精品解析：陕西省咸阳市武功县普集高级中学2023-2024学年高一下学期第3次月考数学试题

普集高中2023-2024学年度第二学期高一第3次月考数学试题 命题人：党超岗 耿海燕 张小超 审题人：程亚娟 总分值：150分 考试时间：120分钟 试题范围：必修2第六-第九章 第I卷（选择题 共60分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘方运算和除法运算化简复数，然后根据共轭复数的概念求解即可. 【详解】由题，所以， 所以. 故选：D 2. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角，其中，则原图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法的性质可得原图形是一个底边长为，高为的直角三角形，即可由面积公式求解. 【详解】因为在直观图中，，则，所以， 所以原图形是一个底边长为，高为的直角三角形， 故原图形的面积为． 故选：A． 3. 有10种不同的零食，每可食部分包含的能量（单位：）如下： 这10个数据组成总体，则总体平均数和总体标准差分别是（ ） A. B. 130，16 C. 130，17 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合数据的平均数和方差的计算公式，准确计算，即可求解. 【详解】由题意，根据平均数的计算公式， 可得， 又由方差的公式，可得：， 所以总体标准差为. 故选：A. 4. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用线面平行的判定定理与性质定理，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】当时，可能在内或者内，故不能推出且，所以充分性不成立； 当且时，设存在直线，，且， 因为，所以，根据直线与平面平行的性质定理，可知， 所以，即必要性成立，故“”是“且”的必要不充分条件. 故选：C. 5. 已知，，且，则向量在方向上的投影数量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直结合数量积定义可求出，进而可求出向量在方向上的投影数量. 【详解】设与的夹角为，∵，∴， ∴，∴向量在方向上的投影数量为， 故选:B. 6. 某校举办了数学知识竞赛，并将1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为（ ） ①a的值为0.005 ②估计这组数据的众数为75 ③估计这组数据的下四分位数为60 ④估计成绩高于80分的有300人 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用频率分布直方图的性质判断①，利用众数、百分位数的求法判断②③，根据频率分布直方图计算可估计总体判断④. 【详解】由频率分布直方图可知，解得，①正确； 根据频率分布直方图可知众数落在区间，用区间中点表示众数，即众数为75，②正确； 前两组频率之和为，所以这组数据的下四分位数为60，③正确； 成绩高于80分的频率为，所以估计总体成绩高于80分的有人，④正确； 综上①②③④正确， 故选：D 7. 在四棱锥中，平面，，，与平面所成角为，底面为直角梯形，，则点到平面的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面角的定义求得，进而求得，再利用线面垂直的判定与性质定理证得平面，从而得解. 【详解】在平面中过作，垂足为， 因为平面， 所以为与平面所成角，则， 又平面，所以，又，所以， 所以，， 因为，则， 因为平面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以为点到平面的距离，即所求为. 故选：C. 8. 如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于，根据题意，得到且，再由，可得是的四等分点，根据向量的运算法则，求得，求得的值，即可求解. 【详解】如图所示，延长交于， 由已知为的重心，则点为的中点，可得，且， 又由，可得是的四等分点， 则， 因为，所以，，所以． 故选：C. 二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 砂糖桔网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，则（ ） A. 月收入的最大值为90万元，最小值为30万元 B. 这一年的总利润超过400万元 C. 这12个月利润的中位数与众数均为30 D. 7月份的利润最大 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据折线图中的数据，结合选项即可逐一求解. 【详解】A：由图可知，月收人的最大值为90，最小值为30，故A正确； B：各个月的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30， 所以总利润为（万元），故B错误； C：这12个月利润按从小到大排为：10，20，20，30，30，30，30，30，30，40，50，60，所以中位数与众数均为30，故C正确； D：7月份的利润最大，为60万元，故D正确. 故选：ACD 10. 的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若为钝角三角形，则 D. 若，则是钝角三角形 【答案】AB 【解析】 【分析】利用正弦定理判断A、B，利用余弦定理判断C、D. 【详解】对于A，因为，所以，由正弦定理得，故A正确； 对于B，因为，，，所以， 即，又，所以有两解， 所以有两解，故B正确； 对于C，因为为钝角三角形，当为钝角时，，则，故C错误； 对于D，因为，设，则，，显然， 由余弦定理， 又，所以为锐角，则是锐角三角形，故D错误. 故选：AB 11. 如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（ ） A. 是钝角三角形 B. 的面积是的面积的倍 C. 是等腰直角三角形 D. 的周长是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直观图得到平面图，再求出相应的线段长度，即可判断A、C、D，求出三角形的面积，即可判断B. 【详解】由题意，可得平面图如下所示： 在斜二测视图中，， ∴， 又，，， 所以， 所以面积是的面积的倍，故B正确． ∴在中，，， ∴， ∴， ∵，∴， ∴是等腰直角三角形，故A错误，C正确， 又，故D正确， 故选：BCD． 12. 如图，正方体的棱长为1，且，分别为，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. C. 直线与平面所成角为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABC 【解析】 【分析】取棱中点，利用线面平行的判定推理判断A；利用线面垂直的性质推理判断B；求出EF与平面ABCD所成的线面角判断C；使用等积法求点到平面的距离. 【详解】在正方体中，取棱中点，连接， 因为，分别为，的中点， 则， 因此四边形为平行四边形，则平面， 平面，所以平面，故A正确； 因为平面，平面，则，所以，故B正确； 显然平面，则是与平面所成的角，又， 有，由于，所以直线与平面所成的角为，故C正确； 等边三角形的面积为，设到平面的距离为， 由得，解得 ，故D错误. 故选：ABC 第II卷（非选择题 共90分） 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 设、是两个不共线的非零向量，，，，.若三点共线，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三点共线得到，得出存在唯一使得，代入数据求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 因为三点共线， 所以， 所以存在唯一，使得， 所以， 又因为、是两个不共线的非零向量， 所以，解得， 故答案为： 14. 设平面，直线，则___________. 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意作出可能的示意图，根据面面平行的性质，可得到线线平行，从而列出比例式，解得答案, 【详解】根据题意可作图如下： 因为直线，故可设它们确定的平面为m, 则m和α的交线为AC,和β的交线为BD, 因为 ，故 , 故 ,即，则 , 故答案为：9. 15. 已知平面向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量是_____，的最小值是_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据投影的定义求得在方向上的投影即可得投影向量，求出，结合二次函数性质可得最小值. 【详解】由题意， 在方向上的投影向量为； ， 所以时，取得最小值3，取得最小值. 故答案为：；. 16. 在中，角、、所对的边为、、，若，，，则的面积______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系先计算出的值，然后根据两角和的正弦公式计算出的值，再利用正弦定理求解出，结合三角形面积公式可完成求解. 【详解】解：在中，因为，可得，， 又，所以， 由正弦定理，可得，解得， 故的面积， 故答案为：6． 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于通过隐含条件“”分析出的值，后续再根据正弦定理求解出中任意一边的长度即可根据三角形面积公式完成计算. 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知是虚数单位，复数，. （1）当复数z为纯虚数时，求m的值； （2）当复数z在复平面内对应的点在第三象限时，求m的取值范围. 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数为纯虚数的概念列方程求解即可； （2）根据复数的几何意义列不等式组求解即可. 【小问1详解】 当z为纯虚数时，有，解得. 【小问2详解】 当z在复平面内对应的点在第三象限时， 有，解得， 所以m的取值范围为. 18. 已知向量，. （1）求|的值； （2）若向量与平行，求k的值； （3）若向量与的夹角为锐角，求k的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量模长的坐标公式即可； （2）使用两向量平行的坐标判定条件即可； （3）将条件转化为两向量内积为正数且不平行，再使用数量积的坐标运算公式. 【小问1详解】 由，知，所以. 【小问2详解】 由，知，，而与平行，故，解得. 【小问3详解】 由上一小问已知，，由已知有与的夹角为锐角， 故即是要且与共线同方向. 从而命题等价于，即，所以的取值范围是. 19. 已知三棱柱（如图所示），底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，，为的中点. （1）若为的中点，求证：平面； （2）证明：平面； （3）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）. 【解析】 【分析】（1）连接，证得底面，得到，再在正证得，结合线面垂直判定地鞥了，即可证得平面； （2）连接交与，得出，结合线面平行的判定定理，即可证得平面. （3）取的中点，连接，证得可得平面，得出为三棱锥的高，且，结合体积公式，即可求解. 【详解】（1）连接，由底面，且，可得底面， 又由底面，所以， 又因为为正边的中点，所以， 因为，且平面， 所以平面. （2）连接交与，则为的中点，连接，则. 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为，. 取的中点，连接，则，可得平面， 即为三棱锥的高，， 三棱锥的体积. 【点睛】本题主要考查了空间中位置关系的判定与证明，以及几何体的体积的计算，对于空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解． 20. 我国是世界上严重缺水国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准，用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费，下面是居民月均用水量的抽样频率分布直方图. （1）求直方图中的值； （2）试估计该市居民月均用水量的平均数（用组中值估计）； （3）如果希望的居民月均用水量不超过标准，那么标准定为多少比较合理？ 【答案】（1）的值为0.3； （2）2.035（吨） （3）2.9（吨）. 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中各组频率之和为1，即可求得答案； （2）根据频率分布直方图中平均数的计算方法即可求得答案； （3）结合频率分布直方图中百分位数的计算方法，列式求解，即得答案. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，各组频率之和为1， ∴， 解得：，∴的值为0.3； 【小问2详解】 由频率分布直方图估计该市居民月均用水量的平均数为： （吨）. 【小问3详解】 由频率分布直方图得前5组的频率之和为： ， 前6组的频率之和为： ， ∴（吨）. 21. 如图，平面四边形由等腰直角和等边拼接而成，将沿折起，使点到达点的位置，且． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理证明，结合可得平面，从而可得平面平面； （2）取的中点，过作，垂足为，可证是二面角的平面角，再计算可得结果. 【小问1详解】 因为为等边三角形，为等腰直角三角形， 由图可知， ，， 设，则，， 故，， 又，，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 取的中点，过作，垂足为， 因为，所以， 由（1）知，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为，平面， 所以平面，因为平面， 所以，又，所以是二面角的平面角， 由题意知，， 在等腰直角三角形中，， 在直角三角形中，， 所以. 所以二面角的余弦值为. 22. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 （1）求角C的大小； （2）若，求的周长的取值范围． 【答案】（1）. （2）△的周长的取值范围为 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换和正弦定理的得到，进而由余弦定理得到，可求得C； （2）由（1）可得，结合三边关系定理可求得△ABC的周长的取值范围． 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 由正弦定理可得， 由正弦定理可得， 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以，所以， 当且仅当时取等号， 又，所以△的周长的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 普集高中2023-2024学年度第二学期高一第3次月考数学试题 命题人：党超岗 耿海燕 张小超 审题人：程亚娟 总分值：150分 考试时间：120分钟 试题范围：必修2第六-第九章 第I卷（选择题 共60分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角，其中，则原图形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 有10种不同的零食，每可食部分包含的能量（单位：）如下： 这10个数据组成总体，则总体平均数和总体标准差分别是（ ） A. B. 130，16 C. 130，17 D. 4. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，，且，则向量在方向上的投影数量为（ ） A. B. C. D. 6. 某校举办了数学知识竞赛，并将1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为（ ） ①a的值为0.005 ②估计这组数据的众数为75 ③估计这组数据的下四分位数为60 ④估计成绩高于80分的有300人 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 在四棱锥中，平面，，，与平面所成角为，底面为直角梯形，，则点到平面的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 砂糖桔网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，则（ ） A. 月收入的最大值为90万元，最小值为30万元 B. 这一年的总利润超过400万元 C. 这12个月利润的中位数与众数均为30 D. 7月份的利润最大 10. 的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B 若，，，则有两解 C. 若为钝角三角形，则 D. 若，则是钝角三角形 11. 如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（ ） A. 是钝角三角形 B. 的面积是的面积的倍 C. 是等腰直角三角形 D. 的周长是 12. 如图，正方体棱长为1，且，分别为，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. C. 直线与平面所成角为 D. 点到平面的距离为 第II卷（非选择题 共90分） 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 设、是两个不共线的非零向量，，，，.若三点共线，则____________. 14. 设平面，直线，则___________. 15. 已知平面向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量是_____，的最小值是_____． 16. 在中，角、、所对的边为、、，若，，，则的面积______． 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知是虚数单位，复数，. （1）当复数z为纯虚数时，求m的值； （2）当复数z在复平面内对应的点在第三象限时，求m的取值范围. 18. 已知向量，. （1）求|值； （2）若向量与平行，求k的值； （3）若向量与的夹角为锐角，求k的取值范围. 19. 已知三棱柱（如图所示），底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，，为的中点. （1）若为的中点，求证：平面； （2）证明：平面； （3）求三棱锥的体积. 20. 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准，用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费，下面是居民月均用水量的抽样频率分布直方图. （1）求直方图中的值； （2）试估计该市居民月均用水量的平均数（用组中值估计）； （3）如果希望居民月均用水量不超过标准，那么标准定为多少比较合理？ 21. 如图，平面四边形由等腰直角和等边拼接而成，将沿折起，使点到达点的位置，且． （1）求证：平面平面； （2）求二面角余弦值． 22. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 （1）求角C的大小； （2）若，求的周长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$