C．y＝（x+4）3+7 D．y＝（x+4）2﹣25 【分析】8＝2×1×4，要配方，可给函数加上16． 【解答】解：y＝x2﹣8x+16﹣9﹣16＝（x﹣4）2﹣25． 故选：B． 【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，掌握配方法把一般式化为顶点式的一般步骤是解题的关键． 4．（2023春•东莞市校级期中）已知二次函数y＝2x2+4x﹣6， （1）将二次函数的解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式． （2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 【分析】（1）用配方法可将抛物线一般式转化为顶点式； （2）根据（1）中的顶点式确定开口方向、对称轴、顶点坐标． 【解答】解：（1）y＝2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1）﹣8＝2（x+1）2﹣8； （2）由（1）知，该抛物线解析式是：y＝2（x+1）2﹣8； a＝2＞0，则二次函数图象的开口方向向上． 对称轴是直线x＝﹣1、顶点坐标是（﹣1，﹣8）． 【点评】本题考查了二次函数的三种形式和二次函数的性质．二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）． 5．（2023秋•抚州期末）已知二次函数y＝2x2﹣4x+3， （1）将二次函数的解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 【分析】（1）用配方法可将抛物线一般式转化为顶点式； （2）根据（1）中的顶点式确定开口方向、对称轴、顶点坐标． 【解答】解：（1）y＝2x2﹣4x+8＝2（x2﹣2x+1）+1＝2（x﹣1）2+1； 故二次函数的顶点式为y＝2（x﹣1）2+1； （2）由（1）知，该抛物线解析式是：y＝2（x﹣1）2+1， a＝2＞0， ∴二次函数图象的开口方向向上；对称轴是直线x＝1、顶点坐标是（1，1）． 【点评】本题考查了二次函数的三种形式和二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）． 6．已知二次函数y＝x2﹣4x+5． （1）将y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）的形式，指出该二次函数图象的顶点坐标； （2）当x取何值时，y随x的增大而增大？ 【分析】（1）根据配方法，可以将函数解析式化为顶点式；可以直接写出该函数的顶点坐标； （2）根据（1）中的顶点式和二次函数的性质，可以解答本题． 【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+4﹣4+5＝（x﹣2）2+1， 即y＝（x﹣2）2+1， ∴该二次函数图象的顶点坐标为（2，1）； （2）根据（1）可知，图象开口向上，对称轴为直线x＝2， ∴当x＞2时，y随x的增大而增大． 【点评】此题主要考查了二次函数顶点坐标的求法，二次函数图象的性质．二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）； （2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k； （3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）． 题型二 用公式法求顶点坐标及对称轴 解题技巧提炼 直接把a，b，c的值代入公式，即对称轴是-，顶点坐标是（，），注意不要a，b，c遗漏前面的符号. 1．用公式法求二次函数y＝﹣2x2+4x+6的对称轴和顶点坐标． 【分析】根据对称轴公式x和顶点坐标公式（，）计算即可． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣2x2+4x+6， ∴a＝﹣2，b＝4，c＝6， ∴该函数的对称轴是直线x1， 顶点的横坐标为：1，纵坐标为：8， 由上可得，二次函数y＝﹣2x2+4x+6的对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1，8）． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确对称轴公式x和顶点坐标公式（，）． 2．（1）利用配方法求函数yx2+x+4的对称轴、顶点坐标； （2）利用公式法求函数y＝﹣3x2+6x﹣1的对称轴、顶点坐标． 【分析】（1）根据配方法的操作整理成顶点式解析式，然后写出顶点坐标和对称轴即可． （2）利用顶点坐标公式求得顶点坐标即可． 【解答】解：（1）yx2+x+4 （x2﹣2x+1） （x﹣1）2， 则该抛物线的对称轴为x＝1，顶点坐标是（1，）． （2）∵a＝﹣3，b＝6，c＝﹣1， ∴1， 2， ∴对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，2）． 【点评】本题考查了二次函数的三种形式，解题的关键是能够对二次三项式进行配方及公式法求二次函数的顶点坐标，难度不大． 3．用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）y＝3x2+6x； （2）y＝﹣2x2+8x﹣8； （3）yx2﹣4x+3． 【分析】（1）利用顶点坐标公式，进行计算即可解答； （2）利用顶点坐标公式，进行计算即可解答； （3）利用顶点坐标公式，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵a＝3，b＝6，c＝0， ∴1，3， ∴抛物线y＝3x2+6x的开口方向向上，对称轴为：直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣3）； （2）∵a＝﹣2，b＝8，c＝﹣8， ∴2，6， ∴抛物线y＝﹣2x2+8x﹣8的开口方向向下，对称轴为：直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣6）； （3）∵a，b＝﹣4，c＝3， ∴4，5， ∴抛物线yx2﹣4x+3的开口方向向上，对称轴为：直线x＝4，顶点坐标为（4，﹣5）． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标公式是解题的关键． 4．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）y＝﹣3x2﹣4x； （2）y＝4x2﹣24x+26； （3）yx2+2x﹣1． 【分析】（1）利用二次函数的顶点坐标公式，进行计算即可解答； （2）利用二次函数的顶点坐标公式，进行计算即可解答； （3）利用二次函数的顶点坐标公式，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵a＝﹣3，b＝﹣4，c＝0， ∴， ， ∴抛物线y＝﹣3x2﹣4x的开口方向向下，对称轴为直线x，顶点坐标为（，）； （2）∵a＝4，b＝﹣24，c＝26， ∴3， 10， ∴抛物线y＝4x2﹣24x+26的开口方向向上，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，﹣10）； （3）∵a，b＝2，c＝﹣1， ∴2， 1， ∴抛物线yx2+2x﹣1的开口方向向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1）． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标公式是解题的关键． 5．（2023秋•莱州市期中）已知二次函数y＝﹣2x2+4x﹣1． （1）用公式法求此二次函数的顶点坐标； （2）当x满足什么条件时，该函数值随自变量的增大而减小？ 【分析】（1）根据二次函数的顶点坐标公式可以求得该函数的顶点坐标； （2）根据二次函数的性质和对称轴，可以写出当x满足什么条件时，该函数值随自变量的增大而减小． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣2x2+4x﹣1， ∴a＝﹣2，b＝4，c＝﹣1， ∴1，1， ∴该函数的顶点坐标为（1，1）； （2）∵二次函数y＝﹣2x2+4x﹣1，a＝﹣2， ∴该函数开口向下， 由（1）知该函数的对称轴为直线x＝1， ∴当x＞1时，y随x的增大而减小． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是求出该函数的顶点坐标，利用二次函数的性质解答． 题型三 二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质 解题技巧提炼 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． 1．（2022•金东区三模）若二次函数y＝2（x﹣1）2﹣1的图象如图所示，则坐标原点可能是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【分析】由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标，进而求解． 【解答】解：∵y＝2（x﹣1）2﹣1， ∴抛物线顶点坐标为（1，﹣1）， ∴坐标原点可能是点A， 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的图象，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 11．（2023秋•竞秀区期末）已知b＜0，则二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的性质和分类讨论的方法，可以判断哪个选项符合题意． 【解答】解：当a＞0时， ∵b＜0， ∴二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的开口向上，顶点在y轴的右侧，故选项A不符合题意，选项C符合题意； 当a＜0时， ∵b＜0， ∴二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的开口向下，顶点在y轴的左侧，故选项B不符合题意，选项D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 2．（2024•双流区校级模拟）已知抛物线y＝x2﹣2x+3，下列结论错误的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x＝1 C．抛物线的顶点坐标为（1，2） D．当x＞1时，y随x的增大而减小 【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2中，a＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意； 由解析式得，对称轴为直线x＝1，因此B选项正确，不符合题意； 由解析式得，当x＝1时，y取最小值，最小值为2，所以抛物线的顶点坐标为（1，2），因此C选项正确，不符合题意； 因为抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，因此当x＞1时，y随x的增大而增大，因此D选项错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）． 3．（2024•西安校级一模）已知：二次函数y＝ax2﹣2ax+3（a≠0），以下对于此二次函数图象的描述中，正确的有（　　）个． ①对称轴为直线x＝1；②当x＞1时，y随x的增大而增大； ③图象经过点（2，3）；④当0＜a＜3时，函数图象经过两个象限． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据对称轴计算公式即可判断①；由于不知道开口方向，则无法得知增减性，即可判定②；当x＝2时，y＝4a﹣4a+3＝3，即可判断③；求出当x＝1时，y＝﹣a+3，则当0＜a＜3时，﹣a+3＞0，据此可得顶点在x轴上方，且开口向上，即可判断④． 【解答】解：∵二次函数解析式为y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）， ∴对称轴为直线，故①正确； ∵不知道开口方向， ∴无法得到当x＞1时，y随x的增大而增大，故②错误； 在y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）中，当x＝2时，y＝4a﹣4a+3＝3， ∴图象经过点（2，3），故③正确； 当x＝1时，y＝﹣a+3， 当0＜a＜3时，﹣a+3＞0， ∴顶点在x轴上方，且开口向上， ∴此时二次函数图象只经过第一、二象限，故④正确， 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 4．（2024•固始县二模）在二次函数y＝﹣x2+2x+3中，当0＜x＜3时，y的取值范围是（　　） A．0＜y＜3 B．1＜y＜4 C．0＜y≤4 D．﹣4≤y＜0 【分析】由二次函数解析式可求得对称轴及开口方向，再利用二次函数的增减性可分别求得y的最大值和最小值即可求得答案． 【解答】解：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∵﹣1＜0，对称轴为x＝1， ∴当x＝1时，y有最大值，最大值为4， ∵3﹣1＞1﹣0， ∴当x＝3时，y有最小值0， ∴当0＜x＜3时，y的取值范围是0＜y≤4， 故选：C． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握其性质是解决此题的关键． 5．（2024•郓城县校级一模）若二次函数y＝（m+2）x2﹣mx+m2﹣2m﹣8经过原点，则m的值为（　　） A．﹣2 B．4 C．﹣2或4 D．无法确定 【分析】由题意二次函数的解析式为：y＝（m+2）x2﹣mx+m2﹣2m﹣8知m+2≠0，则m≠﹣2，再根据二次函数y＝（m+2）x2﹣mx+m2﹣2m﹣8的图象经过原点，把（0，0）代入二次函数，解出m的值． 【解答】解：∵二次函数的解析式为：y＝（m+2）x2﹣mx+m2﹣2m﹣8， ∴m+2≠0， ∴m≠﹣2， ∵二次函数y＝（m+2）x2﹣mx+m2﹣2m﹣8的图象经过原点， ∴m2﹣2m﹣8＝0， ∴m＝4或﹣2， ∵m≠﹣2， ∴m＝4． 故选：B． 【点评】此题考查二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，注意二次函数的二次项系数不能为0，这是容易出错的地方． 6．（2024•梁溪区校级二模）已知二次函数y＝（x﹣a）（x+2a﹣1）的对称轴是直线x＝﹣2，则a的值为 　 　． 【分析】先把二次函数解析式化为一般式，然后利用对称轴方程得到2，于是解方程即可． 【解答】解：y＝（x﹣a）（x+2a﹣1）＝x2+（a﹣1）x﹣2a2+a， ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2， ∴2， ∴a＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 题型四 函数图象位置的识别 解题技巧提炼 在同一直角坐标系判断函数图象的位置，主要是根据二次函数的图象的位置特征和一次函数的性质来判断即可. 1．（2024•镇平县模拟）一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用一次函数图象经过的象限得出a，b的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案． 【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过一、三、四象限， ∴a＞0，b＜0， ∴0， ∴二次函数y＝ax2+bx的图象开口方向向上，图象经过原点，对称轴在y轴右侧， 故选：D． 【点评】此题主要考查了一次函数以及二次函数的图象综合判断，正确确定a，b的符号是解题关键． 2．（2024•微山县二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示．则一次函数y＝ax﹣b与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数图象开口向下得到a＜0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点确定出c＞0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解． 【解答】解：∵二次函数图象开口方向向下， ∴a＜0， ∵对称轴为直线x0， ∴b＜0， ∴﹣b＞0， ∵与y轴的正半轴相交， ∴c＞0， ∴y＝ax﹣b的图象经过第一、二、四象限， 反比例函数的图象在第一三象限， 只有C选项图象符合． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键． 3．（2024•南昌一模）一次函数y＝﹣ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用一次函数的图象位置与系数的关系，二次函数的图象位置与系数的关系判断． 【解答】解：A选项，根据一次函数的位置可知，a＜0，b＞0， ∴抛物线开口向下，0，抛物线的对称轴0，A选项不符合题意； B选项，根据一次函数的位置可知，a＜0，b＞0， ∴抛物线开口向下，0，抛物线的对称轴0，B选项符合题意； C选项，根据一次函数的位置可知，a＜0，b＜0， ∴抛物线开口向下，0，抛物线的对称轴0，C选项不符合题意； D选项，根据一次函数的位置可知，a＞0，b＞0，抛物线开口向上，D选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的图象与一次函数的图象，解题的关键是掌握一次函数的图象位置与系数的关系，二次函数的图象位置与系数的关系． 4．（2024•福田区校级一模）函数y＝ax+1与y＝ax2+bx+1（a，b是常数，且a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题可先由一次函数y＝ax+1图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+bx+1的图象相比较看是否一致． 【解答】解：A．由一次函数的图象可知a＜0，由抛物线图象可知，开口向下，a＜0，但是一次函数与y轴的交点和二次函数与y轴的交点，不是同一点（0，1），故A选项错误； B．由一次函数的图象可知a＞0，由抛物线图象可知，开口向下，a＜0，两者相矛盾，故B选项不正确，不符合题意； C．由一次函数的图象可知a＞0，由抛物线图象可知，开口向上，a＞0，且两函数相交y轴于同一点（0，1），故C选项正确，符合题意； D．由一次函数的图象可知a＜0，由抛物线图象可知，开口向上，a＞0两者相矛盾，故D选项不正确，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的图象，掌握一次函数与二次函数图象的性质是解题的关键． 5．（2023•泰山区校级三模）如图所示，在同一坐标系中，直线y＝ax+b和抛物线y＝ax2+bx+c（c≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据一次函数图象确定出a＜0，b＞0，然后确定出抛物线开口方向和对称轴，即可得解． 【解答】解：由图可知，a＜0，b＞0， 所以，抛物线y＝ax2+bx+c开口方向向下， 对称轴为直线x0， 所以，只有C选项图象符合． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，根据图形确定出a、b的正负情况是解题的关键． 6．（2024•沈阳模拟）函数y＝ax2+2x+1和y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可． 【解答】解：A、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2+2x+1的图象应该开口向上，对称轴x0，和x轴的正半轴相交，故选项错误； B、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2+2x+1的图象应该开口向上，对称轴x0，和x轴的负半轴相交，故选项正确； C、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2+2x+1的图象应该开口向下，故选项错误； D、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2+3x+1的图象应该开口向上，故选项错误． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y＝ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 题型五 利用二次函数的性质比较函数值的大小 解题技巧提炼 （1）确定这些点的横坐标的大小； （2）判断这些点是图象的对称轴的左边还是右边，当点不在对称轴同侧时，需要先根据抛物线的对称性，把这些点转化为在对称轴同侧的点； （3）根据函数的增减性进行判断，也可根据这些点到对称轴的距离的大小来比较. 1．（2024春•渠县校级月考）设A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y2＞y1＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，分别求出三个点的纵坐标进行比较即可． 【解答】解：∵A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上的三点， ∴当x＝﹣3时，， 当x＝﹣1时，， 当x＝2时，， 则y1，y2，y3的大小关系为：y2＞y1＞y3， 故选：A． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是关键． 2．（2022秋•吴兴区期末）已知点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（﹣4，y3）在抛物线y＝2x2+8x﹣1上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3 【分析】先配方得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小． 【解答】解：∵y＝2x2+8x﹣1＝2（x+2）2﹣9， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝﹣2， ∵点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（﹣4，y3），在抛物线y＝2（x+2）2﹣9上，而点C（﹣4，y3）到对称轴的距离最远，B（﹣2，y2）在对称轴上， ∴y2＜y1＜y3． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 3．（2023•蚌埠三模）已知某抛物线开口向下，经过点（0，0），（2，m），（6，n），且mn＜0．若点（﹣2，y1）（4，y2）（10，y3）在该抛物线上，则（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y2＞y3＞y1 【分析】根据已知确定对称轴1＜x＜3，进而根据点到对称轴的距离分析判断即可求解． 【解答】解：∵抛物线开口向下，经过点（0，0），（2，m），（6，n），且mn＜0， ∴对称轴1＜x＜3， 又∵（﹣2，y1）（4，y2）（10，y3）在该抛物线上， ∴（4，y2）到抛物线的对称轴的距离最近，（10，y3）到抛物线对称轴的距离最远， ∴y2＞y1＞y3， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 4．（2024•武威二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣2，y1），（﹣3，y2），试比较y1和y2的大小：y1　 　y2（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【分析】已知抛物线开口向上，对称轴为x＝1，可知点（﹣2，y1），（﹣3，y2）都在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故可判断y1，y2的大小． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝1， ∴抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， 又∵﹣3＜﹣2＜1， ∴y1＜y2． 故本题答案为：＜． 【点评】本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小． 5．（2023•溧阳市一模）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则y1，y2，y3的大小关系是　 　． 【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可． 【解答】解：抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m的开口向下，对称轴是直线x2，当x＜﹣2时，y随x的增大而增大， ∵（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点， ∴点（1，y3）关于对称轴x＝﹣2的对称点是（﹣5，y3）， ∵﹣5＜﹣3＜﹣2， ∴y2＞y1＞y3， 故答案为y2＞y1＞y3． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 6．（2024•宁德模拟）已知点A（2﹣m，y1），B（m﹣6，y2），在抛物线y＝ax2+5ax+n（a＜0）上．若点A在对称轴左侧，则y1，y2，y3的大小关系是 　 　．（用“＞”，“＜”或“＝”连接） 【分析】依据题意，由抛物线为y＝ax2+5ax+n（a＜0），从而可得抛物线为y，且抛物线开口向下，故当x时，y取得最大值为y3，又A在对称轴左侧，则2﹣m，可得m，进而可得m﹣66，又A（2﹣m，y1），B（m﹣6，y2），且（2﹣m）＝mm﹣6﹣（）＝m，再根据抛物线开口向下时，抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，即可判断得解． 【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝ax2+5ax+n（a＜0）， ∴抛物线为y，且抛物线开口向下． ∴当x时，y取得最大值为y3． 又A在对称轴左侧， ∴2﹣m． ∴m． ∴m﹣66． 又A（2﹣m，y1），B（m﹣6，y2）， 且（2﹣m）＝mm﹣6﹣（）＝m， 根据抛物线开口向下时，抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， ∴y1＞y2． 综上，y3＞y1＞y2． 故答案为：y3＞y1＞y2． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 题型六 二次函数图象的平移 解题技巧提炼 先把一般式化为顶点式，利用上下平移，常数项上加下减；左右平移，自变量左加右减.二次项系数 a 不变，得到平移后图象的解析式. 1．（2024•肥城市二模）若将抛物线y＝x2﹣2x+3平移后得到抛物线y＝x2，下列平移方法正确的是（　　） A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【分析】先把y＝x2﹣2x+3配成顶点式y＝（x﹣1）2+2，然后根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可． 【解答】解：由抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2 根据“上加下减，左加右减”规律要得到抛物线y＝x2， 则y＝x2即y＝（x﹣1+1）2+2﹣2由抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移1个单位，再向下平移2个单位， 故答案为：B． 【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 2．（2023秋•新昌县期末）将抛物线y＝2x2﹣3x+2通过以下平移能得到抛物线y＝2x2﹣3x+4的是（　　） A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度 C．向上平移2个单位长度 D．向下平移2个单位长度 【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝2x2﹣3x+2向上平移2个单位，能得到的抛物线是y＝2x2﹣3x+2+2，即y＝2x2﹣3x+4． 故选：C． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 3．（2023秋•澄城县期末）将y＝x2﹣2x+4向上平移3个单位，再向右平移1个单位后所得的抛物线解析式为（　　） A．y＝（x﹣2）2 B．y＝x2﹣3x+7 C．y＝x2﹣4x+10 D．y＝x2﹣x+7 【分析】先把解析式化为顶点式，再按平移规律：左加右减，上加下减，得出平移后解析式． 【解答】解：∵y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3， ∴y＝x2﹣2x+4向上平移3个单位，再向右平移1个单位后所得的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣1）2+3+3＝（x﹣2）2+6， 即y＝x2﹣4x+10， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，属于基础题，解决本题的关键是掌握平移规律． 4．（2024•文水县三模）将抛物线沿x轴向左平移4个单位长度后，得到的新抛物线的表达式为（　　） A． B． C． D． 【分析】先配方为顶点式，然后根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【解答】解：∵， ∴将抛物线沿x轴向左平移4个单位长度后，得到的新抛物线的表达式为． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键． 5．（2024•榆阳区二模）将二次函数y＝x2﹣6x+m2+6（m为常数）的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位后得到的二次函数图象经过点（1，5），则m的值为（　　） A．0 B．1或﹣1 C．2或﹣2 D．3或﹣3 【分析】先求出平移后的解析式，再把（1，5）代入解析式求值即可． 【解答】解：∵y＝x2﹣6x+m2+6＝（x﹣3）2+m2﹣3， ∴将二次函数y＝x2﹣6x+m2+6（m为常数）的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位后得到y＝（x﹣3+1）2+m2﹣3﹣2，即y＝（x﹣2）2+m2﹣5， ∵经过点（1，5）， ∴5＝1+m2﹣5， 解得m＝±3， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，关键是掌握二次函数平移的性质． 6．（2024春•秦都区校级月考）将抛物线L：y＝x2+6x+8沿x轴向右平移m（m＞0）个单位得到一条新抛物线，若点A（4，y1），B（6，y2）在新抛物线上，且y1＞y2，则m的值可以是（　　） A．3 B．4 C．8 D．9 【分析】根据平移规律得到新抛物线为y＝（x+3﹣m）2﹣1，即可得到抛物线开口向上，对称轴为直线x＝m﹣3，由点A（4，y1），B（6，y2）在新抛物线上，且y1＞y2，即可得到关于m的不等式，解不等式即可． 【解答】解：∵y＝（x+3）2﹣1， ∴将抛物线y＝x2+6x+8向右平移m（m＞0）个单位得到一条新抛物线为y＝（x+3﹣m）2﹣1， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝m﹣3， ∵点A（4，y1），B（6，y2）在新抛物线上，且y1＞y2， ∴， ∴m＞8， 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质得到关于m的不等式是解题的关键． 题型七 二次函数对称性的应用 解题技巧提炼 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）． ①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x． 1．（2023秋•九台区校级期末）若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点为（﹣2，0），（4，0），则该抛物线的对称轴为（　　） A．直线x＝﹣3 B．直线x＝3 C．直线x＝1 D．直线x＝﹣1 【分析】直接根据两个交点坐标可得对称轴． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点为（﹣2，0），（4，0）， ∴该抛物线的对称轴为直线， 故选：C． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握公式法或将函数解析式化为顶点式求对称轴是解题的关键． 2．已知点A（﹣2，1）在抛物线y＝x2﹣4x+m（m为常数）上，则点A关于抛物线对称轴对称的点的坐标是（　　） A．（2，1） B．（3，1） C．（4，1） D．（6，1） 【分析】根据纵坐标相等的点关于对称轴对称，可得答案． 【解答】解：y＝x2﹣4x+m（m为常数）的对称轴是直线x＝2， A（﹣2，1）关于抛物线对称轴x＝2对称的点的坐标是（6，1）， 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的性质，利用纵坐标相等的点关于对称轴对称是解题关键． 3．已知P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣3x+1上，那么x1+x2＝　 　． 【分析】根据抛物线的对称性以及对称轴公式即可得到，解得x1+x2＝3． 【解答】解：∵P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣3x+1上， ∴P、Q关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线x， ∴x1+x2＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知抛物线的对称性是解题的关键． 4．（2024春•越秀区校级月考）已知A（x1，2024），B（x2，2024）是二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）图象上的两点，则当x＝x1+x2时，二次函数的值是 　 　． 【分析】根据二次函数图象的对称性得出，然后将其代入函数关系式求得y＝3． 【解答】解：∵A（x1，2024），B（x2，2024）是二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）图象上的两点， ∴A、B关于对称轴对称， ∴ 即：， ∵x＝x1+x2， ∴将代入y＝ax2+bx+3得： ， 即：y＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上的点一定满足该函数的解析式． 5．（2023秋•九龙坡区期末）已知点A（a，m）、B（b，m）、P（a+b，n）为抛物线y＝x2+2x+3上的点，则n＝　 ． 【分析】由抛物线的解析式可知抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，根据点A和B的坐标知，则点A和B关于直线x＝﹣1对称．据此易求a+b的值，进而把P点的坐标代入解析式即可求得n的值． 【解答】解：∵抛物线解析式为y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2， ∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1， 又∵点A（a，m）和B（b，m）关于直线x＝﹣1对称， ∴1， ∴a+b＝﹣2， 把（﹣2，n）代入抛物线的解析式得，n＝22+2×（﹣2）+3＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上所有点的坐标均满足该函数解析式． 6．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，若点A的坐标为，则点B的坐标为　 　． 【分析】由于AB与x轴平行，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，根据抛物线的对称性得到点A与点B关于直线x＝1对称，然后写出B点坐标． 【解答】解：∵AB与x轴平行，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1， ∴点A与点B关于直线x＝1对称， 而点A的坐标为， ∴B点坐标为（2，）． 故答案为（2，）． 【点评】本题考查了二次函数的性质，利用纵坐标相等的点关于对称轴对称是解题关键． 题型八 二次函数y＝ax2+bx+c图象与系数的关系 解题技巧提炼 ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． 1．（2024•岳麓区校级三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是函数图象上的两点，下列结论正确的是（　　） A．a+b+c＜0 B．b+2a＝0 C．x1＞x2，则y1＞y2 D．若y1＝y2，则x1+x2＝1 【分析】根据二次函数的系数与图象的关系解答即可． 【解答】解：A、根据函数图象可得当x＝1时，y＝a+b+c＞0，故A错误，不符合题意； B、根据对称轴为直线x＝1可得：，故2a+b＝0，故B正确，符合题意； C、根据函数图象可得当1＞x1＞x2，则y1＞y2，故C错误，不符合题意； D、根据函数的对称性得：y1＝y2，则，故D错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】该题主要考查了二次函数的图象与系数关系，解答该题的关键是掌握二次函数图象和性质的相关知识点． 2．（2024•祁阳市二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝﹣1，直线l∥x轴，且交抛物线于点P（x1，y1），Q（x2，y2），下列结论错误的是（　　） A．b2+8a＞0 B．3a＞2 C．若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am2+bm D．当y＞﹣2时，x1•x2＜0 【分析】根据函数图象可知a＞0，由此可判断出A；根据抛物线的对称轴可得出b＝2a，也可得出函数的最小值，在x＝﹣1处取到，由此可判断C；令x＝0，则y＝﹣2，即抛物线与y轴交于点（0，﹣2），根据函数图象可直接判断D；B没有直接条件判断． 【解答】解：根据函数图象可知a＞0，根据抛物线的对称轴公式可得x＝﹣＝﹣1， ∴b＝2a， ∴b2＞0，﹣8a＜0， ∴8a＞0， ∴b2+8a＞0．故A正确，不符合题意；∵函数的最小值在x＝﹣1处取到， ∴若实数m≠﹣1，则a﹣b﹣2＜am2+bm﹣2，即若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am2+bm．故C正确，不符合题意； ∵l∥x轴， ∴y1＝y2， 令x＝0，则y＝﹣2，即抛物线与y轴交于点（0，﹣2）， ∴当y1＝y2＞﹣2时，x1＜0，x2＞0． ∴当y1＝y2＞﹣2时，x1•x2＜0．故D正确，不符合题意； ∵a＞0， ∴3a＞0，没有条件可以证明3a＞2．故B错误，符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查二次函数图象的性质，数形结合思想等知识，掌握二次函数图象的性质是解题关键． 3．（2024春•碑林区校级月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，下列结论中： ①abc＜0； ②b2＞4ac； ③3a+c＞0； ④若m为任意实数，则am2+bm≤a+b． 正确的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】分别判a、b、c的符号，即可判断①；根据图象与x轴交点可以判断②；根据对称轴是直线x＝1，得到b＝﹣2a，结合a﹣b+c＜0，即可判断③；根据二次函数的对称轴得出最值，即可判断④． 【解答】解：∵图象开口向下，与y轴交点再x轴上方， ∴a＜0，c＞0， ∵， ∴b＝﹣2a＞0， ∴abc＜0，故①正确； ∵函数图象与x轴有2个交点， ∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故②正确； ∵函数图象的对称轴是直线x＝1， ∵函数图象与x轴的另一个交点在﹣1和0之间， ∴当x＝﹣1时，a﹣b+c＜0， ∴a﹣（﹣2a）+c＜0，即3a+c＜0，故③错误； 当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c， 而当x＝m时，y＝am2+bm+c， ∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，故④正确； 综上所述，①②④正确，共3个， 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与系数和式子的关系，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 4．（2024•永善县二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据二次函数的图象得a＞0，c＜0；根据抛物线与x轴有两个交点得Δ＝b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；根据当x＝1时，y＜0得a+b+c＜0，又因为c＜0则a+b+2c＜0；根据抛物线对称轴是直线得b＝﹣2a，根据当x＝﹣1时，y＞0，即可得a﹣b+c＞0，则a+2a+c＞0，可得3a+c＞0；综上，即可得． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ∴c＜0， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， 即b2＞4ac； ∵当x＝1时，y＜0， ∴a+b+c＜0， ∵c＜0， ∴a+b+2c＜0； ∵抛物线对称轴是直线， ∴b＝﹣2a＜0， ∴ab＜0， ∵当x＝﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0， 则a+2a+c＞0，3a+c＞0； 综上，①②③正确， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是理解题意，掌握二次函数的图象与性质． 5．（2024•射洪市一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示（1＜x＝h＜2，0＜xA＜1）．下列结论：①abc＜0；②2a+b＞0；③若OC＝2OA，则2b﹣ac＝4；④3a﹣c＜0．其中正确的有 　 　．（只填写序号） 【分析】①根据抛物线的开口向下即可得出a＜0，再根据抛物线的对称轴在x＝1和x＝2之间即可得出b＞﹣2a，②正确；②由b＞﹣2a可得出b＞0，再根据抛物线与y轴交于y轴负半轴可得出c＜0，由此即可得出abc＞0，①错误；③将代入抛物线解析式中，整理后可得出2b﹣ac＝4，③正确；④根据抛物线的对称轴可得出﹣2a＜b＜﹣4a，再由当x＝1时y＞0即可得出a+b+c＞0，进而即可得出3a﹣c＜0，④正确．综上即可得出结论． 【解答】解：∵抛物线的开口向下， ∴a＜0． ∵抛物线的对称轴， ∴b＞﹣2a，即2a+b＞0，②成立； ∵b＞﹣2a，a＜0， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0，①错误； ∵OC＝2OA， ∴， ∴， 整理得：2b﹣ac＝4，③成立； ∵抛物线的对称轴， ∴﹣2a＜b＜﹣4a， ∵当x＝1时，y＝a+b+c＞0， ∴a﹣4a+c＞0，即3a﹣c＜0，④正确． 综上可知正确的结论为②③④． 故答案为：②③④． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 6．（2024•苍溪县二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③5a+b+c＜0；④对于任意实数m（m≠1），都有a+b＞m（am+b）．其中正确结论的序号是 　 　． 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①④；由x＝3时y＜0及抛物线的对称性可判断②；由x＝3时，及a与b的数量关系可判断③． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线对称轴为直线x＝1， ∴， ∴b＝﹣2a＞0， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，①错误； 由图可知，x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，②正确； ∵把x＝m，x＝1分别代入y＝ax2+bx+c， ∴y＝am2+bm+c，y＝a+b+c． ∵m≠1， ∴am2+bm+c＜a+b+c， ∴a+b＞m（am+b），故④正确； ∵x＝3时，与∵x＝﹣1时所对应的函数值是相等的， ∴9a+3b+c＜0， ∵b＝﹣2a， ∴9a+2b+b+c＝9a+2×（﹣2a）+b+c＝5a+b+c＜0，故③正确． 故答案为：④． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 题型九 利用二次函数的性质求最值 解题技巧提炼 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 1．（2023•成武县一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象如图，当﹣5≤x≤0时，下列说法正确的是（　　） A．有最小值﹣5、最大值0 B．有最小值﹣3、最大值6 C．有最小值0、最大值6 D．有最小值2、最大值6 【分析】直接根据二次函数的图象进行解答即可． 【解答】解：由二次函数的图象可知， ∵﹣5≤x≤0， ∴当x＝﹣2时函数有最大值，y最大＝6； 当x＝﹣5时函数值最小，y最小＝﹣3． 故选：B． 【点评】本题考查的是二次函数的最值问题，能利用数形结合求出函数的最值是解答此题的关键． 2．（2020•新蔡县模拟）二次函数y＝x2﹣4x+7的最小值为（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 【分析】本题考查利用二次函数顶点式求最小（大）值的方法． 【解答】解：∵原式可化为y＝x2﹣4x+4+3＝（x﹣2）2+3， ∴最小值为3． 故选：C． 【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法． 3．（2023秋•丰润区期末）若二次函数y＝﹣x2+2mx+1取最大值时x＝1，则m的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2 【分析】根据题意可得抛物线的对称轴，即可列式计算． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2mx+1取最大值时x＝1， ∴对称轴为x1， ∴m＝1． 故选：B． 【点评】此题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 4．（2023秋•周口期中）二次函数y＝﹣x2+2x+m2的最大值为3，则m的值为（　　） A． B． C．2 D．±2 【分析】将二次函数解析式化成顶点式，根据最大值为3得出方程，解方程即可． 【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+m2＝﹣（x﹣1）2+m2+1， ∴二次函数y＝﹣x2+2x+m2的最大值为m2+1， ∴m2+1＝3， 解得：． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的最值问题，能根据题意将二次函数解析式化成顶点式是解题的关键． 5．（2024•无锡模拟）已知抛物线y＝x2﹣2mx（﹣1≤m≤2）经过点A（p，t）和点B（p+2，t），则t的最小值是 　 　． 【分析】根据抛物线的对称轴以及对称轴公式确定p+1＝m，即可得到p＝m﹣1，由抛物线y＝x2﹣2mx（﹣1≤m≤2）经过点A（p，t）和点B（p+2，t）得到t＝p2﹣2mp＝（m﹣1）2﹣2m（m﹣1）＝﹣m2+1，结合﹣1≤m≤2即可确定t的最小值． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2mx， ∴抛物线的对称轴为直线xm， ∵抛物线y＝x2﹣2mx（﹣1≤m≤2）经过点A（p，t）和点B（p+2，t）， ∴点A（p，t）和点B（p+2，t）关于对称轴对称，t＝p2﹣2mp， ∴m，即p+1＝m， ∴p＝m﹣1， ∴t＝（m﹣1）2﹣2m（m﹣1）＝﹣m2+1， ∵﹣1≤m≤2， ∴m＝2时，t有最小值为：﹣4+1＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟知二次函数的对称性是解题的关键． 6．（2024•潜山市校级一模）定义：min{a，b}．若函数y＝min{x+1，﹣x2+2x+3}，则该函数的最大值为 　 　． 【分析】设直线y＝x+1，抛物线y＝﹣x2+2x+3，联立直线与抛物线方程得抛物线与直线交点坐标，结合图象求解． 【解答】解：设直线y＝x+1，抛物线y＝﹣x2+2x+3， 联立直线与抛物线方程得， 解得或， ∴直线与抛物线交点坐标为（﹣1，0），（2，3）， 如图， ∴x≤﹣1时，y＝﹣x2+2x+3，函数最大值为y＝0， ﹣1＜x≤2时，y＝x+1，函数最大值为y＝3， 当x＞2时，y＝﹣x2+2x+3，y＜3， ∴x＝2时，函数取最大值为3， 故答案为：3． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系．通过数形结合求解． 题型十 二次函数的综合应用 解题技巧提炼 解决二次函数综合性问题，一要注意确定各自解析式需要的条件，而要充分利用好函数图象的交点坐标，考查了三角形的面积、平行四边形的判定等问题，有时要用到分类讨论的思想． 1．（2024•平舆县一模）如图，已知二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣9）． （1）求该二次函数的表达式； （2）直接写出抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离． 【分析】（1）利用待定系数法确定二次函数的解析式； （2）把（1）中得到的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标和对称轴． （3）将P（m，m）坐标代入y＝x2﹣4x﹣6，得m＝m2﹣4m﹣6，解方程求得m的值，根据题意得到m＝6，从而求得P的坐标，根据点P与点Q关于对称轴x＝2对称，所以点Q到x轴的距离为6． 【解答】解：（1）将A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣9）代入y＝ax2﹣4x+c， 得 解得， 所以二次函数的表达式为y＝x2﹣4x﹣6； （2）由y＝x2﹣4x﹣6＝（x﹣2）2﹣10可知： 对称轴为x＝2；顶点坐标为（2，﹣10）； （3）将P（m，m）坐标代入y＝x2﹣4x﹣6，得m＝m2﹣4m﹣6． 解得m1＝﹣1，m2＝6． 因为m＞0，所以m＝﹣1不合题意，舍去．所以m＝6， 所以P点坐标为（6，6）； 因为点P与点Q关于对称轴x＝2对称，所以点Q到x轴的距离为6． 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握待定系数法是解题的关键． 2．（2024•宿城区模拟）平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝x2+bx+4交于过y轴上的点M和点N（n，1）． （1）求n和b的值； （2）A为直线MN下方抛物线上一点，连接AM，AN，求△AMN的面积的最大值； 【分析】（1）把N（n，1）代入y＝﹣x+4求得n，抛物线y＝x2+bx+4过点N（3，1）求出b即可； （2）设A（m，m2﹣4m+4），过点A作AT∥y轴，交直线MN于点T，可得S△AMN＝S△AMT+S△ANT，运用二次函数性质即可求出最值． 【解答】解：（1）把N（n，1）代入y＝﹣x+4得：1＝﹣n+4， 解得n＝3， ∴N（3，1）， ∵抛物线y＝x2+bx+4过点N（3，1）， ∴1＝9+3b+4，解得b＝﹣4． （2）由（1）可得抛物线解析式为y＝x2﹣4x+4， ∴M（0，4）， 设A（m，m2﹣4m+4），过点A作AT∥y轴，交直线MN于点T，如图示： 则T（m，﹣m+4）， ∴AT＝﹣m+4﹣（m2﹣4m+4）＝﹣m2+3m， ∴S△AMN＝S△AMT+S△ANT， ∵0， ∴当m时，S△AMN取得最大值． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握最值求法是解答本题的关键． 3．（2024春•江阴市月考）如图1，已知二次函数yx2+bx+c的图象经过点A（0，4），对称轴与x轴交于点B（2，0）． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图2，直线l：y＝x+m经过点B，点P是二次函数图象上一点，若点P关于直线l的对称点Q恰好落在直线AB上，求点P的坐标． 【分析】（1）根据题意，用待定系数法求函数解析式； （2）先用待定系数法求出直线l和直线AB的解析式，再设点P坐标为（p，p2﹣2p+4），求出点P关于直线y＝x﹣2的对称点Q坐标为（p2+2p+6，p﹣2），再把点Q的坐标代入直线y＝﹣2x+4，解方程求出p的值即可． 【解答】解：（1）二次函数yx2+bx+c的图象经过点A（0，4）， ∴c＝4， ∵对称轴与x轴交于点B（2，0）， ∴x2， 解得b＝2， ∴二次函数的表达式为yx2+2x+4； （2）把点B坐标代入y＝x+m得：2+m＝0， 解得m＝﹣2， ∴直线l的解析式为y＝x﹣2； 设直线AB的解析式为y＝kx+n， 把A（0，4），B（2，0）代入y＝kx+n得： ， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+4， 设点P坐标为（p，p2﹣2p+4）， 则P关于直线y＝x﹣2的对称点Q坐标为（p2+2p+6，p﹣2）， ∵点Q在直线y＝﹣2x+4上， ∴p﹣2＝﹣2（p2+2p+6）+4， 整理得：p2﹣5p﹣6＝0， 解得p＝﹣1或p＝6， ∴点P的坐标（−1，）或（6，﹣2）． 【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化﹣对称等知识，关键是求出点Q的坐标． 4．（2024•秦都区校级一模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴相交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是对称轴上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标和周长最小值． 【分析】（1）根据待定系数法即可求得； （2）连接BC交抛物线的对称轴于点P，连接PA，依据轴对称图形的性质可得到PA＝PB，则△PAC的周长＝AC+PA+PC，故当点C、P、B在一条直线上时，△PAC的周长最小值，然后求得直线BC的解析式，从而可得到点P的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）如图，连接BC交抛物线的对称轴于点P， ∵y＝x2﹣2x﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∵点A与点B关于直线对称， ∴PA＝PB， ∴AP+PC＝CP+PB． ∴当点P、C、B在一条直线上时，AP+PC有最小值． 又∵BC为定值， ∴当点P、C、B在一条直线上时，△APC的周长最小． ∵， ∴△PAC的周长最小值为：， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，则， 解得：， ∴直线AD的解析式为y＝x﹣3， 将x＝1代入y＝x﹣3得：y＝﹣2， ∴点P的坐标为（1，﹣2）， 即当点P的坐标为（1，﹣2）时，△PAC的周长最小．最小值为． 【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，一次函数的图象与性质，轴对称的性质，解二元一次方程组等知识点，依据轴对称路径最短问题确定出点P的位置是解题的关键． 5．（2024•保山一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣2，0），B（3，0），C（0，6）三点；点P是第一象限内抛物线上的动点，点P的横坐标是m，且． （1）试求抛物线的表达式； （2）过点P作PN⊥x轴并交BC于点N，作PM⊥y轴并交抛物线的对称轴于点M，若，求m的值． 【分析】（1）将A，B，C三点坐标代入函数解析式即可解决问题． （2）用m表示出PM和PN，建立关于m的方程即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知， 将A，B，C三点坐标代入函数解析式得， ， 解得， 所以抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+6． （2）将x＝m代入抛物线得表达式得， y＝﹣m2+m+6， 所以点P的坐标为（m，﹣m2+m+6）． 令直线BC的函数解析式为y＝px+q， 则， 解得， 所以直线BC的函数解析式为y＝﹣2x+6． 因为，且抛物线的对称轴为直线x， 所以PM＝m． 又因为点N坐标为（m，﹣2m+6）， 所以PN＝﹣m2+m+6﹣（﹣2m+6）＝﹣m2+3m． 因为， 所以m， 解得m， 又因为， 所以m． 【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键． 6．（2024•宁波模拟）如图，一次函数的图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y的图象经过A、B两点． （1）求二次函数的表达式； （2）若点P为抛物线上一动点，在直线AB上方是否存在点P使△PAB的面积最大？若存在，请求出△PAB面积的最大值及点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先利用一次函数解析式确定点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数解析式； （2）过P点作PC∥y轴交直线AB于C点，如图，设P（x，x2），则C（x，x），则PCx2x，再根据三角形面积公式得到S△APB3×（x2x），然后根据二次函数的性质解决问题． 【解答】解：（1）当y＝0时，x0，解得x＝﹣3，∴A（﹣3，0）， 当x＝0时，yx， ∴B（0，）， 把A（﹣3，0），B（0，）代入得， 解得， ∴抛物线解析式为yx2； （2）存在． 过P点作PC∥y轴交直线AB于C点，如图， 设P（x，x2），则C（x，x）， ∴PCx2（x）x2x， ∴S△APBPC×OA3×（x2x）x2x（x）2， ∵a0， ∴当x时，S△PAB有最大值，最大值为． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征． 7．（2024•碑林区校级一模）如图，抛物线的对称轴l与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求点A、B的坐标； （2）C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐标平面内，请问是否存在这样的点C，使得四边形ACMD是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将二次函数化为顶点式，然后求出点A的坐标；把x＝0代入抛物线的解析式，求出y＝3，得出点B的坐标即可； （2）分两种情况进行讨论，当M在x轴下方时，当M在x轴上方时，分别画出图形，求出结果即可． 【解答】解：（1）∵， ∴A（1，0）， 当x＝0时，y＝﹣3， ∴B（0，﹣3）． （2）存在，理由如下： 由题意四边形ACMD是正方形，则△ACD是以点A为直角顶点的等婹直角三角形． 设， ①当M在x轴下方时，如图1，过点C作CE⊥x轴于E，此时△ACE是等腰直角三角形， ∴AE＝CE， ∴， ∴（舍去），， 此时． ②当M在x轴上方时，如图2，过点C作CF⊥x轴于F， 同理可得：CF＝AF， ∴， ∴，（舍去）， ∴此时． 综上所述，存在这样的点C，使得四边形ACMD是正方形，此时点C的坐标为或． 【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，正方形的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！45 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级上册数学《第1章 二次函数》 1.3 二次函数y＝ax2 +bx+c的图象与性质 知识点一 将二次函数y＝ax2+bx+c化成y＝a（x-h）2+k ★1、运用配方法，可以将二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与顶点式y＝a(x﹣h)2+k相互转化. （1）通过去括号、合并同类项可将顶点式化为一般式. （2）用配方法可把二次函数的一般式化为顶点式. 即：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）可以转化为y＝a(x＋)2＋； ★2、从函数解析式y＝a(x﹣h)2+k我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，我们称y＝a(x﹣h)2+k 为顶点式， 将顶点式y＝a(x﹣h)2+k去括号，合并同类项就化成一般式y＝ax2＋bx＋c. 知识点二 二次函数y＝ax2+bx+c图象的两种画法 ★1、描点法 （1）运用配方法将二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）化成y＝a(x﹣h)2+k（a≠0）的形式. （2）确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. （3）在对称轴两侧,以顶点为中心,左右对称描点. （4）用平滑的曲线将描出点顺次连接起来. ★2、平移法 （1）运用配方法将二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）化成y＝a(x﹣h)2+k（a≠0）的形式,确定其顶点坐标为(h，k). （2）作出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象. （3）将函数数y＝ax2(a≠0)的图象平移，使其顶点(0,0)平移到(h，k)，平移后的图象就是y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象. 知识点三 二次函数y＝ax2+bx+c图象与性质 y＝ax2+bx+c a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x= 直线x= 顶点坐标 （，），抛物线最低点 （，），抛物线最高点 最值 当 x = 时，y最小值 = 当x = 时，y最大值 = 增减性 当x＜时，y随x增大而减小； 当x＞ 时，y随x增大而增大. 当x＞时，y随x增大而增大； 当x＜ 时，y随x增大而减小. 知识点四 二次函数y＝ax2+bx+c的图象与系数的关系 ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． 当c＞0时，图象过原点； 当c=0时，与y轴交于正半轴； 当c＜0时，与y轴交于负半轴； ④当x＝1时，y的值为a＋b＋c， 当x＝－1时，y的值为a－b＋c． ⑤当对称轴x＝1时，x＝＝1，∴－b＝2a，此时2a＋b＝0； 当对称轴x＝－1时，x＝＝－1，∴b＝2a，此时2a－b＝0． 题型一 用配方法把一般式化为顶点式 解题技巧提炼 用配方法把二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）转化成顶点式y＝a(x＋)2＋（a≠0）简记为“一提、二配、三计算”； 1．（2023秋•罗山县期末）用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为顶点式的形式为（　　） A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x﹣4）2﹣25 C．y＝（x+4）2+7 D．y＝（x+4）2﹣25 2．（2023秋•密山市校级期末）把二次函数y＝x2+2x﹣2配方成顶点式为（　　） A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x+1）2﹣3 D．y＝（x+2）2﹣1 3．（2023秋•和平区校级期中）用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x﹣4）2﹣25 C．y＝（x+4）3+7 D．y＝（x+4）2﹣25 4．（2023春•东莞市校级期中）已知二次函数y＝2x2+4x﹣6， （1）将二次函数的解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式． （2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 5．（2023秋•抚州期末）已知二次函数y＝2x2﹣4x+3， （1）将二次函数的解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 6．已知二次函数y＝x2﹣4x+5． （1）将y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）的形式，指出该二次函数图象的顶点坐标； （2）当x取何值时，y随x的增大而增大？ 题型二 用公式法求顶点坐标及对称轴 解题技巧提炼 直接把a，b，c的值代入公式，即对称轴是-，顶点坐标是（，），注意不要a，b，c遗漏前面的符号. 1．用公式法求二次函数y＝﹣2x2+4x+6的对称轴和顶点坐标． 2．（1）利用配方法求函数yx2+x+4的对称轴、顶点坐标； （2）利用公式法求函数y＝﹣3x2+6x﹣1的对称轴、顶点坐标． 3．用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）y＝3x2+6x； （2）y＝﹣2x2+8x﹣8； （3）yx2﹣4x+3． 4．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）y＝﹣3x2﹣4x； （2）y＝4x2﹣24x+26； （3）yx2+2x﹣1． 5．（2023秋•莱州市期中）已知二次函数y＝﹣2x2+4x﹣1． （1）用公式法求此二次函数的顶点坐标； （2）当x满足什么条件时，该函数值随自变量的增大而减小？ 题型三 二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质 解题技巧提炼 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． 1．（2022•金东区三模）若二次函数y＝2（x﹣1）2﹣1的图象如图所示，则坐标原点可能是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 11．（2023秋•竞秀区期末）已知b＜0，则二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•双流区校级模拟）已知抛物线y＝x2﹣2x+3，下列结论错误的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x＝1 C．抛物线的顶点坐标为（1，2） D．当x＞1时，y随x的增大而减小 3．（2024•西安校级一模）已知：二次函数y＝ax2﹣2ax+3（a≠0），以下对于此二次函数图象的描述中，正确的有（　　）个． ①对称轴为直线x＝1；②当x＞1时，y随x的增大而增大； ③图象经过点（2，3）；④当0＜a＜3时，函数图象经过两个象限． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024•固始县二模）在二次函数y＝﹣x2+2x+3中，当0＜x＜3时，y的取值范围是（　　） A．0＜y＜3 B．1＜y＜4 C．0＜y≤4 D．﹣4≤y＜0 5．（2024•郓城县校级一模）若二次函数y＝（m+2）x2﹣mx+m2﹣2m﹣8经过原点，则m的值为（　　） A．﹣2 B．4 C．﹣2或4 D．无法确定 6．（2024•梁溪区校级二模）已知二次函数y＝（x﹣a）（x+2a﹣1）的对称轴是直线x＝﹣2，则a的值为 　 　． 题型四 函数图象位置的识别 解题技巧提炼 在同一直角坐标系判断函数图象的位置，主要是根据二次函数的图象的位置特征和一次函数的性质来判断即可. 1．（2024•镇平县模拟）一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx的图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•微山县二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示．则一次函数y＝ax﹣b与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致是（　　） A． B． C． D． 3．（2024•南昌一模）一次函数y＝﹣ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．（2024•福田区校级一模）函数y＝ax+1与y＝ax2+bx+1（a，b是常数，且a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 5．（2023•泰山区校级三模）如图所示，在同一坐标系中，直线y＝ax+b和抛物线y＝ax2+bx+c（c≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．（2024•沈阳模拟）函数y＝ax2+2x+1和y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 题型五 利用二次函数的性质比较函数值的大小 解题技巧提炼 （1）确定这些点的横坐标的大小； （2）判断这些点是图象的对称轴的左边还是右边，当点不在对称轴同侧时，需要先根据抛物线的对称性，把这些点转化为在对称轴同侧的点； （3）根据函数的增减性进行判断，也可根据这些点到对称轴的距离的大小来比较. 1．（2024春•渠县校级月考）设A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y2＞y1＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2 2．（2022秋•吴兴区期末）已知点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（﹣4，y3）在抛物线y＝2x2+8x﹣1上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3 3．（2023•蚌埠三模）已知某抛物线开口向下，经过点（0，0），（2，m），（6，n），且mn＜0．若点（﹣2，y1）（4，y2）（10，y3）在该抛物线上，则（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y2＞y3＞y1 4．（2024•武威二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣2，y1），（﹣3，y2），试比较y1和y2的大小：y1　 　y2（填“＞”、“＜”或“＝”）． 5．（2023•溧阳市一模）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则y1，y2，y3的大小关系是　 　． 6．（2024•宁德模拟）已知点A（2﹣m，y1），B（m﹣6，y2），在抛物线y＝ax2+5ax+n（a＜0）上．若点A在对称轴左侧，则y1，y2，y3的大小关系是 　 　．（用“＞”，“＜”或“＝”连接） 题型六 二次函数图象的平移 解题技巧提炼 先把一般式化为顶点式，利用上下平移，常数项上加下减；左右平移，自变量左加右减.二次项系数 a 不变，得到平移后图象的解析式. 1．（2024•肥城市二模）若将抛物线y＝x2﹣2x+3平移后得到抛物线y＝x2，下列平移方法正确的是（　　） A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 2．（2023秋•新昌县期末）将抛物线y＝2x2﹣3x+2通过以下平移能得到抛物线y＝2x2﹣3x+4的是（　　） A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度 C．向上平移2个单位长度 D．向下平移2个单位长度 3．（2023秋•澄城县期末）将y＝x2﹣2x+4向上平移3个单位，再向右平移1个单位后所得的抛物线解析式为（　　） A．y＝（x﹣2）2 B．y＝x2﹣3x+7 C．y＝x2﹣4x+10 D．y＝x2﹣x+7 4．（2024•文水县三模）将抛物线沿x轴向左平移4个单位长度后，得到的新抛物线的表达式为（　　） A． B． C． D． 5．（2024•榆阳区二模）将二次函数y＝x2﹣6x+m2+6（m为常数）的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位后得到的二次函数图象经过点（1，5），则m的值为（　　） A．0 B．1或﹣1 C．2或﹣2 D．3或﹣3 6．（2024春•秦都区校级月考）将抛物线L：y＝x2+6x+8沿x轴向右平移m（m＞0）个单位得到一条新抛物线，若点A（4，y1），B（6，y2）在新抛物线上，且y1＞y2，则m的值可以是（　　） A．3 B．4 C．8 D．9 题型七 二次函数对称性的应用 解题技巧提炼 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）． ①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x． 1．（2023秋•九台区校级期末）若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点为（﹣2，0），（4，0），则该抛物线的对称轴为（　　） A．直线x＝﹣3 B．直线x＝3 C．直线x＝1 D．直线x＝﹣1 2．已知点A（﹣2，1）在抛物线y＝x2﹣4x+m（m为常数）上，则点A关于抛物线对称轴对称的点的坐标是（　　） A．（2，1） B．（3，1） C．（4，1） D．（6，1） 3．已知P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣3x+1上，那么x1+x2＝　 　． 4．（2024春•越秀区校级月考）已知A（x1，2024），B（x2，2024）是二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）图象上的两点，则当x＝x1+x2时，二次函数的值是 　 　． 5．（2023秋•九龙坡区期末）已知点A（a，m）、B（b，m）、P（a+b，n）为抛物线y＝x2+2x+3上的点，则n＝　 ． 6．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，若点A的坐标为，则点B的坐标为　 　． 题型八 二次函数y＝ax2+bx+c图象与系数的关系 解题技巧提炼 ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． 1．（2024•岳麓区校级三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是函数图象上的两点，下列结论正确的是（　　） A．a+b+c＜0 B．b+2a＝0 C．x1＞x2，则y1＞y2 D．若y1＝y2，则x1+x2＝1 2．（2024•祁阳市二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝﹣1，直线l∥x轴，且交抛物线于点P（x1，y1），Q（x2，y2），下列结论错误的是（　　） A．b2+8a＞0 B．3a＞2 C．若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am2+bm D．当y＞﹣2时，x1•x2＜0 3．（2024春•碑林区校级月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，下列结论中： ①abc＜0； ②b2＞4ac； ③3a+c＞0； ④若m为任意实数，则am2+bm≤a+b． 正确的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（2024•永善县二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024•射洪市一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示（1＜x＝h＜2，0＜xA＜1）．下列结论：①abc＜0；②2a+b＞0；③若OC＝2OA，则2b﹣ac＝4；④3a﹣c＜0．其中正确的有 　 　．（只填写序号） 6．（2024•苍溪县二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③5a+b+c＜0；④对于任意实数m（m≠1），都有a+b＞m（am+b）．其中正确结论的序号是 　 　． 题型九 利用二次函数的性质求最值 解题技巧提炼 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 1．（2023•成武县一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象如图，当﹣5≤x≤0时，下列说法正确的是（　　） A．有最小值﹣5、最大值0 B．有最小值﹣3、最大值6 C．有最小值0、最大值6 D．有最小值2、最大值6 2．（2020•新蔡县模拟）二次函数y＝x2﹣4x+7的最小值为（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 3．（2023秋•丰润区期末）若二次函数y＝﹣x2+2mx+1取最大值时x＝1，则m的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2 4．（2023秋•周口期中）二次函数y＝﹣x2+2x+m2的最大值为3，则m的值为（　　） A． B． C．2 D．±2 5．（2024•无锡模拟）已知抛物线y＝x2﹣2mx（﹣1≤m≤2）经过点A（p，t）和点B（p+2，t），则t的最小值是 　 　． 6．（2024•潜山市校级一模）定义：min{a，b}．若函数y＝min{x+1，﹣x2+2x+3}，则该函数的最大值为 　 　． 题型十 二次函数的综合应用 解题技巧提炼 解决二次函数综合性问题，一要注意确定各自解析式需要的条件，而要充分利用好函数图象的交点坐标，考查了三角形的面积、平行四边形的判定等问题，有时要用到分类讨论的思想． 1．（2024•平舆县一模）如图，已知二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣9）． （1）求该二次函数的表达式； （2）直接写出抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离． 2．（2024•宿城区模拟）平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝x2+bx+4交于过y轴上的点M和点N（n，1）． （1）求n和b的值； （2）A为直线MN下方抛物线上一点，连接AM，AN，求△AMN的面积的最大值； 3．（2024春•江阴市月考）如图1，已知二次函数yx2+bx+c的图象经过点A（0，4），对称轴与x轴交于点B（2，0）． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图2，直线l：y＝x+m经过点B，点P是二次函数图象上一点，若点P关于直线l的对称点Q恰好落在直线AB上，求点P的坐标． 4．（2024•秦都区校级一模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴相交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是对称轴上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标和周长最小值． 5．（2024•保山一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣2，0），B（3，0），C（0，6）三点；点P是第一象限内抛物线上的动点，点P的横坐标是m，且． （1）试求抛物线的表达式； （2）过点P作PN⊥x轴并交BC于点N，作PM⊥y轴并交抛物线的对称轴于点M，若，求m的值． 6．（2024•宁波模拟）如图，一次函数的图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y的图象经过A、B两点． （1）求二次函数的表达式； （2）若点P为抛物线上一动点，在直线AB上方是否存在点P使△PAB的面积最大？若存在，请求出△PAB面积的最大值及点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2024•碑林区校级一模）如图，抛物线的对称轴l与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求点A、B的坐标； （2）C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐标平面内，请问是否存在这样的点C，使得四边形ACMD是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20 学科网（北京）股份有限公司 $$