精品解析：黑龙江省牡丹江市第二高级中学2024届高三下学期高考考前热身卷（三）数学试题

牡丹江市第二高级中学高三年级高考考前热身卷（三） 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集为，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合中元素范围，然后根据补集和交集的概念得答案. 【详解】，则或， 所以. 故选：C. 2 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数模及除法运算求得，再求出共轭复数. 【详解】由，得，则， 所以. 故选：D 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的运算的坐标表示及向量垂直的条件即可求解. 【详解】因为，， 所以， 因为， 所以，即，解得. 故选:D． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角差正切公式可求出，再根据二倍角正切公式即可求得答案. 【详解】由已知，得，解得， 所以. 故选：B． 5. 已知不恒为零的函数为定义在上的奇函数，且函数为偶函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到与，进而得到的一个周期为4，从而得解. 【详解】由于函数为偶函数，则，即， 又为定义在上的奇函数，所以，且， 所以，则， 故的一个周期为4，则. 故选：B． 6. 下面关于函数叙述中正确的是（ ） A. 关于直线对称 B. 关于点对称 C. 在区间上单调递减 D. 函数的零点是 【答案】B 【解析】 【分析】对于选项A：代入检验是否为最值即可判断；对于选项B：直接代入即可判断；对于选项C：求出的单调增区间即可判断；对于选项D：令求出零点，即可判断. 【详解】由，所以A错，B对； 由， 所以， 又不是子集，故C错； 由，故D错； 故选：B 7. 已知分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交于两点，若的最大值为8，则的离心率为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】椭圆定义有，结合已知确定的最小值，即可求解. 【详解】由椭圆的定义，可知， 所以当最小时，最大， 由椭圆的性质得，过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短， 当直线AB垂直于轴时，取得最小值，此时， 由解得，此时的离心率. 故选：A. 8. 在直三棱柱中，为等边三角形，，则三棱柱的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别是正三棱柱上、下底面中心，则的中点是该三棱柱外接球的球心，求出球半径后可得体积． 【详解】如图，分别是正三棱柱上、下底面中心，是棱柱的高，则的中点是该三棱柱外接球的球心， 外接球半径．其中点为外接圆圆心，为外接圆半径， 为正三角形，（是边中点）． 所以外接球半径．从而外接球体积为． 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，下列选项中是“”的充分条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由不等式的性质判断AD，由作差法判断BC即可. 【详解】对于A，因为，所以，故A符合题意； 对于B，因为，所以，所以，即，故B符合题意； 对于C，因为，所以，即，故C符合题意； 对于D，取，但有，故D不符合题意. 故选：ABC. 10. 已知圆关于直线对称，则下列结论中正确的是（ ） A. 圆的圆心是 B. 圆的半径是4 C. D. 的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用圆的一般方程的定义和性质可判断，利用选项C的结论结合基本不等式可判断D. 【详解】将圆的方程化为标准方程可得，所以该圆的圆心为，半径为2，故选项A正确，选项B不正确． 由已知可得，直线经过圆心，所以，整理可得，故选项C正确． 由选项C知，所以，所以的取值范围是，故选项D正确． 故选：ACD． 11. 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 函数在上增函数 B. 函数在上为增函数 C. 函数有极大值和极小值 D. 函数有极大值和极小值 【答案】AD 【解析】 【分析】结合的图象，分析的取值情况，即可得到的单调性与极值点. 【详解】由图可知当时，所以， 当时，所以， 当时，所以， 当时，所以， 所以在上为增函数，在上为减函数，在上为减函数， 在上为增函数，故A正确，B错误， 则在处取得极大值，处取得极小值， 即函数有极大值和极小值，故C错误，D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 将5名志愿者分配到四个社区协助开展活动，每名志愿者只能到1个社区，每个社区至少1名，则不同的分配方法数是____________. 【答案】240 【解析】 【分析】把5名志愿者分成4组，再分配到4个社区即可. 【详解】把5名志愿者分成4组，有种分法， 再把每一种分法的4组分配到4个社区有种方法， 所以不同的分配方法数是. 故答案为：240. 13. 已知等比数列中，，且，，成等差数列，则数列公比为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，则利用等比数列的通项公式列方程求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，则， 由已知， 所以，即， 解得. 故答案为： 14. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高球体被平面截下的一部分几何体叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体．如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是，与之对应的球缺的体积公式是．如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为______，体积为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将扇形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中上下截去两个球缺所剩余部分再挖去两个圆锥，由旋转体的表体积公式和体积公式求解． 【详解】因为，所以， 设圆的半径为，又，解得， 过点作交于点，过点作交于点， 则，， 将扇形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中上下截去两个球缺所剩余部分再挖去两个圆锥， 其中球缺的高，圆锥的高，底面半径， 则其中一个球冠的表面积， 球的表面积， 圆锥的侧面积， 所以几何体的表面积． 球的体积， 一个球缺的体积， 圆锥的体积， 所以几何体的体积． 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 2024年3月28日，小米SU7汽车上市，24小时预定88898台.小米集团为了了解小米手机用户订购小米SU7的意愿与用户是小米粉丝是否有关，随机抽取了200名小米手机用户进行调查，得到下表. 已订购小米SU7 未订购小米SU7 总计 是小米粉丝 80 非小米粉丝 40 80 总计 （1）补全表中数据，依据小概率值的独立性检验，是否能够认为小米手机用户订购小米SU7的意愿与用户是小米粉丝有关? （2）小米集团打算从已订购小米SU7的用户中采用按比例分配的分层随机抽样的方式抽取6人，再从这6人中抽取3人听取建议，求这3人中恰有2人是小米粉丝的概率. 附:，其中. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）没有关联 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知数据完成列联表，计算后与临界值比较可得； （2）根据分层抽样确定粉丝和非粉丝的人数，再根据概率公式计算概率． 【小问1详解】 已订购小米SU7 未订购小米SU7 总计 是小米粉丝 80 40 120 非小米粉丝 40 40 80 总计 120 80 200 零假设为:小米手机用户订购小米SU7的意愿与用户是小米粉丝没有关联， 由列联表中数据，得， 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即能够认为小米手机用户订购小米SU7的意愿与用户是小米粉丝没有关联； 【小问2详解】 从已订购小米SU7的用户中按比例分配的分层随机抽样的方式抽取6人，其中小米粉丝有人，非小米粉丝有人. 设3人中恰有2人是小米粉丝为事件，则． 16. 如图所示，圆台的轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于的点，且是线段的中点. （1）求证：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证明四边形为平行四边形，进而得，即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求两平面的法向量，利用平面夹角公式求解. 【小问1详解】 取的中点，连接，如图所示， 因为为的中点，所以. 在等腰梯形中，， 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为故，以直线，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 在等腰梯形中，， 此梯形的高为. 因为， 则， 所以. 设平面的法向量为，则 令，得. 设平面的法向量为， 则令，得. 设平面与平面的夹角为， 则. 17. 已知椭圆过点，直线过的上顶点和右焦点，的倾斜角为，且满足. （1）求椭圆的标准方程； （2）设两点为椭圆的左、右顶点，点（异于左、右顶点）为椭圆上一动点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 【答案】（1） （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）先利用倍角公式结合，结合椭圆的性质列式求，即可得方程； （2）设，可得，结合斜率公式分析证明. 【小问1详解】 因为， 由题意可知：，则， 可得，解得或（舍去）， 即的斜率为， 由题意可知：，解得， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 由（1）可知， 设，由可得， 则， 所以为定值. 18. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，求的单调区间和极值； （3）若对任意，有恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）的单调递减区间为：；递增区间为：， 的极大值为，无极小值 （3） 【解析】 【分析】（1）利用已知确定切点，导数的几何意义确定斜率，求出切线方程即可. （2）利用导数先求解单调性，再确定极值即可. （3）利用分离参数法结合导数求解参数范围即可. 【小问1详解】 当时，， 则，，， 所以切线方程为． 【小问2详解】 当时，，． 令，， 故在R上单调递减，而，因此0是在R上的唯一零点 即：0是在R上的唯一零点 当x变化时，，的变化情况如下表： x 0 0 极大值 的单调递减区间为：；递增区间为： 的极大值为，无极小值 【小问3详解】 由题意知，即，即， 设，则， 令，解得， 当，，单调递增， 当，，单调递减， 所以， 所以 19. 设为1，2，3，…，n的一个排列，若该排列中有且仅有一个i满足，则称该排列满足性质T．对任意正整数n，记为满足性质T的排列的个数． （1）求的值； （2）若，求满足性质T的所有排列的情形； （3）求数列的通项公式． 【答案】（1）；；； （2）答案见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）分别在时列出所有排列，结合新定义求出的值， （2）当时，将满足性质T的所有排列一一列举出来即可； （3）由的值，猜想出结论，再证明，结合累加法证明猜想． 【小问1详解】 由性质T的定义可知： 当时，由1构成的排列不满足性质，故； 当时，由1，2构成的排列有，，其中排列满足性质T，故； 当时，由1，2，3构成的所有排列为：， 其中满足性质T的排列有：，所以； 【小问2详解】 若，由1，2，3，4构成所有种排列中， 符合性质T的排列有：， ， 【小问3详解】 由（1）、（2）可得：，同理可得； 所以， ∴归纳出， 证明：∵在1，2，…，n的所有排列中， 若，从个数1，2，3，…，中选个数， 将所选数值按从小到大的顺序排在的前面，即﹐ 再将余下的数按从小到大的顺序排列在的后面， 则该排列满足性质T，∴满足题意的排列个数为，， 若，则只需将排列成满足性质T的的排列，在其后面加上即可得到满足条件的排列，满足题意的排列个数为， 综上：，即， ∴ ， 故数列的通项公式为． 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 牡丹江市第二高级中学高三年级高考考前热身卷（三） 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集为，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 0 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知不恒为零的函数为定义在上的奇函数，且函数为偶函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 6. 下面关于函数叙述中正确的是（ ） A. 关于直线对称 B. 关于点对称 C. 在区间上单调递减 D. 函数的零点是 7. 已知分别是椭圆左、右焦点，过点的直线交于两点，若的最大值为8，则的离心率为（ ）. A B. C. D. 8. 在直三棱柱中，为等边三角形，，则三棱柱的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，下列选项中是“”的充分条件的是（ ） A. B. C D. 10. 已知圆关于直线对称，则下列结论中正确的是（ ） A. 圆的圆心是 B. 圆的半径是4 C. D. 的取值范围是 11. 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 函数在上为增函数 B. 函数在上为增函数 C 函数有极大值和极小值 D. 函数有极大值和极小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 将5名志愿者分配到四个社区协助开展活动，每名志愿者只能到1个社区，每个社区至少1名，则不同的分配方法数是____________. 13. 已知等比数列中，，且，，成等差数列，则数列公比为_____________. 14. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高球体被平面截下的一部分几何体叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体．如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是，与之对应的球缺的体积公式是．如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为______，体积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 2024年3月28日，小米SU7汽车上市，24小时预定88898台.小米集团为了了解小米手机用户订购小米SU7的意愿与用户是小米粉丝是否有关，随机抽取了200名小米手机用户进行调查，得到下表. 已订购小米SU7 未订购小米SU7 总计 是小米粉丝 80 非小米粉丝 40 80 总计 （1）补全表中数据，依据小概率值的独立性检验，是否能够认为小米手机用户订购小米SU7的意愿与用户是小米粉丝有关? （2）小米集团打算从已订购小米SU7的用户中采用按比例分配的分层随机抽样的方式抽取6人，再从这6人中抽取3人听取建议，求这3人中恰有2人是小米粉丝的概率. 附:，其中. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 16. 如图所示，圆台的轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于的点，且是线段的中点. （1）求证：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知椭圆过点，直线过的上顶点和右焦点，的倾斜角为，且满足. （1）求椭圆的标准方程； （2）设两点为椭圆的左、右顶点，点（异于左、右顶点）为椭圆上一动点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 18. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，求的单调区间和极值； （3）若对任意，有恒成立，求的取值范围． 19. 设为1，2，3，…，n的一个排列，若该排列中有且仅有一个i满足，则称该排列满足性质T．对任意正整数n，记为满足性质T的排列的个数． （1）求值； （2）若，求满足性质T的所有排列的情形； （3）求数列的通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$