三角函数及解三角形 专题十一讲义-2025届高三数学一轮复习

高中数学 人教A版数学-三角函数及解三角形专题十一 知识点一 用和、差角的正弦公式化简、求值,辅助角公式,正弦定理边角互化的应用, 三角形面积公式及其应用 典例1、已知的内角所对的边分别为，记的面积为，且满足． （1）求角； （2）若，且，求． 拓展练习：在中，角所对的边分别为，其中， 已知. （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值. 典例2、在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且； （1）求的值； （2）若，当取得最大值时，求的面积． 拓展练习：在中，角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）求取值范围； （3）如图所示，当取得最大值时，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，，求面积的最大值． 典例3、在△中，内角对应的边分别为，请在①； ②；③这三个条件中任选一个，完成下列问题： （1）求角的大小； （2）已知，，设为边上一点，且为角的平分线，求△的面积. 拓展练习：设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有 （1）求角的大小； （2）从下列条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使唯一确定，并求的面积．条件①：边上的高为； 条件②：，； 条件③：，． 知识点二 正弦定理解三角形,正弦定理边角互化的应用,三角形面积公式及其应用, 余弦定理解三角形 典例4、在①，其中为角的平分线的长（与交于点），② ，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.在中，内角，，的对边分别为，，，______. （1）求角的大小；（2）若，，为的重心，求的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 拓展练习：在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若，D为AC边上的一点，，且______，求的面积． ①BD是的平分线；②D为线段AC的中点．（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）． 典例5、在①，②③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答. 在中，角所对的边分别为，且 . （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 拓展练习：已知的内角的对边分别为,且. （1）求的值;（2）给出以下三个条件:条件①:;条件②:,;条件③:.这三个条件中仅有两个正确,请选出正确的条件并回答下面的问题:（i）求的值; （ii）求的角平分线的长. 典例6、在中，角所对的边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若角的平分线交于且，求的最小值. 拓展练习：在锐角中，内角的对边分别为，且满足： （1）求角的大小； （2）若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围． 人教A版数学--三角函数及解三角形专题十一答案 典例1、答案： （1） （2） 解：（1）由余弦定理可得，， 所以， 所以，所以． （2） ， 所以． ， 所以，所以， 由正弦定理可得，， 所以， 所以． 拓展练习：答案： （1） （2） 解：（1）方法一：由 根据正弦定理边化角得：， 即， 所以， 因为，所以， 又，所以， 又，所以. 方法二：由根据余弦定理： 得， 即， 因为，所以， 所以，又，得. （2）方法一：由（1）及余弦定理知， 所以， 因为， 所以，化简得， 因为， 所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以的面积， 所以面积的最大值为. 方法二：由（1）及余弦定理知， 所以. 因为， 所以，化简得， 即，所以的面积， 当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为， 典例2、答案： （1） （2） 解：（1）由， 因为，可得， 所以， 整理得，即， 所以． （2）由，知， 又由 因为，所以， 当且仅当时取等号，此时， 因为，故，所以． 拓展练习：答案： （1） （2） （3） 解：（1）因为， 所以在中，由余弦定理得， 又，所以； （2）由（1）得，，得， 所以 由，所以， 所以的取值范围是； （3）当取得最大值时，，解得； 令，，， 则，∴； 又， ∴， ∴． ∴， 当时等号成立； ∴面积的最大值为． 典例3、答案： （1）； （2）. 解：（1）选①，因为， 所以，得， 即， 由正弦定理得：， 因为，所以()，所以． 选②，因为，所以，() 得， 即， ， 所以()，所以． 选③，因为，所以， ， ， ，， ，即， 因为，所以，所以． （2）在△中，由余弦定理，则，那么； 由角平分线定理,则, 那么. 拓展练习：答案： （1） （2）答案见解析. 解：（1）由题，因. 则，因A为三角形内角，所以A. （2）若选择①，设边上的高为， 则，得.因题目条件不足，故无法唯一确定. 若选择②，由正弦定理及（1）， 有.因， 又题目条件不足，故无法判断B为钝角还是锐角，则无法唯一确定. 若选择③，由正弦定理，及， 则.又由余弦定理及（1）， 有， 得，. 此时唯一确定，. 综上选择③时，唯一确定，此时的面积为 典例4、答案：（1）；（2）. 解:（1）方案一：选条件①. 由题意可得，∴. ∵为的平分线，， ，即 又，∴，即， ∵，∴， ∴，∴. 方案二：选条件②. 由已知结合正弦定理得， 由余弦定理得， ∵，∴. 方案三：选条件③. 由正弦定理得，， 又，∴， ∴， ∴， 易知， ∴，∵，∴. （2）在中，由余弦定理可得，， ∴，∴. 延长交于点， ∵为的重心，∴为的中点，且. 在中，由余弦定理可得，， ∴，∴. 拓展练习：答案： （1） （2） 解：（1）由正弦定理知： 又： 代入上式可得： ，则 故有： 又，则 故的大小为： （2）若选①： 由BD平分得： 则有：，即 在中，由余弦定理可得： 又，则有： 联立 可得： 解得：（舍去） 故 若选②： 可得：， ，可得： 在中，由余弦定理可得：，即 联立 解得： 故 典例5、答案： （1）条件选择见解析， （2） 解：（1）选择条件①，由 及正弦定理， 可得 ，即 ， 由余弦定理， 得 ， 因为 ， 所以 . 选择条件②，由 及正弦定理， 可得 ， 即 ，即 . 在 中， ，所以 ， 即 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ，因为 ， 所以 . 若选条件③， ， 则 ， 由 ， 有 ，由，所以 ， 因为 ， 所以 ，所以 . （2）由正弦定理得 ，所以 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 若 ， 由余弦定理得 ， 即 ， 所以 ，因为 ， 所以 ， 所以 的面积为 . 拓展练习：答案： （1） （2）①③正确,（i）;（ii） 解:（1）由题意知 , 即 ,, 故; （2）由（1）得, ,故条件②不成立,即条件①③正确, 在中,由余弦定理可得: , 即, 对于条件①:, 与上式结合可得, 对于条件③:, 故,所以, 将代入可得: , （i）在中,由正弦定理可得: , 即, , （ii）是的角平分线, , , ,, 在中,由余弦定理可得： , 故. 综上:条件①③正确, ,. 典例6、答案： （1） （2） 解：（1），即，即. 由正弦定理得， ，，故. ，，故，又，故，故； （2），设，， 根据向量的平行四边形法则：， 即， ，又， 故， 当且仅当时等号成立，故的最小值为. 拓展练习：答案： （1） （2） 解：（1）因为 所以，即 所以， 所以，即， 因为在锐角中，， 所以，即， 因为， 所以，解得 所以 （2）因为，角与角的内角平分线相交于点， 所以， 所以 所以， 设，则， 因为为锐角三角形， 所，解得 所以，在中，由正弦定理 得 所以，面积 因为，所以， 所以， 所以， 所以，面积的取值范围是. ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$