1.2.2二次函数y=a（x-m)²+k的图象和性质（十大题型提分练）数学浙教版九年级上册

九年级上册数学《第1章 二次函数》 1.2 第2课时 二次函数y＝a（x-m）2+k 的图象与性质 知识点一 二次函数y＝ax2+k的图象和性质 ★1、二次函数y＝ax2+k的图象和性质 y＝ax2+k a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 y轴（或直线 x＝0） y轴（或直线x＝0） 顶点坐标 (0，k)，抛物线最低点 (0，k)，抛物线最高点 最值 当x=0 时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k 增减性 当x＜0时，y随x增大而减小； 当x＞0 时，y随x增大而增大. 当x＞0时，y随x增大而增大； 当x＜0 时，y随x增大而减小. ★2、抛物线y＝ax2+k与y＝ax2的关系： 二次函数y＝ax2+k的图象可以由y＝ax2的图象平移得到： 当k ＞ 0 时,向上平移k个单位长度得到. 当k ＜ 0 时,向下平移个单位长度得到. ◆◆上下平移规律:平方项不变，常数项上加下减. 知识点二 二次函数y＝a（x-m）2的图象和性质 ★1、二次函数y＝a（x﹣m）2的图象和性质 y＝a(x﹣m)2 a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x=m 直线x=m 顶点坐标 (m，0)，抛物线最低点 (m，0)，抛物线最高点 最值 当 x = m 时，y最小值 =0 当x = m时，y最大值 =0 增减性 当x＜m时，y随x增大而减小； 当x＞m时，y随x增大而增大. 当x＞m时，y随x增大而增大； 当x＜m 时，y随x增大而减小. ★2、抛物线y＝a（x﹣m）2与y＝ax2的关系： 二次函数y＝a(x﹣m)2的图象可以由y＝ax2的图象平移得到： 当m> 0 时，向右平移m 个单位长度得到. 当m< 0 时，向左平移个单位长度得到. ◆◆左右平移规律：自变量左加右减，括号外不变. 知识点三 二次函数y＝a（x-m）2+k的图象和性质 ★1、二次函数y＝a（x﹣m）2+k的图象和性质 y＝a(x﹣m)2+k a > 0 a < 0 图象 m＞0，k＜0 m＜0，k＞0 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x=m 直线x=m 顶点坐标 (m，k)，抛物线最低点 (m，k)，抛物线最高点 最值 当x=m 时，y最小值=k 当x=m时，y最大值=k 增减性 当x＜m时，y随x增大而减小； 当x＞m 时，y随x增大而增大. 当x＞m时，y随x增大而增大； 当x＜m时，y随x增大而减小. ★2、抛物线y＝a（x﹣m）2+k与y＝ax2的关系： 二次函数y＝a(x﹣m)2+k的图象可以由y＝ax2的图象平移得到： 平移规律(设m＞0，k＞0)： ◆◆简记为：上下平移，常数项上加下减；左右平移，自变量左加右减.二次项系数 a 不变． 题型一 二次函数y＝ax2+k的图象与性质 解题技巧提炼 二次函数y＝ax2 +k的性质主要是从开口方向，对称轴，顶点坐标，最值和增减性五个方面来判断的. a＞0，x<0时，函数值y随x的增大而减小；x>O时，函数值y随x的增大而增大 ； a＜0，x<0时，函数值y随x的增大而增大；x>O时，函数值y随x的增大而减小 . 1．（2023•当涂县校级期末）二次函数y＝﹣x2+1的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•南昌一模）对于抛物线y＝3x2+1，当x＞0时，y随x的增大而 　 .（填“增大”或“减小”） 3．（2024春•朝阳区校级月考）二次函数y＝x2+1的对称轴是（　　） A．y轴 B．x轴 C．直线x＝1 D．直线y＝1 4．（2024•雁塔区校级一模）抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，2） D．（0，﹣2） 5．（2023•渝中区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边BC与x轴重合，顶点 A、D在抛物线y＝﹣4x2+c上．若抛物线的顶点到x轴的距离比BC长4，则c的值为 　 　． 6．已知抛物线y＝a（x﹣h）2，当x＝2时，有最大值，且抛物线过点（1，﹣3）， （1）求抛物线的解析式． （2）当x为何值时，y随x的增大而增大． （3）求抛物线与y轴的交点坐标． 题型二 二次函数y＝ax2+k与的y＝ax2的关系 解题技巧提炼 二次函数y＝ax2+k的图象可以由y＝ax2的图象平移得到： 当k ＞ 0 时,向上平移k个单位长度得到. 当k ＜ 0 时,向下平移个单位长度得到. ★上下平移规律:平方项不变，常数项上加下减. 1．抛物线y＝﹣x2+1先向左平移2个单位，再向下平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣（x+2）2+2 B．y＝﹣（x﹣2）2 C．y＝﹣（x+2）2 D．y＝﹣（x﹣2）2+2 2．（2024•津市市一模）将二次函数y＝x2﹣6的图象向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为（　　） A．y＝x2﹣2x﹣5 B．y＝x2+2x﹣9 C．y＝x2﹣2x﹣8 D．y＝x2+2x﹣5 3．（2024•东莞市校级一模）将抛物线y＝x2+2的图象向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝x2﹣1 B．y＝x2+3 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x+2）2+2 4．（2023秋•安次区期末）将抛物线y＝3x2﹣2向左平移2个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的解析式是（　　） A．y＝3（x+2）2+4 B．y＝3（x+4）2 C．y＝3（x+2）2+2 D．y＝3（x﹣2）2﹣6 5．（2024•兴隆台区三模）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣2x2+3向右平移1个单位，再向下平移1个单位后所得的抛物线的表达式为（　　） A．y＝﹣2（x+1）2+2 B．y＝﹣2（x+1）2﹣2 C．y＝﹣2（x﹣1）2+2 D．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2 题型三 二次函数y＝a（x﹣m）2的图象与性质 解题技巧提炼 二次函数y＝a(x﹣m)2 的性质主要是从开口方向，对称轴，顶点坐标，最值和增减性五个方面来判断的. a＞0，x<m时，函数值y随x的增大而减小；x>m时，函数值y随x的增大而增大； a＜0，x<m时，函数值y随x的增大而增大；x>m时，函数值y随x的增大而减小 . 1．（2023秋•望花区期中）在平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x﹣3）2（a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•海珠区期末）二次函数y＝（x﹣1）2，当x＜1时，y随x的增大而 　 　．（填“增大”或“减小”） 3．抛物线y＝2（x+1）2不经过的象限是（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 4．（2024•虹口区二模）已知二次函数y＝﹣（x﹣4）2，如果函数值y随自变量x的增大而减小，那么x的取值范围是（　　） A．x≥4 B．x≤4 C．x≥﹣4 D．x≤﹣4 5．（2023•三门县一模）已知函数y，在自变量x≤m的范围内，相应的函数最小值为0，则m的取值范围是　 　． 题型四 二次函数y＝a（x﹣m）2与y＝ax2的关系 解题技巧提炼 二次函数y＝a(x﹣m)2(a≠0)的图象可以由y=ax2的图象左右平移得到： 当m > 0 时，向右平移m个单位长度得到. 当m< 0 时，向左平移个单位长度得到. 1．（2024•嘉定区二模）如果将抛物线y＝（x﹣1）2向下平移2个单位，那么平移后抛物线与y轴的交点坐标是（　　） A．（﹣1，0） B．（0，﹣1） C．（﹣2，0） D．（3，0） 2．（2023秋•隆阳区期末）将抛物线C1：y＝（x﹣3）2向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2，则抛物线C2的函数表达式为（　　） A．y＝（x﹣4）2+3 B．y＝（x+4）2+3 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x+2）2﹣3 3．（2023•南岗区校级模拟）将抛物线y＝﹣x2通过一次平移可得到抛物线y＝﹣（x+4）2，对这一平移过程描述正确的（　　） A．向右平移4个单位长度 B．向左平移4个单位长度 C．向上平移4个单位长度 D．向下平移4个单位长度 4．将二次函数y＝2x2的图象向右平移3个单位后得到函数　 　的图象，其对称轴是　 ，顶点是　 　，当x 　时，y随x的增大而增大；当x　 时，y随x的增大而减小． 5．已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y＝3x2都相同，顶点与抛物线y＝（x+2）2相同． （1）求这条抛物线的解析式； （2）将上面的抛物线向右平移4个单位会得到怎样的抛物线解析式？ （3）若（2）中所求抛物线的顶点不动，将抛物线的开口反向，求符合此条件的抛物线解析式． 题型五 二次函数y＝a（x﹣m）2+k的图象与性质 解题技巧提炼 二次函数y＝a(x﹣m)2+k对称轴是直线x=m，顶点坐标是（m，k）.当a＞0时，开口向上，顶点是它的最高点；当x=m时，y有最小值是k当a＜0时，开口向下，顶点是它的最低点；当x=m时，y有最大值是k； 函数y＝a(x﹣m)2+k的增减性和函数y＝a(x﹣m)2是一致的. 1．（2023秋•武汉期末）二次函数y＝﹣（x+1）2+2的图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•渠县校级月考）抛物线y＝﹣（x﹣3）2+1的顶点坐标是（　　） A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，﹣1） 3．（2024•长沙模拟）抛物线y＝（x﹣1）2+3的对称轴是（　　） A．直线x＝1 B．直线x＝3 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝﹣3 4．（2024•大丰区三模）当函数y＝（x﹣1）2﹣2的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是（　　） A．x＞0 B．x＜1 C．x＞1 D．x为任意实数 5．（2024•永寿县二模）二次函数y＝a（x﹣t）2+3，当x＞1时，y随x的增大而减小，则实数a和t满足（　　） A．a＞0，t≤1 B．a＜0，t≤1 C．a＞0，t≥1 D．a＜0，t≥1 6．（2024春•凉州区月考）已知二次函数y＝（x﹣3）2+m，当x 　 　时，y随x的增大而减小． 题型六 二次函数y＝a（x﹣m）2+k与y＝ax2的关系 解题技巧提炼 二次函数y＝a(x﹣m)2+k(a≠0)的图象可以由y=ax2的图象向上（下）向左（右）平移得到. 当m > 0，k>0时，把y＝ax2向上平移k个单位长度,再向右平移m个单位长度得到. 当m > 0，k>0时，把y＝ax2向下平移个单位长度,再向右平移m个单位长度得到. 当m <0，k>0 时，把y＝ax2向上平移k个单位长度,再向左平移个单位长度得到. 当m< 0，k>0 时，把y＝ax2向下平移k个单位长度,再向左平移个单位长度得到. 1．（2024•惠阳区二模）将抛物线y＝（x﹣1）2+4先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的关系式是（　　） A．y＝（x+1）2﹣6 B．y＝（x+1）2﹣3 C．y＝（x﹣3）2+9 D．y＝（x﹣3）2+7 2．（2024•凉州区一模）将抛物线y＝3（x﹣1）2+1向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为（　　） A．y＝3（x﹣3）2﹣1 B．y＝3（x+1）2+3 C．y＝3（x+1）2﹣1 D．y＝3（x﹣3）2+3 3．（2023秋•昆明期末）将抛物线y＝x2平移后得到抛物线y＝（x+1）2﹣2，则下列平移正确的是（　　） A．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 4．（2023秋•肥东县期末）将抛物线y＝﹣（x﹣3）2+5向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物线的函数表达式为（　　） A．y＝﹣（x﹣5）2﹣1 B．y＝﹣（x﹣1）2﹣1 C．y＝﹣（x﹣5）2+11 D．y＝﹣（x﹣1）2+11 5．（2023秋•西乡塘区校级月考）将抛物线y＝﹣x2先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，可得到抛物线 　 　． 6．（2024春•朝阳区校级月考）将抛物线y＝2（x﹣2）2+3沿y轴向上平移2个单位得到的抛物线的函数表达式 　 　． 题型七 函数图象位置的识别 解题技巧提炼 在同一直角坐标系判断函数图象的位置，主要是根据二次函数的图象的位置特征和一次函数的性质来判断即可. 1．（2023•濠江区模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（　　） A． B． C． D． 2．（2023•肥城市校级模拟）函数y＝ax﹣a和y＝ax2+2（a为常数，且a≠0），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•科左中旗期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝a（x+c）2的图象大致为（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋•江门校级月考）如图，函数y＝a（x﹣2）2﹣1和y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　） A． B． C． D． 5．（2023秋•盘龙区校级月考）关于x的两个函数y＝（x+h）2和y＝h（x﹣1）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．（2024•广西模拟）在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+1与y（x﹣1）2的图象大致是（　　） A． B． C． D． 题型八 利用二次函数的性质比较函数值的大小 解题技巧提炼 （1）确定这些点的横坐标的大小； （2）判断这些点是图象的对称轴的左边还是右边，当点不在对称轴同侧时，需要先根据抛物线的对称性，把这些点转化为在对称轴同侧的点； （3）根据函数的增减性进行判断，也可根据这些点到对称轴的距离的大小来比较. 1．（2023秋•广陵区期末）已知点A（﹣1，y1），点B（2，y2）在抛物线y＝﹣3x2+2上，则y1，y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法判断 2．（2023秋•黔西南州期末）若点（0，a），（4，b）都在二次函数y＝（x﹣2）2的图象上，则a与b的大小关系是（　　） A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定 3．（2024•康县模拟）若二次函数y＝﹣（x﹣3）2+m的图象经过A（﹣3，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1 4．（2024•巧家县校级模拟）已知点A（﹣3，y1）B（2，y2）均在抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3上，则下列结论正确的是（　　） A．3＜y1＜y2 B．3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜3 D．y1＜y2＜3 5．（2024•余姚市一模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在二次函数y＝﹣x2+c（c＞0）的图象上，点A，C是该函数图象与正比例函数y＝kx（k为常数且k＞0）的图象的交点．若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y3＜y2 6．（2023秋•阎良区期末）已知二次函数y＝﹣2x2+x﹣m图象上三点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y1＜y3 题型九 利用二次函数的性质判断结论 解题技巧提炼 主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键. 1．（2024春•张店区校级月考）下列关于抛物线y＝﹣（x+1）2+4的判断中，错误的是（　　） A．形状与抛物线y＝﹣x2相同 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小 D．当﹣3＜x＜1时，y≥0 2．（2024•砀山县二模）对于二次函数y＝（x+3）2的图象，下列说法不正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标为（﹣3，0） D．当x＜﹣3时，y随x的增大而增大 3．（2023秋•惠来县期末）对于二次函数y＝﹣（x+1）2+3，下列结论：①其图象开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝1；③其图象的顶点坐标为（﹣1，3）；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024春•北碚区校级期中）已知抛物线y＝﹣（x﹣2）2+7，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣2 C．顶点坐标为（2，7） D．当x＜﹣2时，y随x的增大而减小 5．（2024•蒸湘区一模）已知抛物线y＝（x﹣1）2+2，下列结论中错误的是（　　） A．抛物线的开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x＝1 C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则得到的抛物线解析式为y＝（x+1）2+5 题型十 二次函数对称性的应用 解题技巧提炼 1、利用二次函数对称性，将一些不规则图象转化为规则图形，从而求出此类图形的面积. 2、抛物线上两点的纵坐标相等，则这两点是关于对称轴对称 . 1．已知点A（﹣3，m），B（3，m），C（﹣1，m+n2+1）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（　　） A．y＝x+2 B．y C．y＝x2+2 D．y＝﹣x2﹣2 2．已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣1（m为常数），如果当自变量x分别取﹣1，2时，所对应的y值相等，那么m的值为 　 　． 3．（2024•莒南县一模）已知A（m，2024），B（m+n，2024）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2040上的两点，则正数n＝　 　． 4．（2024•天宁区校级模拟）二次函数y＝a（x﹣1）2+h的图象经过点A（0，4），B（m，4），则m＝　 　． 5．（2024•柳东新区校级模拟）已知二次函数y＝2x2+m，如图，此二次函数的图象经过点（0，﹣4），正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数的图象上，则图中阴影部分的面积之和为（　　） A．2 B．4 C．8 D．18 题型十一 利用二次函数的性质求最值 解题技巧提炼 确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 1．（2023秋•绵阳期末）二次函数y＝（x﹣3）2+1的最小值是（　　） A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3 2．（2024•广西三模）二次函数y＝﹣（x﹣2）2+7的最大值是（　　） A．7 B．﹣7 C．2 D．﹣2 3．（2023•长安区校级二模）已知点A（a，b）在二次函数y＝﹣x2+8的图象上，则2a﹣b的最小值为（　　） A．﹣8 B．8 C．﹣9 D．9 4．（2023•永嘉县三模）已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最大值2，有最小值﹣2.5 B．有最大值2，有最小值1.5 C．有最大值1.5，有最小值﹣2.5 D．有最大值2，无最小值 5．（2024•惠安县一模）已知二次函数y＝a（x﹣t）2+m（a≠0）的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2），若2＜x1＜3，3＜x2＜4，都有m≤y1＜y2，则t的最大值为 　 ． 6．（2023•绵竹市模拟）当﹣2≤x≤1时，关于x的二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（　　） A．2 B．2或 C．2或或 D．2或或 题型十二 二次函数与一次函数的综合应用 解题技巧提炼 解决二次函数与一次函数综合性问题，一要注意确定各自解析式需要的条件，而要充分利用好函数图象的交点坐标，考查了三角形的面积、平行四边形的判定等问题，有时要用到分类讨论的思想． 1．抛物线y＝ax2﹣1交x轴于A，B（A左B右），交y轴于C，且AB＝4OC． （1）求a的值； （2）过抛物线上的点P（不与点B重合）作y轴的平行线交直线CB与点M，交x轴于点N，当PM＝2MN时，求点P的坐标． 2．如图，已知抛物线y＝ax2+c过点（﹣2，2），（4，5），过定点F（0，2）的直线l；y＝kx+2与抛物线交于A，B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为点C． （1）求抛物线的表达式； （2）当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系，并证明你的判断． 3．（2024•大荔县三模）如图，抛物线y＝a（x+1）2+h交x轴于点A（﹣4，0），B，交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点D（0，﹣2），连接AD． （1）求该抛物线的表达式； （2）若抛物线对称轴上存在一点P，使△ADP为以AD为腰的等腰三角形，求满足条件的点P的坐标． 4．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线yx与抛物线交于A、B两点，直线l为y＝﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，点A为抛物线C1：y的顶点，点B的坐标为（1，0），直线AB交抛物线C1于另一点C． （1）求点C的坐标； （2）平行于y轴的直线x＝3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线x＝a交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE＝4：3，求a的值． 6．抛物线的顶点为（1，﹣4），与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为对称轴右侧抛物线上一点，以BP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M落在对称轴上，求P点的坐标． 7．（2024•白云区一模）已知直线l：y＝kx+b（k＞0）经过点P（﹣1，2）． （1）用含有k的式子表示b； （2）若直线l与x，y轴分别交于A，B两点，△AOB面积为S，求S的取值范围； （3）过点P的抛物线y＝（x﹣k）2+n与y轴交点为E，记抛物线的顶点为C，该抛物线是否存在点F使四边形BPEF为平行四边形？若存在，求此时顶点C的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级上册数学《第1章 二次函数》 1.2第2课时 二次函数y＝a（x-m）2+k 的图象与性质 知识点一 二次函数y＝ax2+k的图象和性质 ★1、二次函数y＝ax2+k的图象和性质 y＝ax2+k a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 y轴（或直线 x＝0） y轴（或直线x＝0） 顶点坐标 (0，k)，抛物线最低点 (0，k)，抛物线最高点 最值 当x=0 时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k 增减性 当x＜0时，y随x增大而减小； 当x＞0 时，y随x增大而增大. 当x＞0时，y随x增大而增大； 当x＜0 时，y随x增大而减小. ★2、抛物线y＝ax2+k与y＝ax2的关系： 二次函数y＝ax2+k的图象可以由y＝ax2的图象平移得到： 当k ＞ 0 时,向上平移k个单位长度得到. 当k ＜ 0 时,向下平移个单位长度得到. ◆◆上下平移规律:平方项不变，常数项上加下减. 知识点二 二次函数y＝a（x-m）2的图象和性质 ★1、二次函数y＝a（x﹣m）2的图象和性质 y＝a(x﹣m)2 a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x=m 直线x=m 顶点坐标 (m，0)，抛物线最低点 (m，0)，抛物线最高点 最值 当 x = m 时，y最小值 =0 当x = m时，y最大值 =0 增减性 当x＜m时，y随x增大而减小； 当x＞m时，y随x增大而增大. 当x＞m时，y随x增大而增大； 当x＜m 时，y随x增大而减小. ★2、抛物线y＝a（x﹣m）2与y＝ax2的关系： 二次函数y＝a(x﹣m)2的图象可以由y＝ax2的图象平移得到： 当m> 0 时，向右平移m 个单位长度得到. 当m< 0 时，向左平移个单位长度得到. ◆◆左右平移规律：自变量左加右减，括号外不变. 知识点三 二次函数y＝a（x-m）2+k的图象和性质 ★1、二次函数y＝a（x﹣m）2+k的图象和性质 y＝a(x﹣m)2+k a > 0 a < 0 图象 m＞0，k＜0 m＜0，k＞0 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x=m 直线x=m 顶点坐标 (m，k)，抛物线最低点 (m，k)，抛物线最高点 最值 当x=m 时，y最小值=k 当x=m时，y最大值=k 增减性 当x＜m时，y随x增大而减小； 当x＞m 时，y随x增大而增大. 当x＞m时，y随x增大而增大； 当x＜m时，y随x增大而减小. ★2、抛物线y＝a（x﹣m）2+k与y＝ax2的关系： 二次函数y＝a(x﹣m)2+k的图象可以由y＝ax2的图象平移得到： 平移规律(设m＞0，k＞0)： ◆◆简记为：上下平移，常数项上加下减；左右平移，自变量左加右减.二次项系数 a 不变． 题型一 二次函数y＝ax2+k的图象与性质 解题技巧提炼 二次函数y＝ax2 +k的性质主要是从开口方向，对称轴，顶点坐标，最值和增减性五个方面来判断的. a＞0，x<0时，函数值y随x的增大而减小；x>O时，函数值y随x的增大而增大 ； a＜0，x<0时，函数值y随x的增大而增大；x>O时，函数值y随x的增大而减小 . 1．（2023•当涂县校级期末）二次函数y＝﹣x2+1的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数图象的性质求解． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+1的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，1）， ∴选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的图象，解题关键是掌握二次函数图象的性质，掌握二次函数图象与系数的关系． 2．（2024•南昌一模）对于抛物线y＝3x2+1，当x＞0时，y随x的增大而 　 .（填“增大”或“减小”） 【分析】根据二次函数的二次项系数a以及对称轴即可判断出函数的增减性． 【解答】解：∵二次函数y＝3x2+1的图象开口向上，对称轴为y轴， ∴当x＞0时，y随x的增大而增大， 故答案为：增大． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是求出二次函数的对称轴为y轴，开口向上． 3．（2024春•朝阳区校级月考）二次函数y＝x2+1的对称轴是（　　） A．y轴 B．x轴 C．直线x＝1 D．直线y＝1 【分析】对于二次函数y＝ax2+bx+c，其对称轴为直线，据此即可求解． 【解答】解：由题意得：抛物线y＝x2+1的对称轴是：直线， 即对称轴是y轴， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的性质，关键是二次函数性质的应用． 4．（2024•雁塔区校级一模）抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，2） D．（0，﹣2） 【分析】利用二次函数的图象和性质，即可得出顶点坐标． 【解答】解：∵y＝x2﹣2， ∴抛物线的顶点坐标为（0，﹣2）， 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质． 5．（2023•渝中区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边BC与x轴重合，顶点 A、D在抛物线y＝﹣4x2+c上．若抛物线的顶点到x轴的距离比BC长4，则c的值为 　 　． 【分析】由二次函数解析式可得抛物线顶点坐标为（0，c），由四边形ABCD为正方形，抛物线的顶点到x轴的距离比BC长4可得点D坐标，进而求解． 【解答】解：∵y＝﹣4x2+c， ∴抛物线顶点坐标为（0，c）， ∵抛物线的顶点到x轴的距离比BC长4， ∴点A，D的纵坐标为c﹣4， ∵四边形ABCD为正方形， ∴点D坐标为（，c﹣4）， 将（，c﹣4）代入y＝﹣4x2+c得c﹣4＝﹣4（）2+c， 解得c＝6或c＝2（舍）， 故答案为：6． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握正方形的性质． 6．已知抛物线y＝a（x﹣h）2，当x＝2时，有最大值，且抛物线过点（1，﹣3）， （1）求抛物线的解析式． （2）当x为何值时，y随x的增大而增大． （3）求抛物线与y轴的交点坐标． 【分析】（1）由题意可得抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2，然后将点（1，﹣3）代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数法的值，也就求出了抛物线的解析式． （2）根据二次函数的性质易得当x＜2时，y随x的增大而增大． （3）利用y轴上点的坐标特征，求出自变量为0时的函数值即可得到抛物线与y轴的交点坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣h）2，当x＝2时，有最大值， ∴抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2， ∵抛物线过点（1，﹣3）， ∴﹣3＝a（1﹣2）2， ∴解得a＝﹣3， ∴此抛物线的解析式y＝﹣3（x﹣2）2． （2）因为抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线开口向下， 所以当x＜2时，y随x的增大而增大． （3）当x＝0时，y＝﹣3（x﹣2）2＝﹣12， 所以抛物线y＝﹣3（x﹣2）2与y轴的交点坐标为（0，﹣12）． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 题型二 二次函数y＝ax2+k与的y＝ax2的关系 解题技巧提炼 二次函数y＝ax2+k的图象可以由y＝ax2的图象平移得到： 当k ＞ 0 时,向上平移k个单位长度得到. 当k ＜ 0 时,向下平移个单位长度得到. ★上下平移规律:平方项不变，常数项上加下减. 1．抛物线y＝﹣x2+1先向左平移2个单位，再向下平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣（x+2）2+2 B．y＝﹣（x﹣2）2 C．y＝﹣（x+2）2 D．y＝﹣（x﹣2）2+2 【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【解答】解：把抛物线y＝﹣x2+1，先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为：y＝﹣（x+2）2+1﹣1，即y＝﹣（x+2）2． 故选：C． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 2．（2024•津市市一模）将二次函数y＝x2﹣6的图象向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为（　　） A．y＝x2﹣2x﹣5 B．y＝x2+2x﹣9 C．y＝x2﹣2x﹣8 D．y＝x2+2x﹣5 【分析】根据平移原则：上→加，下→减，左→加，右→减写出解析式． 【解答】解：根据题意可得解析式为：y＝（x﹣1）2﹣3﹣6＝x2﹣2x﹣8． 故选：C． 【点评】本题主要考查了函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 3．（2024•东莞市校级一模）将抛物线y＝x2+2的图象向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝x2﹣1 B．y＝x2+3 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x+2）2+2 【分析】根据二次函数图象左加右减的平移规律进行解答即可． 【解答】解：将抛物线y＝x2+2的图象向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为：y＝（x﹣2）2+2． 故选：C． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 4．（2023秋•安次区期末）将抛物线y＝3x2﹣2向左平移2个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的解析式是（　　） A．y＝3（x+2）2+4 B．y＝3（x+4）2 C．y＝3（x+2）2+2 D．y＝3（x﹣2）2﹣6 【分析】根据抛物线向左平移加，向上平移加，可得答案． 【解答】解：将抛物线y＝3x2﹣2向左平移2个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的解析式是y＝3（x+2）2﹣2+4，即y＝3（x+2）2+2． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象向左平移加，向右平移减，向上平移加，向下平移减． 5．（2024•兴隆台区三模）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣2x2+3向右平移1个单位，再向下平移1个单位后所得的抛物线的表达式为（　　） A．y＝﹣2（x+1）2+2 B．y＝﹣2（x+1）2﹣2 C．y＝﹣2（x﹣1）2+2 D．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2 【分析】根据图象的平移变换规律：左加右减，上加下减，求得即可． 【解答】解：将抛物线y＝﹣2x2+3向右平移1个单位，再向下平移1个单位后所得的抛物线的表达式为：y＝﹣2（x﹣1）2+3﹣1．即y＝﹣2（x﹣1）2+2， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 题型三 二次函数y＝a（x﹣m）2的图象与性质 解题技巧提炼 二次函数y＝a(x﹣m)2 的性质主要是从开口方向，对称轴，顶点坐标，最值和增减性五个方面来判断的. a＞0，x<m时，函数值y随x的增大而减小；x>m时，函数值y随x的增大而增大； a＜0，x<m时，函数值y随x的增大而增大；x>m时，函数值y随x的增大而减小 . 1．（2023秋•望花区期中）在平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x﹣3）2（a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数y＝a（x﹣3）2（a≠0）的顶点坐标为（3，0），它的顶点坐标在x轴上，即可解答． 【解答】解：二次函数y＝a（x﹣3）2（a≠0）的顶点坐标为（3，0），它的顶点坐标在x轴上， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是求出二次函数的顶点坐标． 2．（2023秋•海珠区期末）二次函数y＝（x﹣1）2，当x＜1时，y随x的增大而 　 　．（填“增大”或“减小”） 【分析】利用二次函数的解析式画出示意图，根据图象解答即可． 【解答】解：在平面直角坐标系中画出二次函数y＝（x﹣1）2的示意图如下： 抛物线y＝（x﹣1）2的对称轴为直线x＝1，由图象可以看出： 当x＜1时，即在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， 故答案为：减小． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，结合函数的图象利用数形结合的思想解答简单明了． 3．抛物线y＝2（x+1）2不经过的象限是（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【分析】由解析式可求得其对称轴及顶点坐标，结合开口方向可求得图象所在的象限，可求得答案． 【解答】解：∵y＝2（x+1）2， ∴抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，0）， ∴抛物线经过第一、二象限， ∴不经过第三、四象限， 故选：C． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）． 4．（2024•虹口区二模）已知二次函数y＝﹣（x﹣4）2，如果函数值y随自变量x的增大而减小，那么x的取值范围是（　　） A．x≥4 B．x≤4 C．x≥﹣4 D．x≤﹣4 【分析】依据题意，由二次函数y＝﹣（x﹣4）2，再结合a＝﹣1＜0，从而当x≤4时，y随x的增大而增大，当x≥4时，y随x的增大而减小，再由函数值y随自变量x的增大而减小，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数y＝﹣（x﹣4）2， 又a＝﹣1＜0， ∴当x≤4时，y随x的增大而增大，当x≥4时，y随x的增大而减小． 由函数值y随自变量x的增大而减小， ∴x≥4． 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 5．（2023•三门县一模）已知函数y，在自变量x≤m的范围内，相应的函数最小值为0，则m的取值范围是　 　． 【分析】画出函数的图象，根据函数的图象即可求得． 【解答】解：画出函数y的图象如图： 在自变量x≤m的范围内，相应的函数最小值为0，由图象可知：m的取值范围是1≤m≤3， 故答案为1≤m≤3． 【点评】本题考查了二次函数的性质，画出函数的图象，根据图象求得m的取值是解题的关键． 题型四 二次函数y＝a（x﹣m）2与y＝ax2的关系 解题技巧提炼 二次函数y＝a(x﹣m)2(a≠0)的图象可以由y=ax2的图象左右平移得到： 当m > 0 时，向右平移m个单位长度得到. 当m< 0 时，向左平移个单位长度得到. 1．（2024•嘉定区二模）如果将抛物线y＝（x﹣1）2向下平移2个单位，那么平移后抛物线与y轴的交点坐标是（　　） A．（﹣1，0） B．（0，﹣1） C．（﹣2，0） D．（3，0） 【分析】先求出抛物线y＝（x﹣1）2向下平移2个单位后的表达式，再令x＝0，求出y的值即可． 【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2向下平移2个单位的表达式为y＝（x﹣1）2﹣2， ∵当x＝0时，y＝（0﹣1）2﹣2＝﹣1， ∴平移后抛物线与y轴的交点坐标是（0，﹣1）． 故选：B． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解题的关键． 2．（2023秋•隆阳区期末）将抛物线C1：y＝（x﹣3）2向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2，则抛物线C2的函数表达式为（　　） A．y＝（x﹣4）2+3 B．y＝（x+4）2+3 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x+2）2﹣3 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【解答】解：将抛物线C1：y＝（x﹣3）2向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2，则抛物线C2的函数表达式为：y＝（x﹣3﹣1）2+3，即y＝（x﹣4）2+3． 故选：A． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键． 3．（2023•南岗区校级模拟）将抛物线y＝﹣x2通过一次平移可得到抛物线y＝﹣（x+4）2，对这一平移过程描述正确的（　　） A．向右平移4个单位长度 B．向左平移4个单位长度 C．向上平移4个单位长度 D．向下平移4个单位长度 【分析】先利用顶点式得到两抛物线的顶点坐标，然后通过点的平移情况判断抛物线平移的情况． 【解答】解：抛物线y＝﹣x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝﹣（x+4）2的顶点坐标为（﹣4，0）， ∵点（0，0）向左平移4个单位可得到（﹣4，0）， ∴将抛物线y＝﹣x2向左平移4个单位得到抛物线y＝﹣（x+4）2． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 4．将二次函数y＝2x2的图象向右平移3个单位后得到函数　 　的图象，其对称轴是　 ，顶点是　 　，当x 　时，y随x的增大而增大；当x　 时，y随x的增大而减小． 【分析】根据“左加右减”的平移规律可得出函数y＝（3x+6）2的图象是由函数y＝9（x﹣3）2的图象向左平移5个单位长度得到的；然后根据函数解析式写出对称轴，顶点坐标，并根据二次函数的增减性和最值问题解答． 【解答】解：将二次函数y＝2x2的图象向右平移3个单位后得到函数y＝2（x﹣3）2， 其图象对称轴是直线x＝3，顶点坐标是（3，0）； 当x＞3时，y随x的增大而增大；当x＜3时，y随x的增大而减小． 故答案为：y＝2（x﹣3）2，直线x＝3，（3，0），＞3，＜3． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的顶点坐标，增减性，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 5．已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y＝3x2都相同，顶点与抛物线y＝（x+2）2相同． （1）求这条抛物线的解析式； （2）将上面的抛物线向右平移4个单位会得到怎样的抛物线解析式？ （3）若（2）中所求抛物线的顶点不动，将抛物线的开口反向，求符合此条件的抛物线解析式． 【分析】（1）直接利用a决定抛物线的开口方向和开口大小，进而得出答案； （2）利用二次函数平移的性质得出平移后解析式； （3）利用二次函数的性质得出符合题意的答案． 【解答】解：（1）∵一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y＝3x2都相同，顶点与抛物线y＝（x+2）2相同， ∴这条抛物线的解析式为：y＝3（x+2）2； （2）将抛物线向右平移4个单位会得到的抛物线解析式为：y＝3（x﹣2）2； （3）若（2）中所求抛物线的顶点不动，将抛物线的开口反向， 则符合此条件的抛物线解析式为：y＝﹣3（x﹣2）2． 【点评】此题主要考查了二次函数与几何变换，正确掌握二次函数的性质是解题关键． 题型五 二次函数y＝a（x﹣m）2+k的图象与性质 解题技巧提炼 二次函数y＝a(x﹣m)2+k对称轴是直线x=m，顶点坐标是（m，k）.当a＞0时，开口向上，顶点是它的最高点；当x=m时，y有最小值是k当a＜0时，开口向下，顶点是它的最低点；当x=m时，y有最大值是k； 函数y＝a(x﹣m)2+k的增减性和函数y＝a(x﹣m)2是一致的. 1．（2023秋•武汉期末）二次函数y＝﹣（x+1）2+2的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别根据抛物线的开口方向、对称轴的位置及顶点位置逐一判断可得． 【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2+2， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，顶点为（﹣1，2）， 由a＝﹣1＜0知抛物线的开口向下， 故选项B正确． 故选：B． 【点评】本题考查了对二次函数的图象和性质的应用，注意：数形结合思想的应用，主要考查学生的观察图象的能力和理解能力． 2．（2024春•渠县校级月考）抛物线y＝﹣（x﹣3）2+1的顶点坐标是（　　） A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，﹣1） 【分析】根据抛物线顶点式与图象的位置关系解答即可． 【解答】解：抛物线y＝﹣（x﹣3）2+1的顶点坐标是（3，1）， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数性质，熟练掌握抛物线顶点式的特征是关键． 3．（2024•长沙模拟）抛物线y＝（x﹣1）2+3的对称轴是（　　） A．直线x＝1 B．直线x＝3 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝﹣3 【分析】二次函数的顶点式y＝（x﹣h）2+k，对称轴为x＝h． 【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2+3的对称轴是直线x＝1． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点式y＝（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h． 4．（2024•大丰区三模）当函数y＝（x﹣1）2﹣2的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是（　　） A．x＞0 B．x＜1 C．x＞1 D．x为任意实数 【分析】利用二次函数的增减性求解即可，并画出了图形，可直接看出． 【解答】解：对称轴是：x＝1，且开口向上，如图所示， ∴当x＜1时，函数值y随着x的增大而减小； 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质． 5．（2024•永寿县二模）二次函数y＝a（x﹣t）2+3，当x＞1时，y随x的增大而减小，则实数a和t满足（　　） A．a＞0，t≤1 B．a＜0，t≤1 C．a＞0，t≥1 D．a＜0，t≥1 【分析】由二次函数的性质可确定出a的范围． 【解答】解：∵y＝a（x﹣t）2+3，当x＞1时，y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向下，对称轴为x＝t， ∴a＜0， ∵当x＞1时，y随x的增大而减小， ∴t≤1， ∴a＜0，t≤1． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的性质和二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．（2024春•凉州区月考）已知二次函数y＝（x﹣3）2+m，当x 　 　时，y随x的增大而减小． 【分析】根据二次函数的顶点式，可知二次函数的顶点坐标是（3，m），且图象开口向上，由此即可求解． 【解答】解：由题意得，二次函数的顶点坐标是（3，m），抛物线开口向上， ∴当x＞3时，y随x的增大而增大；当x＜3时，y随x的增大而减小， 故答案是：＜3． 【点评】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是关键． 题型六 二次函数y＝a（x﹣m）2+k与y＝ax2的关系 解题技巧提炼 二次函数y＝a(x﹣m)2+k(a≠0)的图象可以由y=ax2的图象向上（下）向左（右）平移得到. 当m > 0，k>0时，把y＝ax2向上平移k个单位长度,再向右平移m个单位长度得到. 当m > 0，k>0时，把y＝ax2向下平移个单位长度,再向右平移m个单位长度得到. 当m <0，k>0 时，把y＝ax2向上平移k个单位长度,再向左平移个单位长度得到. 当m< 0，k>0 时，把y＝ax2向下平移k个单位长度,再向左平移个单位长度得到. 1．（2024•惠阳区二模）将抛物线y＝（x﹣1）2+4先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的关系式是（　　） A．y＝（x+1）2﹣6 B．y＝（x+1）2﹣3 C．y＝（x﹣3）2+9 D．y＝（x﹣3）2+7 【分析】根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式． 【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2+4先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的关系式是y＝（x﹣1﹣2）2+4+3，即y＝（x﹣3）2+7． 故选：D． 【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，熟记平移规律“左加右减，上加下减”是解题关键． 2．（2024•凉州区一模）将抛物线y＝3（x﹣1）2+1向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为（　　） A．y＝3（x﹣3）2﹣1 B．y＝3（x+1）2+3 C．y＝3（x+1）2﹣1 D．y＝3（x﹣3）2+3 【分析】直接根据函数图象平移的法则解答即可． 【解答】解：抛物线y＝3（x﹣1）2+1向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为：y＝3（x﹣1﹣2）2+1+2，即y＝3（x﹣3）2+3． 故选：D． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 3．（2023秋•昆明期末）将抛物线y＝x2平移后得到抛物线y＝（x+1）2﹣2，则下列平移正确的是（　　） A．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 【分析】根据函数图象平移的法则解答即可． 【解答】解：将抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+1）2﹣2， 故选：A． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减．左加右减”的法则是解答此题的关键． 4．（2023秋•肥东县期末）将抛物线y＝﹣（x﹣3）2+5向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物线的函数表达式为（　　） A．y＝﹣（x﹣5）2﹣1 B．y＝﹣（x﹣1）2﹣1 C．y＝﹣（x﹣5）2+11 D．y＝﹣（x﹣1）2+11 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【解答】解：将抛物线y＝﹣（x﹣3）2+5向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物线的函数表达式为：y＝﹣（x﹣3﹣2）2+5﹣6，即y＝﹣（x﹣5）2﹣1． 故选：A． 【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 5．（2023秋•西乡塘区校级月考）将抛物线y＝﹣x2先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，可得到抛物线 　 　． 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【解答】解：将抛物线y＝﹣x2先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度后所得直线解析式为：y＝﹣（x﹣6）2+3， 故答案为：y＝﹣（x﹣6）2+3． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 6．（2024春•朝阳区校级月考）将抛物线y＝2（x﹣2）2+3沿y轴向上平移2个单位得到的抛物线的函数表达式 　 　． 【分析】根据二次函数图象平移规律“左加右减（横轴），上加下减（纵轴）”即可求解． 【解答】解：根据题意得，平移后的解析式为：y＝2（x﹣2）2+3+2＝2（x﹣2）2+5； 故答案为：y＝2（x﹣2）2+5． 【点评】本题主要考查二次函数图象的平移规律，掌握其平移规律是解题的关键． 题型七 函数图象位置的识别 解题技巧提炼 在同一直角坐标系判断函数图象的位置，主要是根据二次函数的图象的位置特征和一次函数的性质来判断即可. 1．（2023•濠江区模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（　　） A． B． C． D． 【分析】二次函数图象与y轴交点的位置可确定k的正负，再利用一次函数图象与系数的关系可找出一次函数y＝kx+1经过的象限，对比后即可得出结论． 【解答】解：由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意； ∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0， ∴一次函数y＝kx+1的图象经过第一、二、四象限，A、D选项不符合题意，C符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象以及一次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象找出每个选项中k的正负是解题的关键． 2．（2023•肥城市校级模拟）函数y＝ax﹣a和y＝ax2+2（a为常数，且a≠0），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】由二次函数y＝ax2+2的图象顶点（0，2）可排除A、B答案；由一次函数y＝ax﹣a的图象过点（1，0）可排除D答案．此题得解． 【解答】解：∵y＝ax2+2， ∴二次函数y＝ax2+2的图象的顶点为（0，2），故A、B不符合题意； 当y＝ax﹣a＝0时，x＝1， ∴一次函数y＝ax﹣a的图象过点（1，0），故D不符题意，C符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，利用一次（二次）函数图象经过定点排除A、B、D选项是解题的关键． 3．（2023秋•科左中旗期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝a（x+c）2的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题形数结合，一次函数y＝ax+b，可判断a、c的符号；根据二次函数y＝a（x+c）2的图象位置，可得a，c．经历：图象位置﹣系数符号﹣图象位置． 【解答】解：A、函数y＝ax+c中，a＞0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＜0，c＜0，故A错误； B、函数y＝ax+c中，a＜0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＜0，c＞0，故B正确； C、函数y＝ax+c中，a＞0，c＜0，y＝a（x+c）2中，a＞0，c＞0，故C错误； D、函数y＝ax+c中，a＜0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＞0，c＜0，故D错误． 故选：B． 【点评】此题考查二次函数图象，利用一次函数，二次函数系数及常数项与图象位置之间关系是解题关键． 4．（2023秋•江门校级月考）如图，函数y＝a（x﹣2）2﹣1和y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数和一次函数的性质判断正误即可． 【解答】解：∵函数y＝a（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线的顶点为（2，﹣1）， 故选项B、D不合题意； A、由一次函数y＝ax﹣a经过第一、二、四象限可知a＜0，由函数y＝a（x﹣2）2﹣1开口向上可知a＞0，矛盾，不合题意； C、由一次函数y＝ax﹣a经过第一、三、四象限可知a＞0，由函数y＝a（x﹣2）2﹣1开口向上可知a＞0，一致，符合题意；． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y＝ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 5．（2023秋•盘龙区校级月考）关于x的两个函数y＝（x+h）2和y＝h（x﹣1）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】可先根据一次函数的图象判断h的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，进而判断选项的正误． 【解答】解：A、由一次函数y＝h（x﹣1）的图象可得：h＜0，此时二次函数y＝（x+h）2的对称轴x＝﹣h＞0，不合题意； B、由一次函数y＝h（x﹣1）的图象可得：图象过点（1，0），不合题意； C、由一次函数y＝h（x﹣1）的图象可得：h＜0，图象过点（1，0），此时二次函数y＝（x+h）2的对称轴x＝﹣h＞0，符合题意； D、由一次函数y＝h（x﹣1）的图象可得：h＞0，此时二次函数y＝（x+h）2的对称轴x＝﹣h＜0，不合题意； 故选：C． 【点评】本题考查一次函数、二次函数的图象，熟知一次函数和二次函数的性质是解题的关键． 6．（2024•广西模拟）在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+1与y（x﹣1）2的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】已知两函数解析式，分别求出它们经过的象限，开口方向，逐一判断即可． 【解答】解：∵y＝﹣x+1的图象过第一、二、四象限，y（x﹣1）2的开口向下，顶点在点（1，0）， ∴同时符合条件的图象只有选项D． 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数与二次函数的图象，解答此题只要大致画出一次函数和二次函数的图象，就可以直接找出问题的答案． 题型八 利用二次函数的性质比较函数值的大小 解题技巧提炼 （1）确定这些点的横坐标的大小； （2）判断这些点是图象的对称轴的左边还是右边，当点不在对称轴同侧时，需要先根据抛物线的对称性，把这些点转化为在对称轴同侧的点； （3）根据函数的增减性进行判断，也可根据这些点到对称轴的距离的大小来比较. 1．（2023秋•广陵区期末）已知点A（﹣1，y1），点B（2，y2）在抛物线y＝﹣3x2+2上，则y1，y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法判断 【分析】将点A（﹣1，y1），点B（2，y2）分别代入y＝﹣3x2+2，求出相应的y1、y2，即可比较大小． 【解答】解：∵点A（﹣1，y1），点B（2，y2）在抛物线y＝﹣3x2+2上， ∴当x＝﹣1时，y1＝﹣1， 当x＝2时，y2＝﹣10， ∴y1＞y2， 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的图象上点的特点；能够用代入法求二次函数点的坐标是解题的关键． 2．（2023秋•黔西南州期末）若点（0，a），（4，b）都在二次函数y＝（x﹣2）2的图象上，则a与b的大小关系是（　　） A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定 【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x＝2，然后比较两个点离直线x＝2的远近得到a、b的大小关系． 【解答】解：∵y＝（x﹣2）2， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝2， ∴点（0，a），（4，b）离直线x＝2一样近， ∴a＝b， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．（2024•康县模拟）若二次函数y＝﹣（x﹣3）2+m的图象经过A（﹣3，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1 【分析】根据点距离对称轴越远函数值越小判断即可． 【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣3）2+m的图象开口向下，对称轴是直线x＝3，根据点距离对称轴越远函数值越小， A（﹣3，y1）距离对称轴6， B（1，y2）距离对称轴2， C（4，y3）距离对称轴1， ∵1＜2＜6， ∴y1＜y2＜y3， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，距离对称轴越远函数值越小是解答本题的关键． 4．（2024•巧家县校级模拟）已知点A（﹣3，y1）B（2，y2）均在抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3上，则下列结论正确的是（　　） A．3＜y1＜y2 B．3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜3 D．y1＜y2＜3 【分析】分别计算自变量为﹣3、2对应的函数值，然后对各选项进行判断． 【解答】解：当x＝﹣3时，y1＝﹣2（﹣3﹣1）2+3＝﹣29， 当x＝2时，y2＝﹣2（2﹣1）2+3＝1， 所以y1＜y2＜3． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 5．（2024•余姚市一模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在二次函数y＝﹣x2+c（c＞0）的图象上，点A，C是该函数图象与正比例函数y＝kx（k为常数且k＞0）的图象的交点．若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y3＜y2 【分析】首先确定A在第三象限，B、C在第一象限，利用正比例函数的性质以及二次函数的性质判断即可． 【解答】解：∵k＞0， ∴正比例函数y＝kx的图象经过一、三象限， ∵点A，C是该函数图象与正比例函数y＝kx（k为常数且k＞0）的图象的交点，且x1＜0＜x2＜x3， ∴A在第三象限，C在第一象限， 由二次函数y＝﹣x2+c（c＞0）可知抛物线开口向下，对称轴为y轴， ∴当x＞0时，y随x的增大而减小， ∴B在第一象限， ∴y1＜0，0＜y3＜y2， ∴y1＜y3＜y2． 故选：D． 【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正比例函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解决此题的关键是确定A、B、C的位置． 6．（2023秋•阎良区期末）已知二次函数y＝﹣2x2+x﹣m图象上三点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y1＜y3 【分析】由解析式得到抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性即可判断． 【解答】解：∵y＝﹣2x2+x﹣m ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x， ∴当x时，y随x的增大而减小， ∵点A（﹣1，y1）关于对称轴的对称点是（，0），而12， ∴y3＜y1＜y2． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的性质是解题的关键． 题型九 利用二次函数的性质判断结论 解题技巧提炼 主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键. 1．（2024春•张店区校级月考）下列关于抛物线y＝﹣（x+1）2+4的判断中，错误的是（　　） A．形状与抛物线y＝﹣x2相同 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小 D．当﹣3＜x＜1时，y≥0 【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、抛物线y＝﹣（x+1）2+4形状与y＝﹣x2相同，此选项不符合题意； B、抛物线y＝﹣（x+1）2+4对称轴x＝﹣1，此选项不符合题意． C、对于抛物线y＝﹣（x+1）2+4，由于a＝﹣1＜0，当x＞﹣1时，函数值y随x值的增大而减小，此选项错误，符合题意； D、抛物线y＝﹣（x+1）2+4＝﹣（x+3）（x﹣1），a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，抛物线与x轴的交点为（﹣3，0），（1，0），所以当y＞0时，﹣3＜x＜1，此选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的对称轴，顶点坐标，以及抛物线的开口方向的确定，是基础题是，熟记性质是解题的关键． 2．（2024•砀山县二模）对于二次函数y＝（x+3）2的图象，下列说法不正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标为（﹣3，0） D．当x＜﹣3时，y随x的增大而增大 【分析】根据二次函数的表达式，可得出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及增减性，据此可解决问题． 【解答】解：因为二次函数的表达式为y＝（x+3）2， 所以抛物线的开口向上． 故A说法正确； 又抛物线的对称轴是直线x＝﹣3， 故B说法正确； 因为抛物线的顶点坐标为（﹣3，0）， 故C说法正确； 因为抛物线对称轴为直线x＝﹣3，且开口向上， 所以当x＜﹣3时，y随x的增大而减小． 故D说法不正确； 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，能根据所给函数表达式得出开口向下、对称轴、顶点坐标和增减性是解题的关键． 3．（2023秋•惠来县期末）对于二次函数y＝﹣（x+1）2+3，下列结论：①其图象开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝1；③其图象的顶点坐标为（﹣1，3）；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据二次函数的顶点式确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可． 【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2+3， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，3）， 故②错误，①③正确， ∵二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小， 当x＜﹣1时，y随x的增大而增大， 故④正确， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性是解题的关键． 4．（2024春•北碚区校级期中）已知抛物线y＝﹣（x﹣2）2+7，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣2 C．顶点坐标为（2，7） D．当x＜﹣2时，y随x的增大而减小 【分析】依据题意，根据所给顶点式即可逐个判断进而得解． 【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝﹣（x﹣2）2+7， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点为（2，7），当x＜2时，y随x的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小． 故A、B、D均不正确，C正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 5．（2024•蒸湘区一模）已知抛物线y＝（x﹣1）2+2，下列结论中错误的是（　　） A．抛物线的开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x＝1 C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则得到的抛物线解析式为y＝（x+1）2+5 【分析】利用二次函数的性质以及平移的规律判断即可． 【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2）， ∴x＜1时，y随x的增大而减小， 由平移规律可知，将抛物线y＝（x﹣1）2+2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则得到的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣2）2+2+3，即y＝（x﹣3）2+5． 故D错误， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握平移的规律． 题型十 二次函数对称性的应用 解题技巧提炼 1、利用二次函数对称性，将一些不规则图象转化为规则图形，从而求出此类图形的面积. 2、抛物线上两点的纵坐标相等，则这两点是关于对称轴对称 . 1．已知点A（﹣3，m），B（3，m），C（﹣1，m+n2+1）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（　　） A．y＝x+2 B．y C．y＝x2+2 D．y＝﹣x2﹣2 【分析】由点A（﹣3，m），B（3，m）的坐标特点，于是排除选项A、B；再根据A（﹣3，m），C（﹣1，m+n2+1）的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即a＜0，故D选项正确． 【解答】解：∵A（﹣3，m），B（3，m）， ∴点A与点B关于y轴对称； 由于y＝x+2不关于y轴对称，y的图象关于原点对称，因此选项A、B错误； ∵n2＞0， ∴m+n2+1＞m； 由A（﹣3，m），C（﹣1，m+n2+1）可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， 对于二次函数只有a＜0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∴D选项正确 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案． 2．已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣1（m为常数），如果当自变量x分别取﹣1，2时，所对应的y值相等，那么m的值为 　 　． 【分析】由自变量x分别取﹣1，2时，所对应的y值相等可得抛物线对称轴为直线x，再结合抛物线解析式即可求得m的值． 【解答】解：∵自变量x分别取﹣1，2时，所对应的y值相等， ∴抛物线对称轴为直线x， ∵抛物线解析式为y＝（x﹣m）2﹣1（m为常数）， ∴m， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，根据题意求出抛物线的对称轴是解决本题的关键． 3．（2024•莒南县一模）已知A（m，2024），B（m+n，2024）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2040上的两点，则正数n＝　 　． 【分析】根据函数图象上的点满足函数解析式列式求解即可得到答案． 【解答】解：∵A（m，2024），B（m+n，2024）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2040上的两点， ∴﹣（m﹣h）2+2040＝2024，﹣（m+n﹣h）2+2040＝2024， ∴（m﹣h）2＝16，（m+n﹣h）2＝16， ∴m﹣h＝±4，m+n﹣h＝±4， 即：或， 解得：n＝8或n＝﹣8， ∵n取正数， 故：n＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 4．（2024•天宁区校级模拟）二次函数y＝a（x﹣1）2+h的图象经过点A（0，4），B（m，4），则m＝　 　． 【分析】利用二次函数的对称性即可得到，解得m＝2． 【解答】解：∵二次函数y＝a（x﹣1）2+h， ∴对称轴为直线x＝1， ∵二次函数y＝a（x﹣1）2+h的图象经过点A（0，4），B（m，4）， ∴A、B关于对称轴对称， ∴， ∴m＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟知二次函数的对称性是解题的关键． 5．（2024•柳东新区校级模拟）已知二次函数y＝2x2+m，如图，此二次函数的图象经过点（0，﹣4），正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数的图象上，则图中阴影部分的面积之和为（　　） A．2 B．4 C．8 D．18 【分析】先把函数图象经过的点（0，﹣4）代入解析式求出m的值，再根据抛物线和正方形的对称性求出OD＝OC，并判断出S阴影＝S矩形BCOE，设点B的坐标为（n，2n）（n＞0），把点B的坐标代入抛物线解析式求出n的值得到点B的坐标，然后求解即可． 【解答】解：∵二次函数y＝2x2+m的图象经过点（0，﹣4）， ∴m＝﹣4， ∵四边形ABCD为正方形， 又∵抛物线和正方形都是轴对称图形，且y轴为它们的公共对称轴， ∴OD＝OC，S阴影＝S矩形BCOE， 设点B的坐标为（n，2n）（n＞0）， ∵点B在二次函数y＝2x2﹣4的图象上， ∴2n＝2n2﹣4， 解得，n1＝2，n2＝﹣1（舍负）， ∴点B的坐标为（2，4）， ∴S阴影＝S矩形BCOE＝2×4＝8． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的性质，正方形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，（2）根据对称性设出点B的坐标并判断出阴影部分的面积的和等于矩形BCOE的面积是解题的关键． 题型十一 利用二次函数的性质求最值 解题技巧提炼 确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 1．（2023秋•绵阳期末）二次函数y＝（x﹣3）2+1的最小值是（　　） A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3 【分析】根据二次函数的顶点式形式写出最小值即可． 【解答】解：当x＝3时，二次函数y＝（x﹣3）2+1的最小值是1． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握利用顶点式解析式求最值的方法是解题的关键． 2．（2024•广西三模）二次函数y＝﹣（x﹣2）2+7的最大值是（　　） A．7 B．﹣7 C．2 D．﹣2 【分析】根据二次函数的性质解答即可． 【解答】解：在二次函数的y＝﹣（x﹣2）2+7中，a＝﹣1＜0，顶点坐标（2，7）， 则函数y＝﹣（x﹣2）2+7有最大值7． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的最值，正确记忆相关知识点是解题关键． 3．（2023•长安区校级二模）已知点A（a，b）在二次函数y＝﹣x2+8的图象上，则2a﹣b的最小值为（　　） A．﹣8 B．8 C．﹣9 D．9 【分析】代入点A，化简2a﹣b并配方，根据二次函数性质解答即可． 【解答】解：把A（a，b）代入二次函数y＝﹣x2+8中得， b＝﹣a2+8， ∴2a﹣b ＝2a﹣（﹣a2+8） ＝2a+a2﹣8 ＝（a+1）2﹣9， ∴当a＝﹣1时，最小值为﹣9． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的最值的计算，配方的应用是解题关键． 4．（2023•永嘉县三模）已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最大值2，有最小值﹣2.5 B．有最大值2，有最小值1.5 C．有最大值1.5，有最小值﹣2.5 D．有最大值2，无最小值 【分析】根据二次函数的图象，可知函数y的最大值和最小值． 【解答】解：观察图象可得，在0≤x≤4时，图象有最高点和最低点， ∴函数有最大值2和最小值﹣2.5， 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的最值，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象解决最值问题． 5．（2024•惠安县一模）已知二次函数y＝a（x﹣t）2+m（a≠0）的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2），若2＜x1＜3，3＜x2＜4，都有m≤y1＜y2，则t的最大值为 　 ． 【分析】由二次函数图象上点的坐标特征及函数图形的性质即可求解．判断可知开口向上，且N在M左边，根据抛物线左右对称分析可知，当对称轴恰好位于2，3之间时，t最大，且N始终在M上方． 【解答】解：∵二次函数y＝a（x﹣t）2+m（a≠0）； ∴顶点为（t，m）； ∵二次函数y＝a（x﹣t）2+m（a≠0）的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2），m＜y1＜y2； ∴抛物线顶点左侧降低右侧升高，故抛物线开口向上； ∵2＜x1＜3，3＜x2＜4； ∴t的最大值为2.5， 故答案为：2.5． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，较为简单． 6．（2023•绵竹市模拟）当﹣2≤x≤1时，关于x的二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（　　） A．2 B．2或 C．2或或 D．2或或 【分析】分类讨论：m＜﹣2，﹣2≤m≤1，m＞1，根据函数的增减性，可得答案． 【解答】解：当m＜﹣2，x＝﹣2时，y最大＝﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，解得m（舍）， 当﹣2≤m≤1，x＝m时，y最大＝m2+1＝4，解得m； 当m＞1，x＝1时，y最大＝﹣（1﹣m）2+m2+1＝4， 解得m＝2， 综上所述：m的值为或2， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的最值，函数的顶点坐标是最大值，利用函数的增减性得出函数的最值，分类讨论是解题关键． 题型十二 二次函数与一次函数的综合应用 解题技巧提炼 解决二次函数与一次函数综合性问题，一要注意确定各自解析式需要的条件，而要充分利用好函数图象的交点坐标，考查了三角形的面积、平行四边形的判定等问题，有时要用到分类讨论的思想． 1．抛物线y＝ax2﹣1交x轴于A，B（A左B右），交y轴于C，且AB＝4OC． （1）求a的值； （2）过抛物线上的点P（不与点B重合）作y轴的平行线交直线CB与点M，交x轴于点N，当PM＝2MN时，求点P的坐标． 【分析】（1）点C（0，﹣1），则OA＝OB＝2，故点A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（2，0），即可求解； （2）PM＝2MN，即|x2﹣1x+1|＝2|x﹣1|，即可求解． 【解答】解：（1）点C（0，﹣1），则OA＝OB＝2， 故点A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（2，0）， 点B的坐标代入函数表达式并解得：a； （2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线BC的表达式为：yx﹣1， 设点P（x，x2﹣1），点M（x，x﹣1）， PM＝2MN，即|x2﹣1x+1|＝2|x﹣1|， 解得：x＝2（舍去）或4或﹣4， 故点P的坐标为：（4，3）或（﹣4，3）． 【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等． 2．如图，已知抛物线y＝ax2+c过点（﹣2，2），（4，5），过定点F（0，2）的直线l；y＝kx+2与抛物线交于A，B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为点C． （1）求抛物线的表达式； （2）当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系，并证明你的判断． 【分析】（1）把点（﹣2，2），（4，5）代入y＝ax2+c，即可求解； （2）设B（x，x2+1），利用勾股定理求得BF2＝（x2+1）2，BCx2+1，故BF＝BC． 【解答】解：（1）把点（﹣2，2），（4，5）代入y＝ax2+c得：，解得：， 所以抛物线解析式为yx2+1； （2）BF＝BC， 证明：设B（x，x2+1），而F（0，2）， ∴BF2＝x2+（x2+1﹣2）2＝x2+（x2﹣1）2＝（x2+1）2， ∴BFx2+1， ∵BC⊥x轴， ∴BCx2+1， ∴BF＝BC． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理的应用． 3．（2024•大荔县三模）如图，抛物线y＝a（x+1）2+h交x轴于点A（﹣4，0），B，交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点D（0，﹣2），连接AD． （1）求该抛物线的表达式； （2）若抛物线对称轴上存在一点P，使△ADP为以AD为腰的等腰三角形，求满足条件的点P的坐标． 【分析】（1）根据待定系数法求解； （2）先根据条件作图，再求解． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为：y（x+1）2； （2）由勾股定理得：AD2， ∵抛物线的对称轴为x＝﹣1， 以A为圆心，AD为半径作圆，与x＝﹣1相交于点P、P1、P2、P3， 由勾股定理得：PF，PE， ∴P（﹣1，），同理：P2（﹣1，），P1（﹣1，2），P3（﹣1，﹣2）． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，理解分类讨论思想是解题的关键． 4．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线yx与抛物线交于A、B两点，直线l为y＝﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； 【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0）， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2． ∵该抛物线经过点（4，1）， ∴1＝4a，解得：a， ∴抛物线的解析式为y（x﹣2）2x2﹣x+1． （2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得： ，解得：，， ∴点A的坐标为（1，），点B的坐标为（4，1）． 作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图1所示）． ∵点B（4，1），直线l为y＝﹣1， ∴点B′的坐标为（4，﹣3）． 设直线AB′的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将A（1，）、B′（4，﹣3）代入y＝kx+b，得： ，解得：， ∴直线AB′的解析式为yx， 当y＝﹣1时，有x1， 解得：x， ∴点P的坐标为（，﹣1）． 【点评】本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数 5．如图，点A为抛物线C1：y的顶点，点B的坐标为（1，0），直线AB交抛物线C1于另一点C． （1）求点C的坐标； （2）平行于y轴的直线x＝3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线x＝a交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE＝4：3，求a的值． 【分析】（1）已知抛物线C1的解析式，易得顶点A的坐标，利用待定系数法可求得直线BC的解析式，联立抛物线C1的解析式后可求得C点坐标． （2）将x＝3代入直线AB、抛物线C1的解析式中，先求出点D、E的坐标及DE的长，根据FG、DE的比例关系，可求出线段FG的长．同理，先用a表示线段FG的长，然后结合FG的长列出关于a的方程，由此求出a的值． 【解答】解：（1）∵当x＝0时，y＝﹣2； ∴A（0，﹣2）． 设直线AB的解析式为y＝kx+b，则：， 解得 ∴直线AB解析式为y＝2x﹣2． ∵点C为直线y＝2x﹣2与抛物线yx2﹣2的交点，则点C的横、纵坐标满足：， 解得， ∴点C的坐标为（4，6）． （2）直线x＝3分别交直线AB和抛物线C1于D、E两点． ∴yD＝4，yE， ∴DE． ∵FG：DE＝4：3， ∴FG＝2． ∵直线x＝a分别交直线AB和抛物线C1于F、G两点． ∴yF＝2a﹣2，yGa2﹣2 ∴FG＝|2aa2|＝2， 解得：a1＝2，a2＝2+2，a3＝2﹣2． 【点评】该本题考查了二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征以及函数图象交点坐标的求法． 6．抛物线的顶点为（1，﹣4），与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为对称轴右侧抛物线上一点，以BP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M落在对称轴上，求P点的坐标． 【分析】（1）由抛物线的顶点坐标可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，代入点C的坐标可求出a值，进而可得出抛物线的解析式； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，设抛物线对称轴与x轴交于点E，过点P作PF∥x轴，交抛物线对称轴于点F，易证△MBE≌△PMF，根据全等三角形的性质可得出ME＝PF＝x﹣1，MF＝BE＝2，进而可得出EF＝x+1，结合EF为点P纵坐标的绝对值，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，取其大于1的值代入点P的坐标中即可得出结论． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4， 将C（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2﹣4，得：﹣3＝a（0﹣1）2﹣4， 解得：a＝1， ∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3． （2）当y＝0时，有x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）． 设抛物线对称轴与x轴交于点E，过点P作PF∥x轴，交抛物线对称轴于点F，如图所示． 设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3）（x＞1），则PF＝x﹣1，BE＝3﹣1＝2． ∵∠BME+∠PMF＝90°，∠BME+∠MBE＝90°， ∴∠MBE＝∠PMF． 在△MBE和△PMF中，， ∴△MBE≌△PMF（AAS）， ∴ME＝PF＝x﹣1，MF＝BE＝2， ∴EF＝ME+MF＝x+1． ∵EF＝|x2﹣2x﹣3|， ∴|x2﹣2x﹣3|＝x+1，即x2﹣3x﹣4＝0或x2﹣x﹣2＝0， 解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝2，x3＝4， ∴点P的坐标为（2，﹣3）或（4，5）． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据点的坐标特征，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用全等三角形的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x的一元二次方程． 7．（2024•白云区一模）已知直线l：y＝kx+b（k＞0）经过点P（﹣1，2）． （1）用含有k的式子表示b； （2）若直线l与x，y轴分别交于A，B两点，△AOB面积为S，求S的取值范围； （3）过点P的抛物线y＝（x﹣k）2+n与y轴交点为E，记抛物线的顶点为C，该抛物线是否存在点F使四边形BPEF为平行四边形？若存在，求此时顶点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点P（﹣1，2）坐标代入y＝kx+b即可得到b＝k+2； （2）由（1）可知，直线y＝kx+b＝kx+k+2（k＞0），可得A（，0），B（0，k+2），根据面积公式和均值不等式求出S的取值范围即可； （3）先求出n与k的关系，然后用k表示出E，C的坐标，根据B和P的坐标关系，可以推出E和F的坐标关系，从而得到F的坐标，代入抛物线解析式求得k值，即可求出C的坐标． 【解答】解：（1）∵y＝kx+b（k＞0）经过点P（﹣1，2）． ∴﹣k+b＝2， ∴b＝k+2（k＞0）． （2）由（1）可知，直线y＝kx+b＝kx+k+2（k＞0）， ∴A（，0），B（0，k+2）， S（k+2）（4+k）， ∵k＞0， ∴（）2≥0， k﹣40， ∴k4， ∴S（4+k）（4+4）＝4， ∴S的取值范围为：S≥4． （3）存在点F使四边形BPEF为平行四边形，理由如下： ∵抛物线y＝（x﹣k）2+n过点P（﹣1，2）， ∴2＝（﹣1﹣k）2+n， ∴n＝﹣k2﹣2k+1， ∴抛物线为y＝（x﹣k）2﹣k2﹣2k+1（k＞0）， ∴C（k，﹣k2﹣2k+1）， 当x＝0，y＝﹣2k+1， ∴E（0，﹣2k+1）， ∵四边形BPEF为平行四边形， ∴PB∥EF，PB＝EF， ∵点P向右平移1个单位长度、再向上平移k个单位长度得到点B， ∴点E向右平移1个单位长度、再向上平移k个单位长度得到点F， ∴F（0+1，﹣2k+1+k）即（1，﹣k+1）， ∵点F在抛物线上， ∴（1﹣k）2﹣k2﹣2k+1＝﹣k+1， 解得：k， ∴C（，）． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解一次和二次函数的解析式以及平行四边形的性质是本题解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！42 学科网（北京）股份有限公司 $$