精品解析：江西省宜春市宜丰中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题

江西省宜丰中学2023-2024（下）高一6月月考数学试卷 一、单选题（40分） 1. 复数满足（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则等于 A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间3条不同的直线m，n，l和平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 设，是平面内两个不共线向量，，，若A，B，C三点共线，则的最小值是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 7. 达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角、间的圆弧长为，嘴角间的距离为，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则、和所满足的恒等关系为（ ） A B. C. D. 8. 已知函数，若关于的方程有4个不同的实根、，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（18分） 9. 下列化简正确的是（ ） A B. C. D. 10. 已知定义在上的函数的图像是连续不断的，且满足以下条件：①；② ，当时，；③.则下列选项成立的是（ ） A. 在上单调递减， B C. 若，则 D. 若，则 11. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则是锐角三角形 B. 若为锐角三角形，则 C. 若，则是直角三角形 D. 若，则是直角三角形 三、填空题（15分） 12. 一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是__________. 13. 已知命题，若为假命题，则的取值范围是______ 14. 若，，平面内一点P，满足，的最大值是________． 四、解答题（77分） 15. （1）已知，求值； （2）若，，且，，求的值. 16. 已知四棱锥中，底面是梯形，，，，，，分别是的中点．求证： （1）平面； （2）平面 17. 某乡镇为了打造“网红”城镇发展经济，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元.已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元） （1）写单株利润（元）关于施用肥料x（千克）的关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少? 18. 已知．且，函数的最小正周期为． （1）求函数的解析式与单调递增区间； （2）在锐角中，内角的对边分别是，点在上，且平分，求的周长． 19. 定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点． （1）若向量的“伴随函数”为，求在的值域； （2）若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值； （3）在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江西省宜丰中学2023-2024（下）高一6月月考数学试卷 一、单选题（40分） 1. 复数满足（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出复数在复平面内对应的点的坐标即可． 【详解】由，得, ∴复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限． 故选:B． 2. 已知集合，，则等于 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解出集合、，再利用交集和补集的定义求出集合. 【详解】解不等式，即，得，. 解不等式，解得，， 则，因此，，故选A. 【点睛】本题考查集合的交集与补集的混合运算，同时也考查了指数不等式和一元二次不等式的解法，解题的关键就是解出问题中所涉及的集合，考查运算求解能力，属于基础题. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义列出不等式解得即可. 【详解】根据题意得，解得 即. 故选：D． 4. 已知空间3条不同的直线m，n，l和平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】ABD可举出反例；C选项，利用线面平行的性质及线面垂直的性质得到答案. 【详解】A选项，若，，则或相交或异面，A错误； B选项，若，，则或，B错误； C选项，若，不妨设，则， 又，，则，所以，C正确； D选项，若，，则，或相交，D错误. 故选：C 5. 如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中条件连接，取的中点，连接,，作出异面直线所成的角，利用余弦定理求解即可. 【详解】连接，取的中点，连接,， 由题意知，，则异面直线与所成角为（或其补角）， 在中，， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 6. 设，是平面内两个不共线的向量，，，若A，B，C三点共线，则的最小值是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先利用A，B，C三点共线，得到的关系式，再利用“1”的代换去求的最小值 【详解】，是平面内两个不共线的向量， ，， 由A，B，C三点共线，则，则 则有，则有 则 （当且仅当时等号成立） 故选：A 7. 达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角、间的圆弧长为，嘴角间的距离为，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则、和所满足的恒等关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数定义得、、三者之间关系，另有弧长公式，两式相除即可. 【详解】 设该圆弧所对应的圆的半径为，则，，两式相除得 故选：. 【点睛】本题主要考查扇形弧长公式. 8. 已知函数，若关于的方程有4个不同的实根、，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，由可得，即；由二次函数图象的对称轴为直线可得，进而，结合即可求解. 【详解】作出函数和函数的图象可知， 假设两个函数的图象共有4个交点， 且横坐标分别为， 由，得，则有， 所以，所以． 由于二次函数图象的对称轴为直线， 则点两点关于直线对称，所以．则． 令，解得或，所以， 所以． 故选：A 二、多选题（18分） 9. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】直接利用二倍角公式、两角和差公式计算即可. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确. 故选：CD. 10. 已知定义在上的函数的图像是连续不断的，且满足以下条件：①；② ，当时，；③.则下列选项成立的是（ ） A. 在上单调递减， B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】由①可得，为偶函数.由②可得，在上单调递增.后分析选项可得答案. 【详解】由得：在上单调递增，由，得：函数是上的偶函数. 对于A选项，因在上单调递增，且为偶函数，则在上单调递减，故A正确. 对于B，C选项，因为偶函数，则. 又上单调递增，则故B错误； ，又函数的图像是连续不断的，则有，解得故C错误； 对于D选项，由及得： ，解得或， 由得：，解得 则可化为：或，解得或，即，故D正确. 故选：AD 11. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则是锐角三角形 B. 若为锐角三角形，则 C. 若，则是直角三角形 D. 若，则是直角三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据正弦定理、余弦定理得到C为锐角，不能确定判断A；对于B，根据，结合三角函数单调性与诱导公式，判断B；对于C，根据向量数量积的运算判断C；对于D，正弦定理以及两角和公式判断D. 【详解】对于A，由正弦定理得，，所以C为锐角，但不能断定是否为锐角三角形，所以A错误； 对于B，在锐角中，由，可得，且A，． 由函数在上单调增，得，即，所以B正确； 对于C，由，得，取AB中点M， 则，即，所以是等腰三角形，所以C错误； 对于D，由，得， 所以 ， 得，因为，， 所以，，所以， 因为，所以，为直角三角形，D正确， 故选：BD. 三、填空题（15分） 12. 一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可. 【详解】两次抽取的试验的样本空间，共16个， 两次抽取的卡片数字之和大于6的事件，共3个， 所以两次抽取的卡片数字之和大于6的概率是， 则不大于6的概率为. 故答案为：. 13. 已知命题，若为假命题，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据全称命题的真假可知为真命题，由此构造函数，结合单调性求得最值，即可求得答案. 【详解】由题意知命题为假命题， 则为真命题， 设，则， 由于在R上单调递增，故在上单调递减， 则，故， 故答案为： 14. 若，，平面内一点P，满足，最大值是________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由向量的数量积定义和条件易得，利用三角形的角平分线定理可得,设，求出的取值范围，借助于余弦定理得到的解析式，由基本不等式求得的范围，由正弦函数的图象即得的最大值. 【详解】 如图，由和向量的数量积定义可得， ，即得，从而， 设，则，由，可得 由余弦定理，当且仅当时，即时，等号成立， 因，则，故. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查向量的数量积定义和余弦定理、基本不等式的综合应用,属于难题. 解题的思路在于对向量等式的理解和转化，以及三角形中角平分线定理的运用，通过余弦定理将所求角与三角形的三边联系起来，借助于基本不等式求得的范围. 四、解答题（77分） 15. （1）已知，求的值； （2）若，，且，，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先求出，对先用诱导公式化简，再进行弦化切，代入即可求解； （2）先利用平方关系求出，再利用两角差的正弦公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以，原式 ； （2）因为，，所以. 又因为，所以， 所以. 于是 . 16. 已知四棱锥中，底面是梯形，，，，，，分别是的中点．求证： （1）平面； （2）平面 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形得到线线平行，结合线面平行的判定定理得证； （2）利用线面垂直的判定定理得证. 【小问1详解】 如图，取的中点，连结，因为是的中点， 所以，， 又，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 连结，因为，是的中点，所以， 在中，，，， 所以，由条件，所以， 又是的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 17. 某乡镇为了打造“网红”城镇发展经济，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元.已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元） （1）写单株利润（元）关于施用肥料x（千克）的关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1）； （2）当施用肥料为4千克时，单株利润最大，最大利润是480元. 【解析】 【分析】（1）根据给定的函数关系，直接求出的解析式. （2）结合二次函数最值、基本不等式求最值，分段求出函数的最大值，再比较大小即可. 【小问1详解】 依题意，，又， 所以. 【小问2详解】 当时，，其图象开口向上，对称轴为， 因此在上单调递减，在上单调递增，在上的最大值为； 当时， ， 当且仅当时，即时等号成立， 而，则当时，， 所以当施用肥料为4千克时，单株利润最大，最大利润是480元. 18. 已知．且，函数的最小正周期为． （1）求函数的解析式与单调递增区间； （2）在锐角中，内角的对边分别是，点在上，且平分，求的周长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积运算以及三角恒等变换化简得的表达式，再利用三角函数的单调性可求得结果； （2）由结合（1）可求得，利用角平分线得以及余弦定理，可求得的即可. 【小问1详解】 由题可得， 因为，所以， 即， 所以， 因为的周期为， 故， 所以. 由， 故单调递增区间为：； 【小问2详解】 因为且为三角形内角， 即， 故或， 又因为三角形为锐角三角形， 故， 因为，如图所示. 所以， 即， 由余弦定理可得， 即， 代入， 可得， 解得或（舍去）， 故的周长为． 19. 定义函数“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点． （1）若向量“伴随函数”为，求在的值域； （2）若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值； （3）在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用伴随函数的定义、辅助角公式及三角函数的性质计算即可； （2）利用源向量的定义可先确定，结合正三角形的性质，平面向量数量积的运算律计算即可； （3）先根据源向量的定义确定，利用余弦定理及三角形的特征、基本不等式得，再根据平面向量数量积与模的关系化简得，根据二次函数的单调性计算取值范围即可. 【小问1详解】 根据定义可知向量的“伴随函数” ， 因为，所以，所以； 【小问2详解】 因为函数， 所以其“源向量”，显然， 即M轨迹为单位圆， 结合正三角形的性质可知，， 所以 是定值，证毕； 【小问3详解】 因为函数的“源向量”为，所以， 又， 所以， 由余弦定理可知， 所以，当且仅当时取得等号， 而其中一边可以无限接近于0，所以， 根据平面向量数量积公式知， 而 ， 由上知， 根据二次函数单调性可知， 即的取值范围 【点睛】思路点睛：第二问利用平面向量数量积的运算律结合正三角形及其内切圆的性质计算即可；第三问先利用余弦定理计算的范围，利用平面向量数量积与模长关系化简问题式，再利用二次函数性质及基本不等式计算取值范围即可 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$