10.1.1 有限样本空间与随机事件 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第十章 概 率 10.1 随机事件与概率 10.1.1 有限样本空间与随机事件 章前导读 通过上一章的学习可知，许多实际问题都可以用数据分析的方法解决，即通过随机抽样收集数据，在选择适当的统计图表描述和表达数据，并从样本数据中提取需要的信息，估计总体的统计规律，进而解决相应的问题。 从中可以看到，用样本推断总体，当样本量较小时，每次得到的结果不同；但如果有足够多的数据时，就能从中发现一些规律。 例如：你每天记录从家里到学校的时间（精确到分）不可预知；如果你记录一周，你会发现每天所用的时间各不相同；但你记录一个月、一个学期甚至更多，此时你通过数据分析就可以发现，所用的时间具有相对的稳定分布规律。 又如：从装有一些装有白球、红球的袋子中随机抽取一个，事先不能确定它的颜色；有放回的重复摸取多次，记录每次摸到球的颜色，从记录的数据中就可以发现一些规律，例如红球与白球的大概比例，进而就能知道每次摸到红球、白球的可能性大概是多少。 这类现象的共性是：就一次观测而言，出现哪种结果具有偶然性，但在大量的重复观测下，各个结果出现的频率缺具有稳定性。这类现象叫做随机现象，它是概率论的研究对象。 章前导读 概率论是研究随机现象数量规律的数学分支. 概率是对随机事件发生可能性大小的度量，它已渗透到我们的日常生活中，成为一个常用词汇. 本章我们将在初中的基础上，结合具体实例，继续研究刻画随机事件的方法；通过古典概型中随机事件概率的计算，加深对随机现象的认识和理解；通过构建概率模型解决实际问题，提高用概率的方法解决问题的能力. 在初中，我们已经初步了解了随机事件的概念，并学习了在试验结果等可能的情形下求简单随机事件的概率，本节我们将进一步研究随机事件及其概率的计算，探究随机事件概率的性质. 一 二 三 学习目标 结合实例，理解样本点和有限样本的含义； 理解随机事件与样本点之间的关系 会写出实验结果及有限随机试验的样本空间 能利用样本点概念解释事件可能结果的意义以及所包含基本事件的个数 学习目标 新课导入 研究某种随机现象的规律，首先要观察它所有可能的基本结果. （1）将一枚硬币抛掷2次，观察正面、反面出现的情况； （2）从你所在的班级随机选择10名学生，观察近视的人数； （3）在一批灯管中任意抽取一只，测试它的寿命； （4）从一批发芽的水稻种子中随机选取一些，观察分蘖数； （5）记录某地区七月份的降水量. 例如： 随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示. 我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： (1)试验可以在相同条件下重复进行； (2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. 可重复性 可预知性 随机性 新知探究 问题1 体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同分别标号0、1、2、 …、9的球放入摇奖器中,经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码. 这个随机试验共有多少个可能结果？如何表示这些结果？ 样本点 样本空间 有限样本空间 概念生成 有限样本空间 随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，用ω表示. 所有样本点的集合称为试验E的样本空间，用Ω表示. 若一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω={ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间. 我们还可以从集合论的角度理解随机试验结果与样本空间的关系 … Ω 样本点 样本空间 典例解析 例1 投掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间. 解：因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果， 所以试验的样本空间可以表示为： Ω＝{正面朝上，反面朝上}. Ω={h，t}，其中，h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上” Ω={1，0}，其中，1表示“正面朝上”，0表示“反面朝上” 或者： 样本空间的表达形式不唯一，样本点可用数字、字母、文字或者坐标表示，但是运用其他形式时要做说明 典例解析 例2 投掷一枚骰(tóu)子，观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间. 解：因为落地时朝上面的点数有1, 2, 3, 4, 5, 6共6个可能的基本结果， 实际问题数学化 用i表示“朝上的面的点数为 i ” 所以试验的样本空间可以表示为 Ω＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}. 典例解析 例3 抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间. 解法2：用1表示硬币“正面朝上”， 用0表示硬币“反面朝上”， 样本空间则可简单表示为 Ω={(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}． Ω={(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)}. 解法1： 第一枚硬币可能的基本结果用x表示，第二枚硬币可能的基本结果用y表示，那么试验的样本点可用(x, y)表示. 样本空间则可表示为 0 1 第一枚 第二枚 1 1 0 0 对于只有两个可能结果的随机试验，一般用1和0表示这两个结果. 找样本点的方法有：列举法、列表法、树状图法。 写出下列各随机试验的样本空间： (1) 采用抽签的方式，随机选择一名同学，并记录其性别； (2) 采用抽签的方式，随机选择一 名同学，观察其ABO血型； (3) 随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别； (4) 射击靶3次，观察各次射击中靶或脱靶情况； (5) 射击靶3次，观察中靶的次数. 解： (1) 样本空间Ω＝{男, 女}. (2) 样本空间Ω＝{A, B, O, AB}. (3) 样本空间Ω＝{(男, 男), (男, 女), (女, 女), (女, 男)}. (4) 用1表示“中靶”，用0表示“脱靶”，则样本空间为 Ω＝{(1,1,1), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (0,0,0)}. (5) 样本空间Ω＝{0,1,2,3}. 巩固练习 课本P231 新知探究 问题2 在上面体育彩票摇号试验中, 摇出“球的号码为奇数”是随机事件吗? 摇出“球的号码为3的倍数”是否也是随机事件? 如果用集合的形式来表示它们，那么这些集合与样本空间有什么关系? 样本空间：Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} “球的号码为奇数”和“球的号码为3的倍数”都是随机事件. 用A表示随机事件“球的号码为奇数”， 则A={1,3,5,7,9} 用B表示随机事件“球的号码为3的倍数”，则B={0,3,6,9} 事件A发生，当且仅当摇出的号码为1, 3, 5, 7, 9之一， 即事件A发生等价于摇出的号码属于集合{1, 3, 5, 7, 9}. A，B都是Ω的子集 概念生成 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示. 随机事件(事件)：样本空间Ω的子集. 基本事件：只包含一个样本点的事件. 随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示. 事件A发生：当且仅当A中某个样本点出现. 必然事件：在每次试验中总有一个样本点发生. Ω为必然事件. 不可能事件：在每次试验中都不会发生. 为不可能事件. 随机事件的相关概念 必然事件与不可能事件不具有随机性. 为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形. 这样，每个事件都是样本空间Ω的一个子集. 概念辨析 （1）某地1月1日刮西北风； （2）当x是实数时，x2＋1≥1； （3）手电筒的电池没电，灯泡发亮； （4）一个电影院某天的上座率超过50%. （5）如果a＞b，那么a- b＞0； （6）从分别标有数字l,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签; （7）某电话机在1分钟内收到2次呼叫； （8）随机选取一个实数x，得|x|<0. 随机事件 必然事件 不可能事件 随机事件 必然事件 随机事件 随机事件 不可能事件 指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件. 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。 必然事件：在一定条件下必然发生的事件。 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。 典例解析 例4 如右图，一个电路中有A, B, C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效. 把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常. (1) 写出试验的样本空间； (2) 用集合表示下列事件： M＝“恰好两个元件正常”； N＝“电路是通路”；T＝“电路是断路”. A C B 典例解析 (1) 写出试验的样本空间； 解：(1)分别用x1, x2和x3表示元件A, B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用 (x1, x2, x3)表示. 进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态. A C B 0 1 元件A 0 1 0 1 元件B 0 1 0 1 0 1 0 1 元件C 可能结果 可借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果，如下图. 000 001 010 011 100 101 110 111 Ω＝{(0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0), (1, 0,1), (0,1,1), (1,1,1)}. 则样本空间为 典例解析 (2) 用集合表示下列事件： M＝“恰好两个元件正常”； N＝“电路是通路”；T＝“电路是断路”. A C B Ω＝{(0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0), (1, 0,1), (0,1,1), (1,1,1)}. 解：“恰好两个元件正常”等价于(x1, x2, x3) ∈Ω，且x1, x2, x3中恰有两个为1， ∴M={(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)}； “电路是通路”等价于(x1, x2, x3) ∈Ω ，x1=1，且x2, x3中至少有一个是1， ∴N={(1,1,0)，(1,0,1)，(1,1,1)} “电路是断路”等价于(x1, x2, x3) ∈Ω，x1=0，或x1=1, x2=x3=0． ∴T={(0,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(0,1,1)，(1,0,0)}． 巩固练习 课本P231 2. 如图，由A, B两个元件分别组成串联电路(图(1) )和并联电路(图(2) )，观察两个元件正常或失效的情况. (1) 写出试验的样本空间; (2) 对串联电路，写出事件M=“电路是通路”包含的样本点; (3) 对并联电路，写出事件N=“电路是断路”包含的样本点. A B (1) B A (2) 解：(1)分别用x1, x2表示元件A, B的可能状态，则这个电路的工作状态可用(x1, x2)表示. 进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，则样本空间为 Ω={(1,1), (1,0), (0,1), (0,0)}. (2) 事件M=“电路是通路”包含的样本点为(1,1). (3) 事件N=“电路是断路”包含的样本点为(0,0). 巩固练习 课本P231 3. 袋子中有9个大小和质地相同的球，标号为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 从中随机摸出一个球. (1) 写出试验的样本空间; (2) 用集合表示事件A=“摸到球的号码小于5”，事件B=“摸到球的号码大于4”，事件C=“摸到球的号码是偶数”. 解：(1) 样本空间为Ω={ 1,2,3,4,5,6,7,8,9}. (2) 事件A用集合表示为{1,2,3,4}； 事件B用集合表示为{5,6,7,8,9}； 事件C用集合表示为{2,4,6,8}. 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 1. 样本空间有关概念： (2) 样本点与样本空间. 2. 随机事件有关概念： (1) 基本事件: 只包含一个样本点的事件. 随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示. (3) 事件A发生： 当且仅当A中某个样本点出现. (4) 必然事件： 在每次试验中总有一个样本点发生. (5) 不可能事件： 在每次试验中都不会发生. (2) 随机事件(简称事件)： 样本空间Ω的子集. (1) 随机试验的概念及其特点； $$