1.3 两条直线的平行（第1课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第一册）

苏教版2019高二数学（选修一）第一章 直线与方程 1.3 两条直线的平行与垂直 第一课时 两条直线的平行 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 1.理解并掌握两条直线平行的条件. 2.会运用条件判定两直线是否平行. 3.运用两直线平行时的斜率关系求直线方程，解决相 应的几何问题. 方程 适用范围 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 ★五种直线方程及其适用范围★ 不垂直于x轴的直线 不垂直于x轴的直线 不垂直于坐标轴的直线 不垂直于坐标轴且 不经过原点的直线 任何直线 复习回顾 情景导入 过山车是一项富有刺激性的娱乐项目．实际上，过山车的运动包含了许多数学和物理学原理．过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着，为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，你能感受到过山车中的平行吗？两条直线的平行用什么来刻画呢？ 斜率刻画了直线的倾斜程度，那么，能否用斜率刻画两条直线的位置关系？ 可以 1.两条直线的平行 新知探究 【问题1】我们已经学习了直线的倾斜角、直线的斜率、直线的方程等内容，下面我们将学习两条直线的位置关系，请你用分类的观点，描述一下平面内两条直线的位置关系？ 答： 位置关系 相交 平行 重合 公共点个数 1个 0个 无数个 【问题2】你认为，不重合的两条直线的位置关系（平行、相交） 与它们的倾斜角有何关系？ 答：不重合的两条直线 两直线平行 倾斜角相等 两直线相交 倾斜角不相等 【问题3】你认为，不重合的两条直线的位置关系（平行、相交）与 它们的斜率有何关系？ 答：不重合的两条直线 斜率存在时 两直线平行 斜率相等 斜率不存在时 两直线相交 斜率不相等 （1）l1与 l2 （2）l1与 l2 （3）l1与 l2 平行 重合 相交 y x O l1 l2 y x O l1 l2 【问题4】由直线方程你能直接判断两直线的位置关系吗？ 答：1、对于斜率都存在的两条直线 (1)l1：y＝ k1 x＋b1，l2：y＝ k2 x+b2； k1＝k2 且b1 ≠ b2 k1＝k2 且b1＝b2 k1≠ k2 y x O l1 l2 y x O l1 l2 【问题4】由直线方程你能直接判断两直线的位置关系吗？ 答：2、对于斜率都不存在的两条直线 （1）l1与 l2 （2）l1与 l2 平行 重合 x1≠x2 x1=x2 l1:x= x1 l2:x= x2 y x O l1 l2 y x O l1 l2 【问题4】由直线方程你能直接判断两直线的位置关系吗？ 答：3、对于一条直线斜率存在，另一条直线斜率不存在的两条直线 （1）l1与 l2必相交 两条不重合直线的平行关系判定： 两条直线平行 倾斜角相等 从倾斜角看 两条直线平行 斜率相等或斜率都不存在 从斜率看 从（斜截式）方程看 两条直线平行 或斜率都不存在 k1＝k2 且b1 ≠ b2 概念归纳 平面内任意两条直线的位置关系判定： 1、对于斜率都存在的两条直线 2、对于斜率都不存在的两条直线 （1）l1与 l2 （2）l1与 l2 （3）l1与 l2 平行 重合 相交 (1)l1：y＝ k1 x＋b1，l2：y＝ k2 x+b2； k1＝k2 且b1 ≠ b2 k1＝k2 且b1＝b2 k1≠ k2 （1）l1与 l2 （2）l1与 l2 平行 重合 x1≠x2 x1=x2 l1:x= x1 l2:x= x2 3、对于一条直线斜率存在，另一条直线斜率不存在的两条直线 （1）l1与 l2必相交 （直线斜截式方程) 平行 （1）l1与 l2 （2）l1与 l2 （3）l1与 l2 重合 相交 2.平面内任意两条直线位置关系的判定（直线一般式方程) 新知探究 （2）与直线l:y=kx+b(k≠0)平行的直线可设为： y=kx+m(k≠0,m≠b) （1）与直线平行的直线可设为： 3.平行直线系方程 新知探究 判定两条直线平行的程序 两条直线方程 两条直线斜率都不存在 化为斜截式方程 观察两条直线斜率截距 k1＝k2 b1 ≠ b2 k1＝k2 b1 ≠ b2 k1 ≠ k2 平行 重合 相交 平行或重合 1. 两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率都存在 斜率都不存在 图示     对应关系 l1∥l2⇔k1=k2 两直线斜率都不存在⇒l1∥l2 概念归纳 典例剖析 典例剖析 判断两条不重合的直线是否平行的方法 不平行 一条存在 一条不存在 看斜率 相等？ 都存在 是 否 不平行 平行 平行 都不 存在 概念归纳 练一练 典例剖析 典例剖析 练一练 典例剖析 练一练 随堂练 随堂练 随堂练 随堂练 分层练习-基础 答案　AC 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-巩固 B 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 1. 两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率都存在 斜率都不存在 图示     对应关系 l1∥l2⇔k1=k2 两直线斜率都不存在⇒l1∥l2 课堂小结 解　设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2. (1)由直线l1，l2的方程可知k1＝2，k2＝2， 所以k1＝k2. 又直线l1，l2在y轴上的截距分别为1和－1，所以l1与l2不重合， 从而l1∥l2. (2)由直线l1，l2的方程可知k1＝2，k2＝－， 所以k1≠k2，从而l1与l2不平行． 课本例2　判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)l1：y＝2x＋1，l2：y＝2x－1； (2)l1：2x－y－7＝0，l2：x＋2y－1＝0. 【变式】判断下列各题中的直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)； (2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)； (3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)； (4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)． 解　(1)k1＝＝1，k2＝＝，k1≠k2，故l1与l2不平行． (2)k1＝1，k2＝＝1，k1＝k2， 故l1∥l2或l1与l2重合． (3)k1＝＝－1，k2＝＝－1， k1＝k2. 又kAM＝＝－2≠－1， 则A，B，M不共线，故l1∥l2. (4)由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故l1∥l2. (1)已知直线l1经过点A(0,3)，B(5,3)，直线l2经过点M(2,5)，N(6,5)，判断直线l1与l2是否平行． 解　∵l1与l2都与y轴垂直，且l1与l2不重合， ∴l1∥l2. (2)试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行． 解　由题意知直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在． kAB＝＝，kCD＝＝， 由于AB∥CD，所以kAB＝kCD， 即＝，解得m＝－2.经验证， 当m＝－2时直线AB的斜率存在，所以m＝－2. 课本例3　求过点A(2，－3)，且与直线2x＋y－5＝0平行的直线的方程． 解　已知直线的斜率是－2，因为所求直线与已知直线平行，所以所求直线的斜率也是－2. 根据直线的点斜式方程，得所求直线的方程为 y＋3＝－2(x－2)， 即2x＋y－1＝0. 【变式】求与直线3x＋4y＋1＝0平行，且过点(1,2)的直线l的方程． 解　方法一　设直线l的斜率为k， ∵直线l与直线3x＋4y＋1＝0平行， ∴k＝－， 又∵直线l经过点(1,2)， ∴所求直线的方程为y－2＝－(x－1)， 即3x＋4y－11＝0. 方法二　设与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线l的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠1)． ∵直线l经过点(1,2)， ∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11， ∴所求直线的方程为3x＋4y－11＝0. 反思感悟　与已知直线平行的直线方程的求法可以求点斜式方程，也可以先设成一般式，用待定系数法求方程． (1)已知直线l过点(0,7)，且与直线y＝－4x＋2平行，则直线l的方程为(　　) A．y＝－4x－7 B．y＝4x－7 C．y＝4x＋7 D．y＝－4x＋7 答案　D 解析　过点(0,7)且与直线y＝－4x＋2平行的直线方程为y－7＝－4x， 即直线l的方程为y＝－4x＋7. (2)已知A(0，－2)，B(3,1)，C(－2,2)三点，直线l过点B且与直线AC平行，求直线l的方程． 解　由题意可知kAC＝＝－2， 则kl＝－2， 又直线l过点B， ∴直线l的方程为y－1＝－2(x－3)， 即2x＋y－7＝0. 例3　已知两直线l1：x＋my＋6＝0；l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0， 当m为何值时，直线l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合． 解　∵直线l1：x＋my＋6＝0， 直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0， ∴A1＝1，B1＝m，C1＝6， A2＝m－2，B2＝3，C2＝2m. (1)若l1与l2相交，则A1B2－A2B1≠0， 即1×3－m(m－2)≠0， 即m2－2m－3≠0，即(m－3)(m＋1)≠0， 即m≠3，且m≠－1. 故当m≠3，且m≠－1时，直线l1与l2相交． (2)若l1∥l2，则有 即 即 即 ∴m＝－1. 故当m＝－1时，直线l1与l2平行． (3)若l1与l2重合，则有 即 ∴∴m＝3. 故当m＝3时，直线l1与l2重合． 点拨：已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则： l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． (2)若直线l′：m2x＋(2m－3)y－3m－3＝0与直线l平行，则m2×(－1)－1×(2m－3)＝0，∴m＝－3或m＝1， 当m＝－3时，直线l′：x－y＋＝0，满足题意； 当m＝1时，直线l′：x－y－6＝0与直线l重合，不满足题意， 综上所述，m＝－3. 解　(1)由题意设直线l的方程为＋＝1(a≠0)， 将点P(3，－3)代入得＋＝1，解得a＝6， ∴直线l的方程为－＝1， ∴直线l的一般式方程为x－y－6＝0. 已知直线l经过点P(3，－3)，在两坐标轴上的截距互为相反数且均不为0. (1)求直线l的一般式方程； (2)若直线l′：m2x＋(2m－3)y－3m－3＝0与直线l平行，求m的值． 1．已知直线l1的倾斜角为30°，又l1∥l2，则直线l2的斜率为(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　C 解析　因为l1∥l2，所以kl2＝kl1＝tan 30°＝. 2．直线x＋ay－7＝0与直线(a＋1)x＋2y－14＝0平行，则a的值是(　　) A．1 B．－2 C．1或－2 D．－1或2 答案　B 解析　由已知，得a(a＋1)－2＝0，解得a＝－2或a＝1.当a＝1时，两直线重合，∴a＝－2. 3．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为(　　) A．－8 B．0 C．2 D．10 答案　A 解析　由已知，得＝－2，∴m＝－8. 答案　±2 解析　由题意知m2－3＝tan 45°，解得m＝±2. 4．已知直线l1的倾斜角为45°，直线l2的斜率为k＝m2－3，若l1∥l2，则m的值为________． 1．(多选)若l1与l2为两条直线，它们的倾斜角分别是α1，α2，斜率分别为k1，k2，则下列选项中正确的是(　　) A．若l1∥l2，则斜率k1＝k2 B．若k1＝k2，则l1∥l2 C．若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2 D．若α1＝α2，则l1∥l2 2．过点A(2,5)和点B(－4,5)的直线与直线y＝3的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对 答案　B 解析　斜率都为0且不重合，所以平行． 3．已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)和点B(a，－1)，且直线l与l1平行，则实数a的值为(　　) A．0 B．1 C．6 D．0或6 答案　C 解析　由直线l的倾斜角为，得直线l的斜率为－1， 因为直线l与l1平行，所以l1的斜率为－1. 又直线l1经过点A(3,2)和点B(a，－1)， 所以l1的斜率为，故＝－1，解得a＝6. 4．若直线l1：mx－y－2＝0与直线l2：(2－m)x－y＋1＝0互相平行，则实数m的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案　C 解析　∵直线l1：mx－y－2＝0与直线l2：(2－m)x－y＋1＝0互相平行， ∴解得m＝1. 5．设不同直线l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　C 解析　当m＝2时，易知两直线平行，即充分性成立．当l1∥l2时，显然m≠0，从而有＝m－1， 解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不符合要求，故必要性成立，故选C. 6．已知直线l：(a－1)x＋(b＋2)y＋c＝0，若l∥y轴，但不重合，则下列结论正确的是(　　) A．a≠1，b≠2，c≠0 B．a≠1，b＝－2，c≠0 C．a＝1，b≠－2，c≠0 D．a≠1，b≠－2，c≠0 答案　B 解析　∵直线l：(a－1)x＋(b＋2)y＋c＝0，l∥y轴，但不重合，∴ 解得a≠1，b＝－2，c≠0. 7．已知点A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为(　　) A．－1或0 B．0或1 C．1 D．2 解析　当m＝0时，直线AB与直线CD的斜率均不存在且不重合，此时AB∥CD. 当m≠0时，kAB＝，kCD＝， 则kAB＝kCD，即＝，解得m＝1， 综上，m＝0或m＝1. 8．(多选)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．5 答案　CD 解析　由两直线平行得，当k－3＝0，即k＝3时，两直线的方程分别为y＝－1和y＝，显然两直线平行．当k－3≠0，即k≠3时，由＝≠，解得k＝5.综上，k的值是3或5. 9.如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0,0)，A(1,1)，B(3,0)三点为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是(　　) A．(－3,1) B．(4,1) C．(－2,1) D．(2，－1) 答案　A 解析　如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC1，▱ABOC2，▱AOC3B.根据平行四边形的性质，可知选项B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标，故选A. 10．已知两条直线的斜率分别为和－，若这两条直线互相平行，则实数a的最大值为________． 答案　 解析　因为两条直线互相平行，所以＝－，所以a＝－b4＋b2＝－2＋≤，当且仅当b2＝时取等号，故实数a的最大值为. 11．在平面直角坐标系中，已知直线l1：ax＋by＋1＝0，l2：(a－2)x＋y＋a＝0. (1)求直线l2经过定点的坐标； (2)当b＝4且l1∥l2时，求实数a的值． 解　(1)∵(a－2)x＋y＋a＝0， ∴ax－2x＋y＋a＝0， ∴a(x＋1)＋(y－2x)＝0，令x＋1＝0且y－2x＝0，则x＝－1，y＝－2， ∴对任意a∈R，直线l2：(a－2)x＋y＋a＝0过定点(－1，－2)． (2)当b＝4时，直线l1：ax＋4y＋1＝0， 即y＝－x－， 又直线l2：(a－2)x＋y＋a＝0， 即y＝(2－a)x－a， ∵l1∥l2， ∴－＝2－a且－≠－a， ∴a＝. $$