精品解析：河北省唐县第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题

高一数学考试 考试时间120分钟 全卷满分150分 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数，则其共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用除法运算直接计算可得结果. 【详解】因为. 所以. 所以的虚部为. 故选：A 2. 样本数据16，24，14，10，20，15，12，14的上四分位数为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由百分位数的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】将数据从小到大排序可得，共8个样本数据， 则上四分位数即第百分位数为，即为. 故选：D 3. 已知m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】由面面平行，线面平行的性质可得A错误；由面面平行，线面垂直的性质可得B错误；由面面垂直，线面垂直的性质可得C正确；由面面垂直，线面平行的性质可得D错误. 【详解】A：若，，，则或异面或相交，故A错误； B：若，，，则，故B错误； C：若，，，则，故C正确； D：若，，，则或相交，或异面，故D错误； 故选：C. 4. 在矩形ABCD中，已知，，点P在CD边上，满足，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，设，根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】如图建立平面直角坐标系，，设， 则， 所以，得， 所以， 所以. 故选：C. 5. 随着古代瓷器工艺的高速发展，在著名的宋代五大名窑之后，又增加了三种瓷器，与五大名窑并称为中国八大名瓷，其中最受欢迎的是景德镇窑．如图，景德镇产的青花玲珑瓷(无盖)的形状可视为一个球被两个平行平面所截后剩下的部分，其中球面被平面所截的部分均可视为球冠(截得的圆面是底，垂直于圆面的直径被截得的部分是高，其面积公式为，其中为球的半径，为球冠的高)．已知瓷器的高为，在高为处有最大直径(外径)为，则该瓷器的外表面积约为(取3.14) （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知：球的半径为，上球冠的高，下球冠的高，可求下底面圆的半径，结合题意面积公式分析求解. 【详解】由题意可知：球的半径为，上球冠的高，下球冠的高， 设下底面圆的半径为，则， 所以该瓷器的外表面积为. 故选：C. 6. 已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角互补余弦值之和等于0，然后分别在三角形中利用余弦定理求出两角的余弦，列出方程求出，然后利用基本不等式求出最值即可. 【详解】由题意得， 所以， 又，且D是的中点，所以， 在中，， 在中，， 所以， 即，得，当且仅当取等号， 故选：A 7. 在锐角△ABC中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据得到，根据角的范围得到，根据得到结果. 【详解】由得，． 因为，，所以．而，所以，即， 因此，．由和得到，， 因此，．于是． 故选：C． 8. 如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值. 【详解】由于，，根据台体的性质可知, 由于平面，平面，所以， 由于，由此以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 平面的一个法向量为， ，即， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设二面角为，由图可知为锐角， 所以. 故选：B 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分得3，有选错的得0 分．） 9. 已知复数，下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆 D. 若是关于的方程的一个根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由复数，可判定A错误；根据复数的运算法则，可判定B正确；结合复数的几何意义，可判定C正确；根据复数相等的条件，列出方程，求得的值，可判定D正确. 【详解】对于A中，若复数，满足，但两个虚数不能比大小，所以A项错误； 对于B中，若，则，即， 可得或，所以，所以B项正确； 对于C中，由于表示两个复数在复平面上对应的两点之间的距离， 所以，表示复平面内到点距离为3的点的集合， 所以对应的点的轨迹为圆心在，半径为3的圆，所以C项正确； 对于D中，由是关于的方程的根， 故，即， 可得，所以，所以D项正确. 故选：BCD． 10. 对于有如下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若，，且有两解，则的取值范围是 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 在中，若，，则必是等边三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦定理和余弦定理边角互化判断A，结合图象，根据边角的关系与解的数量判断B，利用锐角三角形角的关系结合诱导公式判断C，由余弦定理可证D. 【详解】选项A：中，若， 即，所以由正弦定理得， 又由余弦定理得，所以， 为钝角三角形，A正确； 选项B：如图所示， 若有两解，则，解得，B错误； 选项C：因为是锐角三角形，所以，所以， 又，所以，则， 又因为在单调递增，所以，C正确； 选项D：若，， 由余弦定理，， 所以，顶角为的等腰三角形为等边三角形，D正确. 故选：ACD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 存在点，使四点共面 B. 存在点，使平面 C. 三棱锥的体积为 D. 经过四点的球的表面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意，当Q与点重合时，四点共面，即可判断A；根据平行的传递性可得，结合线面平行的判定定理即可判断B；利用等体积法和棱锥的体积公式计算即可判断C；易知经过C，M，B，N四点的球即为长方体的外接球，求出球的半径即可判断D. 【详解】A：如图，在正方体中，连接． 因为N，P分别是的中点，所以． 又因为，所以． 所以四点共面，即当Q与点重合时，四点共面，故A正确； B：连接，当Q是的中点时，因为，所以． 因为平面平面，所以平面，故B正确； C：连接，因为，则 ，故C正确； D：分别取的中点E，F，构造长方体， 则经过C，M，B，N四点的球即为长方体的外接球． 设所求外接球的直径为，则长方体的体对角线即为所求的球的直径， 即， 所以经过C，M，B，N四点的球的表面积为，故D错误． 故选：ABC 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．） 12. 为了解一个鱼塘中养殖鱼的生长情况，从这个鱼塘多个不同位置捕捞出100条鱼，分别做上记号，再放回鱼塘，几天后，再从鱼塘的多处不同位置捕捞出120条鱼，发现其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计鱼塘中的鱼大概有_________条． 【答案】2000 【解析】 【分析】由题意捕捞出的120条鱼中有6条有记号，故可以算出标记的比例，进而估算鱼塘中鱼的总数. 【详解】设鱼塘中的鱼有条，因为捕捞出的120条鱼中有6条有记号，因此由题意可得，解得，即鱼塘中的鱼大概有2000条. 故答案为：2000. 13. 在三棱锥中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据异面直线所成角的定义确定为异面直线与所成的角或其补角；再根据勾股定理求出，余弦定理求出.，进而得出；最后在中，利用余弦定理即可求出. 【详解】取的中点，连接，如图所示： 因为为中点，为的中点， 则根据三角形的中位线定理可得，且. 所以为异面直线与所成的角或其补角． 因为在中，，，， 所以，则. 又，所以． 又在中，，, 所以由余弦定理可得：. 又因为在中，， 所以由余弦定理可得： 则在中，由余弦定理可得，， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为：. 14. 了解某中学学生的身高情况，采用分层随机抽样的方法抽取了30名男生，20名女生.已知男生身高的平均数为170cm，方差为16，女生身高的平均数为165 cm，方差为25，则可估计该校学生身高的平均数为______cm，方差为______. 【答案】 ①. 168 ②. 25.6 【解析】 【分析】利用分层抽样的平均数公式、方差公式分别计算即得. 【详解】由分层随机抽样抽取的样本中男生有30人，女生有20人， 得男生所占的权重为，女生所占的权重为， 而，，，， 所以估计该校学生身高的平均数； 方差 . 故答案为：168；25.6 四、解答题（本题共5小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若 ①求与的夹角的余弦值； ②求在的投影向量 ③求. 【答案】（1）或 （2）①；②；③ 【解析】 【分析】（1）利用向量共线列出方程，解出即可； （2）先根据条件求得的值，再利用向量的数量积求夹角，利用投影向量公式及向量的坐标求模即可. 【小问1详解】 因为向量， 若，则， 解得或. 【小问2详解】 因为， 所以， 即， 解得，此时. ①依题得 ； ②依题，在的投影向量为 ； ③因为， 所以. 16. 某校为了了解学生每周参加课外兴趣班的情况，随机调查了该校1000名学生在2023年最后一周参加课外兴趣班的时长（单位：分钟），得到如图所示的频率分布直方图．若直方图中，时长落在区间内的人数为200． （1）求出直方图中的值； （2）估计样本时长中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （3）从参加课外兴趣班的时长在和的学生按照分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，求各层中被抽到的人数. 【答案】（1） （2）中位数为，平均数为 （3）时长在的抽取人，时长在的抽取人， 【解析】 【分析】（1）先求出c,再利用面积和为1求出，再结合等差数列求解； （2）利用左右面积相等求中位数，由频率乘组距求和得平均数； （3）由分层抽样确定和的人数，再利用分层抽样确定各组的人数. 【小问1详解】 由已知可得， 则，即， 又，解得． 【小问2详解】 因为，， 设中位数为，且， 所以，解得，即中位数为； 平均数为; 【小问3详解】 由（1）知，按照分层抽样随机抽取6人中， 参加课外兴趣班的时长在内的有人， 参加课外兴趣班的时长在的学生有人. 17. 如图，在正三棱柱（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，，，，分别是，，的中点. （1）求证：平面平面； （2）求证：平面 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定有面，面，又结合面面平行的判定可证面面；（2）应用正方形、矩形、直三棱柱的性质，利用线面垂直的判定证明平面即可； 【详解】（1）在△ 中，，分别是，的中点，即， ∵面面，面，面， ∴面 又∵底面是正三角形且，是中点，即在正方形中有为平行四边形，有， ∵面面，面，面， ∴面，而， ∴面面 （2）在正方形中有，若的交点为，连接、， 即有矩形：，，而，则面， ∴面，而面，即，又， ∴面 【点睛】本题考查了应用线面平行、面面平行的判定证平行，线面垂直判定证垂直，属于中档题. 18. 已知中，角所对的边分别为. （1）求角； （2）若，且的周长为，求的面积. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，切化弦后整理可得； （2）根据余弦定理，联立已知条件解方程组可得，然后由面积公式可得. 【小问1详解】 由正弦定理边化角得，所以， 即， 整理得， 因为，所以， 又，所以. 【小问2详解】 由正弦定理得， 又，所以，即， 所以， 所以，所以， 所以的面积. 19. 如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面. (1)求证：平面； (2)求与平面所成的角； (3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)30°；(3)存在，. 【解析】 【分析】(1)首先根据已知条件并结合线面垂直的判定定理证明平面，再证明即可求解； (2)根据(1)中结论找出所求角，再结合已知条件即可求解； (3)首先假设存在，然后根据线面平行的性质以及已知条件，看是否能求出点的具体位置，即可求解. 【详解】(1)因为，是的中点，所以， 故四边形是菱形，从而， 所以沿着翻折成后，，, 又因为， 所以平面， 由题意，易知，， 所以四边形是平行四边形，故， 所以平面； (2) 因为平面， 所以与平面所成的角为， 由已知条件，可知，， 所以是正三角形，所以， 所以与平面所成的角为30°； (3) 假设线段上是存在点，使得平面， 过点作交于，连结，，如下图： 所以，所以，，， 四点共面， 又因为平面，所以， 所以四边形为平行四边形，故， 所以为中点， 故在线段上存在点，使得平面，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学考试 考试时间120分钟 全卷满分150分 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数，则其共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 样本数据16，24，14，10，20，15，12，14的上四分位数为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 18 3. 已知m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 4. 在矩形ABCD中，已知，，点P在CD边上，满足，则（ ） A. B. 0 C. D. 5. 随着古代瓷器工艺的高速发展，在著名的宋代五大名窑之后，又增加了三种瓷器，与五大名窑并称为中国八大名瓷，其中最受欢迎的是景德镇窑．如图，景德镇产的青花玲珑瓷(无盖)的形状可视为一个球被两个平行平面所截后剩下的部分，其中球面被平面所截的部分均可视为球冠(截得的圆面是底，垂直于圆面的直径被截得的部分是高，其面积公式为，其中为球的半径，为球冠的高)．已知瓷器的高为，在高为处有最大直径(外径)为，则该瓷器的外表面积约为(取3.14) （ ） A B. C. D. 6. 已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 在锐角△ABC中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，则二面角的余弦值为（ ） A B. C. D. 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分得3，有选错的得0 分．） 9. 已知复数，下列结论正确有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆 D. 若是关于的方程的一个根，则 10. 对于有如下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若，，且有两解，则的取值范围是 C. 锐角中，不等式恒成立 D. 在中，若，，则必是等边三角形 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 存在点，使四点共面 B. 存在点，使平面 C. 三棱锥的体积为 D. 经过四点的球的表面积为 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．） 12. 为了解一个鱼塘中养殖鱼生长情况，从这个鱼塘多个不同位置捕捞出100条鱼，分别做上记号，再放回鱼塘，几天后，再从鱼塘的多处不同位置捕捞出120条鱼，发现其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计鱼塘中的鱼大概有_________条． 13. 在三棱锥中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是______． 14. 了解某中学学生的身高情况，采用分层随机抽样的方法抽取了30名男生，20名女生.已知男生身高的平均数为170cm，方差为16，女生身高的平均数为165 cm，方差为25，则可估计该校学生身高的平均数为______cm，方差为______. 四、解答题（本题共5小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若. ①求与的夹角的余弦值； ②求在的投影向量 ③求. 16. 某校为了了解学生每周参加课外兴趣班的情况，随机调查了该校1000名学生在2023年最后一周参加课外兴趣班的时长（单位：分钟），得到如图所示的频率分布直方图．若直方图中，时长落在区间内的人数为200． （1）求出直方图中的值； （2）估计样本时长的中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （3）从参加课外兴趣班的时长在和的学生按照分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，求各层中被抽到的人数. 17. 如图，在正三棱柱（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，，，，分别是，，的中点. （1）求证：平面平面； （2）求证：平面 18. 已知中，角所对的边分别为. （1）求角； （2）若，且的周长为，求的面积. 19. 如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面. (1)求证：平面； (2)求与平面所成的角； (3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$