精品解析：河北省邢台市第一中学2023-2024学年高一下学期第三次月考(5月月考)数学试题

邢台一中2023-2024学年第二学期第三次月考 高一年级数学试题 考试范围：平面向量及其应用、复数、立体几何初步、统计（第一节） 命题人：吕军朝 一审：李振生 二审：胡巧云 说明：1．本试卷共4页，满分150分. 2．请将所有填写在答题卡上，答在试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z满足，则z在复平面中对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 如图所示，在中，，则（ ） A. B. C. D. 3. 为了了解高一年级学生的视力情况，特别是近视率问题，抽查了其中100名同学的视力情况.在这个过程中，100名同学的视力情况（数据）是（　　） A. 总体 B. 个体 C. 总体的一个样本 D. 样本容量 4. 某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点（ ） A. 最多有1651名学生 B. 最多有1649名学生 C. 最少有618名学生 D. 最少有617名学生 5. 已知正四面体，M为AB中点，则直线CM与直线BD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 设，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，给出四个命题： ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，则 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.如图，在重檐四角攒尖中，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的倍，则侧面与底面所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 平行四边形ABCD中，，将三角形ABD沿着BD翻折至三角形，则下列直线中有可能与直线垂直的是（ ） ①直线；②直线；③直线；④直线. A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④ 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若直线与平面不平行，则l与相交 B. 直线在平面外，则直线上不可能有两个点在平面内 C. 如果直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面平行 D. 如果是异面直线，，，则，是异面直线 10. 已知复数，下列结论正确的有（ ） A. B. 若，则 C. D. 11. 如图，正三棱柱的各棱长均为1，点是棱的中点，点满足，点为的中点，点是棱上靠近点的四等分点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 的最小值为 C. 平面 D. 当时，过点的平面截正三棱柱所得图形的面积为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 如图是正方体平面展开图，在这个正方体中∶（1）BM//ED；（2）CN和BE是异面直线；（3）CN和BM成60°角；（4）DM⊥BN；以上四个命中正确的序号是____________； 13. 要考查某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第2行第2列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子依次是________． （下面抽取了随机数表第1行至第3行） 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 14. 根据祖暅原理，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．如图1所示，一个容器是半径为R的半球，另一个容器是底面半径和高均为R的圆柱内嵌一个底面半径和高均为R的圆锥，这两个容器的容积相等．若将这两容器置于同一平面，注入等体积的水，则其水面高度也相同．如图2，一个圆柱形容器的底面半径为，高为，里面注入高为的水，将一个半径为的实心球缓慢放入容器内，当球沉到容器底端时，水面的高度为______．（注：） 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某化工厂三个车间男､女工人数如下表： 第一车间 第二车间 第三车间 女工人数 150 100 男工人数 200 若按车间人数用分层抽样的方法抽取100名工人，则应在第一车间抽取35名工人，在第二车间抽取25名工人. （1）求这三个车间的工人总数及的值； （2）若按工人性别用分层抽样的方法在第三车间抽取8名工人，则其中有5名女工.求该化工厂这三个车间女工与男工的人数比. 16. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是，中点，过，，三点的平面与正方体的下底面相交于直线. （1）画出直线的位置，并说明作图依据； （2）正方体被平面截成两部分，求较小部分几何体的体积. 17. 如图，四边形是边长为4的菱形，平面将菱形沿对角线折起，使得点到达点的位置，且平面平面． （1）求证：平面； （2）若，求多面体体积． 18. 如图，在四棱柱中，是边长为2的菱形，且，侧面底面为中点. （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥的体积. 19. 如图，在直三棱柱中，M，N，P分别为的中点． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，在上是否存在一点E，使得与BP垂直？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邢台一中2023-2024学年第二学期第三次月考 高一年级数学试题 考试范围：平面向量及其应用、复数、立体几何初步、统计（第一节） 命题人：吕军朝 一审：李振生 二审：胡巧云 说明：1．本试卷共4页，满分150分. 2．请将所有填写在答题卡上，答在试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z满足，则z在复平面中对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】设，代入条件根据复数相等求出，进而可得z在复平面中对应的点所在象限. 【详解】设， 则由得， 整理得， 所以，解得， 所以在复平面中对应的点为，在第四象限. 故选：D. 2. 如图所示，在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】根据向量的线性运算法则，可得： . 故选：A. 3. 为了了解高一年级学生的视力情况，特别是近视率问题，抽查了其中100名同学的视力情况.在这个过程中，100名同学的视力情况（数据）是（　　） A. 总体 B. 个体 C. 总体的一个样本 D. 样本容量 【答案】C 【解析】 【分析】根据总体，个体，样本和样本容量的定义进行求解. 【详解】100名同学的视力情况（数据）是从总体中抽取的一部分个体所组成的集合， 所以是总体的一个样本. 故选：C 4. 某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点（ ） A. 最多有1651名学生 B. 最多有1649名学生 C. 最少有618名学生 D. 最少有617名学生 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出最多和最少的人数即可. 【详解】, ，即研学人数最多的地点最少有617名学生， ，即研学人数最多的地点最多有名学生. 故选：D 5. 已知正四面体，M为AB中点，则直线CM与直线BD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设正四面体的棱长为，取的中点，连接、，利用几何法求解作答. 【详解】如图，设正四面体的棱长为，取的中点，连接、， 因为、分别为、的中点，则且， 因此或其补角为直线与直线所成的角， 因为为等边三角形，为的中点，则，且， 同理，在等腰中，， 所以直线CM与直线BD所成角的余弦值为. 故选：B 6. 设，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，给出四个命题： ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，则 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面位置关系的判定定理、性质定理，以及推论，逐项判定，即可求解. 【详解】，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线， 若，，则，，相交或异面，故①不正确； 若，，则，故②正确； 若，，则，故③正确； 若，，则或，故④不正确； 正确命题的个数是. 故选：. 7. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.如图，在重檐四角攒尖中，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的倍，则侧面与底面所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出正四棱锥侧面与底面所成角的平面角，利用侧面积和底面积之间的关系即可求得平面角的余弦值，即得答案. 【详解】如图，设正四棱锥为，连接AC，BD交于点O，连接PO，则底面， 作于E，连接， 底面，则, 而平面，故平面， 平面，故， 故即为平面与底面所成角， 也即正四棱锥的侧面与底面所成角； 因为正四棱锥的侧面积是底面积的倍，故, 即，即, 在中，，则， 即正四棱锥的侧面与底面所成角的大小为， 故选：B 8. 平行四边形ABCD中，，将三角形ABD沿着BD翻折至三角形，则下列直线中有可能与直线垂直的是（ ） ①直线；②直线；③直线；④直线. A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④ 【答案】A 【解析】 【分析】若，当平面平面时，有，可判断①；若，会超过，故存在，可判断②；，始终为锐角可判断③④． 【详解】如图． 对于①，若，当平面平面时，平面平面， 平面，所以平面，平面，则，故①正确； 对于②，若，则在翻折过程中，会超过，故存在， ∵，故直线与直线有可能垂直，故②正确； 对于③，在中，∵，∴为锐角，即为锐角，故直线与直线不可能垂直，故③错误； 对于④，∵，∴中，，∴始终为锐角，故直线不可能与直线垂直，故④错误． 故选：A. 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若直线与平面不平行，则l与相交 B. 直线在平面外，则直线上不可能有两个点在平面内 C. 如果直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面平行 D. 如果是异面直线，，，则，是异面直线 【答案】BD 【解析】 【分析】根据线线、线面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对A，若直线与平面不平行，则与相交或，故A错误； 对B，直线在平面外，则直线与平面平行或相交， 故直线在平面无交点或仅有个交点，故B正确； 对C，若直线与平面相交， 直线上仍存在两个在平面不同侧的点到平面的距离相等，故C错误； 对D，如果是异面直线，，则异面， 则是异面直线，故D正确. 故选：BD 10. 已知复数，下列结论正确的有（ ） A. B. 若，则 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】设，根据复数的运算与模的定义计算后判断AC，根据复数乘法判断B，由复数的模的定义和复数相等的定义判断D． 【详解】设， 则，，A正确； 当时，，因此B错误； ， ，C正确； 时，，，D错． 故选：AC． 11. 如图，正三棱柱的各棱长均为1，点是棱的中点，点满足，点为的中点，点是棱上靠近点的四等分点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 的最小值为 C. 平面 D. 当时，过点的平面截正三棱柱所得图形的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于,利用，即可证明；对于,将沿展开与正方形在同一个平面内，则当三点共线时，取得最小值,即可求解；对于,利用线面平行的判断定理即可证明；对于,根据题中条件首先得到截面图形，进一步求解计算即可. 【详解】由题意可知，设点到平面的距离为， 易知平面平面， 所以点到平面的距离等于点到线段的距离， 又，所以， 所以，为定值， 故A正确； 将沿展开与正方形在同一个平面内， 记此时与对应的点为， 则当三点共线时，取得最小值，即， ， 故的最小值为，故B错误； 由点分别为的中点，得， 又平面平面， 所以平面，故C正确； 连接并延长交于点，连接， 则过点的平面截正三棱柱所得截面图形为， 因为，平面平面， 平面平面平面，所以平面， 又平面，所以， 取的中点，连接，则点为的中点，又点为的中点， 所以， 当时，点为的中点，所以， 所以，所以， 所以，所以， 故，故D错误． 故选： 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 如图是正方体平面展开图，在这个正方体中∶（1）BM//ED；（2）CN和BE是异面直线；（3）CN和BM成60°角；（4）DM⊥BN；以上四个命中正确的序号是____________； 【答案】（3）（4） 【解析】 【分析】把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案． 【详解】把平面展开图还原原几何体如图： 由正方体的性质可知，与异面且垂直，故①错误； 与平行，故②错误； 连接，则，为与所成角，连接，可知为正三角形，则，故③正确； 在平面上的投影为，根据三垂线定理得与垂直，故④正确． 正确命题的个数是2个． 故答案为：（3）（4）． 13. 要考查某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第2行第2列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子依次是________． （下面抽取了随机数表第1行至第3行） 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 【答案】774，428，114，572 【解析】 【分析】依据题意结合随机数表法直接读数并满足号码不大于850即可. 【详解】依据题意可知：向右读数依次为：774，946，774，428，114，572，042，533，， 所以最先检验的4颗种子符合条件的为：774，428，114，572. 故答案为：774，428，114，572. 14. 根据祖暅原理，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．如图1所示，一个容器是半径为R的半球，另一个容器是底面半径和高均为R的圆柱内嵌一个底面半径和高均为R的圆锥，这两个容器的容积相等．若将这两容器置于同一平面，注入等体积的水，则其水面高度也相同．如图2，一个圆柱形容器的底面半径为，高为，里面注入高为的水，将一个半径为的实心球缓慢放入容器内，当球沉到容器底端时，水面的高度为______．（注：） 【答案】 【解析】 【分析】根据祖暅原理，建立体积等量关系，代入体积运算公式求解即可. 【详解】设铁球沉到容器底端时，水面的高度为h， 由图2知，容器内水的体积加上球在水面下的部分体积等于圆柱的体积， 由图1知相应圆台的体积加上球在水面下的部分体积也等于圆柱的体积， 故容器内水的体积等于相应圆台的体积，因为容器内水的体积为， 相应圆台的体积为， 所以，解得， 故答案为： 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某化工厂三个车间男､女工人数如下表： 第一车间 第二车间 第三车间 女工人数 150 100 男工人数 200 若按车间人数用分层抽样的方法抽取100名工人，则应在第一车间抽取35名工人，在第二车间抽取25名工人. （1）求这三个车间的工人总数及的值； （2）若按工人性别用分层抽样的方法在第三车间抽取8名工人，则其中有5名女工.求该化工厂这三个车间女工与男工的人数比. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设这三个车间的工人总数为，根据题意列方程可求出，再根据分层抽样的定义可求出的值； （2）由题意可得，，可求出，从而可求出该化工厂这三个车间女工与男工的人数比. 【小问1详解】 设这三个车间的工人总数为， 则，解得. 由，得. 【小问2详解】 在第三车间抽取8名工人，则其中有5名女工， ，即. 又由（1）易知， . . 该化工厂这三个车间女工与男工的人数比为. 16. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是，中点，过，，三点的平面与正方体的下底面相交于直线. （1）画出直线的位置，并说明作图依据； （2）正方体被平面截成两部分，求较小部分几何体的体积. 【答案】（1） 如图所示即为所求： 依据如下： 延长交的延长线于，连接，则即为直线的位置. ∵， ∴平面，平面， ∴平面平面， 又由题意显然有平面平面， ∴平面平面，则即为直线的位置.（也可根据线面平行性质确定直线位置） （2） 【解析】 【分析】（1）根据点线面的位置关系，三个平面两两相交，三条交线的可能情况分析，此题中的三条交线必定交于一点，即可作图并写出依据. （2）根据作出的图形可以发现正方体被平面截成两部分，较小部分为三棱台，由棱台体积公式即可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 如图所示： 设直线与交于点，则为四等分点，正方体被平面截成两部分，较小部分为三棱台， 其体积为 . 17. 如图，四边形是边长为4的菱形，平面将菱形沿对角线折起，使得点到达点的位置，且平面平面． （1）求证：平面； （2）若，求多面体体积． 【答案】（1）取中点，连接，四边形是边长为4的菱形，， 则为正三角形，所以，而平面平面， 平面平面平面， 所以平面， 因为平面，所以，平面，所以平面． （2）12． 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，由已知可得，平面平面，得平面，所以，可得答案． （2）算出利用，可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，， 由（1）知，平面， 所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，则， 而， 所以多面体的体积为 . 18. 如图，在四棱柱中，是边长为2的菱形，且，侧面底面为中点. （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1） 取的中点，连结， 由为中点，知， 是边长为的菱形且为中点， ，故， 又由平面， 平面平面， 又四边形为平行四边形， ， 又平面， 平面平面平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由已知易证，利用线面垂直可得，进而可证，利用线线垂直可得平面，可证结论成立； （2）求得的面积，到平面距离，利用可求体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知的面积为 侧面底面，又， 到平面距离为，即到平面距离为 三棱锥的体积. 19. 如图，在直三棱柱中，M，N，P分别为的中点． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，在上是否存在一点E，使得与BP垂直？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 连接，由于分别是的中点，所以， 由于，所以，所以四点共面， 由于，所以四边形是平行四边形， 所以，由于平面，平面， 所以平面.     （2） （3）存在，使得与BP垂直，此时 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理来证得平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值. （3）利用向量法确定符合题意的点的位置. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若，所以在直三棱柱中， 可以为空间坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， ， ，， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设直线与平面所成角为， 则. 直线与平面所成 【小问3详解】 ，， ， 设上是否存在一点，使得与垂直， 设， 则， 则， 由， 解得，所以存在，使得与BP垂直，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $