三角函数及解三角形 专题十二讲义-2025届高三数学一轮复习

高中数学 人教A版数学--三角函数及解三角形专题十二 知识点一 三角恒等变换的化简问题,正弦定理边角互化的应用,余弦定理边角互化的应用 典例1、在△中，内角对应的边分别为，请在①； ②；③这三个条件中任选一个，完成下列问题： （1）求角的大小； （2）已知，，设为边上一点，且为角的平分线，求△的面积. 拓展练习：设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有 （1）求角的大小； （2）从下列条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使唯一确定，并求的面积．条件①：边上的高为； 条件②：，； 条件③：，． 典例2、在中，已知角所对的边分别为，，向量，，且． （1）求角的大小； （2）当取得最大值时，求角的大小和的面积． 拓展练习：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，． （1）求角C； （2）已知边上的点P满足，求线段的长度取最大值时的面积． 典例3、已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且， （1）求角A的大小：（2）若，求△ABC的面积． 拓展练习：在中，内角所对边分别为，且 （1）求角的大小（2）若，，求的面积． 知识点二 正弦定理边角互化的应用,三角形面积公式及其应用,求三角形中的边长或周长的最值或范围 典例4、在中，内角，，的对边分别为，，，且 请在①，②，③这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，然后解答问题（1）已知______，计算的面积；（2）当时，求的周长的最大值. 注：如选择多种搭配方式分别解答，按第一个解答计分. 拓展练习：在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答． 在中，的面积为，角A，B，C的对边分别为a，b，c且选条件：_____________． （1）求； （2）作，使得四边形满足，求的取值范围． 典例5、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，点D在线段AC上，且，，. （1）求角B的大小； （2）求的面积. 拓展练习：在中，角所对的边分别为，且，的 中线长为． （1）证明：；（2）求的面积最大值． 典例6、在①，②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题. 在中，内角所对的边分别是，且__________. （1）求角； （2）若点满足，且线段，求的最大值. 拓展练习：请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答． ①； ②； ③．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 ． （1）求角C； （2）若，求△ABC周长的取值范围． 人教A版数学--三角函数及解三角形专题十二答案 典例1、答案： （1）； （2）. 解：（1）选①，因为， 所以，得， 即， 由正弦定理得：， 因为，所以()，所以． 选②，因为，所以，() 得， 即， ， 所以()，所以． 选③，因为，所以， ， ， ，， ，即， 因为，所以，所以． （2）在△中，由余弦定理，则，那么； 由角平分线定理,则, 那么. 拓展练习：答案： （1） （2）答案见解析. 解：（1）由题，因. 则，因A为三角形内角，所以A. （2）若选择①，设边上的高为， 则，得.因题目条件不足，故无法唯一确定. 若选择②，由正弦定理及（1）， 有.因， 又题目条件不足，故无法判断B为钝角还是锐角，则无法唯一确定. 若选择③，由正弦定理，及， 则.又由余弦定理及（1）， 有， 得，. 此时唯一确定，. 综上选择③时，唯一确定，此时的面积为 典例2、答案： （1） （2）； 解：（1）， ，，， ，. ， ，， 当，即时，取得最大值； 在中，由正弦定理得：； ， 拓展练习：答案： （1） （2） 解：（1）由，得， 即 由正弦定理得：， 因为，，所以． 因为，所以． 在中，由正弦定理得：． 所以． 由及，可得，在中， 由余弦定理可得： ． ． 所以，当且仅当即时，取最大值. 所以，取最大值时，，，， ， 典例3、答案：（1） （2） 解：（1）根据题意，得 由正弦定理可得，即 得， 又，所以，所以，所以. （2）由，得，又， 由余弦定理可得解得，， 所以. 拓展练习：答案：（1） （2）或 解：（1）由正弦定理以及 可得，， 又因为在中， 即，整理得； 又，所以，又，可得； 即角的大小为. （2）由余弦定理及可得，， 整理得， 解得或； 当时，的面积为； 当时，的面积为； 综上可知，的面积为或 典例4、答案： （1）答案见解析 （2）15 解：（1）因为， 由正弦定理可得， 即 所以， 即 又，所以，而，故， 若选①，②，则由余弦定理， 得，解得 所以的面积为 若②选，③，则是等边三角形，所以， 所以的面积为 若选①，③，则是等边三角形，所以 所以的面积为 （2）由基本不等式，可得. 由余弦定理得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 即的周长的最大值为. 拓展练习：答案： （1）条件选择见解析，； （2）. 解：（1）若选①：由，根据正弦定理可得， 即， 即， 可得，因为，所以； 选②：由，根据正弦定理可得， 可得，即， 又由余弦定理，可得， 因为，所以， 若选③：由，可得， 即，可得，因为，所以； （2）设，则， 在中，由正弦定理得， 可得． 在中，由正弦定理得， 可得 ， 因为，所以可得， 当时，即，可得， 当时，即，可得， 所以的取值范围是． 典例5、答案：（1） （2） 解：（1）根据， 由正弦定理得， ∴，又∴， 即，又 ∴，∴. （2）设，由得，即， 两边平方得，即， 可得.所以. 故的面积. 拓展练习：答案：（1） （2） 解：（1）证明：左边， ∴，又， ∴ （2）法一：（角化边）如图，设为中点，设，， 因为，所以， 所以，在中，由余弦定理得：， 所以， 所以，， 所以，当，即时，有最大值， 所以， 的面积最大值为. 法二：（边化角） 由，，过点作，垂足为， 所以， 所以，，即， 又因为，即， 所以， 所以 所以的面积， 当且仅当时，等号成立， 所以，的面积最大值为. 典例6、答案： （1）. （2）6. 解：（1）选①，由 及正弦定理可得: , 所以， ， 因为 ，所以 ，则, 所以 故； 选②，由 及正弦定理可得 ， 所以，， ∵ ，所以 ，则. 如图： （2）点满足，则,故， 又，故， 即，即， 又 ，所以，当其仅当时取等号， 即 ，故，即得最大值为6. 拓展练习：答案： （1） （2）． 解：（1）选①，由得：， 即， 所以， 因为， 故角； 选②，由 得：， ， 所以， 因为，， 所以， 解得：； 选③，因为， 又因为， 所以， ∴， ∵， ∴， ∴， 因为， 所以． （2）根据（1）可知：， 又因为， 由余弦定理得：， 所以， 即，当且仅当时取得等号， 又因为根据三角形的三边关系有： 所以， 所以△ABC周长的取值范围为． ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$