1.1三角形的高、中线及角平分线（第2课时）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学上学期考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

八年级浙教版数学上册 第一章 三角形的初步认识 1.1 认识三角形 第二课时 三角形的高、中线及角平分线 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.了解三角形的高线、中线、角平分线的概念.（重点） 2.会利用量角器、刻度尺画三角形高线、中线、角平分线.（重点） 3.会利用三角形的高线、中线、角平分线的概念，解决有关角度、面积计算等问题.（难点） 你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 情景导入 B A C D 从三角形一个顶点向它的对边所在直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。 ∵ AD ⊥ BC ∴ AD是△ ABC的BC 边上的高 几何语言： 1.三角形的高 新知探究 问题1 什么是三角形的高？怎样画三角形的高？ 问题2 由三角形的高你能得到什么结论？ ∠ADB= ∠ADC=90 ° 探究角度1：锐角三角形的三条高 问题3 每人画一个锐角三角形. (1) 你能画出这个三角形的三条高吗? (2) 这三条高之间有怎样的位置关系？ 问题4 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 锐角三角形的三条高交于同一点. 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 交流探究 A B C E F D 探究角度2：直角三角形的三条高 问题5：在纸上画出一个直角三角形. A B C (1)画出直角三角形的三条高. 直角边BC边上的高是______; AB 直角边AB边上的高是 ; CB (2)它们有怎样的位置关系？ 斜边AC边上的高是_______. BD ● 直角三角形的三条高交于直角顶点. D 探究角度3：钝角三角形的三条高 (1) 你能画出钝角三角形的三条 高吗？ A B C D E F (2) AC边上的高呢？ AB边上呢？ BC边上呢？ BF CE AD A B C D F (3)钝角三角形的三条交于一点吗？ (4)它们所在的直线交于一点吗？ O E 钝角三角形的三条高不相交于一点； 钝角三角形的三条高所在直线交于一点. 高 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 条数 位置 垂足 交点 图形 A B C P Q R 3 3 3 都在三角形 内部 直角边上的高分别与另一条直角边重合，还有一条高在三角形内部 夹钝角两边上的高在三角形外部，另一条高在内部 在相应顶点的对边上 ①是直角的顶点 ②在斜边上 ①在相应顶点的对边的延长线上 ②在钝角的对边上 在三角形内部 在直角顶点 在三角形外部 D E F 例1：如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值. 解：根据垂线段最短，可知当BP⊥AC时，BP有最小值． 由△ABC的面积公式可知, AD·BC＝ BP·AC. 代入数值，可解得BP＝ . 典例剖析 方法总结:面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积(但不求出面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解. 问题6：如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？ A C B AC=BC= AB A B C D · 线段AD叫做△ABC的BC边上的中线 任意画一个△ABC，用刻度尺画BC的中点D，连结AD。 2.三角形中线的概念 新知探究 问题7 如图，如果点D是线段BC的中点，那么线段AD就称为△ABC的中线．类比三角形的高的概念，试说明什么叫三角形的中线？ A B C 定义： 如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线. 想一想：由三角形的中线能得到什么结论？ BD=CD= BC D 画一画：如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？ 画图发现 三角形的三条中线交于三角形内部一点.这一点我们称为三角形的重心. A B C A B C A B C D E F D D E F E F O O O 问题8 如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？为什么？ B C D E A 答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等. 问题9 通过问题3你能发现什么规律？ 答：三角形的中线能将三角形的面积平分. 例2 如右图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是△ABC的角平分线.已知∠BAC=80°，∠C=40°.求 ∠DAE 的大小. 解：∵AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=80°， ∵AD 是△ABC 的高线， ∴∠ADC=90°. 根据“三角形三个内角的和等于180°”，知 ∠DAC+ ∠ADC+∠C=180°， ∠DAC=180°-∠ADC-∠C =180°-90°-40°=50°. ∠DAE= ∠DAC-∠EAC=50°-40°=10°. 课本例题 【变式】如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC、△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC 、 S△ADF和S△BEF，S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值. 解：∵点D是AC的中点，∴AD＝ AC. ∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝ S△ABC＝ ×12＝6. ∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝ S△ABC＝ ×12＝4. 典例剖析 方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比． ∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF， 即S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2. 1.如图，AF是ΔABC的角平分线，AE是BC边上的中线，选择“＞”“＜”或“=”号填空 F E C B A （1）BE___EC （2）∠CAF___―∠BAC 1 2 （3）∠AFB___∠C+∠FAB （4）∠AEC___∠B = = = ＞ 练一练 2.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线。已知∠BAC＝82°，∠B＝55°，求∠DAE的大小。 E D C B A 55° 解： ∠DAE=7° 练一练 问题10 如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？ A C B O ∠AOC= ∠BOC 问题11 你能用同样的方法画出任意一个三角形的一个内角的平分线吗? A B C D 想一想：三角形的角平分线与角的角平分线相同吗? 相同点是： ∠ BAD= ∠ CAD； 不同点是：前者是线段，后者是射线. 2.三角形的角平分线 新知探究 问题13：请画出这个三角形的另外两条角平分线,你发现了什么？ 三角形的三条角平分线交于一点． A B C D E F 问题12：一个三角形有几条角平分线？ 3 称之为三角形的内心． 观察锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，你又有什么发现？ 例3：如图，DC平分∠ACB，DE∥BC,∠AED= 80°，求∠ECD的度数. 解：∵DC平分∠ACB, 又DE∥BC, ∴∠ACB=∠AED=80°. ∴∠ECD=40°. ∴∠ECD=∠BCD= ∠ACB. 典例剖析 1.如图，AD是△BAC的角平分线。已知∠B＝48°，∠C＝62°， 求下列各角的度数：（1）∠BAD；（2）∠ADB C A B D 解： （1）∠BAD=35° （2）∠ADB =97° 练一练 2.如图，CD是∠ ACB的平分线,∠A＝30°，∠ACB＝90°，求∠BDC的度数。 解： ∠BDC=75 ° 练一练 三角形的 重要线段 概念 图形 表示法 三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 ∵AD是△ABC的高线， ∴AD⊥BC， ∠ADB=∠ADC=90° 三角形 的中线 三角形中,连接一个顶点和它对边中的线段 ∵ AD是△ABC的BC上的中线， ∴ BD=CD= BC. 三角形的 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 ∵.AD是△ABC的∠BAC的平分线， ∴ ∠1=∠2= ∠BAC 概念归纳 1.如图，在△ABC中，CD是△ABC的高. 用“>” “<” “=”填空: (1)CD AC; (2)∠ADC ∠A； (3)∠A+∠ACD ∠ADC。 < > = A D C B 随堂练 2、 下列关于三角形的高线的说法正确的是（ ） A.直角三角形只有一条高线 B.钝角三角形 的高线都在三角形的外部 C.只有一条高线在三角形内的三角形一定是钝角三角形 D.锐角三角形的高线的交点一定在三角形的外部 D 随堂练 3.下列各阴影部分的面积有何关系？ Ｓ乙>Ｓ甲＝Ｓ丙 随堂练 4．下列说法正确的是 （　　） A．三角形三条高都在三角形内 B．三角形三条中线相交于一点 C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可 能在三角形外 D．三角形的角平分线是射线 B 随堂练 5．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是 （　　） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ D 随堂练 6.如图，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的高的有 （　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 B 随堂练 7.填空： （1）如图1，AD，BE,CF是△ABC的三条中线，则 AB= 2＿＿,BD= ＿＿，AE= ＿＿ (2)如图2，AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线，则∠1= ＿＿， ∠3=_________， ∠ACB=______. 图1 图2 AF DC ∠2 2∠4 AC ∠ABC 随堂练 8.如图，AD是△ ABC的中线，CE是△ ACD的中线，S△AEC= 3 cm2，则S△ABC =______. 12 cm2 随堂练 9.在△ABC中,CD是中线,已知BC-AC=5 cm, △DBC的周长为25 cm,求△ADC的周长. A D B C 解： ∵CD是△ABC的中线， ∴BD=AD . ∵BC-AC=5 cm, ∴ △DBC与△ADC的周长差是5cm, 又∵ △DBC的周长为25cm， ∴ △ADC的周长=25-5=20(cm). 随堂练 10.在△ABC中，AE，AD分别是BC边上的中线和高。说明△ABE的面积与△AEC的面积相等。 解： ∵ AE是BC边上的中线 ∴ BE = EC ∵ A D E C B S △ABE= BE · AD S △AEC= EC · AD ∴ S △AEC S △ABE = 　　三角形的中线将三角形分成面积相等的两等份 随堂练 11.能力提升：王大爷有一块三角形的菜地,现在要将它们平均分给四个儿子,在菜地的一角A处有一口池塘,为了使分开后的四块菜地都就近取水,王大爷为此很伤脑筋.你能想出什么办法帮帮王大爷吗？ 如果不考虑水源,你认为还可以怎样分? A 思路提示：想到三角形的中线能把三角形分成面积相等的两部分. 随堂练 分层练习-基础 A A 分层练习-基础 C 分层练习-基础 B 分层练习-基础 65°，25 ° 4<BC<16 20<周长<32 10 分层练习-基础 3 2a 8 分层练习-基础 80° 分层练习-巩固 10．如图，在△ABC中，∠BAD＝∠B，∠CAD＝40°，∠ACE＝120°，请判断AD是否是△ABC的角平分线，并说明理由． 【解】AD是△ABC的角平分线．理由如下： ∵∠ACE＋∠ACB＝180°， ∠B＋∠BAC＋∠ACB＝180°， ∴∠B＋∠BAC＝∠ACE＝120°，即∠B＋∠BAD＋∠CAD＝120°. ∵∠CAD＝40°，∴∠B＋∠BAD＝120°－40°＝80°. 又∵∠B＝∠BAD，∴2∠BAD＝80°， ∴∠BAD ＝40°，∴∠BAD＝∠CAD， ∴AD是△ABC的角平分线. 分层练习-巩固 分层练习-巩固 12．如图，在△ABC中，AB>AC，AD是BC边上的中线，已知△ABD与△ACD的周长之差为8，求AB－AC的值． 分层练习-巩固 13．已知在△ABC中，∠A＝45°，高线BD和高线CE 所在的直线交于点H，求∠BHC的度数． 【解】(1)当△ABC为锐角三角形时，如题图①. ∵BD，CE是△ABC的高线， ∴∠ADB＝∠BEH＝90°. 又∵∠A＝45°，∴∠ABD＝45 °，∴∠BHE＝45°， ∴∠BHC＝180°－∠BHE＝135°. (2)当△ABC为钝角三角形时，如题图②. ∵BD，CE是△ABC的高线， ∴∠ADB＝∠BEH＝90° . 又∵∠A＝45°，∴∠ABD＝45°， ∴∠BHC＝180°－∠ABD－∠BEH＝45°. 综上所述，∠BHC＝135°或45°. 分层练习-巩固 14．在△ABC中，AB＝AC，P是BC上任意一点． (1)如图①，若P是BC边上任意一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，BD为 △ABC的高线，请探求PE，PF与BD之间的数量关系； (2)如图②，若P是BC的延长线上一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，CD是△ABC的高线，请探求PE，PF与CD之间的数量关系． 分层练习-巩固 15．(1)如图①所示，在△ABC中，∠ABC的平分线BO与∠ACB的平分线CO交于点O，试探求∠A与∠BOC的数量关系； (2)如图②，在△ABC中，D是边AB延长线上一点，E是边AC延长线上一点， ∠CBD的平分线BO与∠BCE 的平分线CO交于点O.试探求： ①∠A与∠BOC的数量关系；②按角的大小来判断△BOC的形状． 【解】(1)∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠OBC＝12∠ABC， ∠OCB＝12∠ACB， ∴∠OBC＋∠OCB＝12(∠ABC＋∠ACB)． ∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A， ∴∠OBC＋∠OCB＝90°－12∠A. 又∵∠OBC＋∠OCB＝180°－∠BOC， ∴180°－∠BOC＝90°－12∠A， ∴∠BOC＝90°＋12∠A. 分层练习-巩固 (2)①∵BO平分∠CBD，CO平分∠BCE， ∴∠CBO＝12∠CBD，∠BCO＝12∠BCE， ∴∠CBO＋ ∠BCO＝12(∠CBD＋∠BCE)． ∵∠ABC＋∠CBD＝180°，∠ACB＋∠BCE＝180°， ∴∠CBD＋∠BCE＝360°－(∠ABC＋∠ACB)． ∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A， ∴∠CBD＋∠BCE＝180°＋∠A， ∴∠CBO＋∠BCO＝12(180°＋∠A)＝90°＋12∠A. ∵∠BOC＝180°－(∠CBO＋∠BCO)， ∴∠BOC＝180°－90°－12∠A＝90°－12∠A. 分层练习-巩固 ②∵∠CBO＝12∠CBD，∠BCO＝12∠BCE，且∠CBD<180°，∠BCE <180°， ∴∠CBO<90°，∠BCO<90°. 又∵∠BOC＝90°－ 12∠A， ∴∠BOC<90°. ∴∠BOC，∠CBO，∠BCO都是锐角， ∴△BOC为锐角三角形． 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 A 课堂反馈 课堂反馈 课堂反馈 课堂反馈 三角形重要线段 高 钝角三角形两短边上的高的画法 中线 会把原三角形面积平分 一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差 角平分线 课堂小结 一、选择题 1．一定可以把一个三角形分成两个面积相等的三角形的是( ) A．三角形的中线 B．三角形的角平分线 C．三角形的高线 D．以上说法均不正确 2．如图，在△ABC中，D，E分别是BC上的两点，且BD＝DE＝EC，则图中面积相等的三角形有( ) A．4对　 　 B．5对　 　C．6对　 　D．7对 3．如图，在△ABC中，AB>AC，AD是△ABC的边BC上的中线，BE是△ABD的角平分线，有下列结论： ①∠ABE＝∠DBE；②BC＝2BD＝2CD；③△ABD的周长等于△ACD的周长．其中正确的个数有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．如图，已知∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则图中与∠A相等的角是 (　　) A.∠1 B．∠2 C．∠B D．∠1，∠2和∠B 二、填空题 5．在直角三角形中两个锐角的差为20º，则这两个锐角的度数分别为 . 6．在△ABC中，AB＝6，AC＝10，那么BC边的取值范围是____ ，周长的取值范围是______． 7．在△ABC中，三边长分别为正整数a，b，c，且c≥b≥a＞0，如果b＝4，则这样的三角形共有_________个． 8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线． (1)若 BC＝6 cm，则CD＝ cm； (2)若CD＝a，则BC＝ ； (3)若＝8 cm²，则＝ cm². 9．如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高线，且CD，BE交于点P.若∠A＝70°，则∠BPC＝110°；若∠BPC＝100°，则∠A＝ . 11．如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AD的中点，连结BE.若＝16 cm²，求. 【解】∵D是BC的中点 ， ∴＝＝1/2＝8 cm². ∵E是AD的中点， ∴＝＝1/2＝4 cm². 【解】∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD. ∵＝AB＋BD＋AD，＝AC＋CD＋AD， ∴AB＝－BD－AD，AC＝－CD－AD. ∴AB－AC＝(－BD－AD)－(－CD－AD)＝－＝8. 【解】(1)连结PA. ∵＝＋， ∴12AC•BD＝12AB•PF＋12AC•PE. ∵AB＝AC，∴BD＝PE＋PF. (2)连结PA.∵＝＋， ∴12AB•PF＝12AB•CD＋12AC•P E. ∵AB＝AC，∴PF＝CD＋PE，即PF－PE＝CD. 15．如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝4cm2，求阴影部分的面积S△BEF. 解：∵D是边BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD＝eq \f(1,2)S△ABC＝eq \f(1,2)×4＝2cm2，∵E是AD的中点，∴S△BDE＝eq \f(1,2)S△ABD＝1cm2，S△CDE＝eq \f(1,2)S△ACD＝1cm2，∴S△BEC＝S△BDE＋S△CDE＝2cm2，又∵F是CE的中点，∴S△BEF＝eq \f(1,2)S△BEC＝1cm2. 会识别三角形的高、中线与角平分线． 【例1】如图所示，在△ABC中，∠1＝∠2，点G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，且CF⊥AD于点H，下列判断：①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD边AD上的中线；③CH是△ACD边AD上的高．其中正确的个数为(　　) A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．0 【思路分析】由∠1＝∠2知AD平分∠BAE，但AD不是△ABE内的线段，所以①不正确；同样BE虽然经过△ABD边AD的中点G，但BE也不是△ABD内的线段，因此②也不正确；由于CH⊥AD于点H，由三角形高的定义知CH是△ACD边AD上的高，故③正确． 能解有高、中线的综合题． 【例2】如图，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°，试求： (1)AD的长； (2)△ABE的面积； (3)△ACE和△ABE的周长的差． 【思路分析】直角三角形的面积等于两直角边的长的积的一半，又等于斜边与斜边上高的积的一半，三角形的中线把三角形的面积等分． 【规范解答】(1)∵S△ABC＝eq \f(1,2)AB·AC＝eq \f(1,2)BC·AD，∴AB·AC＝BC·AD，即6×8＝10×AD，∴AD＝4.8(cm)； (2)S△ABE＝eq \f(1,2)BE·AD＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)BC·AD＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×10×4.8＝12(cm2)； (3)C△ACE－C△ABE＝(AC＋CE＋AE)－(AB＋BE＋AE)＝AC－AB＝8－6＝2(cm). $$