第3章 函数的概念与性质知识点汇总-2023-2024学年高一数学下学期备考期末复习（人教A版2019必修第一册）

《人教A版必修一知识点汇总》 第3章 《 函数的概念与性质 》知识点汇总 3.1.1《 函 数 的 概 念 》 1.函数的概念 （1）概念 像上面情景问题这样，一般地，设是非空数集，如果按照某种确定的对应关系，对于集合 中的任意一个数 ,在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称映射为从集合到集合 的一个函数 , 记作 ①自变量与定义域: 其中叫做自变量，的取值范围叫做函数 的定义域； ②函数值与值域: 当 时，与 相对应的值称为函数在点处的函数值，记作; 所有的函数值组成的集合称为函数的值域，且函数的值域只是数集的一个子集（即 ） 例如 某市中华文具店销售一种单价为2元的铅笔，设文具店销售这种铅笔的数量为支，铅笔的销售额为元， 则铅笔销售额就是铅笔销售量的函数，记作或. 其中函数的定义域 为 自然数集 ； 值域为 集合且； 对应法则为 “自变量乘以2” 且当自变量时，对应的函数值为. （2）函数的三要素 由函数的定义及实例可知，每一个函数都是由定义域、值域以及对应关系组成，因此定义域、值域、对应关系称为函数的三要素. 注（作用）：判断两个函数是否为同一函数，就看它们的定义域、值域以及对应关系是否相同. （3）实例运用 例1. 判断下列图象能表示函数图象的是（ ） 【参考答案】：D 例2. 已知函数f(x)、g(x)分别由下表给出: 则 ； ； 【参考答案】：4 3. 2.区间的定义与分类 （1）区间的定义 由数轴上两点间的一切实数所组成的集合叫做区间.其中，这两个点叫做区间端点. 注：区间的本质是一个数集 （2）区间的分类与表示 设且 , 那么 ①闭区间：满足不等式 的实数组成的集合可用区间表示为,称为闭区间. 即:［ ］ ②开区间：满足不等式的实数组成的集合可用区间表示为,称为开区间. 即: ③左闭右开区间：满足不等式 的实数组成的集合可用区间表示为［ ),称为左闭右开区间. 即: ④左开右闭区间：满足不等式 的实数组成的集合可用区间表示为,称为左开右闭区间. 即: 3.实数集的区间表示以及无穷大 （1）实数集的区间表示 实数集可以用区间表示为 其中符号“”读作“无穷大”，“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，如下图所示 （2）无限数集的表示 ①由上“正无穷大”的概念引入，数集可以用区间表示为 即 ②由上“正无穷大”的概念引入，数集可以用区间表示为 即 ③由上“负无穷大”的概念引入，数集可以用区间表示为 ④由上“负无穷大”的概念引入，数集{}可以用区间表示为 ( ). 即 () = { } （3） 实例运用 例 已知集合 , 集合, 求 解:集合 A 与 集合B的数轴表示如图（1）所示： -4 , 3］ 4.求函数定义域的方法提示： （1）当为整式时，则定义域为 （2）当为分式时，则要满足“分母≠0”； （3）当为二次根式时，则要满足 “被开方数≥0”；当为三次根式时，被开方数 （4）当为零次幂时，则要满足 “底数≠0”（∵规定任何不为0的数的0次幂都为1，即）； （5）综合型,需要综合考虑； （6）无解析式时，通常要用换元法. 例 求出下列函数的定义域： （1） 解：如图所示 ∵一次函数解析式为整式 ∴原函数的定义域为 ( −∞ ，+∞ ) 或 R （2） 解：∵原函数解析式为分式， ∴满足分母 即 故原函数的定义域为或 （3） 解：∵原函数解析式为二次根式， ∴满足被开方数 即 故原函数的定义域为 [)或 （4） 解：∵原函数解析式既是二次根式，又是分式 ∴满足 ∴ 即 x ≥−1且x≠2 故原函数的定义域为 [ -1，2)∪(2,+∞) （5） 解：∵原函数解析式既是二次根式，又是分式与零次幂式 ∴满足 ∴ 即 且 故原函数的定义域为 （6） 已知函数的定义域为（0,1），则的定义域为 ； 解(换元法+还原法)： 由题意令 , 则 ∵已知函数的定义域为 又与为同一函数， ∴ 即 ∴ ∴ 故函数的定义域为 （7）已知函数的定义域为，则的定义域为 ； 解(换元法+反代法)： 由题意令 则，且 ∵已知函数的定义域为 ∴ 即 ∴ ∴ 又∵ 与为同一函数， ∴函数的定义域为. 5.判断两个函数是否为同一函数 判断两个函数是否为同一函数，就看它们的定义域、值域以及对应关系是否相同. 例 下列函数中哪个与函数是同一函数？ (1); (2) ; (3); (4) . 解：(1) ∵ 它与原函数虽然对应关系相同 但是定义域不相同 ∴与不是同一函数 (2) ∵ 它与原函数不仅对应关系相同 而且定义域也相同 ∴ 与是同一函数 (3) ∵ 它与原函数虽然定义域都为 但是当时，它们的对应关系不相同 ∴与不是同一函数 （4）∵ , 与原函数虽然对应关系相同 但是定义域不相同 ∴与不是同一函数 6.求函数的值 例 已知函数 （1）求函数的定义域； （2）求的值； （3）当 时，求的值 解(1)：∵已知既是根式，又是分式 ∴满足 ∴ 即且 故原函数f(x)的定义域为 解(2)：∵已知 ∴ 解（3）：∵已知 ， ∴ ∴ 且 3.1.2 函 数 的 表 示 1.函数的三种表示法 (1)函数的表示方法一：解析式法 像这样,利用解析式（或关系式）来表示函数的方法称为解析式法. 注：到高中利用解析式法表示函数时，一定要写出函数自变量的取值范围（即定义域） (2)函数的表示方法二：列表法 像这样通过列出自变量的值与对应函数值的相应表格来表示函数的方法称为列表法. 注：利用列表法来表示函数时通常取5组及以上的自变量与函数值. (3)函数的表示方法三：图像法 像这样利用图像表示函数的方法称为图像法. 注：画函数图像的方法是五点作图法，步骤有①列表；②描点；③连线；④作答. 2.分段函数 （1）概念 像上面这样，当自变量在不同范围内取值时，需要用不同的解析式来表示，我们就称这样的函数为分段函数. （2） 实例运用 例 用描点法画出分段函数的图象 解：由绝对值的概念可得 ①列表； ②描点；③连线； 3.2.1 函数的单调性与最值 1.函数的单调性 （1）单调递增与增函数的代数定义法 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果对于 当时， 都有 成立 那么称函数在区间上单调递增，区间 称为函数的单调递增区间．如图（1）所示． 注1：特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称是增函数. 注2：在某一区间上函数值随自变量的增大而增大，也即函数值与自变量的取值唱同调. （2）单调递增与增函数的图象定义法 如果函数的图象在区间上从左向右在上升, 那么称函数在区间上单调递增. 注：特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称是增函数. 如图 (1) 所示 （3）单调递减与减函数的代数定义法 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果对于 当时， 都有 成立 那么称函数在区间上单调递减，区间 称为函数的单调递减区间．如图（2）所示. 注1：特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称是减函数. 注2：在某一区间上函数值随自变量的增大而减小，也即函数值与自变量的取值唱反调. （4）单调递减与减函数的图象定义法 如果函数的图象在区间上从左向右在下降, 那么称函数在区间上单调递减. 注：特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称是减函数.如图 (2) 所示 2. 函数的单调性实例运用 例1 讨论函数在上的单调性； 解:任取且， ∵ 又∵ ∴ ∴＜0 即 故函数在上单调递增. 例2 证明函数在区间上单调递减． 证明:任取且， ∵ 又∵且， ∴ ∴ 即 故函数在区间上单调递减． 3.函数的最值 （1）函数的最大值 一般地，设函数的定义城为，如果存在实数满足: ① ，都有 ②，使得 那么，我们称是函数的最大值. （2）函数的最小值 一般地，设函数的定义城为，如果存在实数满足: (1) ，都有 (2) ，使得 那么，我们称是函数的最小值. （3） 实例运用 例 已知函数求函数的最大值和最小值 . 解： 对于 且，有 又∵ 且， ∴ ∴ 即 ∴ ∴函数在区间上单调递减 故当时， 当时， 3.2.2 函数的奇偶性 1.偶函数的代数定义法 设函数的定义域为数集，若对于任意的，都有，且 则称是偶函数，偶函数的图像关于轴对称. 2.偶函数的图像定义法 如果一个函数的图像关于轴对称，那么就称函数为偶函数. 3.奇函数的代数定义法 设函数的定义域为数集，若对于任意的，都有，且 则称是奇函数，奇函数的图像关于原点中心对称. 4.奇函数的图像定义法 如果函数的图像关于原点中心对称，那么我们就称函数为奇函数 5. 实例运用 例 讨论下列函数的奇偶性： (1) 解:(1)由题意可知 的定义域为 ∵对于任意的，都有 且 ∴是奇函数 解:(2)由题意可知的定义域为 ∵对于任意的，都有 且 ∴是偶函数 解:(3)由题意可知的定义域为 ∵对于任意的，都有 且 ∴既不是奇函数也不是偶函数(即为非奇非偶函数) 3.3 幂函数 1.幂函数的概念 一般地，形如的函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 注:对于幂函数，我们只研究时的图象与性质. 例 判断下列各函数是幂函数的为 ( ) 【参考答案】 C 2.幂函数的图像与性质 注 1:第一家限内幂函数总满足: ①当时，幂函数在第一象限内(即在上)都单调递增; ②当时，幂函数在第一象限内(即在上)都单调递减; ③当时，幂指数大的幂函数的函数值就大; ④当时，幂指数大的幂函数的函数值反而小. 注 2:第三象限幂函数总满足: ①当 时，幂函数f(x)在第三象限内(即在上)都单调递增; ②当时，幂函数f(x)在第三象限内(即在上)都单调递减; ③当 时，幂指数大的幂函数的函数值反而小; ④当时，幂指数大的幂函数的函数值就大. 3.实例运用 练习1 若函数为幂函数,且在第一象限为增函数，则m的值为 ( ) A.1 B.-3 C.-1 D.3 【参考答案】 练习2 已知函数的图象如图所示，则的大小关系为（ ） 【参考答案】 练习3 比较下列各组数的大小： （1） 【参考答案】 （2） 【参考答案】 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$