河北省石家庄市正定中学2024届高三下学期三轮复习数学模拟试题（三）

河北正定中学三轮复习模拟试题（三） 数 学 （时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若函数为偶函数，则实数 A． B． C． D． 2．以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边的角，其终边落在直线上，则 A． B． C． D． 3．（i为虚数单位），则 A． B． C． D． 4．平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为 A． B． C． D． 5．对于数列（），定义为，，…，中最大值（）（），把数列称为数列的“M值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M值数列”为2，2，3，7，7，若，记为的前n项和，则 A． B． C． D． 6．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则该圆台的外接球体积为    A． B． C． D． 7．已知数列满足：，， A． B． C．2 D． 8．已知，，设点P是圆上的点，若动点Q满足：，，则Q的轨迹方程为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．新高考模式下，化学、生物等学科实施赋分制，即通过某种数学模型将原始分换算为标准分.某校在一次高三模拟考试中实施赋分制的方式，其中应用的换算模型为：，其中x为原始分，y为换算后的标准分.已知在本校2000名高三学生中某学科原始分最高得分为150分，最低得分为50分，经换算后最高分为150分，最低分为80分.则以下说法正确的是 A．若学生甲本学科考试换算后的标准分为115分，则其原始得分为100分 B．若在原始分中学生乙的得分为中位数，则换算后学生乙的分数仍为中位数 C．该校本学科高三全体学生得分的原始分与标准分的标准差相同 D．该校本学科高三全体学生得分的原始分的平均分低于标准分的平均分 10．如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是，的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是 A．一定是异面直线 B．存在点，使得 C．直线与平面所成角的正切值的最大值为 D．过M，N，P三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为 11．已知函数存在两个极值点，且，．设的零点个数为，方程的实根个数为，则 A．当时， B．当时， C．一定能被3整除 D．的取值集合为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．设函数.已知的图象的两条相邻对称轴间的距离为，且，则在上的极小值点为 ． 13．如图：在平行四边形中，为对角线与的交点，，为直线与的交点，为直线与的交点，若，，且则 ． 14．已知函数(其中为常数且)，.若在上的最大值为1，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知数列的前n项和为，，. （1）证明：数列为等比数列； （2）设，求数列的前n项和； （3）设，求数列的前n项和. 16．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，点在上，点为的中点，且平面． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 17．（本小题满分15分）在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为，；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为．假设每次信号的传输相互独立． （1）当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为，求的最小值； （2）当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量（中任意相邻的数字均不相同时，令），若，求的分布列和数学期望． 18．（本小题满分17分）已知函数. （1）当时，记函数的导数为，求的值. （2）当，时，证明：. （3）当时，令，的图象在，处切线的斜率相同，记的最小值为，求的最小值. （注：是自然对数的底数）. 19．（本小题满分17分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：的离心率为，直线l与Γ相切，与圆O：相交于A，B两点.当l垂直于x轴时，. （1）求Γ的方程； （2）对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为. （ⅰ）若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当的面积最大时，求； （ⅱ）若，均存在，记两者中的较大者为.已知，，均存在，证明：. 河北正定中学三轮复习模拟试题（三） 数学答案 1.【答案】A【解析】因为是偶函数，所以， 所以，故选：A. 2.【答案】D【解析】因角的终边落在直线上，故或. 当，时，，当时，.故选：D. 3.【答案】C【解析】由于，则，则.故选：. 4．【答案】C【解析】在方向上的投影向量为.故选：C. 5.【答案】B【解析】若，则数列中奇数项构成递增的正项数列，偶数项都是负数， 则有，所以.故选：B. 6.【答案】A【解析】设圆台的外接球的球心为，半径为，如图，连接，，    设，在直角中，可得， 在直角中，可得，即， 解得，即与重合，所以， 所以外接球的体积为，故选：A. 7.【答案】D【解析】依题意，， 故，，所以，所以．故选：D. 8．【答案】A【解析】由，可得，而，可知点在的平分线上. 圆，圆心为原点，半径，连接，延长交于点，连接， 因为且，所以，且为中点，， 因此，，点在以为焦点的双曲线上，设双曲线方程为，可知，由，得，故， 双曲线方程为.故选：A. 9．【答案】ABD【解析】对A，由题意得：.所以换算模型为： 由，故A对；对B，因为函数为增函数，所以标准分不改变原始分的排名顺序，原始分的中位数换算后，得到的标准分仍为中位数，故B对；对C，由，所以只有原始分是150分时，标准分与原始分相等，当原式分低于150分时，标准分都高于原始分，所以标准分相比于原始分，分数更集中，所以标准分的标准差比原始分的标准差要小，故C错误；对D，因为标准分都不低于原式分，所以原始分的平均分低于标准分的平均分，故D对.故选：ABD. 10.【答案】AD【解析】以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系： 则， 设，则点坐标为； 对A：设平面的法向量为，， 则，即，取，解得，故； 又，，考虑到，则，故， 故一定是异面直线，A正确；对B：，， 若，则，即，解得，又，故不存在这样的点，使得，B错误；对C： ，取平面的法向量， 则，设直线与平面的夹角为 则，则， ，又，故， 即直线与平面所成角的正切值的最大值为，C错误； 对D：在正方体中，过的截面为六边形且六边形为正六边形时面积最大.此时过的截面经过对称中心，设截面交于中点，也为中点，所以为的中点时，过三点的平面截正方体所得截面面积最大，取的中点为，连接，如下所示： 故此时截面为正六边形，其面积，故D正确. 故选：AD. 11.【答案】AB【解析】由题意可知为二次函数，且为的零点， 由得或. ①当时，令，解得或；令，解得； 可知：在内单调递增，在内单调递减，则为极大值点，为极小值点，若，则，因为，即，两者相矛盾，故， 则有2个根，有1个根，可知，若，可知，； 若，可知，；若，可知，； 故A正确；    ②当时，令，解得；令，解得或；可知：在内单调递增，在内单调递减，则为极大值点，为极小值点，若，则， 因为，即，两者相矛盾，故，若，即，可知，，；若，即，可知，，； 若，即，可知，，；此时，故B正确；      综上所述：的取值集合为，的取值集合为，故CD错误；故选：AB. 12.【解析】（1）由题意可得周期，故，， 由于，故，故，当时，，则当时即时取到极小值，则极小值点为. 13．【答案】【解析】在中，由，得，即，则， 由分别为的中点，得为的重心， 则，而， 所以.故答案为：. 14.【答案】【解析】，则，， ，令得，，， ①当即时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增， ∴的最大值1可能在或处取得，而， ∴，∴. ②当时，在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增 ∴的最大值1可能在或处取得，而， ∴，即，不满足，舍去. ③当时，在区间上单调递增，在上单调递减， ∴的最大值1可能在处取得，而，矛盾． 综上所述，. 15．【解析】（1），，当时，， 两式相减得，即， 则有， 2分 当时，，则，即， 3分 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列. 4分 （2）由（1）得，，则，数列是等差数列， 6分 于是，则. 8分 （3）由（2）得，则， 10分 所以. ，①，② ①-②得， 12分 则. 13分 16．【解析】（1）证明：连接交与点，连接，可得平面与平面的交线为， 因为平面，平面，所以， 2分 又因为为的中点，所以点为的中点， 3分 取的中点，连接，可得且， 又因为为的中点，可得且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 4分 所以，又因为平面，且平面，所以平面． 6分 （2）取的中点，连结， 因为，可得，且， 又因为，且， 所以，所以， 又因为，且平面，所以平面， 8分 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 可得， 因为为的中点，为的中点，可得， 则， 10分 设是平面的法向量，则， 取，可得，所以， 11分 设是平面的法向量，则， 取，可得，所以； 13分 设平面与平面的夹角为，则， 即平面与平面的夹角的余弦值为． 15分 17．【解析】（1）由题可知， 2分 因为，所以当时，的最小值为． 4分 （2）由题设知，的可能取值为1，2，3，4． 5分 ①当时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010． 因此，， 7分 ②当时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011． 因此，， 9分 ③当时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000． 因此，， 11分 ④当时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111． 因此，． 13分 所以的分布列为 1 2 3 4 因此，的数学期望． 15分 18．【解析】（1）当时，，∴， 1分 ∴； 3分 （2）当时，，∴， 4分 令，则，∴， 6分 ∴，∴在上单调递增， 7分 ∴，得证； 9分 （3）当时，， ，所以，， 所以在上单调递增，，上单调递减， 11分 由题意，，得， ， 13分 由得到，记， 则， ，所以，， ∴在上单调递减，在上单调递增. ∴， 15分 当时，， ∴. 17分 19．【解析】（1）因为当垂直于轴时，，而直线与Γ相切， 则，解得， 2分 又椭圆的离心率为，则椭圆的半焦距，， 所以的方程为. 4分 （2）（i）当的斜率存在时，设的方程为：， 由消去得：， 由直线与椭圆相切，得，整理得， 6分 于是圆心到直线的距离， 7分 则的面积为， 设，求导得， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 因此当时，取得最大值，此时， 9分 当的斜率不存在时，由（1）知，， 由，得，则. 10分 对于线段上任意点，连接并延长与圆交于点，则是圆上与最近的点， 当为线段的中点时，取得最大值，所以. 11分 （ii）因为均存在， 设点，且， 设是集合中到的最近点，根据对称性，不妨设， 13分 令点到集合的最近点为，点到集合的最近点为， 因为是集合中所有点到集合最近点距离的最大值，则， 因为是集合中所有点到集合最近点距离的最大值，则， 因此， 15分 而在坐标平面中，，又点是集合中到点的最近点，则， 所以. 17分 学科网（北京）股份有限公司 $$