专题09 导数与零点、不等式综合常考题型归类（考题猜想，10大题型50题专练）-2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（人教B版2019选择性必修第三册）

专题09 导数与零点、不等式综合 一．利用导数判断零点个数 1．（22-23高二下·北京·期中）若函数的零点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高二上·山西吕梁·期末）函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（22-23高二下·湖北武汉·期末）已知函数，则方程的根的个数是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 4．（23-24高二下·全国·期末）若函数是上的偶函数，是上的奇函数，且满足. (1)求，的解析式； (2)令，证明函数有且只有个零点. 5．（23-24高二下·安徽·月考）已知函数． (1)求函数的极值； (2)当时，讨论函数零点的个数． 二．根据零点个数求参数 1．（23-24高二下·广东·期末）已知函数有三个零点，求的取值范围 ． 2．（23-24高二下·河南濮阳·月考）若函数有2个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 3．（23-24高二下·四川达州·期中）若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 . 4．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知函数，其中，且函数的最大值为 (1)求实数的值； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围. 5．（23-24高二下·广东深圳·期中）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若恰有三个零点，求a的取值范围． 三．证明不等式成立问题 1．（23-24高二上·湖北·期末）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)当，时，证明： 2．（23-24高二下·安徽合肥·月考）设函数． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，证明：当时，． 3．（23-24高二下·甘肃兰州·月考）已知定义在上的函数． (1)若为单调递增函数，求实数的取值范围； (2)当时，证明：． 4．（23-24高二下·广东深圳·月考）已知函数 (1)讨论函数的极值点个数； (2)证明：当时，. 5．（23-24高二下·山西长治·月考）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 四．不等式恒成立问题 1．（23-24高二下·湖南岳阳·月考）若不等式在上恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 2．（23-24高二下·天津滨海新·月考）已知，设函数 若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·安徽马鞍山·月考）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值集合. 4．（23-24高二下·江西·月考）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，恒成立，求的取值范围. 5．（2024·浙江金华·三模）已知函数在（为自然对数的底数）处取得极值． (1)求实数a的值； (2)若不等式恒成立，求k的范围． 五．不等式能成立问题 1．（23-24高二下·四川绵阳·期中）已知函数，存在，使得成立，则实数a的取值范围是 . 2．（23-24高二下·四川成都·期中）关于的不等式有解，则实数的取值范围是 . 3．（23-24高二下·广东肇庆·月考）已知函数（为常数） (1)讨论函数的单调性； (2)不等式在上有解，求实数的取值范围． 4．（23-24高二下·河南·月考）设函数 (1)当时，求的单调区间； (2)若关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围． 5．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知奇函数在处取得极大值2． (1)求的解析式； (2)若，使得有解，求实数的取值范围． 六．双变量不等式问题 1．（23-24高二下·广东东莞·期中）若对任意的 且 ，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023高三·全国·专题练习）已知函数，其中参数． (1)求函数的单调区间； (2)设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围． 3．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若，，使得，求的取值范围． 4．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函数． (1)当时，求函数的最小值； (2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围． 5．（23-24高三上·江苏常州·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)对于，使得，求实数的取值范围． 七．利用导数解决一类整数问题 1．（23-24高二下·山西晋城·月考）函数. (1)求的单调区间； (2)若只有一个解，则当时，求使成立的最大整数k. 2．（23-24高二下·湖北武汉·月考）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)求函数的单调区间； (3)当时，若在时恒成立，求整数的最大值． 3．（23-24高二下·广东东莞·月考）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若对任意，有恒成立，求整数m的最小值 4．（2023·四川德阳·一模）已知函数． (1)求曲线在处的切线并比较与的大小关系； (2)记函数的极大值点为，已知表示不超过的最大整数，求． 5．（23-24高二下·重庆·期中）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若在上恰有一个零点，且，求满足条件的最大整数. 八．隐零点问题综合应用 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 2．（23-24高二下·河南郑州·期中）已知函数． (1)当，时，求证恒成立； (2)当时，，求整数的最大值． 3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，，. (1)若的最小值为0，求的值； (2)当时，证明：方程在上有解. 4．（23-24高二下·福建泉州·月考）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程. (2)若恒成立，求的取值范围. 5．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知，. (1)讨论的单调性； (2)若对于定义域内任意恒成立，求取值范围. 九．极值点偏移常规类型 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数恰有两个零点． (1)求的取值范围； (2)证明：． 2．（23-24高二上·江苏镇江·月考）已知函数．若函数有两个不相等的零点． (1)求a的取值范围； (2)证明：． 3．（2024·广东湛江·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：． 4．（22-23高二下·辽宁·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：. 5．（2024·河北保定·二模）已知函数为其导函数． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)若存在两个不同的正数，使得，证明：． 十．极值点偏移非常规类型 1．（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）已知函数（其中为自然对数的底数）. (1)求函数的单调区间； (2)若为两个不相等的实数，且满足，求证：. 2．（22-23高二下·四川成都·月考）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若存在两个不同的零点，且.求证：. 3．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知函数. (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围； (3)设是函数的两个极值点，证明： 4．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数，其中自然常数． (1)若是函数的极值点，求实数的值； (2)当时，设函数的两个极值点为，且，求证：． 5．（23-24高三上·福建福州·期中）已知函数，为的导函数． (1)当时，讨论函数的单调性 (2)已知，，若存在，使得成立，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 导数与零点、不等式综合 一．利用导数判断零点个数 1．（22-23高二下·北京·期中）若函数的零点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】的定义域为R，且， 当或时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 故函数的零点的个数为2.故选：C 2．（23-24高二上·山西吕梁·期末）函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】，令，则，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时取最小值， 又，， 所以=0在上各有一解，所以有两个零点，故选：B. 3．（22-23高二下·湖北武汉·期末）已知函数，则方程的根的个数是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】   对求导得：， 所以当或时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，函数在处取得极小值， 在处取得极大值， 作出曲线，如图， 由得，解得， 令，则，结合图象方程有两解， ，所以或， 因为，所以, 结合图象可知方程有两解， 又因为，结合图象可知也有两解， 所以方程共有4个根.故选：B 4．（23-24高二下·全国·期末）若函数是上的偶函数，是上的奇函数，且满足. (1)求，的解析式； (2)令，证明函数有且只有个零点. 【答案】(1)，；(2)证明见解析. 【解析】（1）是上的偶函数，是上的奇函数， ，即， 解得：，. （2）由（1）得：， （当且仅当，即时取等号），， 在上恒成立，在上单调递增， ，， ，使得， 又在上单调递增，有且只有个零点. 5．（23-24高二下·安徽·月考）已知函数． (1)求函数的极值； (2)当时，讨论函数零点的个数． 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析 【解析】（1）由题函数定义域为R，为增函数， 所以当时，恒成立，此时为R上的增函数，无极大值也无极小值； 当时，令， 故当时，，在上的单调递减， 当，，在上的单调递增， 所以存在极小值为，无极大值. 综上，当时，无极大值也无极小值； 当时，存在极小值为，无极大值. （2）当时， 由（1）知在上的单调递减，在上的单调递增， 有最小值为， 所以当时，，无零点； 当时，，有1个零点； 当时，，又 ，故有2个零点； 综上，当时， 无零点； 当时，有1个零点； 当时，有2个零点. 二．根据零点个数求参数 1．（23-24高二下·广东·期末）已知函数有三个零点，求的取值范围 ． 【答案】 【解析】由得，令， 则，令，得或， 时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 极小值为，极大值为，且恒成立， 所以函数的大致图像如图所示： 所以函数有三个零点，则. 2．（23-24高二下·河南濮阳·月考）若函数有2个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由已知函数的定义域为， 设，明显单调递增，且，， 所以存在唯一的使，即，即， 令，得， 设，可得 当使，单调递减，当使，单调递增， 又，当时，且，又，当时， 所以当时，存在唯一的使，即， 当时，由得，此时不符合题意，舍去， 综上实数的取值范围是. 3．（23-24高二下·四川达州·期中）若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】函数，令， 则，显然函数在R上单调递增，而， 由，得，于是，即，令， 依题意，函数有两个不同零点，即方程有两个不等的正根， 亦即直线与函数的图象有两个公共点， 由，求导得， 当时，，当时，，函数在上递增，在上递减， 因此，且，当时，恒成立， 而当时，直线与函数的图象有两个公共点， 所以实数的取值范围是. 4．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知函数，其中，且函数的最大值为 (1)求实数的值； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）函数的定义域为，又， 因为，所以当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减； 所以在处取得极大值即最大值， 即，解得. （2）由（1）知，则， 则的定义域为， 所以， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 因为函数有两个零点， 又当时，当时， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 5．（23-24高二下·广东深圳·期中）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若恰有三个零点，求a的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）当时，函数，可得， 所以，且， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）因为， 可得是的一个零点， 因为恰有三个零点，所以方程有两个不为2实数根， 即方程有两个不为2实数根， 令，所以， 令，可得，令，可得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，当时，函数取得极大值，也是最大值， 且当时，， 所以，当时，的值域为；当时，的值域为， 所以，且，所以且． 所以a的取值范围是． 三．证明不等式成立问题 1．（23-24高二上·湖北·期末）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)当，时，证明： 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）， 当时，，，单调递增；，，单调递减． 当时，当或，，单调递增； 当，，单调递减， 当时，，所以在R上单调递增． 当时，当或，，单调递增； ，，单调递减． （2）， 由可得，或，，单调递增； ，，单调递减． 又因为，， 所以恒成立． 2．（23-24高二下·安徽合肥·月考）设函数． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，证明：当时，． 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）由题知，函数的定义域为， 所以求导得， 若， 由得或，由得， 所以函数在，和上单调递增，在上单调递减， 若，恒有，当且仅当时取等号，因此函数在上单调递增， 若， 由得或，由得， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在，上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在，上单调递增，在上单调递减． （2）当时，， 由（1）可知，当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以当时，. 3．（23-24高二下·甘肃兰州·月考）已知定义在上的函数． (1)若为单调递增函数，求实数的取值范围； (2)当时，证明：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）因为，又为上的单调递增函数， 当时，恒成立，即恒成立， 令，，则， 在在上单调递减，， ，即实数的取值范围为； （2）依题意只需证明：当时，恒成立， 令，则， 令，则， 当时，为单调递增函数， 所以为单调递增函数，，即， ，即当时，． 4．（23-24高二下·广东深圳·月考）已知函数 (1)讨论函数的极值点个数； (2)证明：当时，. 【答案】(1)当时，没有极值点，当时，有1个极值点；(2)证明见解析 【解析】（1）由题意可得， ①当时，恒成立，单调递减，不存在极值点； ②当时，令解得， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 此时有1个极值点； 综上，当时，没有极值点，当时，有1个极值点. （2）由（1）可知当时，在单调递减，在单调递增， 所以， 令， 则，令解得， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，恒成立， 所以，所以. 5．（23-24高二下·山西长治·月考）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；(2)证明见解析 【解析】（1）的定义域为， 当时，在上恒成立，所以在上单调递减， 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）证明：由（1）知，当时，. 要证明成立，只要证明， 即证. 令，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 故当时，. 四．不等式恒成立问题 1．（23-24高二下·湖南岳阳·月考）若不等式在上恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】由，，得 ，所以在为减函数， 又函数在也为减函数，在上单调递减， ①当时， 当时，单调递减， ，符合题意； ②当时， 存在，使得， 当时，单调递减， ，不符合题意，舍去； ③当时，，又在上单调递减， 当时，单调递减， . 令，则 在上单调递减， ，符合题意. 综上所述，的最小值为1.故选：C. 2．（23-24高二下·天津滨海新·月考）已知，设函数 若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，，故定点，对称轴为， 当，，解得，所以， 当时，在上单调递减，且，所以， 所以在恒成立，可得， 当时，恒成立，即恒成立， 令，， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时，取得最小值，即， 综上可得：故选：B 3．（23-24高二下·安徽马鞍山·月考）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值集合. 【答案】(1)答案见解析；(2) 【解析】（1）由题意得：的定义域为，， 当时，，则单调递减区间为，无单调递增区间， 当时，令，解得：， 所以当时，， 当时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 综上所述：时，则的单调递减区间为，无单调递增区间， 时，的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）当时，，不合题意， 当时，由（1）知，则， 令，则，所以当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 实数的取值集合为. 4．（23-24高二下·江西·月考）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析；(2) 【解析】（1）由题意知函数的定义域为，. 当时，恒成立，在上单调递减； 当时，由，得， 由，得. 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，当时，时，， 则不一定成立，故不满足题意. 当时，. 令，则，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 而 所以时，，且. 所以的解集为，所以， 即，故的取值范围为. 5．（2024·浙江金华·三模）已知函数在（为自然对数的底数）处取得极值． (1)求实数a的值； (2)若不等式恒成立，求k的范围． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）∵，∴， ∵函数在点处取得极值，∴， ∴，经检验，符合题意，∴； （2）∵，∴恒成立， 即对任意恒成立． 令，则． 设，易得是增函数， 而，∴时，，即， 时，，即， ∴在上单调递增，上单调递减， ∴，∴． 五．不等式能成立问题 1．（23-24高二下·四川绵阳·期中）已知函数，存在，使得成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为，由，得，即， 设，则， 所以函数在单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 即实数a取值范围为. 2．（23-24高二下·四川成都·期中）关于的不等式有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】不等式，得，即， 设函数，，故在上单调递增， 而，即， 则，， 即存在，使，即， 设，，得 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值，即 3．（23-24高二下·广东肇庆·月考）已知函数（为常数） (1)讨论函数的单调性； (2)不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减；(2) 【解析】（1）的定义域为， ， 当时，，，所以在上单调递增， 当时，令，解得， 若，则，所以在上单调递增， 若，则，所以在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减 （2）在上有解在上有解在上有解， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且， 所以，所以， 故实数的取值范围是. 4．（23-24高二下·河南·月考）设函数 (1)当时，求的单调区间； (2)若关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为单调递增区间为；(2) 【解析】（1）当时，其定义域为 当时，当时， 所以的单调递减区间为单调递增区间为 （2）不等式在上有解等价于在上有解， 令则 令易知在上单调递减，且 所以当时，即当时，即 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以所以即实数的取值范围为 5．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知奇函数在处取得极大值2． (1)求的解析式； (2)若，使得有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为是奇函数，所以， 即，所以，所以． 由，得． 因为在上取得极大值， 所以，解得， 经检验，当时，在处取得极大值， 故． （2）由（1）可知，， 当时，， 当和时，， 即在上单调递增，在，上单调递减， 所以在取得极小值，在处取得极大值， 又因为，，，， 所以在上的最大值为，最小值为， 要使得有解，则，解得， 所以的取值范围为． 六．双变量不等式问题 1．（23-24高二下·广东东莞·期中）若对任意的 且 ，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对任意的，，且，，易知， 则，所以，即． 令，则函数在上单调递减． 因为，由，可得， 所以函数的单调递减区间为， 所以，故， 即实数的取值范围为．故选：C． 2．（2023高三·全国·专题练习）已知函数，其中参数． (1)求函数的单调区间； (2)设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【解析】（1）， 当时，，，的减区间是． 当时，，的减区间是． 当时，，，的增区间是， ，的减区间是． 综上，当时，减区间是；当时，增区间是，减区间是. （2），， 因为存在实数，使得不等式成立，， ，，,，，单减， ，，单增． ． ，，，． 3．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若，，使得，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【解析】（1）由题知，，， ①当时，， 则时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以的增区间是，减区间是； ②当时，， 当和时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故的增区间是和，减区间是； ③当时，，故的单调递增区间是； ④当时，，在和上，单调递增； 在上，单调递减； 故的增区间是和，减区间是， 综上，当时，的增区间是，减区间是； 当时，的增区间是和，减区间是； 当时，的增区间是， 当时，的增区间是和，减区间是． （2）因为，对于，，使得， 所以， 由（1）知，， 当时，在上单调递增， ， 所以，解得； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以， 由得，，所以，即， 所以， 综上所述，的取值范围是． 4．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函数． (1)当时，求函数的最小值； (2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；；(2). 【解析】（1）因为函数，所以． 设，则，故在上递减． ，即， 在上单调递减，最小值为． （2）令，则在上恒成立， 即函数在上单调递减，所以， 所以，即在上恒成立； 又，当时， 在区间上单调递增； 在区间上单调递减． 函数在区间上的最大值为． 综上，只需，解得，即实数的取值范围是． 5．（23-24高三上·江苏常州·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)对于，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析；(2). 【解析】（1）由题设且， 当时在上递减； 当时，令， 当时在区间上递减； 当时在上递增． 所以当时，的减区间为，无增区间； 当时，的增区间为，减区间为. （2）由题设知对恒成立． 当时，此时，不合题设，舍去． 当时，在上递增，只需符合． 综上：． 七．利用导数解决一类整数问题 1．（23-24高二下·山西晋城·月考）函数. (1)求的单调区间； (2)若只有一个解，则当时，求使成立的最大整数k. 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为；(2)2 【解析】（1）函数，定义域为，则， 因为，设，， 则令得，，， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 当时，，，单调递增， 综上所述：的单调递增区间为，， 单调递减区间为； （2）若即只有一个解， 因为使方程成立，所以只有0是的解， 当时，无非零解， 设，则， 当，，单调递减，当，，单调递增， 所以最小值为， 当时，，当时，， 故定有零点，又因为无非零解，有零点应还是0， 所以，所以，则， ，得，，， 所以，得， 设，则， 令，则， 因为时，，所以，则在单调递增， 又， 所以使得，所以，且， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以最小值，且，得， 又因为，所以， 因为，所以，故整数的最大值为2. 2．（23-24高二下·湖北武汉·月考）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)求函数的单调区间； (3)当时，若在时恒成立，求整数的最大值． 【答案】(1)在处取得极大值，无极小值；(2)当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，上单调递减；(3)整数的最大值为5 【解析】（1）当时，，所以， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取得极大值，无极小值. （2）， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 当时，当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 综上所述：当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，上单调递减. （3）在时恒成立，即恒成立， 令，则， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增，且 ，所以在存在唯一实数， 使得，即，所以 当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以， 故，又，整数的最大值为5． 3．（23-24高二下·广东东莞·月考）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若对任意，有恒成立，求整数m的最小值 【答案】(1)答案见解析；(2) 【解析】（1）因为 ， 当 时， 在 上恒成立，此时 在 上单调递增； 当 时，，得舍去，， 当 时， ，则 在 上单调递增； 当 时， ，则 在 上单调递减； 综上：当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减． （2）因为对任意 ， 恒成立， 所以 在 上恒成立， 即 在 上恒成立． 设 ，则 . 设 ， ，则 在 上单调递减， 因为 ， ， 所以 ，使得 ，即 . 当 时， ； 当 时， . 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 . 因为 ，所以 ， 故整数 m 的最小值为 4．（2023·四川德阳·一模）已知函数． (1)求曲线在处的切线并比较与的大小关系； (2)记函数的极大值点为，已知表示不超过的最大整数，求． 【答案】(1)；；(2) 【解析】（1）由题得，切点为， 因为，所以． 故所求切线为 又 当时，，所以； 当时，，所以 综上，． （2）因为 所以 令，得或 因为在上单增， 故在有根，可知在上增，上减，在上增 所以，的极大值点为且且． 故 所以，故． 5．（23-24高二下·重庆·期中）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若在上恰有一个零点，且，求满足条件的最大整数. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增；(2) 【解析】（1）当时，，函数定义域为R， ， 当时，；时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）函数， 当时，，函数在上单调递增； 时，函数，有在上恒成立， 即时，函数，在上单调递增； 所以时在上单调递增. 由，则时，在上恒成立，不合题意. 当时，，， 在上有零点，不合题意， 当时，，， ，在上有一个零点. 时，，，恒成立， 则在上只有一个零点，且. 所以满足条件的最大整数的值为1. 八．隐零点问题综合应用 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】由题意，函数， 不等式可化为恒成立，且，即恒成立， 令，则， 令，则， 所以在上单调递减， 又，所以在上存在唯一的使， 当时单调递增， 当时单调递减． 故的最大值为， 又，故， 两边取对数得， 又在定义域内单调递增，所以，故， 所以，所以． 2．（23-24高二下·河南郑州·期中）已知函数． (1)当，时，求证恒成立； (2)当时，，求整数的最大值． 【答案】(1)证明见解析；(2)1 【解析】（1）当，时，记，则， 因为在上单调递增，且， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，所以恒成立. （2）当时，，即， 因为，所以只需， 令，， 令，，在上是增函数， ，， 根据零点存在定理，，使得， 即，即， 当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以，故； 又在上单调递增，，所以， 又，所以．所以整数的最大值是. 3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，，. (1)若的最小值为0，求的值； (2)当时，证明：方程在上有解. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由已知得，则. 令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以，所以. （2）要证在上有解，即证在上有解， 即证在上有解. 令，则. 设，则. 当时，；当时，. 所以即在上单调递增，在上单调递减. 又因为，， ， 所以由零点存在性定理知，，使，即， 所以当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以. 因为，所以，即， 且时，， 所以当时，直线与函数的图像在上有交点， 在上有解. 4．（23-24高二下·福建泉州·月考）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程. (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）当时，，则，，， 曲线 在点处的切线方程为，即； （2）由得，在上恒成立， 令，则， 令，易知在单调递增，，， ，使得，即， 当时，，当时，， 在单调递减，在上单调递增，， 由得， ，，， 的取值范围是. 5．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知，. (1)讨论的单调性； (2)若对于定义域内任意恒成立，求取值范围. 【答案】(1)答案见解析；(2) 【解析】（1），； 当时，，故在上单调递增； 当时，令，则，令，则， 故在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）由题意知，即 令，， 则，， 令，，则 则在上单调递增， 由于，.所以存在，使得 故在上单调递减，在上单调递增 最小值为， 由于满足，则， 两边取对数， 又在上单调递增， 则有，则 故， 故．则 九．极值点偏移常规类型 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数恰有两个零点． (1)求的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）因为，所以， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取最小值． 因为当时，，当时，， 且函数恰有两个零点， 所以,所以的取值范围为． （2）由（1）知，为的极小值点， 所以可设，则， 构建函数，， 所以当时，， 函数单调递增，所以当时，， 所以， 因为，所以，所以， 又函数在上单调递增，所以，所以． 2．（23-24高二上·江苏镇江·月考）已知函数．若函数有两个不相等的零点． (1)求a的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【解析】（1）由题意可知：， 若，则恒成立，即单调递增，不存在两个不等零点，故， 显然当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以若要符合题意，需， 此时有，且， 令， 而，即在上递减， 故，所以， 又， 故在区间和上函数存在各一个零点，符合题意， 综上； （2）结合（1），不妨令， 构造函数， 则， 即单调递减，所以， 即， 因为，所以， 由（1）知在上单调递增，所以由， 故. 3．（2024·广东湛江·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：． 【答案】(1)在上单调递增，上单调递减；(2)见解析 【解析】（1）由题意可得，所以， 的定义域为， 又，由，得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， （2）由，得，设， ，由，得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 又，，且当趋近于正无穷，趋近于， 的图象如下图， 所以当时，方程有两个根， 证明：不妨设，则，， 设， ，所以在上单调递增， 又，所以，即， 又，所以， 又，，在上单调递减，所以，故. 4．（22-23高二下·辽宁·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：. 【答案】(1)结论见解析；(2)证明见解析. 【解析】（1）函数的定义域为，求导得则，由得， 若，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增， 若，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减； 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由，两边取对数得，即， 由（1）知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减， ，而，时，恒成立， 因此当时，存在且，满足， 若，则成立； 若，则，记，， 则， 即有函数在上单调递增，，即， 于是， 而，，，函数在上单调递增， 因此，， 又，则有，则， 所以. 5．（2024·河北保定·二模）已知函数为其导函数． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)若存在两个不同的正数，使得，证明：． 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【解析】（1），当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以，解得，即的取值范围为． （2）证明：不妨设，则，要证， 即证，则证，则证， 所以只需证，即． 令，则，． 当时，，则， 所以在上单调递减，则．所以． 由（1）知在上单调递增，所以，从而成立． 十．极值点偏移非常规类型 1．（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）已知函数（其中为自然对数的底数）. (1)求函数的单调区间； (2)若为两个不相等的实数，且满足，求证：. 【答案】(1)增区间为，减区间为；(2)证明见解析 【解析】（1）， 令，解得，令，解得， 所以的增区间为，减区间为. （2）证明：将两边同时除以得，即， 所以， 由（1）知在上单调递增，在上单调递减， 又，，当时，， 设，则， 令， 则， 由得，所以，， 所以，在上单调递增， 又，所以， 当时，，即，即， 又，所以， 又，，在上单调递减， 所以，即. 2．（22-23高二下·四川成都·月考）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若存在两个不同的零点，且.求证：. 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）因为，所以， （ⅰ）当时，恒成立，在单调递增； （ⅱ）当时，令得，， 故时，，在上单调递增； 时，，在上单调递减. 综上，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）因为存在两个不同的零点且， 由（1）知，且，即，解得，且， 又，所以， 由，得，即， 所以. 下面证明： 因为是函数的两个零点，则， 即，令，得， 要证，只需证， 等式两边取对数，得， 即证， 即证， 即证， 设， ，且， . 当时，，则函数在上单调递减，且， 所以，即. 所以不等式得证. 3．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知函数. (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围； (3)设是函数的两个极值点，证明： 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析 【解析】（1）当时，，， 则，， 所以的图象在处的切线方程为：，即. （2）， 因为函数存在单调递减区间，所以在上有解， 因为，设，则， 所以只需或，解得或， 故实数a的取值范围为. （3）由题意可知，， 因为有两个极值点， 所以是的两个根，则且， 所以 ， 所以要证，即证， 即证，即证，即证， 令，则证明，令，则， 所以在上单调递增，则，即， 所以原不等式成立. 4．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数，其中自然常数． (1)若是函数的极值点，求实数的值； (2)当时，设函数的两个极值点为，且，求证：． 【答案】(1)0；(2)证明见解析 【解析】（1）因为，所以， 因为是函数的极值点，所以，解得， 所以，所以令，所以， 所以当时，，函数单调递减． 又，所以当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以确实是函数的极大值点． 综上所述，实数的值为0． （2）因为，函数的两个极值点为，且， 所以 设，，则． 构建函数，则函数的图象与直线交于，两点． 因为，所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以，所以． 构建函数，所以函数的图象与直线交于点． 构建函数，所以， 所以当时，，函数单调递减，当时，， 函数单调递增，所以当时，函数取得最小值， 所以，所以， 所以， 所以，所以． 5．（23-24高三上·福建福州·期中）已知函数，为的导函数． (1)当时，讨论函数的单调性 (2)已知，，若存在，使得成立，求证：． 【答案】(1)见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）当时，，， ， 当时，在区间上恒大于0，此时函数的单调递增区间是； 当时，设，其中， 当，函数单调递增， 当，，函数单调递减， 当时，， 当时，，此时恒成立，函数的单调递增区间是， 当时，， 当且， 所以在区间上恒大于0，即函数的单调递增区间是， 综上可知，时，函数的单调递增区间是， 当时，函数的单调递减区间是，函数的单调递减区间是； （2）不妨设，因为， 则， 即，得， 由， 则， 所以， ， 设，构造函数，， 所以在上为增函数， 所以，即， 又，，，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$