（复习巩固）第5讲 三角形、平行四边形和梯形（知识梳理+易错精讲+真题拔高卷）2024年苏教版数学四升五暑假衔接培优精讲练过关讲义

2024年苏教版数学四升五暑假衔接培优精讲练过关讲义 （知识梳理+易错精讲+真题拔高卷） 第5讲 三角形、平行四边形和梯形 知识点01：三角形 定义：三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形。三角形有3条边、3个角和3个顶点。 内角和：任意一个三角形的内角和都等于180°。这个性质可以通过多种方法进行验证，例如使用量角器测量每个角的度数并相加，或者将三角形的三个角撕下来并拼在一起形成一个平角。 底和高：从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。一个三角形有三组不同的底和高。 三角形的分类： 按角分类：三角形可以分为锐角三角形（三个角都小于90°）、直角三角形（有一个角是90°）和钝角三角形（有一个角大于90°）。直角三角形中两个锐角的度数和等于90°，钝角三角形中两个锐角的度数和小于90°。 按边分类：三角形可以分为等边三角形（三条边长度相等）、等腰三角形（有两条边长度相等）和不等边三角形（三条边长度都不相等）。 三角形的稳定性：三角形具有稳定性，即三角形的形状和大小在不受外力作用时不会改变。这种特性使得三角形在建筑、工程等领域有广泛的应用。 三角形三边的关系：三角形任意两边长度的和大于第三边。 等腰三角形和等边三角形和等腰直角三角形： 两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，底和腰的夹角叫做底角，两个底角相等，等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴。 三条边都相等的三角形是等边三角形，三条边都相等，三个角也 都相等（每个角都是 60°，所有等边三角形的三个角都是60°。）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。 有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，它的底角等于45°，顶角等于90° 等腰三角形的顶角=180°－底角×2 等腰三角形的底角=（180°－顶角）÷2 一个三角形最大的角是 60 度，这个三角形一定是等边三角形。 多边形的内角和=180°×（边数－2） 知识点02：平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。平行四边形的对边平行且相等，对角相等。 底和高：从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底。一个平行四边形有无数条高。 平行四边形的特性：平行四边形具有不稳定性，即形状和大小容易受外力作用而改变。这种特性使得平行四边形在电动伸缩门、铁拉门、伸降机等物体上有广泛的应用。 平行四边形的分类：根据角度的不同，平行四边形可以分为矩形、菱形、正方形等。 知识点03：梯形的认识 1.定义：只有一组对边平行的四边形叫梯形。平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边叫做梯形的腰，从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高（无数条）。 2.梯形的分类及特征：两条腰相等的梯形叫等腰梯形，它的两个底角相等，等腰梯形是轴对称图形，有一条对称轴；有一个角是直角的梯形叫直角梯形，直角梯形有两组邻边互相垂直 3.两个（完全一样）的梯形可以拼成一个平行四边形。 易错点知识点01：三角形 三角形的定义理解： 易错点：误认为过同一条直线上的三个点就能构成三角形。实际上，这三个点不能在同一直线上，否则无法形成三角形。 解决策略：强调三角形的定义，明确三个顶点不能在同一直线上。 三角形的高： 易错点：误认为从三角形的一个顶点到对边的任何线段都是高。实际上，只有垂直于对边的线段才是三角形的高。 解决策略：通过图示和实例明确三角形高的定义，强调垂直性。 三角形的分类： 易错点：混淆三角形的分类标准，例如将三角形错误地分为等边三角形、直角三角形和钝角三角形。实际上，这些分类的标准不相同，无法这样分类。 解决策略：明确三角形的分类标准，如按角分类或按边分类，并给出相应的实例。 易错知识点02：平行四边形 平行四边形的特性： 易错点：误认为平行四边形具有稳定性。实际上，平行四边形具有不稳定性，形状和大小容易受外力作用而改变。 解决策略：通过实验或生活实例展示平行四边形的不稳定性。 平行四边形的高： 易错点：误认为平行四边形只能从一个顶点向对边作高。实际上，平行四边形有无数条高，可以从任意一边上的任意一点向对边作高。 解决策略：通过图示和实例展示平行四边形的高的多种画法。 易错知识点03：梯形 梯形的定义： 易错点：误认为只有一组对边平行的四边形就是梯形。实际上，梯形的定义中并没有限定另一组对边是否平行或相等。 解决策略：强调梯形的定义，明确只有一组对边平行的四边形才是梯形。 梯形的腰和底： 易错点：混淆梯形的腰和底。实际上，梯形的平行边是底，不平行的一边是腰。 解决策略：通过图示和实例明确梯形腰和底的区别。 直角梯形： 易错点：误认为直角梯形只有一条腰与底垂直。实际上，直角梯形是指有一条腰与底垂直的梯形。 解决策略：通过图示和实例明确直角梯形的定义和特征。 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：51（较难） 一．慎重选择（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（2分）（2024春•姜堰区期中）仔细阅读下面几句话，一共有（　　）句是正确的。 ①长方形相邻的两条边互相垂直。 ②同一平面内，两条直线不是互相平行就是互相垂直 ③180°的角是平角，小于180°的角是钝角。 ④一个数含有个级和万级，这个数一定是八位数。 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2分）（2023春•溧水区期末）下面的说法中，正确的有（　　）个。 ①任何一个三角形中，至少有2个锐角。 ②梯形和平行四边形都有无数条高。 ③一个等腰三角形的两条边分别是2厘米和5厘米，第三条边有可能是2厘米，也有可能是5厘米。 ④两个完全相同的直角三角形拼成一个新的图形，拼出的新图形的内角和一定是360°。 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2分）（2023春•南京期末）下面三个图形对应底边上的高（　　） A．①号的高最长 B．②号的高最长 C．③号的高最长 D．一样长 4．（2分）（2023春•淮安期末）下面是三位同学研究三角形内角和的方法，拼法正确的是（　　） A． B． C． 5．（2分）（2023春•灌云县期末）下面的说法中正确的有（　　）句。 （1）100张纸厚1厘米，100000张纸厚10米。 （2）用计算器解决计算题，一定又对又快。 （3）任意一个梯形的内角和一定是360°。 （4）一个三角形中，其中两个角的度数之和应该大于第三个角的度数。 （5）甲、乙两人同时从A、B两地出发，相向而行。甲每小时行20千米，乙每小时行18千米，两人在距全程中点3千米处相遇，A、B两地间全程长114千米。 A．1 B．2 C．3 D．4 二．仔细想，认真填（共8小题，满分18分） 6．（1分）（2023春•南京期末）用一根长32厘米的铁丝围成了一个平行四边形，其中一条边是9厘米，和它相邻的一条边是 　 　厘米。 7．（3分）（2015春•如东县期中）平行四边形的对边　 　而且　 　，等腰梯形的两条　 　相等． 8．（3分）（2023春•沛县期末）在一个三角形中，已知其中两个角分别是32°和43°，则第三个角是 　 　°，这是 　 　三角形；等腰三角形的一个顶角是100°，则一个底角是 　 　°。 9．（2分）（2023春•泉山区期末）直角三角形中，一个锐角是53°，另一个锐角是 　 　°；等腰三角形的顶角是34°，一个底角是 　 　°。 10．（3分）（2022春•高淳区期末）一个等腰三角形，最小角是25°，它的最大角是 　 　°，这个三角形按角分类是 　 　三角形；一个等腰三角形，其中两条边的长度分别是2厘米、5厘米，那么这个三角形的第三条边的长度是 　 　厘米。 11．（2分）（2022春•高淳区期末）如图是一个等腰三角形，那么∠1＝　 　°，∠3＝　 　°。 12．（2分）（2022春•扬州期末）在一个三角形中，∠1＝48°，∠2＝12°，那么∠3＝　 　°，这是一个 　 　三角形。 13．（2分）（2022春•润州区期末）下面是两块三角形玻璃打碎后留下的碎片，图①是一个等腰三角形，图②是一个直角三角形，图①中残缺的一角是 　 　°，图②中残缺的一角是 　 　°。 三．判断正误（共5小题，满分10分，每小题2分） 14．（2分）（2021春•吴江区期末）在同一个平行四边形中，所有的高都相等。 　 　（判断对错） 15．（2分）（2023春•金湖县期末）钝角三角形只有一条高。 　 　（判断对错） 16．（2分）（2023春•灌云县期末）在一个直角三角形的3个内角中，最多可以有两个内角是直角．　 　（判断对错） 17．（2分）（2022春•灌南县期末）在一张梯形纸片中剪一刀，剪出一个三角形，剩下的图形可能是长方形、正方形、三角形、梯形、平行四边形，还可能是五边形。 　 　（判断对错） 18．（2分）（2023春•溧水区期末）三角形最小的一个内角是48°，那么这个三角形一定是钝角三角形。 　 　（判断对错） 四．动手操作（共3小题，满分18分，每小题6分） 19．（6分）（2023春•宿迁期末）画出每个图形底边上的高。 20．（6分）（2023春•南京期末）按照要求作图并填空。 （1）作三角形ABC对应底边上的高。 （2）结合之前学习的内容，BC边上的高其实就就是过A点作线段BC的 　 　。 21．（6分）（2021春•滨海县期末）画一画，量一量。 （1）先画出三角形指定底边上的高，再量得高为 　 　毫米。 （2）先画出梯形的一条高，再将梯形分成两个高相等的梯形。 五．解决问题（共8小题，满分44分） 22．（4分）（2018春•射阳县月考）一个等腰三角形的底角是56°，它的顶角是多少度？ 23．（6分）（2021春•常熟市期末）操作题。 （1）①在图①中给三角形ABC画出AC边上的高。 ②在图①中另找一个点D，使它能与A、B、C三个点围成一个平行四边形。这个点的位置可以是（ 　 　，　 　），（ 　 　，　 　）或（ 　 　，　 　）. ③把三角形ABC绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后的图形。 （2）在图②中再涂出一个方格，使5个方格组成一个轴对称图形，并画出它的对称轴。 24．（6分）（2022春•高淳区期末）如图方格图中每个小方格的边长是1厘米，请根据要求画出指定的图形。 以线段a为一条边，画出一个高2厘米、底3厘米的三角形； 以线段b为一条边，画出一个高和底都是3厘米的平行四边形； 以线段c为一条边，画出一个高2厘米、下底是上底长度2倍的梯形。 25． （5分）（2023春•宿城区期末）一个等腰三角形的周长是42厘米，腰比底长3厘米，它的腰和底各是多少厘米？（先画图，再解答） 26．（6分）（2023春•溧水区期末）一个三角形，∠3的度数比∠2的度数大5°，∠2的度数比∠1的度数大5°，∠2多少度？（先画线段图，再解答。） 27．（6分）（2019春•东海县期末）（1）在三角形中，已知∠1＝53°，∠2＝27°，求∠3． （2）等腰三角形的一个底角是40°，它的顶角是多少度？它又是什么三角形？如果顶角是40°呢？ 28． （5分）（2018春•射阳县月考）一个三角形两边分别是6厘米和9厘米，第三条边的长度一定大于多少厘米？同时小于多少厘米？ 29．（6分）（2018春•射阳县月考）把一根12厘米的吸管剪成3段（每段都是整厘米数），摆成一个三角形，共有几种剪法，你能全部列举出来吗？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年苏教版数学四升五暑假衔接培优精讲练过关讲义 （知识梳理+易错精讲+真题拔高卷） 第5讲 三角形、平行四边形和梯形 知识点01：三角形 定义：三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形。三角形有3条边、3个角和3个顶点。 内角和：任意一个三角形的内角和都等于180°。这个性质可以通过多种方法进行验证，例如使用量角器测量每个角的度数并相加，或者将三角形的三个角撕下来并拼在一起形成一个平角。 底和高：从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。一个三角形有三组不同的底和高。 三角形的分类： 按角分类：三角形可以分为锐角三角形（三个角都小于90°）、直角三角形（有一个角是90°）和钝角三角形（有一个角大于90°）。直角三角形中两个锐角的度数和等于90°，钝角三角形中两个锐角的度数和小于90°。 按边分类：三角形可以分为等边三角形（三条边长度相等）、等腰三角形（有两条边长度相等）和不等边三角形（三条边长度都不相等）。 三角形的稳定性：三角形具有稳定性，即三角形的形状和大小在不受外力作用时不会改变。这种特性使得三角形在建筑、工程等领域有广泛的应用。 三角形三边的关系：三角形任意两边长度的和大于第三边。 等腰三角形和等边三角形和等腰直角三角形： 两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，底和腰的夹角叫做底角，两个底角相等，等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴。 三条边都相等的三角形是等边三角形，三条边都相等，三个角也 都相等（每个角都是 60°，所有等边三角形的三个角都是60°。）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。 有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，它的底角等于45°，顶角等于90° 等腰三角形的顶角=180°－底角×2 等腰三角形的底角=（180°－顶角）÷2 一个三角形最大的角是 60 度，这个三角形一定是等边三角形。 多边形的内角和=180°×（边数－2） 知识点02：平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。平行四边形的对边平行且相等，对角相等。 底和高：从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底。一个平行四边形有无数条高。 平行四边形的特性：平行四边形具有不稳定性，即形状和大小容易受外力作用而改变。这种特性使得平行四边形在电动伸缩门、铁拉门、伸降机等物体上有广泛的应用。 平行四边形的分类：根据角度的不同，平行四边形可以分为矩形、菱形、正方形等。 知识点03：梯形的认识 1.定义：只有一组对边平行的四边形叫梯形。平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边叫做梯形的腰，从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高（无数条）。 2.梯形的分类及特征：两条腰相等的梯形叫等腰梯形，它的两个底角相等，等腰梯形是轴对称图形，有一条对称轴；有一个角是直角的梯形叫直角梯形，直角梯形有两组邻边互相垂直 3.两个（完全一样）的梯形可以拼成一个平行四边形。 易错点知识点01：三角形 三角形的定义理解： 易错点：误认为过同一条直线上的三个点就能构成三角形。实际上，这三个点不能在同一直线上，否则无法形成三角形。 解决策略：强调三角形的定义，明确三个顶点不能在同一直线上。 三角形的高： 易错点：误认为从三角形的一个顶点到对边的任何线段都是高。实际上，只有垂直于对边的线段才是三角形的高。 解决策略：通过图示和实例明确三角形高的定义，强调垂直性。 三角形的分类： 易错点：混淆三角形的分类标准，例如将三角形错误地分为等边三角形、直角三角形和钝角三角形。实际上，这些分类的标准不相同，无法这样分类。 解决策略：明确三角形的分类标准，如按角分类或按边分类，并给出相应的实例。 易错知识点02：平行四边形 平行四边形的特性： 易错点：误认为平行四边形具有稳定性。实际上，平行四边形具有不稳定性，形状和大小容易受外力作用而改变。 解决策略：通过实验或生活实例展示平行四边形的不稳定性。 平行四边形的高： 易错点：误认为平行四边形只能从一个顶点向对边作高。实际上，平行四边形有无数条高，可以从任意一边上的任意一点向对边作高。 解决策略：通过图示和实例展示平行四边形的高的多种画法。 易错知识点03：梯形 梯形的定义： 易错点：误认为只有一组对边平行的四边形就是梯形。实际上，梯形的定义中并没有限定另一组对边是否平行或相等。 解决策略：强调梯形的定义，明确只有一组对边平行的四边形才是梯形。 梯形的腰和底： 易错点：混淆梯形的腰和底。实际上，梯形的平行边是底，不平行的一边是腰。 解决策略：通过图示和实例明确梯形腰和底的区别。 直角梯形： 易错点：误认为直角梯形只有一条腰与底垂直。实际上，直角梯形是指有一条腰与底垂直的梯形。 解决策略：通过图示和实例明确直角梯形的定义和特征。 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：51（较难） 一．慎重选择（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（2分）（2024春•姜堰区期中）仔细阅读下面几句话，一共有（　　）句是正确的。 ①长方形相邻的两条边互相垂直。 ②同一平面内，两条直线不是互相平行就是互相垂直 ③180°的角是平角，小于180°的角是钝角。 ④一个数含有个级和万级，这个数一定是八位数。 A．1 B．2 C．3 D．4 【思路分析】长方形的四个角都是直角，对边平行且相等； 同一平面内，两条直线不是互相平行就是相交； 180°的角是平角，小于180°且大于90°的角是钝角； 一个数含有个级和万级，这个数可能是八位数、七位数、六位数或五位数。 【规范解答】解：①长方形相邻的两条边互相垂直，说法正确； ②同一平面内，两条直线不是互相平行就是互相垂直相交，原题说法错误； ③180°的角是平角，小于180°大于90°的角是钝角，原题说法错误； ④一个数含有个级和万级，这个数可能是八位数，原题说法错误。 故选：A。 【考点评析】本题考查了长方形的特征、钝角的特征及整数的认识。 2．（2分）（2023春•溧水区期末）下面的说法中，正确的有（　　）个。 ①任何一个三角形中，至少有2个锐角。 ②梯形和平行四边形都有无数条高。 ③一个等腰三角形的两条边分别是2厘米和5厘米，第三条边有可能是2厘米，也有可能是5厘米。 ④两个完全相同的直角三角形拼成一个新的图形，拼出的新图形的内角和一定是360°。 A．1 B．2 C．3 D．4 【思路分析】锐角三角形有3个锐角，直角三角形有1个直角和2个锐角，钝角三角形有1个钝角和2个锐角，任意三角形最少有2个锐角。高是指梯形上下底的距离，在梯形的上底任取一点作垂直于下底的线段就是梯形的高。从平行四边形的任一点作它对边的垂线段，这条垂线段就是平行四边形的高。任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边。任意三角形的内角和都是180°。 【规范解答】解：锐角三角形有3个锐角，直角三角形有2个锐角，钝角三角形有2个锐角。任何一个三角形中至少有2个锐角，说法正确； ②梯形和平行四边形都有无数条高，说法正确； ③一个等腰三角形的两条边分别是2厘米和5厘米，如果第三条边是2厘米，有2+2＜5，2厘米、2厘米和5厘米的线段，不能围成三角形，第三条边是5厘米。一个等腰三角形的两条边分别是2厘米和5厘米，第三条边有可能是2厘米，也有可能是5厘米说法错误； ④两个完全相同的直角三角形可以拼成一个三角形，拼成的大三角形的内角和是180°。两个完全相同的直角三角形拼成一个新的图形，拼出的新图形的内角和一定是360°，说法错误。 说法正确的是：①任何一个三角形中，至少有2个锐角；②梯形和平行四边形都有无数条高。 故选：B。 【考点评析】此题考查了三角形的三边关系的应用、三角形的分类、三角形的内角和、梯形和平行四边形的高，属于基础题，应熟练掌握。 3．（2分）（2023春•南京期末）下面三个图形对应底边上的高（　　） A．①号的高最长 B．②号的高最长 C．③号的高最长 D．一样长 【思路分析】根据平行线之间的距离相等可知，三个图形对应底边上的高一样长，据此解答即可。 【规范解答】解：分析可知，三个图形对应底边上的高一样长。 故选：D。 【考点评析】本题考查了平行线之间的距离相等的知识点，结合题意分析解答即可。 4．（2分）（2023春•淮安期末）下面是三位同学研究三角形内角和的方法，拼法正确的是（　　） A． B． C． 【思路分析】根据平角等于180°，解答此题即可。 【规范解答】解：研究三角形内角和的方法，拼法正确的是。 故选：C。 【考点评析】熟练掌握平角的定义，是解答此题的关键。 5．（2分）（2023春•灌云县期末）下面的说法中正确的有（　　）句。 （1）100张纸厚1厘米，100000张纸厚10米。 （2）用计算器解决计算题，一定又对又快。 （3）任意一个梯形的内角和一定是360°。 （4）一个三角形中，其中两个角的度数之和应该大于第三个角的度数。 （5）甲、乙两人同时从A、B两地出发，相向而行。甲每小时行20千米，乙每小时行18千米，两人在距全程中点3千米处相遇，A、B两地间全程长114千米。 A．1 B．2 C．3 D．4 【思路分析】根据长度单位的的进率、三角形、四边形内角和、计算器的应用以及相遇问题等知识，结合题意分析解答即可。 【规范解答】解：（1）100000÷100＝1000（厘米） 1000厘米＝10米 所以100张纸厚1厘米，100000张纸厚10米说法正确； （2）用计算器解决计算题，不一定又对又快。例如计算2×3＝6时，应用乘法口诀进行口算，速度更快，所以原题说法错误； （3）任意一个梯形的内角和一定是360°。说法正确； （4）一个三角形中，其中两个角的度数之和大于或等于第三个角的度数。所以原题说法错误； （5）114÷（20+18） ＝114÷38 ＝3（小时） 20×3﹣114÷2 ＝60﹣57 ＝3（千米） 114÷2﹣18×3 ＝57﹣54 ＝3（千米） 所以原题说法正确。 所以说法正确的有3个。 故选：C。 【考点评析】本题考查了单位的换算、三角形内角和、四边形内角和、计算器的应用以及相遇问题等知识，结合题意分析解答即可。 二．仔细想，认真填（共8小题，满分18分） 6．（1分）（2023春•南京期末）用一根长32厘米的铁丝围成了一个平行四边形，其中一条边是9厘米，和它相邻的一条边是 　7　厘米。 【思路分析】根据平行四边形的对边相等，解答此题即可。 【规范解答】解：32÷2﹣9 ＝16﹣9 ＝7（厘米） 答：和它相邻的一条边是7厘米。 故答案为：7。 【考点评析】熟练掌握平行四边形的性质，是解答此题的关键。 7．（3分）（2015春•如东县期中）平行四边形的对边　平行　而且　相等　，等腰梯形的两条　斜边　相等． 【思路分析】根据平行四边形和梯形的特征可知：对边分别平行且长度相等的四边形是平行四边形，梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形，等腰梯形是两腰相等的梯形叫做等腰梯形，据此解答． 【规范解答】解：平行四边形的对边平行而且相等，等腰梯形的两条斜边相等． 故答案为：平行，相等，斜边． 【考点评析】此题考查了平行四边形和梯形的特征． 8．（3分）（2023春•沛县期末）在一个三角形中，已知其中两个角分别是32°和43°，则第三个角是 　105　°，这是 　钝角　三角形；等腰三角形的一个顶角是100°，则一个底角是 　40　°。 【思路分析】三角形内角和是180°，用180°减去32°和43°，可以算出这个三角形第三个角是（180°﹣32°﹣43°）。三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，据此判断这个三角形是直角三角形还是锐角三角形还是钝角三角形。等腰三角形两腰相等，两底角也相等，用180°减去100°再除以2即可算出这个三角形的底角度数。 【规范解答】解：180°﹣32°﹣43° ＝148°﹣43° ＝105° 105°的角是钝角，这个三角形是钝角三角形。 （180°﹣100°）÷2 ＝80°÷2 ＝40° 答：第三个角是105°，这是钝角三角形；等腰三角形的一个顶角是100°，则一个底角是40°。 故答案为：105，钝角，40。 【考点评析】熟记三角形的内角和是180°和等腰三角形的特征及三角形的分类是解题关键。 9．（2分）（2023春•泉山区期末）直角三角形中，一个锐角是53°，另一个锐角是 　37　°；等腰三角形的顶角是34°，一个底角是 　73　°。 【思路分析】有一个角是直角的三角形是直角三角形，三角形内角和是180°，用180°减去90°再减去53°即可算出另一个锐角是（180°﹣90°﹣53°）。等腰三角形两腰相等，两底角也相等，用180°减去顶角的度数再除以2即可算出这个三角形的一个底角。 【规范解答】解：180°﹣90°﹣53° ＝90°﹣53° ＝37° （180°﹣34°）÷2 ＝146°÷2 ＝73° 答：直角三角形中，一个锐角是53°，另一个锐角是37°；等腰三角形的顶角是34°，一个底角是73°。 故答案为：37；73。 【考点评析】熟记直角三角形、等腰三角形的特征和三角形内角和是180°是解题关键。 10．（3分）（2022春•高淳区期末）一个等腰三角形，最小角是25°，它的最大角是 　130　°，这个三角形按角分类是 　钝角　三角形；一个等腰三角形，其中两条边的长度分别是2厘米、5厘米，那么这个三角形的第三条边的长度是 　5　厘米。 【思路分析】（1）等腰三角形的两个底角相等，最小角是25°，那么另一个底角也是25°，用180°减去2个25°的和，求出它的最大角；三角形按角分类可以分成：锐角三角形；直角三角形；钝角三角形。 （2）根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行分析、解答即可。 【规范解答】解：180°﹣25°×2 ＝180°﹣50° ＝130° 答：一个等腰三角形，最小角是25°，它的最大角是 130°，这个三角形按角分类是 钝角三角形。 2+2＝4＜5，不能围成三角形，所以2厘米的边只能是底，腰是5厘米。 答：它的第三条边的长度一定是5厘米。 故答案为：130，钝角，5。 【考点评析】解答此题的关键是求出最大角的度数，即可判定这个三角形的类别。 11．（2分）（2022春•高淳区期末）如图是一个等腰三角形，那么∠1＝　70　°，∠3＝　40　°。 【思路分析】根据题意，∠1＝180°﹣110°，根据等腰三角形的两个底角相等，得∠2＝∠1，∠3＝180°﹣∠1﹣∠2，据此计算即可。 【规范解答】解：∠1＝180°﹣110°＝70° ∠2＝70° 180°﹣70°﹣70° ＝110°﹣70° ＝40° 所以∠1＝70°，∠3＝40°。 故答案为：70，40。 【考点评析】掌握平角等于180°及等腰三角形的两个底角相等是解题的关键。 12．（2分）（2022春•扬州期末）在一个三角形中，∠1＝48°，∠2＝12°，那么∠3＝　120　°，这是一个 　钝角　三角形。 【思路分析】根据三角形的内角和是180°，减去∠1和2的度数，即可求出∠3的度数，然后根据三角形的分类知识解答即可。 【规范解答】解：180°﹣48°﹣12°＝120° 120°是钝角，所以这是一个钝角三角形。 答：∠3＝120°，这是一个钝角三角形。 故答案为：120，钝角。 【考点评析】本题考查了三角形的内角和及三角形的分类知识，结合题意分析解答即可。 13．（2分）（2022春•润州区期末）下面是两块三角形玻璃打碎后留下的碎片，图①是一个等腰三角形，图②是一个直角三角形，图①中残缺的一角是 　110　°，图②中残缺的一角是 　34　°。 【思路分析】根据等腰三角形的两个底角度数相等，结合三角形的内角和是180°，解答即可； 根据直角三角形中有一个角是90°，结合三角形的内角和是180°，解答即可。 【规范解答】解：180°﹣35°﹣35° ＝145°﹣35° ＝110° 180°﹣90°﹣56° ＝90°﹣56° ＝34° 答：图①中残缺的一角是110°，图②中残缺的一角是34°。 故答案为：110；34。 【考点评析】本题考查了等腰三角形、直角三角形的特征，结合三角形的内角和知识分析解答即可。 三．判断正误（共5小题，满分10分，每小题2分） 14．（2分）（2021春•吴江区期末）在同一个平行四边形中，所有的高都相等。 　×　（判断对错） 【思路分析】根据平行四边形的定义可知，有两组对边平行的四边形叫平行四边形，平行四边形的高为两组，所以平行四边形有两组高，每组的高都相等且有无数条。 【规范解答】解：因为平行四边形的高为两组，相邻两边上的高，不一定相等。 所以每个平行四边形的所有高的长度都相等的说法是错误的。 故答案为：×。 【考点评析】此题考查了平行四边形高的有关知识。 15．（2分）（2023春•金湖县期末）钝角三角形只有一条高。 　×　（判断对错） 【思路分析】根据三角形高的概念和意义：在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高；因为三角形有3个顶点，所以有3条高，据此判断即可。 【规范解答】解：由分析知：三角形一共有3条高，故原题说法错误。 故答案为：×。 【考点评析】此题主要考查了三角形高的含义，要灵活运用。 16．（2分）（2023春•灌云县期末）在一个直角三角形的3个内角中，最多可以有两个内角是直角．　×　（判断对错） 【思路分析】根据三角形内角和定理：三角形内角和是180°，以及直角的意义，利用反证法判断即可。 【规范解答】解：假设原说法正确，则90°+90°＝180°，三角形中两个角的和等于180°，则三个角的和大于180°，与三角形内角和是180°矛盾，所以原题说法错误。 故答案为：×。 【考点评析】本题主要考查三角形内角和定理的应用。 17．（2分）（2022春•灌南县期末）在一张梯形纸片中剪一刀，剪出一个三角形，剩下的图形可能是长方形、正方形、三角形、梯形、平行四边形，还可能是五边形。 　√　（判断对错） 【思路分析】在一张梯形纸片上剪一刀，剪出一个三角形，剪出的图形可能是：①两个三角形；②一个三角形，一个平行四边形；③一个三角形，一个梯形；④一个三角形，一个五边形；⑤据此判断。 【规范解答】解：如图： 所以在一张梯形纸上剪一刀，剪出两个图形。这两个图形可能①一个长方形，一个梯形；②都是三角形；③一个正方形，一个梯形；④是一个平行四边形和一个三角形⑤是一个梯形和一个三角形；⑥一个三角形，一个五边形。所以题干说法正确。 故答案为：√。 【考点评析】本题主要考查了图形划分，解题的关键是掌握梯形、三角形及平行四边形的特征。 18．（2分）（2023春•溧水区期末）三角形最小的一个内角是48°，那么这个三角形一定是钝角三角形。 　×　（判断对错） 【思路分析】三角形内角和是180°，三角形最小的一个内角是48°，则较大的一个角最大是（180°﹣48°﹣48°＝84°）。三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 【规范解答】解：180°﹣48°﹣48° ＝132°﹣48° ＝84° 最大的角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形。 三角形最小的一个内角是48°，那么这个三角形一定是锐角三角形。 故答案为：×。 【考点评析】熟记三角形的内角和是180°和三角形的分类是解题关键。 四．动手操作（共3小题，满分18分，每小题6分） 19．（6分）（2023春•宿迁期末）画出每个图形底边上的高。 【思路分析】过三角形指定底边的对角顶点向指定底边作垂线，顶点与垂足间的线段，就是三角形指定底边上的高； 在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫作以这条边为底的平行四边形的高，平行四边形有无数条高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线，用三角板的直角可以画出平行四形的高； 梯形两底间的距离叫作梯形的高，梯形也有无数条高，通常过上底的一个顶点作下底的垂线用三角板的直角可以画出梯形的一条高。 【规范解答】解：如图： （平行四边形和梯形画法不唯一） 【考点评析】本题考查了三角形、平行四边形和梯形的高的画法。高一般用虚线表示，并画上垂足符号。垂足所在的边叫作底。 20．（6分）（2023春•南京期末）按照要求作图并填空。 （1）作三角形ABC对应底边上的高。 （2）结合之前学习的内容，BC边上的高其实就就是过A点作线段BC的 　垂线　。 【思路分析】经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高。结合题意分析解答即可。 【规范解答】解：（1）如图： （2）BC边上的高其实就就是过A点作线段BC的垂线。 故答案为：垂线。 【考点评析】本题是考查作三角形的高，注意作高用虚线，并标出垂足。 21．（6分）（2021春•滨海县期末）画一画，量一量。 （1）先画出三角形指定底边上的高，再量得高为 　22　毫米。 （2）先画出梯形的一条高，再将梯形分成两个高相等的梯形。 【思路分析】（1）根据三角形高的意义，经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高，再用直尺从0开始量一量高的长度即可解答。 （2）根据梯形高的意义，梯形上下之间的距离叫做梯形的高。用三角板的直角可以画出三角形的高，再把这个梯形分成两个高相等的梯形（分法不唯一）。据此解答。 【规范解答】解：（1）作图如下： （2）作图如下： 故答案为：22。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握三角形、梯形高的意义，掌握三角形、梯形高的画法及应用。 五．解决问题（共8小题，满分44分） 22．（4分）（2018春•射阳县月考）一个等腰三角形的底角是56°，它的顶角是多少度？ 【思路分析】因为等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是180度，用180度减去两个底角的和就是顶角的度数，列式解答即可． 【规范解答】解：180°﹣56°×2 ＝180°﹣112° ＝68° 答：它的一个顶角是68度． 【考点评析】解决本题的关键是根据等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和是180度进行解答． 23．（6分）（2021春•常熟市期末）操作题。 （1）①在图①中给三角形ABC画出AC边上的高。 ②在图①中另找一个点D，使它能与A、B、C三个点围成一个平行四边形。这个点的位置可以是（ 　1　，　2　），（ 　9　，　2　）或（ 　7　，　6　）. ③把三角形ABC绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后的图形。 （2）在图②中再涂出一个方格，使5个方格组成一个轴对称图形，并画出它的对称轴。 【思路分析】（1）①过顶点B向AC边作垂线，顶点与垂足间的线段AE就是三角形ABC画出AC边上的高。 ②根据平行四边形对边平行且相等的特征，即用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数，即可确定点D的位置。 ③根据旋转的特征，三角形ABC绕点B逆时针旋转90°，点B的位置不动，这个图形的各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形。 （2）涂法不唯一。涂色5个方格，组成一个轴对称图形，这5个方格呈“W”（或“M”）形，它有一条对称轴，根据轴对称图形的意义，即可画出它的对称轴。 【规范解答】解：（1）①在图①中给三角形ABC画出AC边上的高（图中红色虚线段AE）。 ②在图①中另找一个点D，使它能与A、B、C三个点围成一个平行四边形。这个点的位置可以是（1，2），（9，2）或（7，6）（三个数对无先后顺序）。 ③把三角形ABC绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后的图形（图中绿色部分）。 （2）在图②中再涂出一个方格，使5个方格组成一个轴对称图形，并画出它的对称轴（下图）。 （轴对称图形画法不唯一）。 故答案为：1，2；9，2；7，6。 【考点评析】此题考查的知识点：作三角形的高、数对与位置、作旋转一定度数后的图形、平行四边形的特征、作轴对称图形、确定轴对称图形对称轴的条数及位置。 24．（6分）（2022春•高淳区期末）如图方格图中每个小方格的边长是1厘米，请根据要求画出指定的图形。 以线段a为一条边，画出一个高2厘米、底3厘米的三角形； 以线段b为一条边，画出一个高和底都是3厘米的平行四边形； 以线段c为一条边，画出一个高2厘米、下底是上底长度2倍的梯形。 【思路分析】（1）以a为高，以a下端为顶点，向右边画一条3厘米的线段，并与a垂直，再把a的上端与这条线段的右端点相连，据此画出三角形； （2）根据平行四边形的特征，在上方离b线段3格的位置画一条与b平行的3厘米线段，再把每条线段的端点首尾相连，据此画出平行四边形； （3）根据梯形的特征，2×3＝6（厘米），在右边离c线段2格的位置画一条与c平行的6厘米的线段，再把每条线段的端点首尾相连，据此画出梯形。 【规范解答】解：画图如下： 【考点评析】熟练掌握三角形、平行四边形和梯形的特征是解答此题的关键。 25．（5分）（2023春•宿城区期末）一个等腰三角形的周长是42厘米，腰比底长3厘米，它的腰和底各是多少厘米？（先画图，再解答） 【思路分析】等腰三角形两腰相等，这个等腰三角形的腰比底长3厘米，如果把等腰三角形的底拉长3厘米，则底和腰相等，那么这个三角形就是等边三角形，周长是（42+3）厘米。等边三角形的周长除以3即可算出每一条边的长度，也就是等腰三角形腰的长度，用腰长减去3厘米即是底长。据此解答即可。 【规范解答】解：如图： （42+3）÷3 ＝45÷3 ＝15（厘米） 15﹣3＝12（厘米） 答：它的腰是15厘米，底是12厘米。 【考点评析】本题考查了等腰三角形和等边三角形的特征，结合题意分析解答即可。 26．（6分）（2023春•溧水区期末）一个三角形，∠3的度数比∠2的度数大5°，∠2的度数比∠1的度数大5°，∠2多少度？（先画线段图，再解答。） 【思路分析】∠1的度数加上5°、∠3的度数减去5°，∠1、∠2、∠3三个角一样大。三角形内角和是180°，180°除以3即可算出∠2的度数。 【规范解答】解： 180°÷3＝60° 答：∠2是60°。 【考点评析】画图整理已知条件和问题，能使题目一目了然，是解决问题的好策略。 27．（6分）（2019春•东海县期末）（1）在三角形中，已知∠1＝53°，∠2＝27°，求∠3． （2）等腰三角形的一个底角是40°，它的顶角是多少度？它又是什么三角形？如果顶角是40°呢？ 【思路分析】（1）根据三角形内角和定理，三角形三个内角之和是180°，∠1、∠2的度数已知，据此即可求∠3的度数． （2）根据等腰三角形的特征，两个底角度数相等，再根据三角形内角和定理即可求出这个等腰三角形的顶角，根据顶角度数、三角形按角分类即可确定这个三角形按角分类属于什么三角形．根据前面所述可知，用180°减顶角的度数再除以2就是底角的度数，然后再确定它按角分属于什么三角形． 【规范解答】解：（1）∠3＝180°﹣53°﹣27°＝100° 答：∠3是100°． （2）①180°﹣40°﹣40°＝100° 答：它的顶角是100°，它是钝角三角形． ②（180°﹣40°）÷2 ＝140°÷2 ＝70° 答：如果顶角是40°，它是锐角三角形． 【考点评析】此题考查的知识有：三角形的内角和定理、等腰三角形的特征、三角形的分类等． 28．（5分）（2018春•射阳县月考）一个三角形两边分别是6厘米和9厘米，第三条边的长度一定大于多少厘米？同时小于多少厘米？ 【思路分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可． 【规范解答】解：9﹣6＜第三边＜9+6， 即3厘米＜第三边＜15厘米． 答：第三条边的长度一定大于3厘米，同时小于15厘米． 【考点评析】解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可． 29．（6分）（2018春•射阳县月考）把一根12厘米的吸管剪成3段（每段都是整厘米数），摆成一个三角形，共有几种剪法，你能全部列举出来吗？ 【思路分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可． 【规范解答】解：三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边， 且12＝3+4+5＝4+4+4＝2+5+5， 符合题意的三角形各边分别为： ①3厘米、4厘米、5厘米； ②4、4、4； ③2、5、5； 所以共有3种剪法，可以是3厘米、4厘米、5厘米；4厘米、4厘米、4厘米；2厘米、5厘米、5厘米． 【考点评析】围成三角形中任意两条边的和大于第三边，即最长边要小于总长度的一半，是判断三条线段能否围成一个三角形的关键 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$