（复习巩固）第4讲 三角形（知识梳理+易错精讲+真题拔高卷）2024年人教版数学四升五暑假衔接培优精讲练过关讲义

2024年人教版数学四升五暑假衔接培优精讲练过关讲义 （知识梳理+易错精讲+真题拔高卷） 第4讲 三角形 定义：三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形。三角形有3条边、3个角和3个顶点。 内角和：任意一个三角形的内角和都等于180°。这个性质可以通过多种方法进行验证，例如使用量角器测量每个角的度数并相加，或者将三角形的三个角撕下来并拼在一起形成一个平角。 底和高：从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。一个三角形有三组不同的底和高。 三角形的分类： 按角分类：三角形可以分为锐角三角形（三个角都小于90°）、直角三角形（有一个角是90°）和钝角三角形（有一个角大于90°）。直角三角形中两个锐角的度数和等于90°，钝角三角形中两个锐角的度数和小于90°。 按边分类：三角形可以分为等边三角形（三条边长度相等）、等腰三角形（有两条边长度相等）和不等边三角形（三条边长度都不相等）。 三角形的稳定性：三角形具有稳定性，即三角形的形状和大小在不受外力作用时不会改变。这种特性使得三角形在建筑、工程等领域有广泛的应用。 三角形三边的关系：三角形任意两边长度的和大于第三边。 等腰三角形和等边三角形和等腰直角三角形： 两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，底和腰的夹角叫做底角，两个底角相等，等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴。 三条边都相等的三角形是等边三角形，三条边都相等，三个角也 都相等（每个角都是 60°，所有等边三角形的三个角都是60°。）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。 有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，它的底角等于45°，顶角等于90° 等腰三角形的顶角=180°－底角×2 等腰三角形的底角=（180°－顶角）÷2 一个三角形最大的角是 60 度，这个三角形一定是等边三角形。 多边形的内角和=180°×（边数－2） 三角形的定义理解： 易错点：误认为过同一条直线上的三个点就能构成三角形。实际上，这三个点不能在同一直线上，否则无法形成三角形。 解决策略：强调三角形的定义，明确三个顶点不能在同一直线上。 三角形的高： 易错点：误认为从三角形的一个顶点到对边的任何线段都是高。实际上，只有垂直于对边的线段才是三角形的高。 解决策略：通过图示和实例明确三角形高的定义，强调垂直性。 三角形的分类： 易错点：混淆三角形的分类标准，例如将三角形错误地分为等边三角形、直角三角形和钝角三角形。实际上，这些分类的标准不相同，无法这样分类。 解决策略：明确三角形的分类标准，如按角分类或按边分类，并给出相应的实例。 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：47（较难） 一．慎重选择（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（2分）（2024春•涞源县期末）下面有关三角形的描述不正确的是（　　） A．一个三角形的三个角中最大的是89度，这个三角形是锐角三角形。 B．当三角形中两个内角的和等于第三个角时，这是一个直角三角形。 C．已知一个三角形中的两个角都是锐角，这个三角形一定是锐角三角形。 D．钝角三角形中，两个锐角的和小于90°。 2．（2分）（2024春•通道县期中）三角形的两边分别为7厘米和10厘米，另一条边长不可能是（　　） A．8厘米 B．5厘米 C．2厘米 3．（2分）（2024•怀来县模拟）等腰三角形有一个角是46°，按角分类，这是一个（　　）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 4．（2分）（2024•武冈市模拟）下面（　　）组中的三条线段能围成三角形。 A．2cm、3cm、5cm B．2cm、2cm、5cm C．3cm、3cm、7cm D．2cm、5cm、5cm 5．（2分）（2023春•商州区期中）把一根长15厘米的小棒截成三根整厘米长的小段，围成一个三角形，最长的一根小棒不能超过（　　）厘米。 A．6 B．7 C．8 二．仔细想，认真填（共8小题，满分20分） 6．（2分）（2024春•涞源县期末）一个三角形中，∠1＝54°，∠2＝36°，∠3＝　 　°；一个等腰三角形的顶角是100°，它的一个底角是 　 　°。 7．（2分）（2024春•交城县期中）一个三角形两条边分别长5厘米和9厘米，第三条边最短是 　 　厘米，最长可以是 　 　厘米。（答案均为整数） 8．（2分）（2024春•市南区期末）一个等腰三角形，它的每个底角是45度，它的顶角是 　 　度，它还是个 　 　三角形。 9．（3分）（2024春•石门县期中）两根分别是5厘米和8厘米的木棒，再选择一根木棒（长度为整厘米数）围成一个三角形，所选木棒的取值情况有 　 　种，最长是 　 　厘米，最短是 　 　厘米。 10．（2分）（2024春•威县期中）如图，直角三角形ABC中，∠1＝2∠2，∠3＝3∠2，∠1＝　 　°，∠4＝　 　°。 11．（2分）（2024春•惠阳区期中）在一个三角形中，∠1，∠2，∠3是它的三个内角，∠1＝40°，∠2是∠1的2倍，∠3＝　 　°，这是一个 　 　三角形。 12．（2分）（2024春•威县期中）爷爷计划用栅栏围出一块三角形的菜地，每段栅栏长1米，爷爷已经连接成6米和9米的栅栏为两条边，那么第三条边最长是 　 　米，最短是 　 　米。 13．（5分）（2019•娄底模拟）求图中各角的度数． 图1：∠2＝　 　∠3＝　 　。图2：∠1＝　 　∠2＝　 　∠3＝　 　． 三．判断正误（共5小题，满分5分，每小题1分） 14．（1分）（2024春•涞源县期末）小明用三根小棒围成了一个三角形，其中有两根小棒的长分别是5厘米和9厘米，第三根小棒的长可能是14厘米。 　 　（判断对错） 15．（1分）（2024春•大埔县期中）一个三角形最多一个锐角。 　 　（判断对错） 16．（1分）（2024春•新城区期中）用2分米、3分米、8分米长的三根小棒恰好能围成一个三角形。 　 　（判断对错） 17．（1分）（2024春•市中区期中）三角形的一个内角是108°，它一定是钝角三角形。 　 　（判断对错） 18．（1分）（2021春•富县期末）任何四边形的内角和等于三角形内角和的2倍．　 　 （判断对错） 四．看图计算（共2小题，满分8分，每小题4分） 19．（4分）（2023春•始兴县期末）求如图各角的度数。 20．（4分）（2023春•乐山期末）已知△ABC是等腰三角形，顶角为110°，请计算如图中未知角的度数。 五．动手操作（共2小题，满分8分，每小题4分） 21．（4分）（2023春•雅安期末）先在下面的方格中按要求作图（每个小方格的边长均是1cm），再填空。 （1）先画一个直角三角形，使它其中的两条边长分别为3cm、4cm；再量出这个直角三角形第3条边的长度是 　 　。 （2）画一个三角形，使它其中的两个内角的度数分别为30°，45°；按角的大小分，这是一个 　 　三角形。 22．（4分）（2023春•西秀区期末）在如图中，∠1＝120°，∠3＝40°，求∠2的度数。 六．实际应用（共7小题，满分33分） 23．（4分）（2024春•宝安区期中）奇奇在数学课上画了一个等腰三角形，已知他画的等腰三角形中的一个角是70°。你知道他画的等腰三角形中另外两个角是分别是多少度吗？ 24．（4分）（2024春•市中区期中）一个等腰三角形铁板的一个内角是64度，这块铁板的另外两角是多少度？ 25．（5分）（2024春•市中区期中）有两根分别长10cm和12cm的小棒，再拿一根多长的小棒就可以围成一个三角形？（取整厘米数） 26．（5分）（2023春•金州区期末）如果一个三角形的三条边长度都是整厘米数，第一条边长度是5cm，第二条边的长度比6厘米长而且比10厘米短，第三边的长度最短是多少厘米？最长是多少厘米？ 27．（5分）（2023春•晴隆县期末）学校举行做风筝比赛，图图做了一个等腰三角形的风筝，它的一个底角是30°。这个风筝的顶角是多少度？ 28．（5分）（2023春•双流区期末）张阿姨准备用三条栅栏围一个三角形场地养兔子，她准备好了5米长和8米长的栅栏，那么第三条栅栏可能是几米？（提示：①最长边可能是8米的栅栏，也可能是第三条栅栏。②每种情况至少写出一种结果。③栅栏长度为整米数。） 29．（5分）（2023春•龙华区期末）周日，小夕一家外出散步，路上碰到了一些问题，请你帮助他们解决。 （1）小夕的爸爸身高1.82米，体重75千克，腿长约92厘米。小夕说她爸爸走一步可以迈2米。对于这种说法，你相信吗？请你从数学角度出发，写出结论，并解释理由。 （2）路上，他们路过文具店，小夕想买一面彩旗，彩旗的形状是等腰三角形。其中一个角是70°，想一想另外两个角分别是多少度？请列出所有的情况。 七．解决问题（共3小题，满分16分） 30．（6分）（2024春•榕城区校级期中）下面是三块三角形玻璃打碎后留下的碎片，按角分它们原来是什么三角形？ 31．（4分）（2024春•市南区期末）明明用一根长18厘米的铁丝围成了一个三角形，这个三角形的边长分别是几厘米？（每段都是整厘米）请把你想到的数据列举2～3组写在下面。 　 　 32．（6分）（2024春•寒亭区期中）潍坊第41届国际风筝节开始啦，众多市民争相体会风筝制作的乐趣，感受传统工艺的魅力。帆帆对风筝活动也很感兴趣，她准备了一根竹条，打算剪两刀分成三段，围成一个三角形风筝骨架。 （1）如图1，帆帆先在竹条的C点上剪一刀，之后她发现无论第二刀怎么剪，剪出的三段都无法围成一个三角形，这是为什么呢？请你说一说。 （2）帆帆经过思考，决定改成先在图2C'点处剪第一刀，把竹条分成两段后，你觉得她第二刀应该选择在第 　 　段竹条上剪。（填写序号） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年人教版数学四升五暑假衔接培优精讲练过关讲义 （知识梳理+易错精讲+真题拔高卷） 第4讲 三角形 定义：三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形。三角形有3条边、3个角和3个顶点。 内角和：任意一个三角形的内角和都等于180°。这个性质可以通过多种方法进行验证，例如使用量角器测量每个角的度数并相加，或者将三角形的三个角撕下来并拼在一起形成一个平角。 底和高：从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。一个三角形有三组不同的底和高。 三角形的分类： 按角分类：三角形可以分为锐角三角形（三个角都小于90°）、直角三角形（有一个角是90°）和钝角三角形（有一个角大于90°）。直角三角形中两个锐角的度数和等于90°，钝角三角形中两个锐角的度数和小于90°。 按边分类：三角形可以分为等边三角形（三条边长度相等）、等腰三角形（有两条边长度相等）和不等边三角形（三条边长度都不相等）。 三角形的稳定性：三角形具有稳定性，即三角形的形状和大小在不受外力作用时不会改变。这种特性使得三角形在建筑、工程等领域有广泛的应用。 三角形三边的关系：三角形任意两边长度的和大于第三边。 等腰三角形和等边三角形和等腰直角三角形： 两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，底和腰的夹角叫做底角，两个底角相等，等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴。 三条边都相等的三角形是等边三角形，三条边都相等，三个角也 都相等（每个角都是 60°，所有等边三角形的三个角都是60°。）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。 有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，它的底角等于45°，顶角等于90° 等腰三角形的顶角=180°－底角×2 等腰三角形的底角=（180°－顶角）÷2 一个三角形最大的角是 60 度，这个三角形一定是等边三角形。 多边形的内角和=180°×（边数－2） 三角形的定义理解： 易错点：误认为过同一条直线上的三个点就能构成三角形。实际上，这三个点不能在同一直线上，否则无法形成三角形。 解决策略：强调三角形的定义，明确三个顶点不能在同一直线上。 三角形的高： 易错点：误认为从三角形的一个顶点到对边的任何线段都是高。实际上，只有垂直于对边的线段才是三角形的高。 解决策略：通过图示和实例明确三角形高的定义，强调垂直性。 三角形的分类： 易错点：混淆三角形的分类标准，例如将三角形错误地分为等边三角形、直角三角形和钝角三角形。实际上，这些分类的标准不相同，无法这样分类。 解决策略：明确三角形的分类标准，如按角分类或按边分类，并给出相应的实例。 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：47（较难） 一．慎重选择（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（2分）（2024春•涞源县期末）下面有关三角形的描述不正确的是（　　） A．一个三角形的三个角中最大的是89度，这个三角形是锐角三角形。 B．当三角形中两个内角的和等于第三个角时，这是一个直角三角形。 C．已知一个三角形中的两个角都是锐角，这个三角形一定是锐角三角形。 D．钝角三角形中，两个锐角的和小于90°。 【思路分析】AC运用锐角三角形的意义进行解答，B运用直角三角形的特点进行解答，运用钝角三角形的意义进行解答即可。 【规范解答】解：由分析可知：一个三角形中的两个角都是锐角，这个三角形一定是锐角三角形；也可能是钝角三角形，直角三角形，所以C答案说法错误。 故选：C。 【考点评析】本题考查了三角形的分类。 2．（2分）（2024春•通道县期中）三角形的两边分别为7厘米和10厘米，另一条边长不可能是（　　） A．8厘米 B．5厘米 C．2厘米 【思路分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。 【规范解答】解：10﹣7＝3（厘米） A．3＜8，可能 B．3＜5，可能 C．3＞2，不可能 故选：C。 【考点评析】解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可。 3．（2分）（2024•怀来县模拟）等腰三角形有一个角是46°，按角分类，这是一个（　　）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 【思路分析】根据等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和等于180°，解答此题即可。 【规范解答】解：当46°角是顶角时底角为： （180﹣46）÷2 ＝134÷2 ＝67（度） 当46°角是底角时顶角为： 180﹣46﹣46＝88（度） 答：这是一个锐角三角形。 故选：A。 【考点评析】熟练掌握三角形的内角和及三角形的分类是解答此题的关键。 4．（2分）（2024•武冈市模拟）下面（　　）组中的三条线段能围成三角形。 A．2cm、3cm、5cm B．2cm、2cm、5cm C．3cm、3cm、7cm D．2cm、5cm、5cm 【思路分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；据此进行解答即可。 【规范解答】解：A.2+3＝5，所以不能围成三角形； B.2+2＜5，所以不能围成三角形； C.3+3＜7，所以不能围成三角形； D.2+5＞5，所以能围成三角形。 故选：D。 【考点评析】解答此题的关键是根据三角形的三边关系进行分析、解答即可。 5．（2分）（2023春•商州区期中）把一根长15厘米的小棒截成三根整厘米长的小段，围成一个三角形，最长的一根小棒不能超过（　　）厘米。 A．6 B．7 C．8 【思路分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。 【规范解答】解：因为三角形两边之和大于第三边，15厘米的一半是7.5厘米，所以小于7.5厘米的最大的整数是7厘米，其余两边之和就8厘米，刚好满足；所以最长的一根小棒不能超过7厘米。 故选：B。 【考点评析】解答此题的关键是根据三角形的三边关系进行分析、解答即可。 二．仔细想，认真填（共8小题，满分20分） 6．（2分）（2024春•涞源县期末）一个三角形中，∠1＝54°，∠2＝36°，∠3＝　90　°；一个等腰三角形的顶角是100°，它的一个底角是 　40　°。 【思路分析】①根据三角形的内角和定理，求出第三个角； ②由已知等腰三角形顶角是100度，结合等腰三角形的两底角相等，根据三角形内角和是180度，用“（180﹣100）÷2”解答即可得到底角度数；然后根据三角形的分类进行解答即可 【规范解答】解：①第三个角是180°﹣36°﹣54°＝90°； ②底角为：（180﹣100）÷2 ＝80÷2 ＝40（度）； 该三角形的三个角都是锐角，则这个三角形都是锐角三角形； 故答案为：90；40。 【考点评析】本题考查了三角形的分类及三角形内角和；用到的知识点：等腰三角形的性质：等边对等角。 7．（2分）（2024春•交城县期中）一个三角形两条边分别长5厘米和9厘米，第三条边最短是 　5　厘米，最长可以是 　13　厘米。（答案均为整数） 【思路分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此即可解答。 【规范解答】解：9﹣5＝4（厘米） 9+5＝14（厘米） 4厘米＜第三边＜14厘米，所以第三条边最短是5厘米，最长是13厘米。 故答案为：5；13。 【考点评析】本题考查三角形边的关系应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。 8．（2分）（2024春•市南区期末）一个等腰三角形，它的每个底角是45度，它的顶角是 　90　度，它还是个 　直角　三角形。 【思路分析】根据三角形的内角和等于180°，解答此题即可。 【规范解答】解：180°﹣45°﹣45°＝90° 答：它的顶角是90度，它还是个直角三角形。 故答案为：90；直角。 【考点评析】熟练掌握三角形的内角和，是解答此题的关键。 9．（3分）（2024春•石门县期中）两根分别是5厘米和8厘米的木棒，再选择一根木棒（长度为整厘米数）围成一个三角形，所选木棒的取值情况有 　9　种，最长是 　12　厘米，最短是 　4　厘米。 【思路分析】两边之差＜三角形第三边的取值范围＜两边之和。 【规范解答】解：8﹣5＜第三边＜8+5 3＜第三边＜13 第三根木棒的长度可以是4厘米、5厘米、6厘米、7厘米、8厘米、9厘米、10厘米、11厘米、12厘米共9种，其中最长是12厘米，最短是4厘米。 故答案为：9；12；4。 【考点评析】熟练掌握三角形的三边关系，是解答此题的关键。 10．（2分）（2024春•威县期中）如图，直角三角形ABC中，∠1＝2∠2，∠3＝3∠2，∠1＝　30　°，∠4＝　45　°。 【思路分析】根据直角三角形的两个锐角的和是90°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可解答。 【规范解答】解：在直角三角形中，∠A+∠ACB＝90° 即：∠1+∠2+∠3＝90°， 把∠1＝2∠2，∠3＝3∠2代入得： 2∠2+∠2+3∠2＝90° 6∠2＝90° ∠2＝15° ∠1＝2∠2 ＝2×15° ＝30° ∠4＝∠1+∠2 ＝30°+15° ＝45° 答：，∠1＝30°，∠4＝45°。 故答案为：30；45。 【考点评析】本题考查的是三角形的内角和，掌握直角三角形的两个锐角的和是90°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解答关键。 11．（2分）（2024春•惠阳区期中）在一个三角形中，∠1，∠2，∠3是它的三个内角，∠1＝40°，∠2是∠1的2倍，∠3＝　60　°，这是一个 　锐角　三角形。 【思路分析】根据题意，∠2是∠1的2倍，所以用∠1的度数乘2求出∠2的度数，再用内角和180°减去∠1和∠2的度数求出∠3的度数。 三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；据此解答。 【规范解答】解：∠2＝∠1×2 ＝40°×2 ＝80° ∠3＝180°﹣∠1﹣∠2 ＝180°﹣40°﹣80° ＝60° 三个角都是锐角，所以这个三角形是锐角三角形。 故答案为：60，锐角。 【考点评析】本题考查三角形的内角和以及三角形的分类知识，结合题意分析解答即可。 12．（2分）（2024春•威县期中）爷爷计划用栅栏围出一块三角形的菜地，每段栅栏长1米，爷爷已经连接成6米和9米的栅栏为两条边，那么第三条边最长是 　14　米，最短是 　4　米。 【思路分析】根据两边之差＜三角形第三边的取值范围＜两边之和求解即可。 【规范解答】解：9﹣6＜三角形第三边的取值范围＜9+6 3＜三角形第三边的取值范围＜15 答：第三条边最长是14米，最短是4米。 故答案为：14；4。 【考点评析】本题主要考查三角形三边关系的灵活运用。 13．（5分）（2019•娄底模拟）求图中各角的度数． 图1：∠2＝　40°　∠3＝　110°　。图2：∠1＝　60°　∠2＝　75°　∠3＝　105°　． 【思路分析】（1）∠2是直角三角形里的一个锐角，和另一个锐角50度角的和是90度，所以90度减去50度就是∠2的度数； 又因为∠2、∠3和30度角组成一个平角，所以用180度减去∠2和30度角的和就是∠3的度数； （2）∠1和120度角组成一个平角，所以180度减120度就是∠1的度数；用三角形的内角和180度减∠1和45度角的和就是∠2的度数；用180度减∠2的度数就是∠3的度数． 【规范解答】解：（1）∠2＝90°＝50°＝40°； ∠3＝180°﹣（40°+30°）＝110°； （2）∠1＝180°﹣120°＝60°； ∠2＝180°﹣（60°+45°）， ＝180°﹣105°， ＝75°； ∠3＝180°﹣75°＝105°． 故答案为：40°、110°；60°、75°、105°． 【考点评析】解决本题用到的知识点为三角形的内角和是180度和平角的意义和特征． 三．判断正误（共5小题，满分5分，每小题1分） 14．（1分）（2024春•涞源县期末）小明用三根小棒围成了一个三角形，其中有两根小棒的长分别是5厘米和9厘米，第三根小棒的长可能是14厘米。 　×　（判断对错） 【思路分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。 【规范解答】解：9﹣5＝4（厘米） 5+9＝14（厘米） 第三根小棒的范围是：4厘米＜第三边＜14厘米，故原题说法错误。 故答案为：×。 【考点评析】解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可。 15．（1分）（2024春•大埔县期中）一个三角形最多一个锐角。 　×　（判断对错） 【思路分析】小于90°的角是锐角，大于90°而小于180°的角是钝角，1直角＝90°，三角形的内角和是180°，等边三角形的三个内角都是60°，所以一个三角形最多有三个角是锐角。 【规范解答】解：一个三角形最多有三个锐角，原题干说法错误。 故答案为：×。 【考点评析】熟练掌握三角形的内角和是180度是解题的关键。 16．（1分）（2024春•新城区期中）用2分米、3分米、8分米长的三根小棒恰好能围成一个三角形。 　×　（判断对错） 【思路分析】根据三角形中三边的关系进行分析即可判断正误。 【规范解答】解：三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 2+3＝5（分米） 5＜8，所以用2分米、3分米、8分米长的三根小棒不能围成三角形，即原题说法错误。 故答案为：×。 【考点评析】此题考查三角形的三边关系。三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 17．（1分）（2024春•市中区期中）三角形的一个内角是108°，它一定是钝角三角形。 　√　（判断对错） 【思路分析】锐角三角形：三个角都小于90°；直角三角形：其中一个角必须等于90°；钝角三角形：有一个角大于90°。 【规范解答】解：三角形的一个内角是108°，它一定是钝角三角形。说法正确。 故答案为：√。 【考点评析】本题考查了三角形的按角分类的特征。 18．（1分）（2021春•富县期末）任何四边形的内角和等于三角形内角和的2倍．　√　 （判断对错） 【思路分析】三角形的内角和等于180°，因为四边形的任意一条对角线都能将一个四边形分成2个三角形，因为三角形内角和是180°，所以四边形的内角和等于2个三角形的内角和的和，是360°，据此即可解答． 【规范解答】解：（4﹣2）×180÷180 ＝2×180÷180 ＝2 答：任何四边形的内角和等于三角形内角和的2倍． 故答案为：√． 【考点评析】利用多边形的内角和为（n﹣2）•180°即可求出四边形的内角和，进而解决问题． 四．看图计算（共2小题，满分8分，每小题4分） 19．（4分）（2023春•始兴县期末）求如图各角的度数。 【思路分析】根据旋转的知识可知，∠1等于∠2，根据三角形的内角和解答； 先根据平角是180度，用180度减去53度，求出邻角，再根据三角形的内角和解答即可。 【规范解答】解：图1：∠1＝∠2＝180°﹣45°﹣105° ＝135°﹣105° ＝30° 答：∠1＝30°。 图2：180°﹣53°＝127° ∠1＝180°﹣127°﹣20° ＝53°﹣20° ＝33° 答：∠1＝33°。 【考点评析】熟练掌握平角和三角形的内角和都是180度是解题的关键。 20．（4分）（2023春•乐山期末）已知△ABC是等腰三角形，顶角为110°，请计算如图中未知角的度数。 【思路分析】先用三角形的内角和180度减去110度，求出两个底角的度数和，再除以2求出一个底角的度数，再用平角180度减去一个底角的度数即可解答。 【规范解答】解：（180°﹣110°）÷2 ＝70°÷2 ＝35° 180°﹣35°＝145° 答：图中未知角的度数是145°。 【考点评析】本题考查了三角形的内角和180度和平角的度数180度的应用。 五．动手操作（共2小题，满分8分，每小题4分） 21．（4分）（2023春•雅安期末）先在下面的方格中按要求作图（每个小方格的边长均是1cm），再填空。 （1）先画一个直角三角形，使它其中的两条边长分别为3cm、4cm；再量出这个直角三角形第3条边的长度是 　5厘米　。 （2）画一个三角形，使它其中的两个内角的度数分别为30°，45°；按角的大小分，这是一个 　钝角　三角形。 【思路分析】（1）根据直角三角形的画法，先画一个直角三角形，使它其中的两条边长分别为3cm、4cm，然后再量出这个直角三角形第3条边的长度是5厘米，据此解答即可。 （2）根据三角形的画法，画一个三角形，使它其中的两个内角的度数分别为30°，45°；然后根据三角形的内角和以及三角形的分类知识，解答即可。 【规范解答】解：（1）先画一个直角三角形，使它其中的两条边长分别为3cm、4cm，如图： 再量出这个直角三角形第3条边的长度是5厘米。 （2）画一个三角形，使它其中的两个内角的度数分别为30°，45°；如图： 180°﹣30°﹣45°＝105° 答：按角的大小分，这是一个钝角三角形。 故答案为：5厘米；钝角。 【考点评析】本题考查了三角形的画法，以及三角形的内角和以及三角形的分类知识的灵活运用，结合题意分析解答即可。 22．（4分）（2023春•西秀区期末）在如图中，∠1＝120°，∠3＝40°，求∠2的度数。 【思路分析】根据三角形的内角和是180度，用180度减去∠1与∠3的度数和即可解答。 【规范解答】解：180°﹣（120°+40°） ＝180°﹣160° ＝20° 答：∠2的度数是20°。 【考点评析】熟练掌握三角形的内角和的运用是解题的关键。 六．实际应用（共7小题，满分33分） 23．（4分）（2024春•宝安区期中）奇奇在数学课上画了一个等腰三角形，已知他画的等腰三角形中的一个角是70°。你知道他画的等腰三角形中另外两个角是分别是多少度吗？ 【思路分析】根据等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和等于180°，解答此题即可。 【规范解答】解：180°﹣70°﹣70°＝40° （180°﹣70°）÷2 ＝110°÷2 ＝55° 答：等腰三角形中另外两个角是分别是70°、40°或55°、55°。 【考点评析】熟练掌握三角形的内角和，是解答此题的关键。 24．（4分）（2024春•市中区期中）一个等腰三角形铁板的一个内角是64度，这块铁板的另外两角是多少度？ 【思路分析】等腰三角形的两个底角的度数相等，又因三角形的内角和是180度，如果64度是顶角，用（180﹣64）÷2，即可求出底角；如果64度是底角，用180﹣64×2即可求出顶角。 【规范解答】解：（180﹣64）÷2 ＝116÷2 ＝58（度） 180﹣64×2 ＝180﹣128 ＝52（度） 答：这块铁板的另外两角是58度、58度或64度、52度。 【考点评析】掌握等腰三角形的两个底角的度数相等是解题的关键。 25．（5分）（2024春•市中区期中）有两根分别长10cm和12cm的小棒，再拿一根多长的小棒就可以围成一个三角形？（取整厘米数） 【思路分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边解答即可。 【规范解答】解：10+12＝22（厘米） 12﹣10＝2（厘米） 再拿一根比2厘米长，比22厘米短的小棒即可。 答：再拿12厘米长的小棒即可。（答案不唯一） 【考点评析】本题考查的是三角形三边关系的运用，灵活运用所学的知识是解答本题的关键。 26．（5分）（2023春•金州区期末）如果一个三角形的三条边长度都是整厘米数，第一条边长度是5cm，第二条边的长度比6厘米长而且比10厘米短，第三边的长度最短是多少厘米？最长是多少厘米？ 【思路分析】任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边，据此解答。 【规范解答】解：若第二条边是9厘米，那么第三边最长是： 5+9＝14（厘米） 14﹣1＝13（厘米） 若第二条边是7厘米，那么第三边最短是： 7﹣5＝2（厘米） 2+1＝3（厘米） 答：第三边的长度最短是3厘米，最长是13厘米。 【考点评析】本题考查了三角形的三边关系的应用。 27．（5分）（2023春•晴隆县期末）学校举行做风筝比赛，图图做了一个等腰三角形的风筝，它的一个底角是30°。这个风筝的顶角是多少度？ 【思路分析】根据三角形的内角和等于180°和等腰三角形的两个底角相等，解答此题即可。 【规范解答】解：180°﹣30°﹣30°＝120° 答：这个风筝的顶角是120度。 【考点评析】熟练掌握三角形的内角和知识和等腰三角形的性质，是解答此题的关键。 28．（5分）（2023春•双流区期末）张阿姨准备用三条栅栏围一个三角形场地养兔子，她准备好了5米长和8米长的栅栏，那么第三条栅栏可能是几米？（提示：①最长边可能是8米的栅栏，也可能是第三条栅栏。②每种情况至少写出一种结果。③栅栏长度为整米数。） 【思路分析】任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边，据此解答。 【规范解答】解：8+5＝13（米） 8﹣5＝3（米） 由此可知第三条栅栏要大于3米，小于13米，可能是4米、5米、6米、7米、8米、9米、10米、11米、12米。 【考点评析】本题考查了三角形的三边关系的应用。 29．（5分）（2023春•龙华区期末）周日，小夕一家外出散步，路上碰到了一些问题，请你帮助他们解决。 （1）小夕的爸爸身高1.82米，体重75千克，腿长约92厘米。小夕说她爸爸走一步可以迈2米。对于这种说法，你相信吗？请你从数学角度出发，写出结论，并解释理由。 （2）路上，他们路过文具店，小夕想买一面彩旗，彩旗的形状是等腰三角形。其中一个角是70°，想一想另外两个角分别是多少度？请列出所有的情况。 【思路分析】（1）依据三角形的任意两边之和大于第三边，腿长约92厘米，走一步两腿和地面形成一个三角形，两腿的长度和要大于一步的距离，据此解释即可。 （2）已知给出了一个内角是70°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还需用三角形内角和定理去验证每种情况是不是都成立。 【规范解答】解：（1）不相信。 92厘米+92厘米＝184厘米 2米＝200厘米 184厘米＜200厘米 不符合三角形的任意两边之和大于第三边，所以小夕说她爸爸走一步能迈2米这种说法不可信。 （2）分情况讨论： ①若等腰三角形的顶角为70°时，另外两个内角＝（180°﹣70°）÷2＝55°； ②若等腰三角形的底角为70°时，它的另外一个底角为70°，顶角为180°﹣70°﹣70°＝40°。 答：这个等腰三角形另外两个角分别是55°、55°或70°、40°。 【考点评析】此题主要考查了三角形的三条边的关系及等腰三角形的性质及三角形的内角和定理的灵活运用。 七．解决问题（共3小题，满分16分） 30．（6分）（2024春•榕城区校级期中）下面是三块三角形玻璃打碎后留下的碎片，按角分它们原来是什么三角形？ 【思路分析】第一个三角形，根据三角形的内角和是180°，用180°减去已知的两个角40°和30°，算出另一个角的度数，根据三角形的分类知识判断它们原来是什么三角形即可；同样的方法，另外两个三角形也是用180°减去已知两个角，求出另一个角的度数，然后根据三角形的分类知识判断它们原来是什么三角形。 【规范解答】解：180°﹣40°﹣30° ＝140°﹣30° ＝110° 所以第一个三角形是钝角三角形。 180°﹣60°﹣60° ＝120°﹣60° ＝60° 所以第二个三角形是锐角三角形。 180°﹣40°﹣50° ＝140°﹣50° ＝90° 所以第三个三角形是直角三角形。 【考点评析】本题考查了三角形的分类以及三角形的内角和知识，结合题意分析解答即可。 31．（4分）（2024春•市南区期末）明明用一根长18厘米的铁丝围成了一个三角形，这个三角形的边长分别是几厘米？（每段都是整厘米）请把你想到的数据列举2～3组写在下面。 　6厘米、6厘米、6厘米； 5厘米、6厘米、7厘米； 4厘米、6厘米、8厘米。　 【思路分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，根据构成三角形的条件，周长为18厘米，可逐步分析，将每个符合题意的三角形写出即可。 【规范解答】解：由题意可知，用一根长18厘米的铁丝围成了一个三角形，最长的边不能大于或等于9厘米，符合题意的三角形列举如下： 6厘米、6厘米、6厘米； 5厘米、6厘米、7厘米； 4厘米、6厘米、8厘米； 以上三角形均符合三角形的三边关系。可以围成三角形。 【考点评析】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数。 32．（6分）（2024春•寒亭区期中）潍坊第41届国际风筝节开始啦，众多市民争相体会风筝制作的乐趣，感受传统工艺的魅力。帆帆对风筝活动也很感兴趣，她准备了一根竹条，打算剪两刀分成三段，围成一个三角形风筝骨架。 （1）如图1，帆帆先在竹条的C点上剪一刀，之后她发现无论第二刀怎么剪，剪出的三段都无法围成一个三角形，这是为什么呢？请你说一说。 （2）帆帆经过思考，决定改成先在图2C'点处剪第一刀，把竹条分成两段后，你觉得她第二刀应该选择在第 　①　段竹条上剪。（填写序号） 【思路分析】根据题意，利用三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边。据此解答即可。 【规范解答】解：（1）在中点C处剪开之后，两边一样长，无论剪哪边，剪开之后两段的长度刚好等于第三段的长度，不能围成三角形。因为三角形中，任意两边之和大于第三边。 （2）由图可知，第①段长度大于第②段，应该选择在第①段竹条上剪，因为这样剪开之后两段的长度和大于第②段，能围成三角形。 故答案为：①。 【考点评析】本题考查了三角形的三边关系的应用，结合题意分析解答即可 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 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