精品解析：浙江省杭州市联谊学校2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

杭州联谊学校2024年5月教学质量检测 高一数学试题 一、单选题 1. 已知，则的虚部为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的有关概念直接得出结果. 【详解】因为，所以 则z的虚部为2. 故选：A 2. 设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（ ） A. 0.01 B. 0.1 C. 1 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果. 【详解】因为数据的方差是数据的方差的倍， 所以所求数据方差为 故选：C 【点睛】本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题. 3. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件及借助正方体，结合点线面的位置关系即可求解. 【详解】如图所示 对于A，设平面为平面,平面为平面,为，则，则，故A错； 对于B，设平面为平面,平面为平面,为，则，则，故B错； 对于C，过作平面与平面交于直线，，则，，可得，则，故C正确； 对于D，设平面为平面, 为， 为，则，则，故D错. 故选：C. 4. 已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将两边平方求出，然后由投影向量公式可得. 【详解】因为，， 所以，得， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 故选：C 5. 函数的最小正周期等于（ ） A. π B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简为即可求得最小正周期. 【详解】 ， 故最小最周期. 故选：A 6. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的解集求出的值和的取值范围，在代入中利用对勾函数的单调性求出它的最小值. 【详解】因为的解集为， 可知，且，是方程的两根， 由根与系数的关系知， 可得，，当且仅当时等号成立， 故， 设，，可知函数在上单调递增， 则，所以的最小值为5. 故选：C 7. 已知圆锥的轴截面为为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为，若，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】研究圆锥与内切球的轴截面，由题可得内切球半径，在轴截面中解直角三角形分别求出圆锥的高与底面半径即可. 【详解】如图所示，设内切球与相切于点，因为，所以， 由内切球的表面积为，可得球的半径， 在直角中得，则圆锥的高为， 在直角中得，即圆锥的底面半径为3， 所以该圆锥的体积． 故选：A． 8. 在中，角所对的边分别是，若，边上的高为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理可求得，再由等面积关系可得，利用余弦定理结合基本不等式得出，即可求得，再结合的范围即可得出结论. 【详解】， 由余弦定理可得，整理可得， 又AC边上的高为，所以，即， ，当且仅当取等号， ，即，即， ，则， ，故∠ABC的最大值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查余弦定理的应用，解题的关键是等面积关系得，由基本不等式得. 二、多选题 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 复数对应的点在第二象限 B. 若为虚数单位，则 C. 在复数集中，方程的两个解分别为和 D. 复平面内满足条件的复数z所对应的点Z的集合是以点为圆心，2为半径的圆 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数的定义可判断A；根据的性质可判断B；根据复数方程的根可判断C；根据复数的几何意义可判断D. 【详解】对于A，复数对应的点为，在第四象限，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，， 所以在复数集中，方程有两个解，分别为和，故C正确； 对于D，复平面内满足条件的复数对应的点的集合是以点为圆心，2为半径的圆面，故D错误. 故选：BC 10. 在中，分别为的对边，则下列叙述正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形． B. 若为锐角三角形且外心为且，则． C. 若，则解此三角形的结果有一解． D. “为锐角三角形”是“”的充分不必要条件． 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，由正弦定理得，得到，可得判定A正确；化简得到，得到B，P，D三点共线，可判定B项正确；由正弦定理，求得三角形的结果有两解，可判定C错误；由为锐角三角形，得到，结合正弦函数的单调性和充分、必要条件的判定，可判定D正确． 【详解】对于A中，因为， 由正弦定理得，即， 因为 ，可得，所以， 由正弦定理得 ，所以是等腰三角形，所以A项正确； 对于B中，由，可得， 则，即， 如图所示，设为的中点，则，故，故B，P，D三点共线， 因为P是的外心，所以BD垂直平分AC，所以，所以B项正确； 对于C中，若，因为，所以， 因为 ，所以，而，所以或， 所以解此三角形的结果有两解，所以C项错误； 对于D中，若为锐角三角形，则，可得， 可得，且 在内单调递增， 则，即充分性应立； 若，例如符合题意，但为直角三角形，即必要性不成立； 综上所述：“为锐角三角形”是“”的充分不必要条件，所以D项正确． 故选：ABD． 11. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动时，下列命题正确的是（ ） A. 三棱锥A−D1PC的体积不变 B. 直线CP与直线AD1的所成角的取值范围为 C. 直线AP与平面ACD1所成角的大小不变 D. 二面角P−AD1−C的大小不变 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，由已知可得平面，可得BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，由此可判断； 对于选项B，由，可得直线CP与直线AD1的所成角即为直线CP与直线BC1的所成角，由此可判断； 对于选项C，点P在直线BC1上运动时，直线AB与平面AD1C所成的角和直线AC1与平面AD1C所成的角不相等，可判断； 对于选项D，当点P在直线BC1上运动时，平面BAD1C1,即二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影响，故D正确. 【详解】对于选项A，因为，面，面，所以平面， 所以BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，又，所以三棱锥A﹣D1PC的体积不变，故A正确； 对于选项B，因为，点P在直线BC1上运动，所以直线CP与直线AD1的所成角即为直线CP与直线BC1的所成角，因为为等腰直角三角形，故B项正确； 对于选项C，点P在直线BC1上运动时，直线AB与平面AD1C所成的角和直线AC1与平面AD1C所成的角不相等，故C错误； 对于选项D，当点P在直线BC1上运动时，平面BAD1C1,即二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影响，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. 若，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据指数与对数的互化可得，结合对数的换底公式和运算性质即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：1. 13. 从某果树上随机摘下11个水果，其直径为（单位：，则这组数据的第六十百分位数为__________. 【答案】20 【解析】 【分析】由百分位数的定义求解即可. 【详解】第六十百分位数的位置为，即取第7位数20， 故第六十百分位数为20. 故答案为：20. 14. 已知函数()在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】因为，可得，根据函数在区间上有且仅有一个零点，得到，且，可得，验证，，即可求解. 【详解】由题意，函数（），可得函数的周期为， 因为，可得 又由函数()在区间上有且仅有一个零点， 且满足，且，可得， 即，且， 当时，，解得，所以； 当时，，解得，所以； 当时，，解得，此时解集为空集， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 15. 在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，， ， ， ，60分以下视为不及格.观察图形中的信息，回答下列问题： （1）求分数 内的频率，并计算本次竞赛中不及格考生的人数； （2）从频率分布直方图中，分别估计本次竞赛成绩的众数和中位数. 【答案】（1）分数 内的频率为，不及格考生的人数为：（人） （2）众数为75分，中位数为分 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1，可求分数在内的频率；用“样本容量频率”可得不及格考生的人数； （2）用频率最大的区间的中间数据估计众数，根据中位数的概念求中位数. 【小问1详解】 由频率分布直方图得：， 解得，所以分数内的频率为. 本次竞赛中不及格考生的人数为：（人）. 【小问2详解】 由题意得：因为成绩在的频率最大，又，所以众数为75分； 设中位数为，则，解得，所以中位数为分. 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且 ，点E为线段PD的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求三棱锥 的体积 【答案】（1） 连结，交于点O， 如图示： ∵O是正方形对角线交点，∴O为中点， 由已知E为线段的中点，∵ ， 又平面，平面， ∴平面； （2） ∵ ，E为线段的中点， ∵平面，∴， 在正方形中，， ∴平面，又平面， ∴ ，又 且两直线在平面内， ∴平面； （3） 【解析】 【分析】（1）连结，交于点O，连结，可得 ，再由线面平行的判定可得平面； （2）由 ，E为线段PD的中点，得 ，再由平面，得，由线面垂直的判定可得平面； （3）借助等体积法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 三棱锥 的体积 . 17. 已知 ，如图，在中，点满足在线段BC上且，点是AD与MN的交点，. （1）分别用来表示和 （2）求 的最小值 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）平面向量基本定理的运用，根据已知条件，结合向量的线性运算即可求解. （2）根据已知条件，结合三点共线性质和基本不等式中“1”的妙用即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为， 所以. 【小问2详解】 由（1）， 因为， ， 所以， 因为三点共线， 所以， ， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故 的最小值为. 18. 在中，对应的边分别为，已知向量,且为边上一点，,且 . （1）求； （2）求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得，从而计算； （2）由题意，两边平方结合基本不等式可得，利用面积公式即可求. 【小问1详解】 因为，且， 所以， 利用二倍角公式和边化角可得：， 即， 所以， 因为 ， 所以， 又因为，所以，所以，即. 【小问2详解】 因为 ， 所以， 两边平方得：， 所以，当且仅当 时取等号. 由，可得：， 所以. 所以面积的最大值为. 19. 如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面 底面 是棱的中点，. （1）证明： 平面； （2）若二面角 为，求异面直线与所成角的正切值. 【答案】（1）证明：在四棱锥中，由底面为矩形，得， 由侧面 底面，侧面 底面 平面， 得平面，又 平面，则 ， 又侧面是正三角形，是的中点，则 ， 又 平面，所以 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质，线面垂直的性质 判定推理即得. （2）作出二面角 的平面角，由此求出，再利用异面直线所成角的定义求出其正切值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图， 在平面内，过点作 ，垂足为，显然， 由侧面 底面，交线为，得 底面，底面， 则 ，过作 ，垂足为，连接，显然 ， 平面 ，则平面 ，而平面 ，因此 ， 则 即为二面角 的平面角，其大小为， 在 中，，则， 由 ，得四边形 为平行四边形，则， 由，得 （或其补角）为异面直线与所成角， 由（1）知平面，则为直角三角形，， 所以异面直线与所成角的正切值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州联谊学校2024年5月教学质量检测 高一数学试题 一、单选题 1. 已知，则的虚部为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 2. 设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（ ） A. 0.01 B. 0.1 C. 1 D. 10 3. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的最小正周期等于（ ） A. π B. C. D. 6. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 8 7. 已知圆锥的轴截面为为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为，若，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 在 中，角所对的边分别是，若，边上的高为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 复数对应的点在第二象限 B. 若为虚数单位，则 C. 在复数集中，方程的两个解分别为和 D. 复平面内满足条件的复数z所对应的点Z的集合是以点为圆心，2为半径的圆 10. 在 中，分别为的对边，则下列叙述正确的是（ ） A. 若，则 是等腰三角形． B. 若 为锐角三角形且外心为且，则． C. 若，则解此三角形的结果有一解． D. “ 为锐角三角形”是“”的充分不必要条件． 11. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动时，下列命题正确的是（ ） A. 三棱锥A−D1PC的体积不变 B. 直线CP与直线AD1的所成角的取值范围为 C. 直线AP与平面ACD1所成角的大小不变 D. 二面角P−AD1−C的大小不变 三、填空题 12. 若，则__________. 13. 从某果树上随机摘下11个水果，其直径为（单位：，则这组数据的第六十百分位数为__________. 14. 已知函数()在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为______. 15. 在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，， ， ， ，60分以下视为不及格.观察图形中的信息，回答下列问题： （1）求分数 内的频率，并计算本次竞赛中不及格考生的人数； （2）从频率分布直方图中，分别估计本次竞赛成绩的众数和中位数. 16. 如图，在四棱锥中，底面 是正方形，平面 ，且 ，点E为线段PD的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求三棱锥 的体积 17. 已知 ，如图，在 中，点满足在线段BC上且，点是AD与MN的交点，. （1）分别用来表示和 （2）求 的最小值 18. 在 中，对应的边分别为，已知向量,且为边上一点，,且 . （1）求； （2）求 面积的最大值. 19. 如图，在四棱锥中，已知底面 为矩形，侧面是正三角形，侧面 底面 是棱的中点， . （1）证明： 平面； （2）若二面角 为，求异面直线 与所成角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $