专题05 一元线性回归模型与独立性检验常考题型归类（考题猜想，6大题型30题专练）-2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（人教B版2019选择性必修第二册）

专题05 一元线性回归模型与独立性检验 一．相关系数与相关指数 1．（23-24高二下·江西·月考）已知变量x，y线性相关，利用样本数据求得的回归直线方程为，且点都在直线上，则这组样本数据的相关系数（    ） A．1 B． C． D． 2．（23-24高二下·河南驻马店·期中）对两个变量y与x进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是（    ） A．模型Ⅰ：相关系数r为 B．模型Ⅱ：相关系数r为0.81 C．模型Ⅲ：相关系数r为 D．模型Ⅳ：相关系数r为0.53 3．（23-24高二下·天津·期中）对甲、乙两组数据进行统计，获得以下散点图（左图为甲，右图为乙），下列结论正确的是（    ） A．乙组数据的相关系数大于零 B．甲组数据的相关程度比乙强 C．乙组数据的相关系数比甲组的更接近1 D．乙组数据的相关系数比甲小 4．（23-24高二下·辽宁沈阳·月考）已知5个成对数据的散点图如下、若去掉点，则下列说法错误的是（    ） A．变量x与变量y呈负相关 B．变量x与变量y的相关性变强 C．残差平方和变小 D．样本相关系数r变大 5．（23-24高二下·贵州·月考）某公司收集了某商品销售收入（万元）与相应的广告支出（万元）共10组数据（），绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合. 若将图中10个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．决定系数变小 B．残差平方和变小 C．相关系数的值变小 D．解释变量与预报变量相关性变弱 二．样本中心点的应用 1．（23-24高二下·湖南岳阳·月考）已知变量的部分数据如下表，由表中数据得之间的经验回归方程为，现有一测量数据为，若该数据的残差为1.2，则（    ） 21 23 25 27 15 18 19 20 A．25.6 B．28 C．29.2 D．24.4 2．（23-24高二下·河南濮阳·月考）在研究变量与之间的相关关系时，进行实验后得到了一组样本数据，，…，，，利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据误差较大，剔除这对数据后，求得的经验回归方程为，且，则（   ） A．13.5 B．14 C．14.5 D．15 3．（23-24高二下·河南·月考）已知一组样本数据如下表所示：经研究发现，x与y之间具有线性相关关系，其回归直线方程为，若成等差数列，则当时，的预测值约为（结果精确到0．01）（   ） x 1 2 3 4 5 6 7 y 2 5 m 9 n 13 16 A．18.86 B．20.13 C．22.10 D．26.02 4．（23-24高二下·河南南阳·期中）具有线性相关关系的变量的样本数据如下： －2 －4 －6 －8 17.4 13 8.2 5 其回归直线方程为，则回归直线经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 5．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）（多选）已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，剔除一个偏离直线较大的异常点后，得到新的回归直线经过点.则下列说法正确的是（   ） A．相关变量 x，y具有正相关关系 B．剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大 C．剔除该异常点后的回归直线方程经过点 D．剔除该异常点后，回归直线的斜率是 三．线性回归模型应用 1．（23-24高二下·河北沧州·月考）假期中，来自沿海城市的小明和小强去四川旅游，他们发现自己带的小面包的包装袋鼓了起来.原来随着海拔升高，气压也随之降低，包装袋内的气压大于外面气压，从而使得面包袋鼓了起来.研究发现在一定范围内大气压与海拔高度是近似线性的关系. 海拔高度 10 50 100 500 1000 大气压 101.2 100.6 100.2 94.8 88.2 (1)利用线性回归分析求与之间的线性回归方程；（的值精确到0.001） (2)小明和小强打算去九寨沟，可以利用（1）中的方程，估计九寨沟A景点（海拔2800m）的大气压.（精确到0.01） 附：①对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. ②参考数据：，. 2．（23-24高二下·安徽·月考）我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划、某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金．该企业为了了解研发资金的投入额（单位：百万元）对年收入的附加额（单位：百万元）的影响，对往年研发资金投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下： 投入额 2 3 4 5 6 8 9 11 年收入的附加额 3.6 4.1 4.8 5.4 6.2 7.5 7.9 9.1 (1)求证：，； (2)求年收入的附加额与投入额的经验回归方程．若投入额为13百万元，估计年收入的附加额． 参考数据：，，． 参考公式：在经验回归方程中，，． 3．（23-24高二下·贵州黔西·月考）当今社会面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业、创新的方式实现人生价值.小明是一名刚毕业的大学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近5个月的家乡特产收入y（单位：万元）的情况，如表所示. 月份 5 6 7 8 9 时间代号t 1 2 3 4 5 家乡特产收入y 3 2.4 2.2 2 1.8 (1)根据5月至9月的数据，求y与t之间的样本相关系数（精确到0.001），并判断相关性； (2)求出y关于t的经验回归方程（结果中保留两位小数），并预测10月收入能否突破1.5万元，请说明理由. 附：样本相关系数.一组数据其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.，，，. 4．（23-24高二下·云南曲靖·月考）某地区响应“节能减排，低碳生活”的号召，开展系列的措施控制碳排放．环保部门收集到近5年内新增碳排放数量，如下表所示，其中为年份代号，（单位：万吨）代表新增碳排放量． 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代号 1 2 3 4 5 新增碳排放万吨 6.1 5.2 4.9 4 3.8 (1)请计算并用相关系数的数值说明与之间的线性相关性的强弱（保留小数点后两位）； (2)求关于的线性回归方程，并据此估计该地区23-24年的新增碳排放数量． 参考数据：，，，． 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为，， 5．（23-24高三上·江苏苏州·月考）某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高（单位：）与父亲身高（单位：）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表： 父亲身高 160 170 175 185 190 儿子身高 170 174 175 180 186 参考数据及公式：，，，，， (1)根据表中数据，求出y关于x的线性回归方程，并利用回归直线方程分别确定儿子比父亲高和儿子比父亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？ (2)记，，其中为观测值，为预测值，为对应的残差．求（1）中儿子身高的残差的和、并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立加以证明；若不成立说明理由． 四．非线性回归分析 1．（23-24·福建宁德·三模）23-24海峓两岸各民族欢度“三月三”暨福籽同心爱中华福建省第十一届“三月三”畲族文化节活动在宁德隆重开幕.海峡两岸各民族同胞齐聚于此，与当地群众共同欢庆“三月三”，畅叙两岸情.在活动现场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，以后每过一个小时反馈一次.指挥中心统计了前5次的数据，其中为第次入口人流量数据（单位:百人），由此得到关于的回归方程.已知，根据回归方程（参考数据:），可顶测下午4点时入口游客的人流量为（    ） A．9.6 B．11.0 C．11.3 D．12.0 2．（23-24高二下·贵州黔西·月考）为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量（单位：亿元）与研发人员增量（人）的10组数据．现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中. 7.5 2.25 82.50 4.50 12.14 2.88 (1)根据残差图，判断应选择哪个模型；（无需说明理由） (2)根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？（精确到1） 3．（23-24高二下·广东·期中）某地政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果.以下是某农户近5年种植药材的年收入的统计数据： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 年收入（千元） 59 61 64 68 73 (1)根据表中数据，现决定使用模型拟合与之间的关系，请求出此模型的回归方程；（结果保留一位小数） (2)统计学中常通过计算残差的平方和来判断模型的拟合效果.在本题中，若残差平方和小于0.5，则认为拟合效果符合要求.请判断（1）中回归方程的拟合效果是否符合要求，并说明理由. 参考数据及公式：，.设，则，. 4．（23-24高二下·广东江门·月考）广东省深圳市是全国七大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入.该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得： 44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06 现有①和②两种方案作为年销售量关于年广告费的回归分析模型，其中，，，均为常数. (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？（不能整除的相关系数保留2位小数） (2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出关于的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？ 附：①相关系数，回归直线中公式分别为，， ②参考数据：，，，. 5．（23-24高三上·广东广州·月考）中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y（单位：）关于时间x（单位：min）的回归方程模型，通过实验收集在室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据，并对数据做初步处理得到如图所示散点图以及如表所示数据.    73.5 3.85 表中：， (1)根据散点图判断，①与②哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）请根据你的判断结果及表中数据建立该茶水温度y关于时间x的回归方程； (2)已知该茶水温度降至口感最佳，根据（1）中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？ 附：（1）对于一组数据，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， （2）参考数据：，，，， 五．独立性检验的概念辨析 1．（23-24高二下·江苏·课前预习）假设有两个分类变量与，它们的可能取值分别为和，其列联表为： 10 18 26 则当取下面何值时，与的关系最弱（    ） A．8 B．9 C．14 D．19 2．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，运用2×2列联表进行检验，经计算，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过（  ） A．0.1% B．1% C．99% D．99.9% 3．（23-24高二下·全国·专题练习）为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，运用列联表进行检验，经计算，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过（ ） α 0.1 0.05 0.010 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 A． B． C． D． 4．（20-21高二下·全国·课后作业）根据分类变量与的观测数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（    ）. A．变量与不独立 B．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 C．变量与独立 D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 5．（22-23高一下·江苏苏州·期末）为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性的2倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的，女性喜爱足球的人数占女性人数的，若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有（    ）人 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.635 7.879 10.828 A．11 B．12 C．13 D．14 六．独立性检验综合应用 1．（23-24高二下·广东湛江·月考）2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生共55人，其中有10人表示对冰球运动没有兴趣． (1)试列出列联表，并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？ 有兴趣 没兴趣 合计 男 女 合计 (2)已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率． 附表： 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 2．（23-24高二下·福建龙岩·月考）为贯彻落实全国教育大会精神，全面加强和改进新时代学校体育工作，某校开展阳光体育“冬季长跑活动”．为了解学生对“冬季长跑活动”的兴趣度是否与性别有关，某调查小组随机抽取该校100名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占80%． (1)根据所给数据，完成下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析学生对“冬季长跑活动”的兴趣度与性别是否有关？ 感兴趣 不感兴趣 合计 男 12 女 36 合计 100 (2)若不感兴趣的男学生中恰有5名是高三学生，现从不感兴趣的男学生中随机抽取3名进行二次调查，记选出高三男学生的人数为，求的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 3．（23-24高二下·江苏泰州·期末）为培养学生的阅读习惯，某学校规定所有学生每天在校阅读时长不得少于1小时.若认为每天在校阅读的时长不少于1小时为达标，达到2小时的学生为“阅读之星”.假设该校学生每天在校阅读时长（的单位：小时），达标学生是“阅读之星”的概率为. (1)从该校学生中随机选出1人，求达标的概率； (2)为进一步了解该校学生不达标是否与性别有关，随机调查了90名学生，其中男生占，已知不达标的人数恰是期望值，且不达标的学生中男生占，是否有99%的把握认为不达标与性别有关？ 附：参考公式：，其中. 参考数据： 3.841 5.024 6.635 10.828 0.050 0.025 0.010 0.001 4．（23-24·辽宁·二模）某大型体育赛事首日火炬传递共有106名火炬手参与. (1)组委会从火炬手中随机抽取了100名火炬手进行信息分析，得到如下表格： 性别 年龄 总计 满50周岁 未满50周岁 男 15 45 60 女 5 35 40 总计 20 80 100 根据小概率值的独立性检验，试判断火炬手的性别与年龄满或未满50周岁是否有关联； 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (2)在所有火炬手中，男性占比72%，女性占比28%，且50%的男性火炬手和25%的女性火炬手喜欢观看足球比赛，某电视台随机选取一位喜欢足球比赛的火炬手做访谈，请问这位火炬手是男性的概率为多少？ 5．（23-24高二下·广西·月考）2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人．某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下： 有慢性疾病 没有慢性疾病 合计 未感染支原体肺炎 40 80 感染支原体肺炎 40 合计 120 200 (1)完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？ (2)用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为X，求X的分布列，数学期望和方差． 附：，． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元线性回归模型与独立性检验 一．相关系数与相关指数 1．（23-24高二下·江西·月考）已知变量x，y线性相关，利用样本数据求得的回归直线方程为，且点都在直线上，则这组样本数据的相关系数（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，点都在直线上，可得， 又由变量负相关，所以．故选：B． 2．（23-24高二下·河南驻马店·期中）对两个变量y与x进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是（    ） A．模型Ⅰ：相关系数r为 B．模型Ⅱ：相关系数r为0.81 C．模型Ⅲ：相关系数r为 D．模型Ⅳ：相关系数r为0.53 【答案】A 【解析】相关系数越大，拟合效果越好.故选：A. 3．（23-24高二下·天津·期中）对甲、乙两组数据进行统计，获得以下散点图（左图为甲，右图为乙），下列结论正确的是（    ） A．乙组数据的相关系数大于零 B．甲组数据的相关程度比乙强 C．乙组数据的相关系数比甲组的更接近1 D．乙组数据的相关系数比甲小 【答案】D 【解析】由散点图可以看出，甲、乙两组数据都呈线性相关， 且乙组数据呈负相关，相关系数记为，则， 甲组数据呈正相关，相关系数记为，则， 乙图的点相对更加集中在某一条直线附近， 所以其相关性较强，则乙组数据的相关系数更接近，故A、B、C错误，D正确.故选：D. 4．（23-24高二下·辽宁沈阳·月考）已知5个成对数据的散点图如下、若去掉点，则下列说法错误的是（    ） A．变量x与变量y呈负相关 B．变量x与变量y的相关性变强 C．残差平方和变小 D．样本相关系数r变大 【答案】D 【解析】由散点图可知，去掉点D后，与的线性相关加强，且为负相关，所以AB正确， 由于与的线性相关加强，所以残差平方和变小，所以C正确， 由于与的线性相关加强，且为负相关， 所以相关系数的绝对值变大，而相关系数为负的，所以样本相关系数r变小，所以D错误，故选：D. 5．（23-24高二下·贵州·月考）某公司收集了某商品销售收入（万元）与相应的广告支出（万元）共10组数据（），绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合. 若将图中10个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．决定系数变小 B．残差平方和变小 C．相关系数的值变小 D．解释变量与预报变量相关性变弱 【答案】B 【解析】从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，故去掉点后，回归效果更好， 故决定系数会变大，更接近于1，残差平方和变小， 相关系数的绝对值，即会更接近于1，由图可得与正相关，故会更接近于1， 即相关系数的值变大，解释变量与预报变量相关性变强， 故A、C、D错误，B正确.故选：B. 二．样本中心点的应用 1．（23-24高二下·湖南岳阳·月考）已知变量的部分数据如下表，由表中数据得之间的经验回归方程为，现有一测量数据为，若该数据的残差为1.2，则（    ） 21 23 25 27 15 18 19 20 A．25.6 B．28 C．29.2 D．24.4 【答案】B 【解析】由题意可知，， 将代入，即，解得， 所以， 当时，， 则.故选：B. 2．（23-24高二下·河南濮阳·月考）在研究变量与之间的相关关系时，进行实验后得到了一组样本数据，，…，，，利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据误差较大，剔除这对数据后，求得的经验回归方程为，且，则（   ） A．13.5 B．14 C．14.5 D．15 【答案】A 【解析】因为，剔除异常数据数据后， ， 因为点在直线上，所以，解得， 设利用原始数据求得的经验回归直线过点， 则， 因为，所以.故选：A. 3．（23-24高二下·河南·月考）已知一组样本数据如下表所示：经研究发现，x与y之间具有线性相关关系，其回归直线方程为，若成等差数列，则当时，的预测值约为（结果精确到0．01）（   ） x 1 2 3 4 5 6 7 y 2 5 m 9 n 13 16 A．18.86 B．20.13 C．22.10 D．26.02 【答案】A 【解析】因为成等差数列，所以所以 所以所以所以 所以当时，.故选：A． 4．（23-24高二下·河南南阳·期中）具有线性相关关系的变量的样本数据如下： －2 －4 －6 －8 17.4 13 8.2 5 其回归直线方程为，则回归直线经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】A 【解析】由表中的数据知正相关．所以， 又，， 即点在回归直线上，且在第二象限， 所以回归直线经过第一、二、三象限，故选：A 5．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）（多选）已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，剔除一个偏离直线较大的异常点后，得到新的回归直线经过点.则下列说法正确的是（   ） A．相关变量 x，y具有正相关关系 B．剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大 C．剔除该异常点后的回归直线方程经过点 D．剔除该异常点后，回归直线的斜率是 【答案】BCD 【解析】由回归直线方程的斜率为，可知相关变量 x，y具有负相关关系，故A错误； 剔除一个偏离直线较大的异常点后，拟合程度变大，故样本相关系数的绝对值变大，B正确； 因为原回归直线方程为，且，则， 剔除异常点后，得到新的回归直线经过点，则得到新的， ，故剔除该异常点后的回归直线方程经过点，C正确； 新的回归方程过点，列出方程，解得， 则新的回归方程为，故D正确；故选：BCD 三．线性回归模型应用 1．（23-24高二下·河北沧州·月考）假期中，来自沿海城市的小明和小强去四川旅游，他们发现自己带的小面包的包装袋鼓了起来.原来随着海拔升高，气压也随之降低，包装袋内的气压大于外面气压，从而使得面包袋鼓了起来.研究发现在一定范围内大气压与海拔高度是近似线性的关系. 海拔高度 10 50 100 500 1000 大气压 101.2 100.6 100.2 94.8 88.2 (1)利用线性回归分析求与之间的线性回归方程；（的值精确到0.001） (2)小明和小强打算去九寨沟，可以利用（1）中的方程，估计九寨沟A景点（海拔2800m）的大气压.（精确到0.01） 附：①对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. ②参考数据：，. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由表中数据得， ， 又， 所以， ， 所以经验回归方程. （2）当时，， 所以九寨沟在景点处（海拔）的大气压约为 2．（23-24高二下·安徽·月考）我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划、某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金．该企业为了了解研发资金的投入额（单位：百万元）对年收入的附加额（单位：百万元）的影响，对往年研发资金投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下： 投入额 2 3 4 5 6 8 9 11 年收入的附加额 3.6 4.1 4.8 5.4 6.2 7.5 7.9 9.1 (1)求证：，； (2)求年收入的附加额与投入额的经验回归方程．若投入额为13百万元，估计年收入的附加额． 参考数据：，，． 参考公式：在经验回归方程中，，． 【答案】(1)证明见解析；(2)；百万元 【解析】（1）证明：由 ； 又由 . （2）由统计图表中的数据，可得，， 所以， 又因为，可得， 所以年收入的附加额与投入额的线性回归方程为， 当时，可得百万元. 3．（23-24高二下·贵州黔西·月考）当今社会面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业、创新的方式实现人生价值.小明是一名刚毕业的大学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近5个月的家乡特产收入y（单位：万元）的情况，如表所示. 月份 5 6 7 8 9 时间代号t 1 2 3 4 5 家乡特产收入y 3 2.4 2.2 2 1.8 (1)根据5月至9月的数据，求y与t之间的样本相关系数（精确到0.001），并判断相关性； (2)求出y关于t的经验回归方程（结果中保留两位小数），并预测10月收入能否突破1.5万元，请说明理由. 附：样本相关系数.一组数据其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.，，，. 【答案】(1)相关系数为－0.962，y与t具有很强的线性相关关系 (2)，不能突破1.5万，理由见解析 【解析】（1）由5月至9月的数据可知， ， 因为，，， 所以. 因为样本相关系数的绝对值， 所以认为y与t具有很强的线性相关关系. （2）由题得， 所以， 所以y关于t的经验回归方程为. 当时，， 因为1.44 ＜1.5，所以10月收入从预测看不能突破1.5万元. 4．（23-24高二下·云南曲靖·月考）某地区响应“节能减排，低碳生活”的号召，开展系列的措施控制碳排放．环保部门收集到近5年内新增碳排放数量，如下表所示，其中为年份代号，（单位：万吨）代表新增碳排放量． 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代号 1 2 3 4 5 新增碳排放万吨 6.1 5.2 4.9 4 3.8 (1)请计算并用相关系数的数值说明与之间的线性相关性的强弱（保留小数点后两位）； (2)求关于的线性回归方程，并据此估计该地区23-24年的新增碳排放数量． 参考数据：，，，． 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为，， 【答案】(1)，线性相关程度较高； (2)，估计该地区23-24年的新增碳排放数量为万吨. 【解析】（1）由题意得， ， ， ， 即得，所以线性相关程度较高. （2）， ， 所以， 当时，万吨. 所以估计该地区23-24年的新增碳排放数量为万吨. 5．（23-24高三上·江苏苏州·月考）某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高（单位：）与父亲身高（单位：）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表： 父亲身高 160 170 175 185 190 儿子身高 170 174 175 180 186 参考数据及公式：，，，，， (1)根据表中数据，求出y关于x的线性回归方程，并利用回归直线方程分别确定儿子比父亲高和儿子比父亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？ (2)记，，其中为观测值，为预测值，为对应的残差．求（1）中儿子身高的残差的和、并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立加以证明；若不成立说明理由． 【答案】(1)，规律见解析；(2)残差和为0；成立，证明见解析 【解析】（1），， ，， 故回归方程为：， 取，解得，即时，儿子比父亲高； 取，解得，即时，儿子比父亲矮； 父亲较高时，儿子平均身高要矮于父亲，父亲较矮时，儿子平均身高要高于父亲， 即儿子身高有一个回归，回归到全种群平均高度的趋势. （2），； ，； ，； ，； ，； 故残差的和为. 对任意具有线性相关关系的变量. 证明如下：. 四．非线性回归分析 1．（23-24·福建宁德·三模）23-24海峓两岸各民族欢度“三月三”暨福籽同心爱中华福建省第十一届“三月三”畲族文化节活动在宁德隆重开幕.海峡两岸各民族同胞齐聚于此，与当地群众共同欢庆“三月三”，畅叙两岸情.在活动现场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，以后每过一个小时反馈一次.指挥中心统计了前5次的数据，其中为第次入口人流量数据（单位:百人），由此得到关于的回归方程.已知，根据回归方程（参考数据:），可顶测下午4点时入口游客的人流量为（    ） A．9.6 B．11.0 C．11.3 D．12.0 【答案】B 【解析】设，，则 所以， ，且 则，得， 所以， 下午4点对应的，此时预测游客的人流量.故选：B 2．（23-24高二下·贵州黔西·月考）为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量（单位：亿元）与研发人员增量（人）的10组数据．现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中. 7.5 2.25 82.50 4.50 12.14 2.88 (1)根据残差图，判断应选择哪个模型；（无需说明理由） (2)根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？（精确到1） 【答案】(1)选择模型②；(2)；10人 【解析】（1）选择模型②，理由如下： 由于模型②残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄， 所以模型②的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，所以选模型②比较合适； （2）根据模型②，令与可用线性回归来拟合，有， 则， 所以， 则关于的经验回归方程为． 所以关于的经验回归方程为， 由题意，，解得，又为整数，所以， 所以，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少为10人． 3．（23-24高二下·广东·期中）某地政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果.以下是某农户近5年种植药材的年收入的统计数据： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 年收入（千元） 59 61 64 68 73 (1)根据表中数据，现决定使用模型拟合与之间的关系，请求出此模型的回归方程；（结果保留一位小数） (2)统计学中常通过计算残差的平方和来判断模型的拟合效果.在本题中，若残差平方和小于0.5，则认为拟合效果符合要求.请判断（1）中回归方程的拟合效果是否符合要求，并说明理由. 参考数据及公式：，.设，则，. 【答案】(1)；(2)拟合效果符合要求，理由见解析 【解析】（1）根据农户近5年种植药材的收入情况的统计数据可得： ，， 设，则，所以， 则，. 所以，回归方程为. （2）将值代入可得估计值分别为59，60.8，63.8，68，73.4， 则残差平方和为. 因为，所以回归方程拟合效果符合要求. 4．（23-24高二下·广东江门·月考）广东省深圳市是全国七大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入.该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得： 44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06 现有①和②两种方案作为年销售量关于年广告费的回归分析模型，其中，，，均为常数. (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？（不能整除的相关系数保留2位小数） (2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出关于的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？ 附：①相关系数，回归直线中公式分别为，， ②参考数据：，，，. 【答案】(1)模型②的拟合程度更好；(2)，13（百万辆） 【解析】（1）设模型①和②的相关系数分别为，. 由题意可得：， （说明：若化简成，再比较与的大小亦可） 令，则， 则， 所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好； （2）由条件得：， 又由，，得， 所以，即回归方程为， 当时，， 因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）. 5．（23-24高三上·广东广州·月考）中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y（单位：）关于时间x（单位：min）的回归方程模型，通过实验收集在室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据，并对数据做初步处理得到如图所示散点图以及如表所示数据.    73.5 3.85 表中：， (1)根据散点图判断，①与②哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）请根据你的判断结果及表中数据建立该茶水温度y关于时间x的回归方程； (2)已知该茶水温度降至口感最佳，根据（1）中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？ 附：（1）对于一组数据，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， （2）参考数据：，，，， 【答案】(1)②更适宜，；(2)7.5min. 【解析】（1）由散点图知，更适宜的回归方程为②，即. 由，得，两边取自然对数，得， 令，则， ， 结合表中数据，得， 结合参考数据可得，由，得， 所以茶水温度y关于时间x的回归方程为. （2）依题意，室温下，茶水温度降至口感最佳， 即，整理得， 于是，解得， 所以在相同条件下，刚泡好的茶水大约需要放置7.5min才能达到最佳引用口感. 五．独立性检验的概念辨析 1．（23-24高二下·江苏·课前预习）假设有两个分类变量与，它们的可能取值分别为和，其列联表为： 10 18 26 则当取下面何值时，与的关系最弱（    ） A．8 B．9 C．14 D．19 【答案】C 【解析】在两个分类变量的列联表中，当的值越小时，认为两个分类变量有关的可能性越小． 令，得，解得， 所以当时，与的关系最弱，故A，B，D错误.故选：C． 2．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，运用2×2列联表进行检验，经计算，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过（  ） A．0.1% B．1% C．99% D．99.9% 【答案】B 【解析】因为，结合表格可知， 所以认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过，故选：B 3．（23-24高二下·全国·专题练习）为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，运用列联表进行检验，经计算，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过（ ） α 0.1 0.05 0.010 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，结合表格可知， 所以认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过0.010.故选：B． 4．（20-21高二下·全国·课后作业）根据分类变量与的观测数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（    ）. A．变量与不独立 B．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 C．变量与独立 D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 【答案】C 【解析】由表可知当时，， 因为，所以分类变量与相互独立， 因为， 所以分类变量与相互独立，这个结论犯错误的概率不超过，故选：C 5．（22-23高一下·江苏苏州·期末）为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性的2倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的，女性喜爱足球的人数占女性人数的，若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有（    ）人 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.635 7.879 10.828 A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【解析】设男性人数为，依题意，得列联表如下： 喜爱足球 不喜爱足球 合计 男性 女性 合计 则的观测值为， 因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论， 于是，即，解得，而，因此，故选：B 六．独立性检验综合应用 1．（23-24高二下·广东湛江·月考）2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生共55人，其中有10人表示对冰球运动没有兴趣． (1)试列出列联表，并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？ 有兴趣 没兴趣 合计 男 女 合计 (2)已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率． 附表： 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】(1)答案见解析；(2) 【解析】（1）从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占， 则女生中对冰球感兴趣的有人， 有兴趣 没兴趣 合计 男 45 10 55 女 30 15 45 合计 75 25 100 因为， 所以有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”. （2）记5人中对冰球有兴趣的3人分别为，对冰球没兴趣的2人为， 则从这5名学生中随机抽取3人，有， ，共10种情况， 其中3人都对冰球有兴趣的情况有，共1种， 有2人对冰球有兴趣的情况有，共6种， 所以至少有2人对冰球有兴趣的情况有7种， 因此，所求事件的概率为. 2．（23-24高二下·福建龙岩·月考）为贯彻落实全国教育大会精神，全面加强和改进新时代学校体育工作，某校开展阳光体育“冬季长跑活动”．为了解学生对“冬季长跑活动”的兴趣度是否与性别有关，某调查小组随机抽取该校100名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占80%． (1)根据所给数据，完成下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析学生对“冬季长跑活动”的兴趣度与性别是否有关？ 感兴趣 不感兴趣 合计 男 12 女 36 合计 100 (2)若不感兴趣的男学生中恰有5名是高三学生，现从不感兴趣的男学生中随机抽取3名进行二次调查，记选出高三男学生的人数为，求的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】(1)无关；(2)分布列见解析， 【解析】（1）抽取的该校100名高中学生中感兴趣的人数为人， 列联表补充如下： 感兴趣 不感兴趣 合计 男 女 合计 零假设学生对“冬季长跑活动”的兴趣度与性别无关． 则， 根据小概率值的独立性检验，我们没有充分的证据推断不成立， 因此可以认为学生对“冬季长跑活动”的兴趣度与性别无关． （2）所有可能的值为. ，， ，， 的分布列为： 3 的数学期望：. 3．（23-24高二下·江苏泰州·期末）为培养学生的阅读习惯，某学校规定所有学生每天在校阅读时长不得少于1小时.若认为每天在校阅读的时长不少于1小时为达标，达到2小时的学生为“阅读之星”.假设该校学生每天在校阅读时长（的单位：小时），达标学生是“阅读之星”的概率为. (1)从该校学生中随机选出1人，求达标的概率； (2)为进一步了解该校学生不达标是否与性别有关，随机调查了90名学生，其中男生占，已知不达标的人数恰是期望值，且不达标的学生中男生占，是否有99%的把握认为不达标与性别有关？ 附：参考公式：，其中. 参考数据： 3.841 5.024 6.635 10.828 0.050 0.025 0.010 0.001 【答案】(1)；(2)有99%的把握认为不达标与性别有关. 【解析】（1）从该校学生随机选出1人，记其达标为事件，是“阅读之星”为事件. 则，. 因为，所以. 又因为达标学生是“阅读之星”的概率为， 所以，得， 即从该校学生中随机选出1人，达标的概率为. （2）依题意，随机调查的90名学生中，男生人数为40，女生人数为50. 设这90名学生中，不达标学生人数为. 由（1）知，不达标的概率为，则. 所以数学期望，即不达标的人数为18. 因为不达标学生中有的是男生，所以不达标的男生人数为3，不达标的女生人数为15. 则达标的男生人数为37，达标的女生人数为35，得如下列联表. 男生 女生 合计 达标 37 35 72 不达标 3 15 18 合计 40 50 90 所以. 因为，所以有99%的把握认为不达标与性别有关. 4．（23-24·辽宁·二模）某大型体育赛事首日火炬传递共有106名火炬手参与. (1)组委会从火炬手中随机抽取了100名火炬手进行信息分析，得到如下表格： 性别 年龄 总计 满50周岁 未满50周岁 男 15 45 60 女 5 35 40 总计 20 80 100 根据小概率值的独立性检验，试判断火炬手的性别与年龄满或未满50周岁是否有关联； 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (2)在所有火炬手中，男性占比72%，女性占比28%，且50%的男性火炬手和25%的女性火炬手喜欢观看足球比赛，某电视台随机选取一位喜欢足球比赛的火炬手做访谈，请问这位火炬手是男性的概率为多少？ 【答案】(1)认为全省火炬手的性别与年龄满或未满50周岁没有关联；(2) 【解析】（1）零假设为：全省火炬手的性别与年龄满或未满50周岁没有关联， 根据的列联表中的数据，可得， 所以根据小概率的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 所以可以认定为成立，即认为全省火炬手的性别与年龄满或未满50周岁没有关联. （2）设表示火炬手为男性，表示火炬手喜欢足球， 则， 所以这位火炬手时男性的概率约为. 5．（23-24高二下·广西·月考）2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人．某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下： 有慢性疾病 没有慢性疾病 合计 未感染支原体肺炎 40 80 感染支原体肺炎 40 合计 120 200 (1)完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？ (2)用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为X，求X的分布列，数学期望和方差． 附：，． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有关；(2)分布列见解析，. 【解析】（1）列联表，如图所示： 有慢性疾病 没有慢性疾病 合计 未感染支原体肺炎 40 40 80 感染支原体肺炎 80 40 120 合计 120 80 200 假设岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病无关. 则， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05. （2）70岁以上的老年人中随机抽查了200人，感染支原体肺炎的老年人为120人， 则感染支原体肺炎的频率为， 由已知得， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以,. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$