（复习巩固）第2讲 长方体和正方体的表面积和体积（知识梳理+易错精讲+真题拔高卷）2024年北师大版数学五升六暑假衔接培优精讲练过关讲义

2024年北师大数学五升六暑假衔接培优精讲练过关讲义 （知识梳理+易错精讲+真题拔高卷） 第2讲 长方体和正方体的表面积和体积 知识点01：长方体表面积的计算方法 方法一：长方体表面积 = 长×宽×2 + 长×高×2 + 宽×高×2 方法二：长方体表面积 = (长×宽 + 长×高 + 宽×高)×2 如果以S表示长方体的表面积，a、b、h分别表示长方体的长、宽和高，则表面积公式可以表示为：S = 2ab + 2ah + 2bh 或 S = 2(ab + ah + bh)。 知识点02：正方体表面积的计算方法 正方体的表面积 = 棱长×棱长×6 如果以S表示正方体的表面积，a表示正方体的棱长，则表面积公式为：S = 6a²。 知识点03：表面积公式的实际应用题型 基础计算题： 给出长方体的长、宽、高，要求计算其表面积。 给出正方体的棱长，要求计算其表面积。 生活应用题： 例如，计算一个长方体包装盒需要多少包装纸，或者一个正方体水箱需要涂多少防锈漆等。 拼组题型： 将几个长方体或正方体拼组成一个新的长方体，要求计算新长方体的表面积。 这类题目常涉及到表面积的变化，需要理解拼组后哪些面被隐藏，哪些面成为新长方体的外表面。 切割题型： 将一个长方体或正方体切割成几个部分，要求计算切割后各部分的表面积之和。 这类题目需要注意切割后新增的表面积部分。 优化问题： 例如，给定一定数量的长方体或正方体，如何拼组或摆放才能使得整体表面积最小或最大。 错误识别与改正： 题目中可能会给出错误的表面积计算过程或结果，要求学生识别错误并改正。 知识点04：长方体体积的计算方法 长方体体积的计算公式为：体积 = 长 × 宽 × 高。 如果以V表示长方体的体积，a、b、h分别表示长方体的长、宽和高， 则体积公式可以表示为：V = a × b × h。 知识点05：正方体体积的计算方法 正方体是长方体的特殊情况，其六个面都是正方形，边长相等。 正方体体积的计算公式为：体积 = 边长 × 边长 × 边长，或简写为体积 = 边长³。 如果以V表示正方体的体积，a表示正方体的边长，则体积公式为：V = a³。 知识点06：体积公式的实际应用题型 基础计算题： 给出长方体的长、宽、高，要求计算其体积。 给出正方体的边长，要求计算其体积。 生活应用题： 例如，计算一个长方体水箱能装多少水，或者一个正方体容器能容纳多少物体等。 比较和判断题： 比较不同长方体或正方体体积的大小。 判断给定的长、宽、高或边长是否能构成特定体积的长方体或正方体。 优化问题： 例如，在给定材料的情况下，如何设计长方体或正方体的尺寸以使其体积最大或达到特定要求。 综合应用题： 结合表面积和体积的计算，解决实际生活中的复杂问题，如设计包装箱以最小化材料使用同时保证足够的容量。 错误识别与改正： 题目中可能会给出错误的体积计算过程或结果，要求学生识别错误并改正。 单位换算问题： 在计算体积时，可能会涉及到不同单位之间的换算，如立方厘米与立方米之间的转换。 易错点一：单位换算 易错描述：在计算长方体和正方体的表面积或体积时，学生容易忽略单位换算，导致计算错误。 易错题目： 一个长方体鱼缸的长是5dm，宽是3dm，高是40cm。求这个鱼缸的表面积。 错误答案： 直接代入公式计算，未进行单位换算，导致结果错误。 正确答案： 首先进行单位换算，高=40cm=4dm，然后代入公式计算表面积： 表面积 = 2 × (5dm × 3dm + 5dm × 4dm + 3dm × 4dm) = 94dm² 易错点二：表面积与体积的混淆 易错描述：学生容易将表面积和体积的概念混淆，导致在求解问题时使用了错误的公式。 易错题目： 一个正方体木块的棱长是6cm，求这个木块的表面积和体积。 错误答案： 将表面积和体积的计算公式混淆，导致两个结果都错误。 正确答案： 表面积 = 6 × 6cm × 6cm = 216cm² 体积 = 6cm × 6cm × 6cm = 216cm³ 易错点三：公式应用错误 易错描述：学生在应用表面积或体积公式时，容易忽略公式中的某个部分或错误地使用了公式。 易错题目： 一个长方体纸盒的长是10cm，宽是8cm，高是5cm。求这个纸盒的表面积。 错误答案： 只计算了纸盒的四个侧面的面积，忽略了上下两个面的面积。 正确答案： 表面积 = 2 × (10cm × 8cm + 10cm × 5cm + 8cm × 5cm) = 460cm² 易错点四：忽略实际情况 易错描述：在计算长方体和正方体的表面积时，学生容易忽略实际情况，如长方体或正方体是否有盖子、是否为空心等。 易错题目： 一个无盖的长方体鱼缸，长是80cm，宽是40cm，高是50cm。求制作这个鱼缸需要多少玻璃。 错误答案： 直接计算了长方体的表面积，未考虑鱼缸无盖的情况。 正确答案： 由于鱼缸无盖，只需计算五个面的面积： 表面积= 80cm × 40cm + 2 × (80cm × 50cm + 40cm × 50cm) = 13600cm² 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：44（较难） 一、慎重选择(共5题；共10分) 1．（2分）（2024五下·龙海期中）一个正方体的表面积是54平方厘米，这个正方体的占地面积是（　　）平方厘米。 A．3 B．6 C．9 D．12 2．（2分）（2024五下·武昌期中）用27块正方体积木拼成右面的物体，然后将其表面涂成红色。有三个面是红色的积木共有（　　）块。 A．7 B．8 C．9 D．10 3．（2分）（2024五下·陆川期中）把一个棱长是9cm的正方体切成棱长是3cm的小正方体，可以切得（　　）个。 A．6 B．9 C．27 4．（2分）（2024五下·龙岗期中）一块长是3分米，宽是2分米，体积是25.2立方分米的长方体木料，(　　)完全放入一个长是3.1分米，宽是2.1分米，高是4分米的长方体纸箱内(纸箱厚度忽略不计)。 A．能 B．不能 C．不一定能 D．条件不足，无法确定 5．（2分）（2024五下·西城期末）一个棱长为2dm的正方体容器中装有一些水，放入一块体积是2.4dm3的石块后(石块完全浸没在水中，如下图)，水面上升了（　　）dm。 A．0.3 B．0.6 C．1.2 D．2 二、判断正误(共5题；共5分) 6．（1分）（2024五下·汉川期中）棱长为6厘米的正方体的表面积和体积相等。（　　） 7．（1分）（2024五下·黄冈月考）长、宽、高都相等的长方体叫做立方体。（ ） 8．（1分）（2024五下·武江期中）棱长为2厘米的正方体的体积是棱长为1厘米的正方体的体积的8倍。（　　） 9．（1分）（2024五下·靖宇月考）棱长是3dm的正方体，正好能分割成3000个棱长是1cm的小正方体。（　　） 10．（1分）（2024五下·青县月考）用3个棱长为a厘米的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是18a2平方厘米。（　　） 三、仔细想，认真填(共7题；共16分) 11．（2分）（2024五下·苍南期中）如图，4个棱长都是1cm的正方体堆在墙角处，露在外面的面有 　 　个，至少需要 　 　个这样的小正方体，才能搭一个大一些的正方体。 12．（2分）（2024五下·邯郸期中）明明准备用铁丝焊接一个棱长6厘米的正方体框架，并在各个面上糊上彩纸，做这个正方体至少需要铁丝　 　厘米，彩纸　 　平方厘米。 13．（1分）（2024五下·陆丰期中）一个长方体的体积是7.2m3，高是8dm，底面积是　 　m2。 14．（4分）（2024五下·洞头期中）一个长方体木块，长5dm，宽4dm，高3dm，先把它的六个面涂上颜色，再把它锯成棱长是1dm的小正方体木块(如下图)。在锯成的小正方体木块中，三面涂色的有　 　个，两面涂色的有　 　个，一面涂色的有　 　个，六个面都没有涂色的有　 　个。 15．（2分）（2024五下·东莞）用棱长1cm的正方体，依次拼摆出下面的长方体。照这样的摆法，由5个正方体拼摆出的长方体表面积是　 　cm2；由n个正方体摆出的长方体表面积是　 　cm2。 16．（4分）（2024五下·江源月考）把一个涂色的大正方体，割成8个小正方体，3面涂色的有　 　块。把一个涂色的大正方体，割成27个小立方体，3面涂色的有　 　块，2面涂色的有　 　块，0面涂色的有　 　块。 17．（1分）（2023五下·随县期末）把3个同样大小的正方体拼成一个长方体，表面积减少了36平方分米，拼成的长方体的体积是　 　立方分米。 四、看图计算(共2题；共12分) 18．（6分）（2024五下·苍南期中）按要求计算。 （1）（3分）求表面积。 （2）（3分）求体积。 19．（6分）（2024五下·临平期中）计算与探索。 （1）（4分）计算：图1，正方体的底面积是 　 　cm2，体积是 　 　cm3。图2，长方体的横截面积是 　 　cm2，体积是 　 　cm3。 （2）（2分）尝试计算如图的体积（单位：厘米） 五、解决问题(共11题；共57分) 20．（6分）（2023五下·播州期末）某健身馆建了一个长80m、宽40m、深2m的游泳池，为确保游泳者的人身安全，工人师傅沿游泳池的内壁高1.5m处用红漆划了一条水位线，水位一般不得超过此线。 （1）（3分）这条线的长度是多少米？ （2）（3分）游泳池占地多少平方米？ 21．（4分）（2024五下·腾冲期中）学校要粉刷一间新教室。教室的长是8米，宽是6米，高是4米，门窗和黑板的面积是25.4平方米，如果每平方米需要12元涂料费，粉刷这间教室需要多少元涂料费?（只粉刷教室的屋顶和四面墙壁） 22．（6分）（2024五下·钱塘期末）明明去超市买酸奶，发现一种酸奶采用长方体塑封纸盒包装，从外面量这种纸盒长6厘米，宽5厘米，高8厘米。 （1）（3分）这种酸奶盒上标注酸奶的净含量为240毫升，则标注是否真实的?请说明理由！ （2）（3分）如果围着它贴一圈商标纸（上、下面不贴），那么商标纸的面积至少是多少平方厘米? 23．（6分）（2024五下·龙海期中）一个长方体玻璃鱼缸（无盖）长8分米，宽4.5分米，高6分米。 （1）（2分）制作这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）（2分）这个鱼缸最多能装多少升水？（玻璃厚度忽略不计） （3）（2分）现在这个鱼缸装有3.5分米高的水，放入一个石头假山，浸没在水中，水面上升到4分米，这个石头假山的体积是多少？ 24．（4分）（2024五下·兰溪期中）巨人国里举行捏橡皮泥比赛，一位选手先把他的橡皮泥捏成棱长为4分米的正方体，后来感觉不满意就把它改捏成底面积为2平方分米的长方体。这个长方体的高是多少分米？ 25．（6分）（2024五下·徐闻期中）用一根60分米长的铁丝，做成一个正方体的框架。 （1）（3分）这个正方体框架的棱长是多少分米？ （2）（3分）把这个正方体包装起来，可以装多少立方分米的物品？ 26．（4分）（2024五下·龙海期中）小冬有一根长方体木料，沿着长截去3dm后（如图），剩下的木料正好是一个正方体，表面积比原来减少了60dm2。剩下的正方体木料的体积是多少？ 27．（5分）（2024五下·巴楚期中）为了测量一个西红柿的体积，丹丹在家进行了如下实验.第一步：准备了一个正方体玻璃缸，并从里面测量出玻璃缸的棱长是10厘米；第二步：往玻璃缸中倒入了6厘米深的水；第三步：把这个西红柿放入玻璃缸中，测出现在水面高7.8厘米。请你根据丹丹的实验，算出这个西红柿的体积。 28．（6分）（2024五下·驻马店月考）一个游泳池，长 25m，宽 12m，高 2.5m。要在游泳池的四周和池底贴一层瓷砖。 （1）（2分）这个游泳池的 占地面积是多少平方米? （2）（2分）要贴瓷砖的面积是多少平方米? （3）（2分）挖这个游泳池时，一共要挖出多少立方米的土? 29．（5分）（2024五下·武江期中）一个正方体容器，棱长2分米，里面装有水5升，放入一个铁球，（完全沉没）这时水面高1.5分米，这个铁球的体积是多少立方分米? 30．（5分）（2024五下·望都月考）实验小学为迎接6月5日的世界环保日，张校长带领老师们用棱长5分米的正方体积木(由废纸箱制成)，在教学楼旁搭起一面长5米、高2.5米、厚20分米的环保宣传墙，这面墙一共用了多少块积木? 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年北师大数学五升六暑假衔接培优精讲练过关讲义 （知识梳理+易错精讲+真题拔高卷） 第2讲 长方体和正方体的表面积和体积 知识点01：长方体表面积的计算方法 方法一：长方体表面积 = 长×宽×2 + 长×高×2 + 宽×高×2 方法二：长方体表面积 = (长×宽 + 长×高 + 宽×高)×2 如果以S表示长方体的表面积，a、b、h分别表示长方体的长、宽和高，则表面积公式可以表示为：S = 2ab + 2ah + 2bh 或 S = 2(ab + ah + bh)。 知识点02：正方体表面积的计算方法 正方体的表面积 = 棱长×棱长×6 如果以S表示正方体的表面积，a表示正方体的棱长，则表面积公式为：S = 6a²。 知识点03：表面积公式的实际应用题型 基础计算题： 给出长方体的长、宽、高，要求计算其表面积。 给出正方体的棱长，要求计算其表面积。 生活应用题： 例如，计算一个长方体包装盒需要多少包装纸，或者一个正方体水箱需要涂多少防锈漆等。 拼组题型： 将几个长方体或正方体拼组成一个新的长方体，要求计算新长方体的表面积。 这类题目常涉及到表面积的变化，需要理解拼组后哪些面被隐藏，哪些面成为新长方体的外表面。 切割题型： 将一个长方体或正方体切割成几个部分，要求计算切割后各部分的表面积之和。 这类题目需要注意切割后新增的表面积部分。 优化问题： 例如，给定一定数量的长方体或正方体，如何拼组或摆放才能使得整体表面积最小或最大。 错误识别与改正： 题目中可能会给出错误的表面积计算过程或结果，要求学生识别错误并改正。 知识点04：长方体体积的计算方法 长方体体积的计算公式为：体积 = 长 × 宽 × 高。 如果以V表示长方体的体积，a、b、h分别表示长方体的长、宽和高， 则体积公式可以表示为：V = a × b × h。 知识点05：正方体体积的计算方法 正方体是长方体的特殊情况，其六个面都是正方形，边长相等。 正方体体积的计算公式为：体积 = 边长 × 边长 × 边长，或简写为体积 = 边长³。 如果以V表示正方体的体积，a表示正方体的边长，则体积公式为：V = a³。 知识点06：体积公式的实际应用题型 基础计算题： 给出长方体的长、宽、高，要求计算其体积。 给出正方体的边长，要求计算其体积。 生活应用题： 例如，计算一个长方体水箱能装多少水，或者一个正方体容器能容纳多少物体等。 比较和判断题： 比较不同长方体或正方体体积的大小。 判断给定的长、宽、高或边长是否能构成特定体积的长方体或正方体。 优化问题： 例如，在给定材料的情况下，如何设计长方体或正方体的尺寸以使其体积最大或达到特定要求。 综合应用题： 结合表面积和体积的计算，解决实际生活中的复杂问题，如设计包装箱以最小化材料使用同时保证足够的容量。 错误识别与改正： 题目中可能会给出错误的体积计算过程或结果，要求学生识别错误并改正。 单位换算问题： 在计算体积时，可能会涉及到不同单位之间的换算，如立方厘米与立方米之间的转换。 易错点一：单位换算 易错描述：在计算长方体和正方体的表面积或体积时，学生容易忽略单位换算，导致计算错误。 易错题目： 一个长方体鱼缸的长是5dm，宽是3dm，高是40cm。求这个鱼缸的表面积。 错误答案： 直接代入公式计算，未进行单位换算，导致结果错误。 正确答案： 首先进行单位换算，高=40cm=4dm，然后代入公式计算表面积： 表面积 = 2 × (5dm × 3dm + 5dm × 4dm + 3dm × 4dm) = 94dm² 易错点二：表面积与体积的混淆 易错描述：学生容易将表面积和体积的概念混淆，导致在求解问题时使用了错误的公式。 易错题目： 一个正方体木块的棱长是6cm，求这个木块的表面积和体积。 错误答案： 将表面积和体积的计算公式混淆，导致两个结果都错误。 正确答案： 表面积 = 6 × 6cm × 6cm = 216cm² 体积 = 6cm × 6cm × 6cm = 216cm³ 易错点三：公式应用错误 易错描述：学生在应用表面积或体积公式时，容易忽略公式中的某个部分或错误地使用了公式。 易错题目： 一个长方体纸盒的长是10cm，宽是8cm，高是5cm。求这个纸盒的表面积。 错误答案： 只计算了纸盒的四个侧面的面积，忽略了上下两个面的面积。 正确答案： 表面积 = 2 × (10cm × 8cm + 10cm × 5cm + 8cm × 5cm) = 460cm² 易错点四：忽略实际情况 易错描述：在计算长方体和正方体的表面积时，学生容易忽略实际情况，如长方体或正方体是否有盖子、是否为空心等。 易错题目： 一个无盖的长方体鱼缸，长是80cm，宽是40cm，高是50cm。求制作这个鱼缸需要多少玻璃。 错误答案： 直接计算了长方体的表面积，未考虑鱼缸无盖的情况。 正确答案： 由于鱼缸无盖，只需计算五个面的面积： 表面积= 80cm × 40cm + 2 × (80cm × 50cm + 40cm × 50cm) = 13600cm² 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：44（较难） 一、慎重选择(共5题；共10分) 1．（2分）（2024五下·龙海期中）一个正方体的表面积是54平方厘米，这个正方体的占地面积是（　　）平方厘米。 A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【规范解答】解：54÷6=9（平方厘米） 故答案为：C。 【思路分析】正方体表面积是6个相同的正方形面的面积和，所以用表面积除以6就是一个面的面积，也就是占地面积。 2．（2分）（2024五下·武昌期中）用27块正方体积木拼成右面的物体，然后将其表面涂成红色。有三个面是红色的积木共有（　　）块。 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【规范解答】解：4＋4=8（块）。 故答案为：B。 【思路分析】正方体三面涂色的小正方体的块数=8（顶点的个数），但是这个立体图形中，三面涂色的小正方体的块数=下面4个顶点＋上面一层在正面的3个正方体＋从左面看上面一层左边的一个正方体。 3．（2分）（2024五下·陆川期中）把一个棱长是9cm的正方体切成棱长是3cm的小正方体，可以切得（　　）个。 A．6 B．9 C．27 【答案】C 【规范解答】解：93÷33=27（个） 故答案为：C。 【思路分析】正方体的体积=棱长×棱长×棱长=棱长的立方，大正方体的体积÷小正方体的体积=可以切得的小正方体的个数，据此可以解答。 4．（2分）（2024五下·龙岗期中）一块长是3分米，宽是2分米，体积是25.2立方分米的长方体木料，(　　)完全放入一个长是3.1分米，宽是2.1分米，高是4分米的长方体纸箱内(纸箱厚度忽略不计)。 A．能 B．不能 C．不一定能 D．条件不足，无法确定 【答案】B 【规范解答】解：木料的高：25.2÷3÷2=4.2（分米），高度超过纸箱的高度，不能完全放入。 故答案为：B。 【思路分析】用木料的体积除以长，再除以宽求出木料的高，然后与长方体纸箱的长宽高比较后判断能不能放入纸箱。 5．（2分）（2024五下·西城期末）一个棱长为2dm的正方体容器中装有一些水，放入一块体积是2.4dm3的石块后(石块完全浸没在水中，如下图)，水面上升了（　　）dm。 A．0.3 B．0.6 C．1.2 D．2 【答案】B 【规范解答】解：2.4÷2÷2 =1.2÷2 =0.6（分米）。 故答案为：B。 【思路分析】石块的体积就是水上升的体积，水面上升的高度=水的体积÷正方体容器的棱长÷正方体容器的棱长。 二、判断正误(共5题；共5分) 6．（1分）（2024五下·汉川期中）棱长为6厘米的正方体的表面积和体积相等。（　　） 【答案】错误 【规范解答】解：棱长为6厘米的正方体的表面积和体积无法进行比较，本题说法错误。 故答案为：错误。 【思路分析】正方体的表面积=棱长×棱长×6，正方体的体积=棱长×棱长×棱长，本题中表面积的单位是平方厘米，体积的单位是立方厘米，代表的意义不同，据此进行判断。 7．（1分）（2024五下·黄冈月考）长、宽、高都相等的长方体叫做立方体。（ ） 【答案】正确 【规范解答】长、宽、高都相等的长方体叫做正方体，正方体又叫立方体。 故答案为：正确。 【思路分析】根据正方体的定义解答即可。 8．（1分）（2024五下·武江期中）棱长为2厘米的正方体的体积是棱长为1厘米的正方体的体积的8倍。（　　） 【答案】正确 【规范解答】解：2×2×2÷（1×1×1）=8，所以棱长为2厘米的正方体的体积是棱长为1厘米的正方体的体积的8倍。原题说法正确。 故答案为：正确。 【思路分析】正方体体积=棱长×棱长×棱长，根据公式分别计算出体积，再确定倍数关系即可。 9．（1分）（2024五下·靖宇月考）棱长是3dm的正方体，正好能分割成3000个棱长是1cm的小正方体。（　　） 【答案】错误 【规范解答】解：棱长是3dm的正方体，正好能分割成27000个棱长是1cm的小正方体。原题说法错误。 故答案为：错误。 【思路分析】棱长3dm的正方体，体积是27立方分米，棱长是1厘米的小正方体，体积是1立方厘米，27立方分米=27000立方厘米，所以能割成27000个小正方体。 10．（1分）（2024五下·青县月考）用3个棱长为a厘米的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是18a2平方厘米。（　　） 【答案】错误 【规范解答】解：a×a×6×3-a×a×4 =18a2-4a2 =14a（平方厘米）。 故答案为：错误。 【思路分析】长方体的表面积=小正方体的棱长×棱长×6×小正方体的个数-拼成一个长方体后减少的面积。 三、仔细想，认真填(共7题；共16分) 11．（2分）（2024五下·苍南期中）如图，4个棱长都是1cm的正方体堆在墙角处，露在外面的面有 　 　个，至少需要 　 　个这样的小正方体，才能搭一个大一些的正方体。 【答案】9；4 【规范解答】解：3＋3＋3=9（个）； 8-4=4（个）。 故答案为：9；4。 【思路分析】露在外面的面的总个数=前面露出面的个数＋右面露出面的个数＋上面露出面的个数； 搭一个大一些的正方体至少需要8个小正方体，还需要小正方体的个数=8-现有的个数。 12．（2分）（2024五下·邯郸期中）明明准备用铁丝焊接一个棱长6厘米的正方体框架，并在各个面上糊上彩纸，做这个正方体至少需要铁丝　 　厘米，彩纸　 　平方厘米。 【答案】72；216 【规范解答】解：6×12=72（厘米） 6×6×6 =36×6 =216（平方厘米）。 故答案为：72；216。 【思路分析】做这个正方体至少需要铁丝的长度=正方体的棱长×12，至少需要彩纸的面积=棱长×棱长×6。 13．（1分）（2024五下·陆丰期中）一个长方体的体积是7.2m3，高是8dm，底面积是　 　m2。 【答案】9 【规范解答】解：8dm=0.8m，7.2÷0.8=9m2，所以底面积是9m2。 故答案为：9。 【思路分析】先将单位进行换算，8dm=0.8m，即长方体的底面积=长方体的体积÷长方体的高，据此作答即可。 14．（4分）（2024五下·洞头期中）一个长方体木块，长5dm，宽4dm，高3dm，先把它的六个面涂上颜色，再把它锯成棱长是1dm的小正方体木块(如下图)。在锯成的小正方体木块中，三面涂色的有　 　个，两面涂色的有　 　个，一面涂色的有　 　个，六个面都没有涂色的有　 　个。 【答案】8；24；22；6 【规范解答】解：8个顶点处的三面涂色，三面涂色的有8个。 两面涂色：3×4+2×4+1×4=12+8+4=24（个）； 一面涂色的：6×2+3×2+2×2=12+6+4=22（个）； 没有涂色的：5×4×3-8-24-22=60-54=6（个）。 故答案为：8；24；22；6。 【思路分析】每个顶点处都是三面涂色，共8个顶点，所以共8个三面涂色。每条棱中间的都是两面涂色，每条长中间有3个两面涂色，每条宽边上有2个两面涂色，每条高上有1个两面涂色。每个面中间的是一面涂色的，前后面中间共有6个，上下面中间有12个，左右面中间有4个。用锯成小正方体的总数减去涂色的就是没有涂色的个数。 15．（2分）（2024五下·东莞）用棱长1cm的正方体，依次拼摆出下面的长方体。照这样的摆法，由5个正方体拼摆出的长方体表面积是　 　cm2；由n个正方体摆出的长方体表面积是　 　cm2。 【答案】22；（4n＋2） 【规范解答】解：5×1=5（厘米） （5×1＋5×1＋1×1）×2 =11×2 =22（平方厘米） （n×1＋n×1＋1×1）×2=（4n＋2）（平方厘米）。 故答案为：22；（4n＋2）。 【思路分析】由几个正方体摆出的长方体的长就是n×1=n，宽=高=1，摆出的长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 16．（4分）（2024五下·江源月考）把一个涂色的大正方体，割成8个小正方体，3面涂色的有　 　块。把一个涂色的大正方体，割成27个小立方体，3面涂色的有　 　块，2面涂色的有　 　块，0面涂色的有　 　块。 【答案】8；8；12；1 【规范解答】解：三面涂色的个数：在正方体的8个顶点处，有8个； 两面涂色的个数：12×（3-2） =12×1 =12（个）； 0面涂色的个数：（3-2）3=13=1（个）。 故答案为：8；8；12；1。 【思路分析】用n表示大正方体每条棱上小正方体的块数，三面涂色的小正方体的块数=8（顶点的个数）；两面涂色的小正方体的块数=12×（n-2）；一面涂色的小正方体的块数=6（n-2）2；没有涂色的小正方体的块数=（n-2）3。 17．（1分）（2023五下·随县期末）把3个同样大小的正方体拼成一个长方体，表面积减少了36平方分米，拼成的长方体的体积是　 　立方分米。 【答案】81 【规范解答】解：36÷4=9（平方分米） 9÷3=3（分米） 9×（3×3） =9×9 =81（立方分米）。 故答案为：81。 【思路分析】拼成长方体的体积=底面积×高；其中，底面积=减少的表面积÷减少面的个数；高=正方体的棱长×3。 四、看图计算(共2题；共12分) 18．（6分）（2024五下·苍南期中）按要求计算。 （1）（3分）求表面积。 （2）（3分）求体积。 【答案】（1）解：（4×3×4×4）+4×4×2 ＝192+32 ＝224（cm2） 答：组成的长方体的表面积是224cm2。 （2）解：15×8＝120（cm3） 答：长方体的体积是120cm3。 【思路分析】（1）组成的长方体的表面积=长×宽×4＋宽×高×2； （2）长方体的体积=底面积×高。 19．（6分）（2024五下·临平期中）计算与探索。 （1）（4分）计算：图1，正方体的底面积是 　 　cm2，体积是 　 　cm3。图2，长方体的横截面积是 　 　cm2，体积是 　 　cm3。 （2）（2分）尝试计算如图的体积（单位：厘米） 【答案】（1）16；64；30；900 （2）解：（4+8）×5÷2×8 ＝12×5÷2×8 ＝60÷2×8 ＝30×8 ＝240（立方厘米） 答：图形的体积是240立方厘米。 【规范解答】解：（1）4×4=16（平方厘米） 16×4=64（立方厘米）； 长方体的横截面积是30平方厘米 30×30=900（立方厘米）。 故答案为：（1）16；64；30；900。 【思路分析】（1）正方体的底面积=棱长×棱长，体积=底面积×高；长方体的横截面积是30平方厘米，体积=底面积×高； （2）图形的体积=（横截面的上底＋下底）×高÷2×宽。 五、解决问题(共11题；共57分) 20．（6分）（2023五下·播州期末）某健身馆建了一个长80m、宽40m、深2m的游泳池，为确保游泳者的人身安全，工人师傅沿游泳池的内壁高1.5m处用红漆划了一条水位线，水位一般不得超过此线。 （1）（3分）这条线的长度是多少米？ （2）（3分）游泳池占地多少平方米？ 【答案】（1）解：（80+40）×2 ＝120×2 ＝240（米） 答：这条线的长度是240米。 （2）解：80×40＝3200（平方米） 答：游泳池占地3200平方米。 【思路分析】（1） 求这条线的长度是多少米 ，就是求长方体游泳池的周长，长方形的周长=（长+宽）×2，代入数值计算即可； （2）求 游泳池占地面积，就是求长方体游泳池的底面积，长方体的底面积=长×宽，代入数值计算即可。 21．（4分）（2024五下·腾冲期中）学校要粉刷一间新教室。教室的长是8米，宽是6米，高是4米，门窗和黑板的面积是25.4平方米，如果每平方米需要12元涂料费，粉刷这间教室需要多少元涂料费?（只粉刷教室的屋顶和四面墙壁） 【答案】解：8×6+8×4×2+6×4×2-25.4 =48+64+48-25.4 =134.6（平方米） 134.6×12=1615.2（元） 答：粉刷这间教室需要1615.2元涂料费。 【思路分析】教室的长×宽+长×高×2+宽×高×2-门窗和黑板的面积=需要粉刷的面积，需要粉刷的面积×每平方米的涂料费=粉刷这个教室共需要的涂料费。 22．（6分）（2024五下·钱塘期末）明明去超市买酸奶，发现一种酸奶采用长方体塑封纸盒包装，从外面量这种纸盒长6厘米，宽5厘米，高8厘米。 （1）（3分）这种酸奶盒上标注酸奶的净含量为240毫升，则标注是否真实的?请说明理由！ （2）（3分）如果围着它贴一圈商标纸（上、下面不贴），那么商标纸的面积至少是多少平方厘米? 【答案】（1）解：6×5×8=240(cm3)=240(mL) 答：标注是不真实的。因为酸奶盒的体积从外面量是240立方厘米，说明容积一定小于240mL，所以不真实。 （2）解：（6×8+5×8）×2 =88×2 =176（cm2） 答：商标纸的面积至少是176cm2。 【思路分析】（1）纸盒的长×宽×高=纸盒的体积，纸盒的体积＞纸盒的容积，据此解答； （2）（长×高+宽×高）×2=酸奶盒的侧面积，也是商标纸的面积。 23．（6分）（2024五下·龙海期中）一个长方体玻璃鱼缸（无盖）长8分米，宽4.5分米，高6分米。 （1）（2分）制作这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）（2分）这个鱼缸最多能装多少升水？（玻璃厚度忽略不计） （3）（2分）现在这个鱼缸装有3.5分米高的水，放入一个石头假山，浸没在水中，水面上升到4分米，这个石头假山的体积是多少？ 【答案】（1）解：8×4.5+8×6×2+4.5×6×2 ＝36+96+54 ＝186（平方分米） 答：制作这个鱼缸至少需要玻璃186平方分米。 （2）解：8×4.5×6 ＝36×6 ＝216（立方分米） 216立方分米＝216升 答：这个鱼缸最多能装126升水。 （3）解：8×4.5×（4﹣3.5） ＝36×0.5 ＝18（立方分米） 答：这个石头假山的体积是18立方分米。 【思路分析】（1）长方体的长×宽+长×高×2+宽×高×2=无盖的长方体的表面积； （2）长×宽×高=长方体的容积； （3）长方体的长×宽×水面上升的高度=这个石头假山的体积。 24．（4分）（2024五下·兰溪期中）巨人国里举行捏橡皮泥比赛，一位选手先把他的橡皮泥捏成棱长为4分米的正方体，后来感觉不满意就把它改捏成底面积为2平方分米的长方体。这个长方体的高是多少分米？ 【答案】解：4×4×4÷2 =64÷2 =32（分米） 答：这个长方体的高是32分米。 【思路分析】这个长方体的高=正方体的棱长×棱长×棱长÷长方体的底面积。 25．（6分）（2024五下·徐闻期中）用一根60分米长的铁丝，做成一个正方体的框架。 （1）（3分）这个正方体框架的棱长是多少分米？ （2）（3分）把这个正方体包装起来，可以装多少立方分米的物品？ 【答案】（1）解：60÷12=5（分米） 答： 这个正方体框架的棱长是5分米 。 （2）解：5×5×5 =25×5 =125（立方分米） 答： 可以装125立方分米的物品 。 【思路分析】（1）正方体的棱长=正方体的总棱长÷12； （2）正方体的体积=棱长×棱长×棱长。 26．（4分）（2024五下·龙海期中）小冬有一根长方体木料，沿着长截去3dm后（如图），剩下的木料正好是一个正方体，表面积比原来减少了60dm2。剩下的正方体木料的体积是多少？ 【答案】解：60÷4÷3 ＝15÷3 ＝5（分米） 5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方分米） 答：剩下的正方体木料的体积是125立方分米。 【思路分析】减少的表面积÷4=减少的一个面的面积，减少的一个面的面积÷3分米=正方体的棱长，正方体的体积=正方体棱长×棱长×棱长。 27．（5分）（2024五下·巴楚期中）为了测量一个西红柿的体积，丹丹在家进行了如下实验.第一步：准备了一个正方体玻璃缸，并从里面测量出玻璃缸的棱长是10厘米；第二步：往玻璃缸中倒入了6厘米深的水；第三步：把这个西红柿放入玻璃缸中，测出现在水面高7.8厘米。请你根据丹丹的实验，算出这个西红柿的体积。 【答案】解：10×10×（7.8-6） =10×10×1.8 =100×1.8 =180（立方厘米） 答：这个西红柿的体积是180立方厘米。 【思路分析】这个西红柿的体积=容器的棱长×棱长×（放入西红柿后水面的高度-放入西红柿前水面的高度）。 28．（6分）（2024五下·驻马店月考）一个游泳池，长 25m，宽 12m，高 2.5m。要在游泳池的四周和池底贴一层瓷砖。 （1）（2分）这个游泳池的 占地面积是多少平方米? （2）（2分）要贴瓷砖的面积是多少平方米? （3）（2分）挖这个游泳池时，一共要挖出多少立方米的土? 【答案】（1）解：25×12＝300（m2） 答：这个游泳池的占地面积是300m2。 （2）解：（25×2.5＋12×2.5）×2＋25×12 =（62.5+30）×2+300 =92.5×2+300 =185+300 =485（m2） 答：要贴瓷砖的面积是485m2。 （3）解：25×12×2.5 =300×2.5 =750（m3） 答：一共要挖出750m3的土。 【思路分析】（1）游泳池的底面积就是占地面积，长是25m、宽是12m； （2）贴瓷砖的面积是1个底面积和四个侧面的面积，把这些面的面积相加就是需要贴瓷砖的面积之和； （3）长方体体积=长×宽×高，根据公式计算挖土的体积即可。 29．（5分）（2024五下·武江期中）一个正方体容器，棱长2分米，里面装有水5升，放入一个铁球，（完全沉没）这时水面高1.5分米，这个铁球的体积是多少立方分米? 【答案】解：5升=5立方分米 5÷（2×2） =5÷4 =1.25（分米） 2×2×（1.5-1.25） =4×0.25 =1（立方分米） 答：这个铁球的体积是1立方分米。 【思路分析】5升=5立方分米，用水的体积除以容器的底面积求出水的高度。水面上升部分水的体积就是铁球的体积，因此用底面积乘水面上升的高度即可求出铁球的体积。 30．（5分）（2024五下·望都月考）实验小学为迎接6月5日的世界环保日，张校长带领老师们用棱长5分米的正方体积木(由废纸箱制成)，在教学楼旁搭起一面长5米、高2.5米、厚20分米的环保宣传墙，这面墙一共用了多少块积木? 【答案】解：5米=50分米 2.5米=25分米 50÷5=10（块） 20÷5=4（块） 25÷5=5（块） 10×4×5=200（块） 答：这面墙一共用了200块积木。 【思路分析】这面墙一共用积木的块数=这面墙长边用的块数×宽边用的块数×高边用的块数；其中，各边用的块数=这面墙的长、宽、高分别÷正方体积木的棱长。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$