1.1.2 空间向量的数量积运算 （教学课件）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

人教A版2019高二数学（选修一）第一章 空间向量与立体几何 1.1.2空间向量的数量积运算 1 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 1.类比平面向量的数量积,研究空间向量的数量积，包括：空间向量的夹角、空间向量数量积的运算法则和运算律、空间向量的投影。 2.学会将证明线面垂直、线线垂直及求两点间距离或线段长度等立体几何问题，转化为向量的运算问题。 G20峰会向世界展示了杭州的无穷魅力,一些别致的建筑和设计令人印象深刻!设计、制造这些宏伟的建筑、精美的造型,都会遇到许多立体几何问题,比如建筑的地面垂不垂直,要不要垂直?构成建筑的部件长度是多少?彼此成多少角度比较合适等等.怎么样才能解决这些问题呢,必须有强大的数学工具! 情景导入 问题1:在所学的数学工具中,哪些可以用来研究垂直问题,计算长度、角度问题? 问题2:我们已经学习了平面向量,并深刻地体会到平面向量在解决垂直、长度、角度等问题中的应用.我们还学习了空间向量的加法、减法、数乘运算,那么空间向量中,怎么样的运算能支持判断垂直问题,计算长度、角度问题? 情景导入 与 反向 O A B O A 与 同向 O A B B 记作 与 垂直， O A B 注意：在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的 复习回顾 问题1 如何类比平面向量的数量积运算，把它推广到空间向量呢？ 回忆平面向量数量积的研究过程： 夹角 数量积的定义 运算律 应用 问题2 平面向量的夹角是如何定义的？你能类比平面向量的夹角概念，给出空间向量的夹角概念吗？ 注意： 1.在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的 1.平面向量的夹角 新知探究 注意： 1.在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的 2.空间向量的夹角 新知探究 问题3 平面向量的数量积是如何定义的？你能类比平面向量的数量积定义，给出空间向量的数量积定义吗？ 注意： 1. ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. 对于非零向量　　 ，有： 平面向量的数量积 空间向量的数量积 注意： 1.两个空间向量的数量积是一个实数 概念归纳 平面向量的数量积 空间向量的数量积 证明空间中的垂直关系 求空间中线段的长度 概念归纳 问题4 在平面向量中我们学习过投影向量的概念，什么是投影向量？你能把它推广到空间中吗？ 3.平面中的投影向量 新知探究 设 ， 是两个非零向量， ， ，过 的起点A和终点B，分别作 所在直线的垂线，垂足分别为 ， ，得到 ，我们称上述变换为向量 向 向量 投影， 叫做向量 在向量 上的投影向量. M N A B C D 0 (1) (2) 追问1: 空间中，如何作向量a向一条直线l的投影呢？ A B (3) 追问2: 空间中，如何作向量a在平面β上的投影？ 4.空间中的投影向量 新知探究 平面向量的数量积 问题4 空间向量的数量积运算有哪些运算律？如何证明？ 空间向量的数量积 思考： 不一定！ 不一定！ 思考： 不能！ 没有定义向量除法运算！ 思考： 不一定！ 向量的数量积没有结合律！ 思考： 通过以上4个问题：我们需要注意空间中的数量积运算和向量的线性运算，实数的乘法运算的区别 问题5 用空间向量的数量积运算，可以解决空间中的哪些问题？ 平面向量的数量积的应用 （1）求线段的长度（距离）： （2）求夹角： （3）证明垂直： 把所求线段看成一个向量的模，并用其它已知向量表示它，再用数量积运算求该向量的模 空间向量的数量积的应用 概念归纳 典例剖析 23 求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角， 当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量， 再代入计算. 典例剖析 典例剖析 随堂练 随堂练 随堂练 随堂练 随堂练 随堂练 A B C C1 A1 B1 B 注意： 求两向量夹角，必须特别关注两向量方向，根据数量积的正负，可确定夹角是锐角、直角还是钝角． 课本练习 B D A C 分析：利用空间向量数量积的运算律及数量积的定义求解 3.如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=4，AD=3，AA'=5，∠BAD=90°，∠BAA'=∠DAA'=60°.求： A B D C a c b 利用向量解决立体几何问题的“三步曲” A B C D E F 习题1.1 A B C D (第2题) E A B C D E F A B C D E F G A B C D E F G A B C D E F G A B C D E F G (第4题) A B C D D1 C1 B1 A1 M (第5题) A A B C D E F G H (第6题) 6．如图，已知E，F，G，H分别为四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，求证： E，F，G，H四点共面． A B C D A B C D A B O C D 8．用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直（三垂线定理）． A B C O A B C H F E O G A B C H F E O G 错因分析 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各对向量夹角为45°的是(　　) 解析 四个选项中两个向量的夹角依次是45°,135°,90°,180°,故选A. 答案 A 分层练习-基础 答案 D 分层练习-基础 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是上底面A1B1C1D1的中心,则AC1与CE的位置关系是(　　) A.重合 B.平行 C.垂直 D.无法确定 答案 C 分层练习-基础 答案 0 分层练习-基础 5.如图所示,已知平行六面体ABCD -A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,求证:CC1⊥BD. 分层练习-基础 A B A1 C1 B1 C 1.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1 中,若AB= BB1,则AB1与BC1所成角的大小为( ) A. B. C. D. B 分层练习-巩固 2.已知a、b是异面直线，且a⊥b，e1、e2分别为取自直线a、b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为___. 解析　由a⊥b，得a·b＝0， ∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0， ∴2k－12＝0，∴k＝6. 6 分层练习-巩固 3.已知在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中, AB=4, AD=3,AA'=5, ∠BAD=90°,∠BAA'=∠DAA'=60°, 求对角线AC'的长。 D' C' B' D A B C A' 分层练习-巩固 D' C' B' D A B C A' 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 1.空间向量的数量积运算 （1）空间向量的数量积运算的定义 （2）空间向量的数量积运算的运算律 （3）空间向量的数量积运算的应用 2.类比平面向量的研究方法 类比 猜想 转化或证明 应用 课堂小结 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. (2)数量积的运算律 数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝______ 交换律 a·b＝_____ 分配律 a·(b＋c)＝_________ a·b＋a·c λ(a·b) b·a 思考　如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量与的数量积？并总结求两个向量数量积的方法. 解　∵＝－， ∴·＝·－· ＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉 ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16. 解：（1）可得 故 ＝42+32+52+2（4×3×0+4×）＝85 故AC′的长等于 例1.已知平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3， AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°， （1）求AC′的长；（如图所示） （2）求与的夹角的余弦值． 1．判断正误 (1)向量eq \o(AB,\s\up17(―→))与eq \o(CD,\s\up17(―→))的夹角等于向量eq \o(AB,\s\up17(―→))与eq \o(DC,\s\up17(―→))的夹角． (　　 ) (2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0. (　　 ) (3)对于非零向量a，b，〈a，b〉与〈a，－b〉相等．(　　) (4)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c. (　　) (5)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件． (　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 3．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________. 答案：eq \f(2π,3) 2．在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角 为45°的是 (　　) A. eq \o(AB,\s\up17(―→))与eq \o(A′C′,\s\up17(――→))　　　 B．eq \o(AB,\s\up17(―→))与eq \o(C′A′,\s\up17(――→)) C. eq \o(AB,\s\up17(―→))与eq \o(A′D,\s\up17(――→)) D．eq \o(AB,\s\up17(―→))与eq \o(B′A′,\s\up17(――→)) 答案：A 答案：A　 3．已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝ (　　 ) A．1　　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：∵p⊥q且|p|＝|q|＝1， ∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1. 4．(多选)设a，b为空间中的两个非零向量，则下列各式正确的是(　　) A．a2＝|a|2　　　　B.eq \f(a·b,a2)＝eq \f(b,a) C．(a·b)2＝a2·b2 D．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2 解析：A、D正确，B、C不正确． 答案：AD 5．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________. 解析：∵cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－3,3×2)＝－eq \f(1,2) ∴〈a，b〉＝eq \f(2π,3). 答案：eq \f(2π,3) 6．设a⊥b，〈a，c〉＝eq \f(π,3)，〈b，c〉＝eq \f(π,6)，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则向量|a＋b＋c|＝________. 解析：∵|a＋b＋c|2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋a·c＋b·c) ＝1＋4＋9＋2×0＋1×3×eq \f(1,2)＋2×3×eq \f(\r(3),2)＝17＋6eq \r(3). ∴|a＋b＋c|＝eq \r(17＋6\r(3)). 答案： eq \r(17＋6\r(3)) 易错辨析　混淆向量的夹角与空间角 如图所示，在平面角为120° 的二面角α－AB－β中，AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B.已知AC＝AB＝BD＝6，求线段CD的长． 解析：∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴eq \o(CA,\s\up10(→))·eq \o(AB,\s\up10(→))＝0，eq \o(BD,\s\up10(→))·eq \o(AB,\s\up10(→))＝0. ∵二面角α－AB－β的平面角为120°，∴〈eq \o(CA,\s\up10(→))，eq \o(BD,\s\up10(→))〉＝180°－120°＝60°. ∴eq \o(CD,\s\up10(→))2＝(eq \o(CA,\s\up10(→))＋eq \o(AB,\s\up10(→))＋eq \o(BD,\s\up10(→)))2＝eq \o(CA,\s\up10(→))2＋eq \o(AB,\s\up10(→))2＋eq \o(BD,\s\up10(→))2＋2eq \o(CA,\s\up10(→))·eq \o(AB,\s\up10(→))＋2eq \o(CA,\s\up10(→))·eq \o(BD,\s\up10(→))＋2eq \o(BD,\s\up10(→))·eq \o(AB,\s\up10(→))＝3×62＋2×62×cos 60°＝144， ∴CD＝12. 【易错警示】 易错原因 纠错心得 本题易错的地方是混淆二面角的平面角与向量夹角的概念，而误认为向量eq \o(CA,\s\up10(→))，eq \o(BD,\s\up10(→))的夹角〈eq \o(CA,\s\up10(→))，eq \o(BD,\s\up10(→))〉＝120°，得到错误答案CD＝6eq \r(2). 利用数量积的性质求解有关平面或空间中角的问题时，要特别注意向量的夹角与所求角的区别与联系，切不可忽略角的取值范围而盲目套用．利用向量求二面角的平面角时，一般不能保证所求的角就是二面角的平面角，也有可能是二面角的平面角的补角，这时要结合实际图形对所求的角进行适当的处理. A. B. C. D. 2.在棱长为1的正四面体ABCD中,E,F分别是BC,AD的中点,则等于(　　) A.0 B.C.- D. 解析 )·) =. 解析 设正方体的棱长为1,则),于是=()· =0--0+0-0-+1-0-0=0,故,即AC1与CE垂直. 4.在空间四边形ABCD中,=　　　　.  解析 原式=·() =·()+·() ==0. 证明 设=a,=b,=c,则|a|=|b|. ∵=b-a, ∴=(b-a)·c=b·c-a·c =|b||c|cos 60°-|a||c|cos 60°=0. ∴,即C1C⊥BD. 5.如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，底面边长为eq \r(2). (1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1； (2)设AB1与BC1的夹角为eq \f(π,3)，求侧棱的长． 解：(1)证明：eq \o(AB1,\s\up17(―→))＝eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(BB1,\s\up17(―→))，eq \o(BC1,\s\up17(―→))＝eq \o(BB1,\s\up17(―→))＋eq \o(BC,\s\up17(―→)). ∵BB1⊥平面ABC， ∴eq \o(BB1,\s\up17(―→))·eq \o(AB,\s\up17(―→))＝0，eq \o(BB1,\s\up17(―→))·eq \o(BC,\s\up17(―→))＝0. 又△ABC为正三角形， ∴〈eq \o(AB,\s\up17(―→))，eq \o(BC,\s\up17(―→))〉＝π－〈eq \o(BA,\s\up17(―→))，eq \o(BC,\s\up17(―→))〉＝π－eq \f(π,3)＝eq \f(2π,3). ∵eq \o(AB1,\s\up17(―→))·eq \o(BC1,\s\up17(―→))＝(eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(BB1,\s\up17(―→)))·(eq \o(BB1,\s\up17(―→))＋eq \o(BC,\s\up17(―→))) ＝eq \o(AB,\s\up17(―→))·eq \o(BB1,\s\up17(―→))＋eq \o(AB,\s\up17(―→))·eq \o(BC,\s\up17(―→))＋eq \o(BB1,\s\up17(―→))2＋eq \o(BB1,\s\up17(―→))·eq \o(BC,\s\up17(―→)) ＝|eq \o(AB,\s\up17(―→))|·|eq \o(BC,\s\up17(―→))|·cos〈eq \o(AB,\s\up17(―→))，eq \o(BC,\s\up17(―→))〉＋eq \o(BB1,\s\up17(―→))2 ＝－1＋1＝0，∴AB1⊥BC1. (2)由(1)知eq \o(AB1,\s\up17(―→))·eq \o(BC1,\s\up17(―→))＝|eq \o(AB,\s\up17(―→))|·|eq \o(BC,\s\up17(―→))|·cos〈eq \o(AB,\s\up17(―→))，eq \o(BC,\s\up17(―→))〉＋eq \o(BB1,\s\up17(―→))2＝eq \o(BB1,\s\up17(―→))2－1. 又|eq \o(AB1,\s\up17(―→))|＝ o(AB,\s\up17(―→))eq \r(2＋eq \o(BB1,\s\up17(―→))2) ＝ o(BB1,\s\up17(―→))eq \r(2＋2) ＝|eq \o(BC1,\s\up17(―→))|， ∴cos〈eq \o(AB1,\s\up17(―→))，eq \o(BC1,\s\up17(―→))〉＝o(BB1,\s\up17(―→))eq \f(2－1,2＋eq \o(BB1,\s\up17(―→))2) ＝eq \f(1,2)， ∴|eq \o(BB1,\s\up17(―→))|＝2，即侧棱长为2. 6.在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3 根细绳均匀地固定在横梁上．在其中一个 秤盘中放入质量为1 kg的物品，在另一个 秤盘中放入质量为1 kg的砝码，天平平衡.3 根细绳通过秤盘分担对物品的拉力(拉力分别为F1，F2，F3)， 若3根细绳两两之间的夹角均为eq \f(π,3)，不考虑秤盘和细绳本身的 质量，则F1，F2，F3的大小分别是多少？ 【分析】本题是物理知识转化为数学知识求解，经受力分析，得到|F1|，|F2|，|F3|的关系，然后利用向量模的运算求其大小． 解：由题意可知，|F1|＝|F2|＝|F3|，且|F1＋F2＋F3|＝g， ∴Feq \o\al(2,1)＋Feq \o\al(2,2)＋Feq \o\al(2,3)＋2F1F2＋2F1F3＋2F2F3＝6|F1|2＝g2， ∴|F1|＝|F2|＝|F3|＝eq \f(\r(6),6) g. A．0　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 1．[多选]如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1,2,3，…，16)是上、下底面上除A，B两点以外其余的十六个点，则eq \o(AB,\s\up17(―→))·eq \o(APi,\s\up17(―→))的不同的值是 (　　) 解析：由题图知，AB与上底面垂直，因此AB⊥BPi(i＝1,2，…，8)，则eq \o(AB,\s\up17(―→))·eq \o(APi,\s\up17(―→))＝|eq \o(AB,\s\up17(―→))|·|eq \o(APi,\s\up17(―→))|cos∠BAPi＝|eq \o(AB,\s\up17(―→))|·|eq \o(AB,\s\up17(―→))|＝1；同理，由于AB与下底面垂直，因此AB⊥APi(i＝9,10，…，16)，所以eq \o(AB,\s\up17(―→))·eq \o(APi,\s\up17(―→))＝0.故eq \o(AB,\s\up17(―→))·APi的不同的值为0或1. 答案：AB　 $$