专题05：鸽巢问题-2024年六年级数学暑假专项提升（人教版）

05 鸽巢问题 有的放矢 本专题主要针对鸽巢问题相关的内容进行逐层巩固拔高拓展，包括： 1．知识与能力目标：经历“鸽巢原理”的探究过程，初步了解“鸽巢原理”，会用“鸽巢原理”解决简单的实际问题。通过猜测、验证、观察、分析等数学活动，建立数学模型，发现规律。渗透“建模”思想。 2．过程与方法目标：经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。 3．情感、态度与价值观目标：通过“鸽巢原理”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。 能力巩固提升 1．在六（1）班学生中，有8个人都订阅了《小作文》《小读者》《儿童时代》三种杂志中的一种或几种。那么，这8个人中至少有（    ）个人所订的杂志种类完全相同。 A．2 B．3 C．4 2．25个鸡蛋最多放进（    ）个碗中才能保证有一个碗中至少放进7个鸡蛋。 A．7 B．6 C．5 D．4 3．一个黑色袋子里有红、黄、蓝三种颜色的球（形状、大小一样）各5个。闭上眼睛摸球，要保证摸到两个颜色相同的球，至少要摸（    ）个。 A．2 B．3 C．4 D．5 4．有红、黄、蓝三种颜色的球各有10个，要保证拿出的球有3个球颜色相同，至少要拿出（    ）个球。 A．4 B．7 C．9 D．10 5．袋子里有红、黄、蓝三种颜色的球各5个，要保证摸出的球一定有两个颜色相同，至少要摸出（    ）个；要保证摸出的球一定有两个颜色不同，至少要摸出（    ）个。 A．4；6 B．6；10 C．10；11 D．11；6 6．13人中，至少有2人（    ）在同一个月过生日。 A．一定 B．可能 C．不可能 D．无法确定 7．把红、黄、绿三种颜色的鞋带各一双混在一起，如果闭上眼睛拿，最少拿出几根才能保证一定有一双同色的鞋带？（    ） A．2根 B．3根 C．4根 D．5根 8．盒子里有形状、大小相同的红色、黄色和白色乒乓球各4个，至少要摸出（    ）个才能保证有3种不同颜色的乒乓球。 A．5 B．8 C．9 9．给甲、乙、丙三位歌手投票，每位投票人可投给任意两名歌手，至少有( )个人投票，才能保证其中至少有4个投票人的投票情况完全相同。 10．育才小学六（1）班有45名学生，班里成立了一个图书角，如果保证至少有一名同学能借到3本或3本以上的课外书，图书角至少应该有( )本书。 11．据了解，北京冬奥会火炬手约1200名。他们来自各行各业，大多在本系统、本领域取得杰出成绩或作出突出贡献，具有相当的代表性和先进性。其中获得省部级以上荣誉的约600人，占火炬手总数的( )。所有火炬手当中，至少有( )人在同一天过生日。 12．袋子里3个白球、2个黑球和1个绿球，每次摸一个球出来，第一回摸，直到摸到黑球后将所有摸出的球放回袋中，第二回摸，直到摸到白球后将所有摸出的球放回袋中，两回一共最多摸出 个球。 13．有几个同样重的集装箱，所装货物共重30吨，并且每个集装箱的重量都不超过1吨，至少需要 辆载重4吨的卡车才能一次性运走这些货物。 14．、两种花色的扑克牌各5张混放在一起，从中至少取出( )张，才能保证取出的牌中一定有。 15．六（1）班举办“童心向党”主题活动，有18名同学表演了节目，节日类型有唱歌、舞蹈、弹奏、朗诵、小品，至少有( )名同学表演的节目类型相同。 16．箱子里有苹果味、橘子味、香蕉味和原味的牛奶各2盒，闭上眼睛摸，一次至少拿出( )盒，才能保证至少有2盒牛奶是同一种口味的。 综合拔高拓展 1．希望小学六年级准备开展“中华好诗词”活动，六（1）班有45名学生，男、女生的人数比是3∶2，从中随机选取，至少选出多少人才能保证选出的学生中男、女生都有？ 2．7名学生去图书馆借书，图书馆有A、B、C三类图书，每名学生最多可以借两本不同类的书，最少可以借一本，那么至少有几名学生所借书的种类完全相同？ 3．小明表演扑克牌“魔术”。一副扑克牌，取出大小王，还剩52张牌，9人每人随意抽1张，至少有3张牌是相同的花色。你理解这个扑克牌“魔术”的道理吗？ 4．把红、黄、蓝、白4种颜色的球各10个放到1个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？你知道吗？ 5．将9个苹果放到8个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进了几个苹果？将25个苹果放到8个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进了几个苹果？ 6．李华家里存放了2022年全年的《人民日报》（每日一份报纸），如果他从中任意取出13份报纸，那么至少有2份报纸是同一个月的。这种说法对吗？列式计算说明理由。 7．小悦，冬冬和阿奇到费叔叔家玩，费叔叔拿出许多巧克力来招待他们，他们一数，共有19块巧克力，如果把这些巧克力分给他们三人，试说明：一定有人至少拿到7块巧克力，但不一定有人拿到8块。 8．生活实践题。 （1）上学期有18名留守儿童插班进入实验小学就读，将18名留守儿童编入5个班，总有一个班至少要编入4名。为什么？ （2）18名留守儿童来自全国的4个省份，至少有5名来自同一个省份。为什么？ （3）把50本图书分给18名留守儿童，总有一名至少分到3本图书。为什么？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 能力巩固提升 1．A 【分析】先求出订阅一种、两种、三种杂志一共有7种情况，然后把8个人平均分给7种订阅情况，每种订阅情况分到1个人，还剩下1个人，那么至少有（1＋1）个人订的杂志种类相同。 【详解】订阅一种的有：《小作文》或《小读者》或《儿童时代》，有3种情况； 订阅两种的有：《小作文》和《小读者》、《小作文》和《儿童时代》、《小读者》和《儿童时代》，有3种情况； 订阅三种的有：《小作文》和《小读者》和《儿童时代》，有1种情况； 共有：3＋3＋1＝7（种） 8÷7＝1（个）……1（个） 1＋1＝2（个） 这8个人中至少有2个人所订的杂志种类完全相同。 2．D 【分析】要使碗的数量最多，就要使每个碗里的鸡蛋的个数最少，可以使其中一个碗放7个鸡蛋，剩下的每个都放7－1＝6个鸡蛋，据此用除法解法。 【详解】（25－1）÷（7－1） ＝24÷6 ＝4（个） 25个鸡蛋最多放进4个碗中才能保证有一个碗中至少放进7个鸡蛋。 3．C 【分析】根据用鸽巢问题解决实际问题中的最不利原则，从最坏情况考虑，三种颜色的球各摸出1个，此时再摸出1个球，一定有两个颜色相同的球，因此至少需要摸出4个。 【详解】（个） 要保证摸到两个颜色相同的球，至少要摸4个。 4．B 【分析】 根据抽屉原理的解答思路，要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数。把红、黄、蓝，这三种颜色看作3个抽屉，把10×3＝30（个）球看作30个元素。从最不利情况考虑，每个抽屉需要放2个同色球，共需要2×3＝6（个），再摸出1个不论什么颜色，总有一个抽屉的球和它同色，所以至少要摸出6＋1＝7（个）。 【详解】通过分析可得： 2×3＝6（个） 6＋1＝7（个） 则至少要拿出7个球。 5．A 【分析】由题意可知，有红、黄、蓝三种颜色的球，要保证至少有2个颜色相同，最坏的情况是每种颜色各取出1个，即取出3个，此时只要再任取一个，即取出3＋1＝4个就能保证至少有2个球颜色相同。红、黄、蓝三种颜色的球各5个，最坏的打算是取出5个，都是同一种颜色的，那再取一个，就能得到有2个球的颜色不相同，即5＋1＝6个，据此解答。 【详解】3＋1＝4（个） 所以要保证摸出的球一定有两个颜色相同，最少要摸出4个； 5＋1＝6（个） 要保证摸出的球一定有两个颜色不同，至少要摸出6个。 故答案为：A 【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 6．A 【分析】一年有12个月，把13人平均分给12个月，每个月有1人，还剩下1人，这剩下的1人不管放在哪个月，至少有2人在同一个月过生日。 对事件发生的可能性，可以用“一定”、“可能”、“不可能”等词语来描述；无论在什么情况下，都会发生的事件，是“一定”会发生的事件；在任何情况下，都不会发生的事件，是“不可能”事件；在某种情况下会发生，而在其他情况下不会发生的事件，是“可能”事件。 【详解】13÷12＝1（人）……1（人） 1＋1＝2（人） 13人中，至少有2人一定在同一个月过生日。 故答案为：A 【点睛】本题考查鸽巢问题（抽屉问题）以及可能性的知识，根据“至少数＝物体数÷抽屉的个数＋1（有余数的情况下）”解答。 7．C 【分析】根据抽屉原理，如果取出的头3根分别是3种不同的颜色，那么第4根取出后，能得到一双同色的鞋带。据此解题。 【详解】3＋1＝4（根） 所以，如果闭上眼睛拿，最少拿出4根才能保证一定有一双同色的鞋带。 故答案为：C 【点睛】本题考查了抽屉原理，关键是要从最差情况去考虑。 8．C 【分析】由题可知，最坏情况是其中2种颜色的乒乓球全部摸出，此时再摸出1个，一定有3种不同颜色的乒乓球，一共需要取出4＋4＋1＝9个，即可解题。 【详解】4＋4＋1＝9（个） 所以至少要摸出9个才能保证有3种不同颜色的乒乓球。 9．10 【分析】每位投票人可投给任意两名歌手，有三种情况，甲乙、甲丙或乙丙，要保证4位投票人的情况完全相同，则需要3×3＋1＝10（人），其中3×3的意思是每一种情况要3人投票才能保证3个结果各有3人投票相同，再有一人投票就能保证至少有4人投票相同；据此解答。 【详解】3×3＋1 ＝9＋1 ＝10（人） 所以至少有10个人投票，才能保证其中至少有4个投票人的投票情况完全相同。 10．91 【分析】抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体。（2）当n能被m整除时，k＝个物体。 将书的本数看作物体个数，45名学生看作45个抽屉，根据抽屉原则二，数的本数（至少）÷学生人数＝（3－1）（本）……1（本），因此学生人数×（3－1）＋1＝图书角至少有多少本书。 【详解】3－1＝2（本） 45×2＋1 ＝90＋1 ＝91（本） 图书角至少应该有91本书。 11． 50 4 【分析】用获得荣誉的人数除以总人数，乘即可求得获得省部级以上荣誉的人占火炬手总数的百分率；北京冬奥会2022年举行，这一年是平年，全年365天，要考虑每天都有人过生日，用总人数除以365，得3组，余数105，把余数105当作第4组，商3加1就是至少多少人在同一天生日。 【详解】 （组）……105（人） （人） 获得省部级以上荣誉的约占火炬手总数的（50%）；所有火炬手当中，至少有（4）人在同一天过生日。 【点睛】本题主要考查抽屉原理的应用。要考虑最坏的状况，就是每天都有人过生日。 12．9 【分析】根据最不利情况，如果第一回前面的4次摸出的都不是黑球，第5次一定能摸到黑球；如果第二回前面的3次摸出的都不是白球，第4次一定能摸到白球，据此可知，两回最多摸出（5＋4）个球。 【详解】5＋4＝9（个） 两回一共最多摸出9个球。 13．10 【分析】要求至少需要几辆车，则根据最不利原则，集装箱尽可能多，每辆车尽可能装最少，且剩余的空间不能多放一个集装箱；设有W个集装箱，每个集装箱的重量都不超过1吨，据此可知，每个集装箱的重量≤1，根据被除数和商的关系，可得每辆车装：4÷≥4箱；每辆车剩余空间不能多装一个集装箱，所以0≤4－×4＜1，求得30≤W＜40，W的个数是自然数，每辆车至少装4箱，集装箱最多有39个，用39÷4求出商，有余数，则用商＋1求出至少需要多少辆车。 【详解】设有W个集装箱，每个集装箱的重量都不超过1吨，W至少有30箱， 每个集装箱的重量：≤1 每辆车装：4÷≥4箱 每辆车剩余空间不能多装一个集装箱，所以0＜4－×4＜1 0＜4×（1－）＜1 1－＜ ＞1－ ＞ ＞ W＜40 W的个数是自然数，每辆车至少装4箱，集装箱最多有39个， 39÷4＝9……3 9＋1＝10（辆） 至少需要10辆载重4吨的卡车才能一次性运走这些货物。 【点睛】本题考查了最不利原则的灵活应用，关键是确定箱子只数的范围。 14．6 【分析】考虑最不利的情况，如果摸出5张，全部都是，此时剩下的牌只有，再取1张，就能保证至少有1张是。 【详解】（张） 所以从中至少取出6张，才能保证取出的牌中一定有。 15．4 【分析】 根据题意，相当于把18个物体放到5个抽屉中，则18÷5＝3（名）……3（名），至少有3＋1＝4（名）同学表演的节目类型相同。 【详解】 18÷5＝3（名）……3（名） 3＋1＝4（名） 所以至少有4名同学表演的节目类型相同。 16．5 【分析】 根据题意可知，一共有4种口味的牛奶，每种口味有2盒，假设一次拿4盒，都分别拿出了不同口味的牛奶，则一次至少拿（4＋1）盒，才能保证至少有2盒牛奶是同一种口味的。 【详解】 根据题意可知，一次至少拿5盒，才能保证至少有2盒牛奶是同一种口味的。 综合拔高拓展 1．28人 【分析】根据题意可知，男、女生的人数比是3∶2，由此可知，男生人数大于女生人数；男、女生的人数比是3∶2，即男生和女生人数分成了3＋2＝5份，用六（1）班人数÷总份数，求出1份是多少，进而求出男生人数，如果必须保证选中的人有男有女，那么要作最坏的打算，即全是男生，把男生全部选完了，再选一定是女生，所以用男生人数＋1，即可解答。 【详解】男、女生的人数比是3∶2，男生人数＞女生人数。 3＋2＝5（份） 男生：45÷5×3 ＝9×3 ＝27（人） 27＋1＝28（人） 答：至少选出28人才能保证选出的学生中男、女生都有。 2．2名 【分析】根据题意可知，有6种不同的借书方式，用7除以6可知商为1，余数也为1，用1＋1即可知道至少有2名学生所借书的种类完全相同。 【详解】7÷6＝1（组）……1（名） 1＋1＝2（名） 答：至少有2名学生所借书的种类完全相同。 3．见详解 【分析】这是一道典型的抽屉原理的题目。一副扑克牌一共有54张，去掉大小王就是52张，扑克牌除了大小王以外有4种花色， 也就是将这4种花色看成4个抽屉，9个人每人取1张牌就是9张，将这9张牌放入这4个抽屉中，尽量平均分，多出的1张总要放进其中的一个抽屉里。 【详解】据分析： 9÷4＝2（张）……1（张） 2＋1＝3（张） 答：每个花色已经有2张了，多出的1张牌肯定是4种花色的任意一种，则9人每人随意抽1张，至少有3张牌是相同的花色。 4．5个 【分析】最坏情况是4种颜色的球各摸出一个，此时再摸出1个，一定有2个同色的，所以至少需要摸出5个球。 【详解】4＋1＝5（个） 答：至少取5个球，可以保证取到两个颜色相同的球。 5．2个；4个 【分析】抽屉原则一：如果把（n＋1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。 抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体。（2）当n能被m整除时，k＝个物体。 【详解】9－8＝1（个） 25÷8＝3（组）……1（个） 3＋1＝4（个） 答：将9个苹果放到8个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进了2个苹果；将25个苹果放到8个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进了4个苹果。 【点睛】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。 6．说法对；理由见详解 【分析】抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体。（2）当n能被m整除时，k＝个物体 【详解】13÷12＝1（份）……1（份） 1＋1＝2（份） 答：这种说法对。 【点睛】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。 7．见详解 【分析】把3人看作是3个抽屉，19块巧克力看做19个元素，考虑最差情况：把19块巧克力平均分配在3个抽屉中：19÷3＝6（块）⋯⋯1（块），那么每个抽屉都有6块，那么剩下的1块，无论放到哪个抽屉都会出现7块在同一个抽屉里。 【详解】19÷3＝6（块）⋯⋯1（块） 6＋1＝7（块） 答：所以一定有人至少拿到7块巧克力，那么此时其他两个人分得6块，所以不能保证一定有人拿到8块。 【点睛】此题属于典型的抽屉原理习题，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可。 8．（1）（2）（3）见详解； 【分析】（1）5个班可以看作是5个抽屉，18名留守儿童看作18个元素，考虑最差情况：把18名留守儿童平均分配在5个抽屉中：18÷5＝3（名）⋯⋯3（名），那么每个抽屉都有3名，那么剩下的3名，无论放到哪个抽屉都会出现至少4名留守儿童在同一个抽屉里。 （2）4个省份可以看作是4个抽屉，18名留守儿童看作18个元素，考虑最差情况：把18名留守儿童平均分配在4个抽屉中：18÷4＝4（名）⋯⋯2（名），那么每个抽屉都有4名，那么剩下的2名，无论放到哪个抽屉都会出现至少5名留守儿童在同一个抽屉里。 （3）18名留守儿童可以看作是18个抽屉，50本图书看做50个元素，考虑最差情况：把50本图书平均分配在18个抽屉中：50÷18＝2（本）⋯⋯14（本），那么每个抽屉都有2本，那么剩下的14本，无论放到哪个抽屉都会出现至少3本图书在同一个抽屉里。 【详解】（1）18÷5＝3（名）⋯⋯3（名） 3＋1＝4（名） 答：所以将18名留守儿童编入5个班，总有一个班至少要编入4名。 （2）18÷4＝4（名）⋯⋯2（名） 4＋1＝5（名） 答：18名留守儿童来自全国的4个省份，所以至少有5名来自同一个省份。 （3）50÷18＝2（本）⋯⋯14（本） 2＋1＝3（本） 答：所以把50本图书分给18名留守儿童，总有一名至少分到3本图书。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$