1.2.1二次函数y=ax²的图象和性质（六大题型提分练）数学浙教版九年级上册

九年级上册数学《第1章 二次函数》 1.2第1课时 二次函数y＝ax2 的图象与性质 知识点一 二次函数y＝ax2图象的画法 ★1、二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： 要画出二次函数的图象，一般用描点法，分为列表、描点、连线三步，具体步骤如下： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． 【注意】在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． ★2、抛物线的相关概念： 二次函数y＝ax2 的图象是一条曲线，这条曲线叫做抛物线y＝ax2 ，y轴是这条抛物线的对称轴，抛物线 y＝ax2 与它的对称轴的交点为（0,0）叫做抛物线的顶点，是抛物线的最低点或最高点. 一般地，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象叫做抛物线y＝ax2+bx+c，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点. 知识点二 二次函数y＝ax2图象和性质 ★1、二次函数y＝ax2的图象和性质 y＝ax2 a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 y 轴（或直线 x＝0） y 轴（或直线 x＝0） 顶点坐标 (0，0)，抛物线最低点 (0，0)，抛物线最高点 最值 当 x = 0 时，y最小值 = 0 当x = 0时，y最大值 = 0 增减性 当x＜0时，y随x增大而减小； 当x＞0 时，y随x增大而增大 当x＞0时，y随x增大而增大； 当x＜0 时，y随x增大而减小 ★2、与抛物线开口大小的关系 （1）相等，抛物线形状相同，抛物线y＝ax2和y＝﹣ax2的联系：开口大小相同，开口方向相反，两条抛物线关于x轴对称，关于原点对称. （2） 越大，抛物线的开口越小，即图象越靠近y轴； 越小，抛物线的开口越大，即图象越远离近y轴. 题型一 二次函数y＝ax2的图象 解题技巧提炼 1、列表取点方法：列表时一般以（0,0）为中心，在其左右两侧各取两组或三组对称的整数点，然后描点，我们形象地称其为“五点法”或“七点法”. 2、二次函数y＝ax2 的图象是抛物线 ，它的对称轴是y轴是这条抛物线的对称轴，抛物线的顶点是原点，是抛物线的最低点或最高点. 1．（2023秋•重庆期末）抛物线y＝﹣2x2的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．二次函数y＝x2的图象经过的象限是（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 3．在同一坐标系中，作y＝x2，yx2，yx2的图象，它们的共同特点是（　　） A．抛物线的开口方向向上 B．都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大 C．都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小 D．都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点 4．如图为二次函数y＝x2的图象，请在同一坐标系中画出二次函数y＝2x2和yx2的图象，并回答下列问题． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y＝x2 … 4 1 0 1 4 … y＝2x2 … 　　 　　 　　 　　 　　 … yx2 … 　　 　　 　　 　 　　 … （1）二次函数y＝2x2和yx2图象的形状是 　 　.开口向 　 　，对称轴是 　 　，顶点坐标是 　 　.在对称轴的左侧，y随x的增大而 　 　；在对称轴的右侧，y随x的增大而 　 　.当x＝　 　时，y有最 　 　值为 　 　． （2）如果a＞0，a越大，即|a|越大．抛物线y＝ax2的开口越 　 　（填“大“或“小“）． 5．已知抛物线y＝ax2经过点（﹣1，2），（2，m） （1）并求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）求m的值； （3）画出该函数的图象，并说明增减性； （4）根据图象回答：当x满足　 时，y＞0；当x＝　 　时，y＝0． 题型二 二次函数y＝ax2的性质 解题技巧提炼 二次函数y＝ax2 的性质主要是从开口方向，对称轴，顶点坐标，最值和增减性五个方面来判断的. 当a＞0，x<0时，函数值y随x的增大而减小； x>O时，函数值y随x的增大而增大； 当a＜0，x<0时，函数值y随x的增大而增大； x>O时，函数值y随x的增大而减小. 1．已知二次函数y＝（2﹣a），在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则a的值为（　　） A． B．± C． D．0 2．（2023秋•澄迈县期末）关于抛物线y＝﹣3x2，下列说法错误的是（　　） A．图象关于直线x＝0对称 B．抛物线开口向下 C．y随着x的增大而减小 D．图象的顶点为原点 3．（2023秋•濠江区期末）如图，正方形OABC有三个顶点在抛物线yx2上，点O是原点，顶点B在y轴上，则顶点A的坐标是（　　） A．（2，2） B．（，） C．（4，4） D．（2，2） 4．（2024•东莞市一模）如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线y＝ax2上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D．当点E（2，4），四边形CDFE为正方形时，则线段AB的长为（　　） A．4 B．4 C．5 D．5 5．（2023春•雨花区校级期中）如图，ABCD，DEFG都是正方形，边长分别为m，n（m＜n）．坐标原点O为AD的中点，A，D，E在y轴上，若二次函数y＝ax2的图象过C，F两点，则（　　） A．1 B．1 C．21 D．21 6．（2024•龙沙区二模）如图，在抛物线y＝x2的内部依次画正方形，使对角线在y轴上，另两个顶点落在抛物线上．按此规律类推，第2024个正方形的边长是 　 　． 7．已知函数y＝（m+3）是关于x的二次函数． （1）求m的值． （2）当m为何值时，该函数图象的开口向下？ （3）当m为何值时，该函数有最小值？ （4）试说明函数图象的增减性． 8．已知二次函数y＝ax2的图象经过点A（﹣1，），B（3，m）． （1）求a与m的值，并画出y＝ax2的图象； （2）写出该二次函数图象的顶点坐标及对称轴； （3）当﹣3≤x≤﹣1时，求函数的最大值和最小值； （4）当﹣3≤y≤﹣1时，求x的取值范围． 题型三 与一次函数图象的共存问题 解题技巧提炼 在同一直角坐标系判断函数图象的位置，主要是根据二次函数y＝ax2 的图象的位置特征和一次函数的性质来判断即可. 1．（2023秋•武威期末）下列图象中，当ab＞0时，函数y＝ax2与y＝ax+b的图象是（　　） A． B． C． D． 2．（2023•云安区二模）当ab＜0时，y＝ax+b与y＝ax2的图象大致是（　　） A． B． C． D． 3．在同一直角坐标系中二次函数y＝﹣x2与一次函数y＝﹣x﹣1的图象正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2023•新兴县二模）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2与一次函数y＝mx+m的图象大致可能是（　　） A． B． C． D． 5．（2023秋•费县校级月考）二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象为（　　） A． B． C． D． 题型四 利用二次函数的性质比较函数值的大小 解题技巧提炼 （1）确定这些点的横坐标的大小； （2）判断这些点是图象的对称轴的左边还是右边，当点不在对称轴同侧时，需要先根据抛物线的对称性，把这些点转化为在对称轴同侧的点； （3）根据函数y＝ax2的增减性进行判断，也可以根据这些点到对称轴的距离的大小来比较. 1．（2023春•黔西南州期末）已知点（1，y1），（﹣2，y2），（3，y3）都在函数y＝﹣2x2的图象上，则（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 2．已知点（﹣1，y1），（2，y2），（﹣3，y3）都在函数y＝x2的图象上，则（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 3．（2023秋•西湖区期末）若A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）均在二次函数y＝3x2图象上，则y1　　y2（填“＞”“＝”“＜”）． 4．（2024•泸县一模）已知点（1，y1），（2，y2）都在函数y＝ax2（a＜0）的图象上，则y1与y2大小关系是y1　 　y2（填＞，＜或＝）． 5．已知a＜﹣1，点（a﹣1，y1），（a，y2），（a+1，y3）都在函数y＝x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是　 　． 6．如图，直线y1＝﹣x+b与抛物线交于点A（﹣2，4），B（1，1），若y1＜y2，则x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜1 C．x＜﹣2或x＞1 D．x＞1 题型五 利用二次函数图象的对称性求面积 解题技巧提炼 利用二次函数y═ax2 （a≠0）的图象关于y轴对称，将一些不规则图象转化为规则图形，从而求出此类图形的面积. 1．（2023•苏州模拟）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝2x2与y＝﹣2x2的图象，则阴影部分的面积是　 　． 2．（2024•石家庄模拟）如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝x2的图象，C2是函数y＝﹣x2的图象，则阴影部分的面积是（　　） A．π B．2π C．4π D．都不对 3．如图，矩形ABCD的长AB＝4cm，宽AD＝2cm，O是AB的中点，以O为顶点的抛物线经过C、D，以OA、OB为直径在矩形内画两个半圆，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2πcm2 B．（）cm2 C．πcm2 D．cm2 题型六 二次函数y＝ax2 与一次函数的综合应用 解题技巧提炼 解决二次函数与一次函数综合性问题，一要注意确定各自解析式需要的条件，而要充分利用好函数图象的交点坐标. 1．（2023秋•怀宁县期末）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1与抛物线交于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1•x2的值是（　　） A．1 B．4 C．﹣1 D．﹣4 2．（2023秋•东阿县期末）如图，A，B，C，D四点在抛物线y＝ax2上，且AB∥CD∥x轴，与y轴的交点分别为E，F，已知AB＝20，CD＝10，EF＝3，求a的值及OF的长． 3．（2023秋•琼山区校级期中）已知如图所示，直线l经过点A（4，0）和B（0，4），它与抛物线y＝ax2在第一象限内交于点P，且△AOP的面积为4． （1）求直线AB的表达式； （2）求a的值． 4．如图，已知直线AB过x轴上一点A（2，0）且与抛物线y＝ax2相交于B（1，一1），C两点． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）问抛物线上是否存在一点D，使S△OAD＝S△OBC？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 5．（2023秋•邗江区校级期末）直线y＝x+2与抛物线y＝ax2（a≠0）相交于点A（2，b）． （1）求a，b的值； （2）求另一个交点B的坐标； （3）求△AOB的面积． 6．如图所示，直线l经过点A（4，0）和B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于P点，若△AOP的面积为4． （1）求点P的坐标； （2）求二次函数的解析式； （3）能否将抛物线y＝ax2上下平移，使平移后的抛物线经过点A？如果能，请求出平移后的解析式；如果不能，请说明理由． 7．如图所示，抛物线y1＝﹣x2与直线y2x交于A，B两点． （1）求A，B两点的坐标； （2）根据图象回答： ①当x取何值时，y1的值随x的增大而增大？ ②当x取何值时，y1＜y2？ （3）求△AOB的面积； （4）在x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （5）抛物线上找一点Q，使得△ABQ是直角三角形，请直接写出Q点横坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级上册数学《第1章 二次函数》 1.2 第1课时 二次函数y＝ax2 的图象与性质 知识点一 二次函数y＝ax2图象的画法 ★1、二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： 要画出二次函数的图象，一般用描点法，分为列表、描点、连线三步，具体步骤如下： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． 【注意】在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． ★2、抛物线的相关概念： 二次函数y＝ax2 的图象是一条曲线，这条曲线叫做抛物线y＝ax2 ，y轴是这条抛物线的对称轴，抛物线 y＝ax2 与它的对称轴的交点为（0,0）叫做抛物线的顶点，是抛物线的最低点或最高点. 一般地，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象叫做抛物线y＝ax2+bx+c，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点. 知识点二 二次函数y＝ax2图象和性质 ★1、二次函数y＝ax2的图象和性质 y＝ax2 a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 y 轴（或直线 x＝0） y 轴（或直线 x＝0） 顶点坐标 (0，0)，抛物线最低点 (0，0)，抛物线最高点 最值 当 x = 0 时，y最小值 = 0 当x = 0时，y最大值 = 0 增减性 当x＜0时，y随x增大而减小； 当x＞0 时，y随x增大而增大 当x＞0时，y随x增大而增大； 当x＜0 时，y随x增大而减小 ★2、与抛物线开口大小的关系 （1）相等，抛物线形状相同，抛物线y＝ax2和y＝﹣ax2的联系：开口大小相同，开口方向相反，两条抛物线关于x轴对称，关于原点对称. （2） 越大，抛物线的开口越小，即图象越靠近y轴； 越小，抛物线的开口越大，即图象越远离近y轴. 题型一 二次函数y＝ax2的图象 解题技巧提炼 1、列表取点方法：列表时一般以（0,0）为中心，在其左右两侧各取两组或三组对称的整数点，然后描点，我们形象地称其为“五点法”或“七点法”. 2、二次函数y＝ax2 的图象是抛物线 ，它的对称轴是y轴是这条抛物线的对称轴，抛物线的顶点是原点，是抛物线的最低点或最高点. 1．（2023秋•重庆期末）抛物线y＝﹣2x2的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】由y＝﹣2x2可得抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点为原点，进而求解． 【解答】解：∵y＝﹣2x2， ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）， 故选：A． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质． 2．二次函数y＝x2的图象经过的象限是（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解． 【解答】解：∵y＝x2， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0）， ∴抛物线经过第一，二象限． 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 3．在同一坐标系中，作y＝x2，yx2，yx2的图象，它们的共同特点是（　　） A．抛物线的开口方向向上 B．都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大 C．都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小 D．都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点 【分析】本题的三个抛物线解析式都符合y＝ax2形式，可以从顶点坐标和对称轴找相同点． 【解答】解：因为y＝ax2形式的二次函数对称轴都是y轴，且顶点都在原点， 所以它们的共同特点是：关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点． 故选：D． 【点评】要掌握y＝ax2形式的二次函数对称轴都是y轴，且顶点都在原点． 4．如图为二次函数y＝x2的图象，请在同一坐标系中画出二次函数y＝2x2和yx2的图象，并回答下列问题． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y＝x2 … 4 1 0 1 4 … y＝2x2 … 　　 　　 　　 　　 　　 … yx2 … 　　 　　 　　 　 　　 … （1）二次函数y＝2x2和yx2图象的形状是 　 　.开口向 　 　，对称轴是 　 　，顶点坐标是 　 　.在对称轴的左侧，y随x的增大而 　 　；在对称轴的右侧，y随x的增大而 　 　.当x＝　 　时，y有最 　 　值为 　 　． （2）如果a＞0，a越大，即|a|越大．抛物线y＝ax2的开口越 　 　（填“大“或“小“）． 【分析】列表，描点、连线作出函数的图象． （1）根据画出的函数图象并结合其性质即可求解； （2）根据图象即可得到结论． 【解答】解：列表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y＝x2 … 4 1 0 1 4 … y＝2x2 … 8 2 0 2 8 … yx2 … 2 0 2 … 描点、连线画出函数的图象如图： （1）二次函数y＝2x2和yx2图象的形状是抛物线．开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，0）．在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．当x＝0时，y有最小值为0． 故答案为：抛物线，上，y轴，（0，0），减小，增大，0，小，0； （2）由图象可知，如果a＞0，a越大，即|a|越大．抛物线y＝ax2的开口越小（填“大“或“小“）． 故答案为：小． 【点评】本题结合图象考查了二次函数的性质，重点是注意函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及单调性与最值的问题． 5．已知抛物线y＝ax2经过点（﹣1，2），（2，m） （1）并求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）求m的值； （3）画出该函数的图象，并说明增减性； （4）根据图象回答：当x满足　 时，y＞0；当x＝　 　时，y＝0． 【分析】（1）根据待定系数法求得函数的解析式，可找出抛物线的对称轴及顶点坐标，结合a＝2，可得出抛物线开口向上； （2）把（2，m）代入y＝2x2即可求得； （3）利用五点法，描点、连线，画出函数图象； （4）观察函数图象，找出结论． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2经过点（﹣1，2）， ∴a＝2， ∴y＝2x2， ∴函数图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）； （2）把（2，m）代入y＝2x2得，m＝2×22＝8； （3）列表 x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 8 2 0 2 8 … 描点、连线，画出函数图象， 当x＞0时，y随x的增大而增大，x＜0时，y随x的增大而减小． （4）观察函数图象，可知：当x≠0时，y＞0；当x＝0时，y＝0． 故答案为：x≠0，0． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质，找出抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出m；（3）利用五点法画出函数图象；（4）观察函数图象，找出结论． 题型二 二次函数y＝ax2的性质 解题技巧提炼 二次函数y＝ax2 的性质主要是从开口方向，对称轴，顶点坐标，最值和增减性五个方面来判断的. 当a＞0，x<0时，函数值y随x的增大而减小； x>O时，函数值y随x的增大而增大； 当a＜0，x<0时，函数值y随x的增大而增大； x>O时，函数值y随x的增大而减小. 1．已知二次函数y＝（2﹣a），在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则a的值为（　　） A． B．± C． D．0 【分析】根据二次函数的定义条件列出方程求解则可．其图象对称轴的左侧，y随x的增大而减小就说明图象开口向上，2﹣a＞0． 【解答】解：由二次函数定义可知a2﹣3＝2且2﹣a＞0，解得a． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的定义及图象． 2．（2023秋•澄迈县期末）关于抛物线y＝﹣3x2，下列说法错误的是（　　） A．图象关于直线x＝0对称 B．抛物线开口向下 C．y随着x的增大而减小 D．图象的顶点为原点 【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、增减性、顶点坐标，可求得答案． 【解答】解：∵y＝﹣3x2， ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）， ∴A、B、D选项说法正确， ∵a＝3＞0，对称轴为x＝0， ∴当x＞0时，y随x的增大而减小， ∴C选项说法错误， 故选：C． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．用到的知识点：在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．当a＜0时，抛物线y＝开口向下，x＜h时，y随x的增大而增大；x＞h时，y随x的增大而减小；x＝h时，y取得最大值k，即顶点是抛物线的最高点． 3．（2023秋•濠江区期末）如图，正方形OABC有三个顶点在抛物线yx2上，点O是原点，顶点B在y轴上，则顶点A的坐标是（　　） A．（2，2） B．（，） C．（4，4） D．（2，2） 【分析】设点B坐标为（0，m），根据正方形的性质和二次函数的性质确定A（m，m），然后根据点A在抛物线yx2上，求出m即可． 【解答】解：设点B坐标为（0，m）， ∵四边形OABC是正方形， ∴OB＝AC＝m， ∴A（m，m）， ∵A在抛物线yx2上， ∴m（m）2， 解得m＝0（舍去）或m＝8， ∴A（4，4）． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的性质和正方形的性质，关键对正方形性质和二次函数性质的应用， 4．（2024•东莞市一模）如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线y＝ax2上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D．当点E（2，4），四边形CDFE为正方形时，则线段AB的长为（　　） A．4 B．4 C．5 D．5 【分析】通过待定系数法求出函数解析式，根据题意得出CD＝CE＝4，从而得出A的纵坐标为8，设点A坐标为（m，8），将点坐标代入解析式求解． 【解答】解：把E（2，4）代入y＝ax2中得4＝4a， 解得a＝1， ∴y＝x2， ∵点E（2，4），四边形CDFE为正方形， ∴CD＝CE＝4， 设点A横坐标为m，则A（m，8）， 代入y＝x2得m2＝8， 解得m＝2或m＝﹣2（舍去）． ∴AB＝2m＝4． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数与正方形的结合，解题关键是熟练掌握二次函数与正方形的性质． 5．（2023春•雨花区校级期中）如图，ABCD，DEFG都是正方形，边长分别为m，n（m＜n）．坐标原点O为AD的中点，A，D，E在y轴上，若二次函数y＝ax2的图象过C，F两点，则（　　） A．1 B．1 C．21 D．21 【分析】根据题意得出C（m，m），F（﹣n，nm），将C点坐标代入y＝ax2，求出a，则抛物线解析式为yx2，再将F（﹣n，nm）代入yx2，整理得出方程m2﹣2mn﹣n2＝0，把m看作常数，利用求根公式得出n＝（1±）m（负值舍去），即可求得1． 【解答】解：∵正方形ABCD的边长为m，坐标原点O为AD的中点， ∴C（m，m）． ∵抛物线y＝ax2过C点， ∴m＝am2，解得a， ∴抛物线解析式为yx2， 将F（﹣n，nm）代入yx2， 得nm（﹣n）2， 整理得m2+2mn﹣n2＝0， 解得n＝（1±）m（负值舍去）， ∴1， 故选：B． 【点评】本题是二次函数的综合题，其中涉及到正方形的性质，待定系数法求二次函数的解析式、一元二次方程的求根公式．正确求出抛物线的解析式是解题的关键． 6．（2024•龙沙区二模）如图，在抛物线y＝x2的内部依次画正方形，使对角线在y轴上，另两个顶点落在抛物线上．按此规律类推，第2024个正方形的边长是 　 　． 【分析】依据题意，直线OA1是第一象限的角平分线，故解析式为y＝x，联立方程求得A1的坐标，进而求得第一个正方形边长和B1的坐标，即可得直线B1A2的解析式为y＝x+2，联立方程求得A2的坐标，进而求得第二个正方形的边长和B2的坐标，即可得到直线B2A3的解析式为y＝x+6，联立方程求得A3的坐标，即可求得第三个正方形的边长……，以此类推得出规律，即可得到第2024个正方形的边长． 【解答】解：根据题意，∠B1OA1＝45°，即直线OA1是第一象限的角平分线，则解析式为y＝x， 联立， 解得或． 故A1（1，1）， ∴OA1，OB1＝2，即第1个正方形边长为． ∵∠B2B1A2＝45°＝∠B1OA1， ∴直线B1A2的解析式中的x系数与直线OA1的解析式中x系数相等，且经过B1（0，2）． ∴直线B1A2的解析式为y＝x+2， 联立， 解得或． 故A2（2，4）， ∴A2B12，OB2＝6，即第2个正方形边长为2． ∵∠B3B2A3＝45°＝∠B2B1A2， ∴直线B2A3的解析式中的x系数与直线OA1的解析式中x系数相等，且经过B2（0，6）， ∴直线B2A3的解析式为y＝x+6， 联立， ∴解得或． 故A3（3，9）． ∴A3B23，OB3＝12，即第3个正方形边长为3． … 按此规律类推，第n个正方形的边长为n． ∴第2024个正方形的边长是2024． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用方程组求得交点坐标，求得抛物线上点的坐标是解题的关键． 7．已知函数y＝（m+3）是关于x的二次函数． （1）求m的值． （2）当m为何值时，该函数图象的开口向下？ （3）当m为何值时，该函数有最小值？ （4）试说明函数图象的增减性． 【分析】（1）根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题． （2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下； （3）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值； （4）根据二次函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）∵函数y＝（m+3）是关于x的二次函数， ∴m2+3m﹣2＝2，m+3≠0， 解得：m1＝﹣4，m2＝1； （2）∵函数图象的开口向下， ∴m+3＜0， ∴m＜﹣3， ∴当m＝﹣4时，该函数图象的开口向下； （3）∵m＝﹣4或1， ∵当m+3＞0时，抛物线有最低点，函数有最小值， ∴m＞﹣3， ∵m＝﹣4或1， ∴当m＝1时，该函数有最小值． （4）当m＝1时，x＞0时，y随x的增大而增大，x＜0时，y随x的增大而减小； 当m＝﹣4时，x＞0时，y随x的增大而减小，x＜0时，y随x的增大而增大． 【点评】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题；牢固掌握定义及其性质是解题的关键． 8．已知二次函数y＝ax2的图象经过点A（﹣1，），B（3，m）． （1）求a与m的值，并画出y＝ax2的图象； （2）写出该二次函数图象的顶点坐标及对称轴； （3）当﹣3≤x≤﹣1时，求函数的最大值和最小值； （4）当﹣3≤y≤﹣1时，求x的取值范围． 【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式计算即可求出a，再把点B的坐标代入进行计算即可求出m，利用描点法即可画出图象； （2）根据图象回答即可； （3）根据二次函数的增减性解答； （4）根据二次函数的图象即可求出答案． 【解答】解：（1）把点A（﹣1，）坐标代入函数解析式得，a， 解得a， ∴yx2， 把点B（3，m）代入函数解析式得，m9＝﹣3， 图象如下： （2）该二次函数图象的顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴； （3）∵当﹣3≤x≤﹣1时，y随x的增大而增大， ∴当x＝﹣1时，函数有最大值， 当x＝﹣3时，函数有最小值9＝﹣3； （4）∵当y＝﹣3时，x2＝﹣3， 解得x＝±3， 当y＝﹣1时，x2＝﹣1， 解得x＝±， ∴当﹣3≤y≤﹣1时，求x的取值范围为﹣3≤x或x≤3． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的对称性，熟记性质是解题的关键． 题型三 与一次函数图象的共存问题 解题技巧提炼 在同一直角坐标系判断函数图象的位置，主要是根据二次函数y＝ax2 的图象的位置特征和一次函数的性质来判断即可. 1．（2023秋•武威期末）下列图象中，当ab＞0时，函数y＝ax2与y＝ax+b的图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据直线直线y＝ax+b经过的象限得到a＞0，b＜0，与ab＞0矛盾，则可对A进行判断；根据抛物线y＝ax2开口向上得到a＞0，而由直线y＝ax+b经过第二、四象限得到a＜0，由此可对B进行判断；根据抛物线y＝ax2开口向下得到a＜0，而由直线y＝ax+b经过第一、三象限得到a＞0，由此可对C进行判断；根据抛物线y＝ax2开口向下得到a＜0，则直线y＝ax+b经过第二、四象限，并且b＜0，得到直线与y轴的交点在x轴下方，由此可对D进行判断． 【解答】解：A、对于直线y＝ax+b，得a＞0，b＜0，与ab＞0矛盾，所以A选项错误； B、由抛物线y＝ax2开口向上得到a＞0，而由直线y＝ax+b经过第二、四象限得到a＜0，所以B选项错误； C、由抛物线y＝ax2开口向下得到a＜0，而由直线y＝ax+b经过第一、三象限得到a＞0，所以C选项错误； D、由抛物线y＝ax2开口向下得到a＜0，则直线y＝ax+b经过第二、四象限，由于ab＞0，则b＜0，所以直线与y轴的交点在x轴下方，所以D选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，顶点式为y＝a（x）2，顶点坐标为（，）；当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了一次函数的性质． 2．（2023•云安区二模）当ab＜0时，y＝ax+b与y＝ax2的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，ab＜0，分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析选项可得答案． 【解答】解：根据题意，ab＜0， 当a＞0时，b＜0，y＝ax2开口向上，过原点，y＝ax+b过一、三、四象限； 此时，D选项符合， 当a＜0时，b＞0，y＝ax2开口向下，过原点，y＝ax+b过一、二、四象限； 此时，没有选项符合． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系． 3．在同一直角坐标系中二次函数y＝﹣x2与一次函数y＝﹣x﹣1的图象正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据图象的基本性质判断即可． 【解答】解：因为二次函数y＝﹣x2的图象开口向下，故可排除A、D； 因为一次函数y＝﹣x﹣1的图象经过二、三、四象限，故可排除B； 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数和二次函数的图象，应该识记一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 4．（2023•新兴县二模）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2与一次函数y＝mx+m的图象大致可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】由二次函数图象的开口及与y轴交点的位置可确定m的正负，再利用一次函数y＝mx+m经过的象限确定m的正负，对比后即可得出结论． 【解答】解：∵y＝mx+m＝m（x+1）， ∴一次函数图象经过点（﹣1，0），故B、D不合题意； A、由二次函数y＝mx2的图象开口向上，可知m＞0，由一次函数y＝mx+m的图象经过第一、二、三象限可知m＞0，结论一致，A选项符合题意； C、由二次函数y＝mx2的图象开口向下，可知m＜0，由一次函数y＝mx+m的图象经过第一、二、三象限可知m＞0，结论矛盾，C选项不合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象，根据二次函数的图象和一次函数图象找出每个选项中m的正负是解题的关键． 5．（2023秋•费县校级月考）二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象为（　　） A． B． C． D． 【分析】由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），即可排除B，然后根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象进行判断． 【解答】解：由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），排除B； 当a＞0时，二次函数y＝ax2开口向上，一次函数y＝ax+a经过一、二、三象限，排除A； 当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除D； 故选：C． 【点评】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系． 题型四 利用二次函数的性质比较函数值的大小 解题技巧提炼 （1）确定这些点的横坐标的大小； （2）判断这些点是图象的对称轴的左边还是右边，当点不在对称轴同侧时，需要先根据抛物线的对称性，把这些点转化为在对称轴同侧的点； （3）根据函数y＝ax2的增减性进行判断，也可以根据这些点到对称轴的距离的大小来比较. 1．（2023春•黔西南州期末）已知点（1，y1），（﹣2，y2），（3，y3）都在函数y＝﹣2x2的图象上，则（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 【分析】把点的坐标分别代入函数解析式可分别求得y1、y2、y3，再比较其大小即可． 【解答】解：∵点（1，y1），（﹣2，y2），（3，y3）都在函数y＝﹣2x2的图象上， ∴y1＝﹣2×12＝﹣2，y2＝﹣2×（﹣2）2＝﹣8，y3＝﹣2×32＝﹣18， ∴y3＜y2＜y1， 故选：C． 【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 2．已知点（﹣1，y1），（2，y2），（﹣3，y3）都在函数y＝x2的图象上，则（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 【分析】把点的坐标可分别代入抛物线解析式，可求得相应的函数值，可比较其大小． 【解答】解：∵点（﹣1，y1），（2，y2），（﹣3，y3）都在函数y＝x2的图象上， ∴y1＝（﹣1）2＝1，y2＝22＝4，y3＝（﹣3）2＝9， ∴y1＜y2＜y3， 故选：A． 【点评】本题主要考查函数图象上点的特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 3．（2023秋•西湖区期末）若A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）均在二次函数y＝3x2图象上，则y1　　y2（填“＞”“＝”“＜”）． 【分析】根据二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：∵由函数y＝3x2可知则抛物线的对称轴为y轴，抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小， ∴A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）均在对称轴的左侧， ∵﹣2＜﹣1＜0， ∴y1＜y2． 故答案为：＜． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次 函数的性质是解题的关键． 4．（2024•泸县一模）已知点（1，y1），（2，y2）都在函数y＝ax2（a＜0）的图象上，则y1与y2大小关系是y1　 　y2（填＞，＜或＝）． 【分析】根据函数解析式确定抛物线图象开口向下，对称轴是y轴，此时函数性质当x＞0时，y随x的增大而减小即可得到答案． 【解答】解：∵函数y＝ax2（a＜0）的图象开口向下，对称轴是y轴， ∴当x＞0时，y随x的增大而减小， ∵1＜2， ∴y1＞y2， 故答案为：＞． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，确定函数y＝ax2（a＜0）的图象开口向下，对称轴是y轴是关键． 5．已知a＜﹣1，点（a﹣1，y1），（a，y2），（a+1，y3）都在函数y＝x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是　 　． 【分析】抛物线y＝x2的对称轴为y轴，即直线x＝0，图象开口向上，当a＜﹣1时，a﹣1＜a＜a+1＜0，在对称轴左边，y随x的增大而减小，由此可判断y1，y2，y3的大小关系． 【解答】解：∵当a＜﹣1时，a﹣1＜a＜a+1＜0， 而抛物线y＝x2的对称轴为直线x＝0，开口向上， ∴三点都在对称轴的左边，y随x的增大而减小， ∴y1＞y2＞y3． 故本题答案为：y1＞y2＞y3． 【点评】本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小． 6．如图，直线y1＝﹣x+b与抛物线交于点A（﹣2，4），B（1，1），若y1＜y2，则x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜1 C．x＜﹣2或x＞1 D．x＞1 【分析】由y1＜y2结合函数图象写出对应的x的取值范围． 【解答】解：由图可知，直线在抛物线下方部分对应的x取值范围为x＜﹣2或x＞1， ∴当y1＜y2时，x＜﹣2或x＞1． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，熟知函数与不等式的关系是解题的关键． 题型五 利用二次函数图象的对称性求面积 解题技巧提炼 利用二次函数y═ax2 （a≠0）的图象关于y轴对称，将一些不规则图象转化为规则图形，从而求出此类图形的面积. 1．（2023•苏州模拟）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝2x2与y＝﹣2x2的图象，则阴影部分的面积是　 　． 【分析】根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形面积为16，由此可以求出阴影部分的面积． 【解答】解：∵函数y＝2x2与y＝﹣2x2的图象关于x轴对称， ∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， 而边长为4的正方形面积为16， 所以图中的阴影部分的面积是8． 故答案为8． 【点评】本题考查的是关于x轴对称的二次函数解析式的特点，解答此题的关键是根据函数解析式判断出两函数图象的特点，再根据正方形的面积即可解答． 2．（2024•石家庄模拟）如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝x2的图象，C2是函数y＝﹣x2的图象，则阴影部分的面积是（　　） A．π B．2π C．4π D．都不对 【分析】不规则图形面积通过对称转化为可求的图形面积． 【解答】解：∵C1是函数y＝x2的图象，C2是函数y＝﹣x2的图象， ∴两函数图象关于x轴对称， ∴阴影部分面积即是半圆面积， ∴阴影部分的面积S2π． 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次函数的对称性，根据已知得出阴影部分面积即是半圆面积是解题关键． 3．如图，矩形ABCD的长AB＝4cm，宽AD＝2cm，O是AB的中点，以O为顶点的抛物线经过C、D，以OA、OB为直径在矩形内画两个半圆，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2πcm2 B．（）cm2 C．πcm2 D．cm2 【分析】观察图形易得图中阴影部分的面积是半圆的面积，其半径为AB的，根据面积公式即可解答． 【解答】解：观察图形， 根据二次函数的对称性可得图中阴影部分的面积是半圆的面积， 其半径为AB的， ∵AB＝4cm， ∴即半径为1，其面积为：， 故选：D． 【点评】本题考查不规则图形的面积求法，要根据图形的对称性与相互关系转化为规则的图形的面积，再进行求解． 题型六 二次函数y＝ax2 与一次函数的综合应用 解题技巧提炼 解决二次函数与一次函数综合性问题，一要注意确定各自解析式需要的条件，而要充分利用好函数图象的交点坐标. 1．（2023秋•怀宁县期末）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1与抛物线交于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1•x2的值是（　　） A．1 B．4 C．﹣1 D．﹣4 【分析】根据题意可知，一次函数和二次函数有两个交点，因此可以利用韦达定理得出x1•x2的值． 【解答】解：∵直线y＝kx+1与抛物线交于A、B两点， ∴x2＝kx+1， x2﹣4kx﹣4＝0， ∵点A（x1，y1），B（x2，y2）， ∴x1•x2＝﹣4， 故选：D． 【点评】本题考查的重点是熟练掌握一次函数和二次函数的性质，学会使用韦达定理计算横坐标交点的积． 2．（2023秋•东阿县期末）如图，A，B，C，D四点在抛物线y＝ax2上，且AB∥CD∥x轴，与y轴的交点分别为E，F，已知AB＝20，CD＝10，EF＝3，求a的值及OF的长． 【分析】由题意可设点D（5，c），B（10，c﹣3），然后可列二元一次方程组求得a，进而求得点D坐标即可解答． 【解答】解：由题意可设点D（5，c），B（10，c﹣3）， 则：c＝a×52＝25a，c﹣3＝a×102， 解得：a，c＝﹣1， ∴D（5，﹣1） ∵CD∥x轴 ∴OF＝1 ∴，OF＝1． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、平行于x轴的直线的坐标特点等知识点，掌握二次函数的性质成为解答本题的关键． 3．（2023秋•琼山区校级期中）已知如图所示，直线l经过点A（4，0）和B（0，4），它与抛物线y＝ax2在第一象限内交于点P，且△AOP的面积为4． （1）求直线AB的表达式； （2）求a的值． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得直线AB的解析式， （2）根据面积求得P点的纵坐标，然后代入求得其横坐标，代入二次函数即可求解． 【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b， 将A（4，0）、B（0，4）分别代入y＝kx+b得， 解得， 故直线AB的表达式为y＝﹣x+4； （2）∵△AOP的面积为4， ∴4×yP＝4， ∴yP＝2， 再把yP＝2代入y＝﹣x+4，得x＝2， 所以P（2，2）． 把P（2，2）代入到y＝ax2中得：a． 故a的值为． 【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，一次函数、二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难度中等． 4．如图，已知直线AB过x轴上一点A（2，0）且与抛物线y＝ax2相交于B（1，一1），C两点． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）问抛物线上是否存在一点D，使S△OAD＝S△OBC？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将B（1，一1）代入y＝ax2，求得a的值，则可得抛物线对应的函数解析式； （2）设直线AB解析式为：y＝kx+b，用待定系数法求得直线AB的解析式，再将其与抛物线的解析式联立，从而得出点C坐标，再求得S△OBC的值，然后设D（t，﹣t2） ，根据面积关系得到关于t的方程，解得t的值即可得出点啊D的坐标． 【解答】解：（1）将B（1，一1）代入y＝ax2相得： ﹣1＝a×1， ∴a＝﹣1， ∴抛物线对应的函数解析式为y＝﹣x2； （2）存在． 理由：设直线AB解析式为：y＝kx+b， ∵过点A（2，0）、B（1，一1）， ∴， 解得， ∴直线AB的解析式为：y＝x﹣2， ∵直线AB与抛物线交于B、C两点， ∴由得：B（1，﹣1），C（﹣2，﹣4）， 由图形可知： S△OBC＝S△OAC﹣S△OAB|﹣4|×2|﹣1|×2＝3， 假设抛物线上存在一点D，使S△OAD＝S△OBC， 可设D（t，﹣t2）， ∴S△OAD2×t2＝t2， ∴t2＝3， ∴t或t． ∴存在符合题意的点D，其坐标为（，﹣3）或（，﹣3）． 【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式、几何图形的面积问题与函数问题的综合等知识点，明确相关函数的性质并数形结合是解题的关键． 5．（2023秋•邗江区校级期末）直线y＝x+2与抛物线y＝ax2（a≠0）相交于点A（2，b）． （1）求a，b的值； （2）求另一个交点B的坐标； （3）求△AOB的面积． 【分析】（1）把点A（2，b）代入y＝x+2，求出b的值，再把点A（2，4），代入y＝ax2（a≠0）求出a的值，即可； （2）联立两函数解析式，即可求解； （3）设直线y＝x+2与y轴交于点C，则点C（0，2），根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC，即可求解． 【解答】解：（1）把点A（2，b）代入y＝x+2，得： b＝2+2＝4， ∴点A（2，4）， 把点A（2，4）代入y＝ax2（a≠0），得： 4＝4a，解得：a＝1； （2）由（1）得：抛物线解析式为y＝x2， 联立得：，解得：或， ∴另一个交点B的坐标为（﹣1，1）； （3）如图，设直线y＝x+2与y轴交于点C，则点C（0，2）， ∴OC＝2， ∴． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练掌握各知识点是解题的关键． 6．如图所示，直线l经过点A（4，0）和B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于P点，若△AOP的面积为4． （1）求点P的坐标； （2）求二次函数的解析式； （3）能否将抛物线y＝ax2上下平移，使平移后的抛物线经过点A？如果能，请求出平移后的解析式；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）由题意直线l过点A（4，0）和B（0，4）两点，根据待定系数法求出直线AB的解析式，再根据△AOP的面积为4求出点P的纵坐标，然后将它代入直线AB的解析式，求出点P的横坐标，即可得到点P的坐标； （2）把点P的坐标代入y＝ax2，运用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （3）设将抛物线y＝ax2上下平移后的解析式为y＝ax2+m，把点A坐标代入，求出m的值即可． 【解答】解：（1）设直线l的解析式为：y＝kx+b， ∵直线l过点A（4，0）和B（0，4）两点， ∴4k+b＝0，b＝4， ∴k＝﹣1，b＝4， ∴y＝﹣x+4， ∵△AOP的面积为4， ∴4×yp＝4， ∴yp＝2， ∴2＝﹣x+4， 解得x＝2， ∴点P的坐标为（2，2）； （2）把点P（2，2）代入y＝ax2， 得2＝a×（2）2， 解得a， 故二次函数的解析式为yx2； （3）能， 设将抛物线yx2上下平移后的解析式为yx2+m， 把点A（4，0）代入，得y42+m， 解得m＝﹣8， 故能将抛物线y＝ax2向下平移8个单位长度，使平移后的抛物线经过点A， 平移后的解析式为：yx2﹣8． 【点评】此题考查二次函数图象与几何变换，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，同时也考查了学生的计算能力． 7．如图所示，抛物线y1＝﹣x2与直线y2x交于A，B两点． （1）求A，B两点的坐标； （2）根据图象回答： ①当x取何值时，y1的值随x的增大而增大？ ②当x取何值时，y1＜y2？ （3）求△AOB的面积； （4）在x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （5）抛物线上找一点Q，使得△ABQ是直角三角形，请直接写出Q点横坐标． 【分析】（1）令y1＝y2，解得A、B两点横坐标，从而解得； （2）从图象直接读出； （3）求出AB与y轴的交点，进而求得； （4）分为OA＝OP，OA＝AP，OP＝AP三种情形； （5）设点Q的坐标，根据勾股定理得逆定理列方程求得，也可以用“一线三等角”． 【解答】解：（1）令y1＝y2， ∴xx2， ∴x1，x2＝3， 当x时，y， 当x＝3时，y＝﹣9， ∴A（，），B（3，﹣9）； （2）①当x＜0时，y随x的增大而增大， ②当x或x＞3时，y1＜y2； （3）如图1， 当x＝0时，y2， ∴OC， DE＝OD+OE3， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC OC•DE ； （4）如图2， ∵， ∴OA 当OP＝OA时， ∴P1（，0），P2（，0）， 当OA＝AP时， P3（﹣3，0）， 当PA＝PO时， 设P（a，0）， ∴（a）2+（）2＝a2， ∴a， ∴P4（，0）； （5）设Q（x，﹣x2）， AB2， AQ2＝（x）2+（x2）2， BQ2＝（x﹣3）2+（x﹣9）2， 当∠A＝90°时， （x）2+（x2）2＝（x﹣3）2+（x﹣9）2， ∴x， 当∠B＝90°， （x﹣3）2+（x﹣9）2＝（x）2+（x）2， ∴x， 当∠Q＝90°时， （x）2+（x2）2+（x﹣3）2+（x﹣9）2， ∴x1，x2， 综上所述：Q点的横坐标是：、、、． 【点评】本题考查了二次函数的图象的性质，等腰三角形的分类，直角三角形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类，掌握图形的性质． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$