专题03 根的判别式 根与系数的关系（7大题型）-2024-2025学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题03 根的判别式 根与系数的关系 目录 【题型一 判断不含字母的一元二次方程的根的情况】 1 【题型二 判断含字母的一元二次方程的根的情况】 1 【题型三 由方程根的情况确定字母的值或范围】 2 【题型四 由根与系数的关系求代数式的值】 2 【题型五 由根与系数的关系求方程的另一个根】 3 【题型六 根与系数关系中的新定义问题】 3 【题型七 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】 3 【题型一 判断不含字母的一元二次方程的根的情况】 例题：（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）下列方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024·西藏日喀则·二模）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级上·上海静安·期末）一元二次方程有两个 实根（填“相等”或“不等”）． 【题型二 判断含字母的一元二次方程的根的情况】 例题：（2024·河南商丘·三模）关于x的一元二次方程 的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由m的值确定 【变式训练】 1．（2023·广东汕头·一模）若，则关于x的方程的实数根的个数为 ． 2．（23-24九年级下·北京·阶段练习）关于的一元二次方程根的情况是 ． 【题型三 由方程根的情况确定字母的值或范围】 例题：（2024·河南商丘·二模）若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【变式训练】 1．（23-24九年级下·山东淄博·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的值范围是 ． 【题型四 由根与系数的关系求代数式的值】 例题：（2024·天津武清·三模）若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024·云南昆明·三模）已知和是一元二次方程的两个实数根，则（    ） A． B． C．6 D． 2．（2024·四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【题型五 由根与系数的关系求方程的另一个根】 例题：（2024·河南平顶山·三模）关于的一元二次方程的一个根是，则该方程的另一个根为（   ） A． B． C． D．或 【变式训练】 1．（2024·河南周口·三模）已知关于x的方程的一个根是1，则另一根为（   ） A．1 B．2 C．3 D．-2 2．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）若一元二次方程有一个根为2，则另一根为 ． 【题型六 根与系数关系中的新定义问题】 例题：（2024九年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）对于字母m、n，定义新运算，若方程的解为a、b，则的值为 ． 【变式训练】 1．（2017·江西宜春·一模）定义新运算“※”，规则：a※b=ab-a-b，如1※2=1×2-1-2=-1．若x2+x-1=0的两根为x1,x2,则x1※x2＝ ． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程__________（填“是”或“不是”）“倍根方程”． (2)若一元二次方程是“倍根方程”，则__________． (3)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则，，之间的关系为__________． 【题型七 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】 例题：（2024·山东德州·二模）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围为 ． 2．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，满足，求的值． 一、单选题 1．（2024·湖南益阳·三模）已知方程的两个实数根分别为，，则式子的值等于（   ） A． B．0 C．2 D．6 2．（2024·山东菏泽·三模）已知关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A．，且 B．，且 C． D． 3．（2024九年级下·全国·专题练习）关于x的一元二次方程有实数根，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程的实数根有（    ） A．1个 B．2个 C．0个 D．无数个 5．（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则         ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 6．（23-24九年级上·吉林白城·期末）关于x的一元二次方程根的判别式的值是 ． 7．（2024·吉林长春·一模）当时，关于的方程根的情况是 ． 8．（2024·广东佛山·三模）关于x的方程的两根都是正整数且，则方程的两根是 ． 9．（2024·浙江杭州·三模）已知a、b为实数，且满足，，则 ． 10．（2024·甘肃定西·三模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知，关于x的一元二次方程．试判定该方程的根的情况． 12．（2024·江苏盐城·二模）已知：，是方程有两个实数根．求出下列代数式的值 (1)； (2)． 13．（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根为，且，求m的值． 14．（2024·浙江杭州·二模）已知关于的方程． (1)若方程的一个实根是3，求实数的值． (2)求证：无论取什么实数，方程总有实数根． 15．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 根的判别式 根与系数的关系 目录 【题型一 判断不含字母的一元二次方程的根的情况】 1 【题型二 判断含字母的一元二次方程的根的情况】 3 【题型三 由方程根的情况确定字母的值或范围】 4 【题型四 由根与系数的关系求代数式的值】 6 【题型五 由根与系数的关系求方程的另一个根】 7 【题型六 根与系数关系中的新定义问题】 8 【题型七 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】 10 【题型一 判断不含字母的一元二次方程的根的情况】 例题：（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）下列方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况． 【详解】解：A、可化为： ， 方程有两个不相等的实数根； B、 ， 方程有两个相等的实数根； C、 ， 方程有两个不相等的实数根； D、可化为： ， 方程没有实数根； 故选：D． 【变式训练】 1．（2024·西藏日喀则·二模）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与的关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根，根据判别式的值与方程的解的个数间的关系即可得出答案． 【详解】A、的根的判别式，方程有两个相同的实数根，不符合题意 B、的根的判别式，方程没有实数根，不符合题意； C、的根的判别式，方程没有实数根，不符合题意； D、的根的判别式，方程有两个不相等的实数根，符合题意． 故选：D． 2．（21-22八年级上·上海静安·期末）一元二次方程有两个 实根（填“相等”或“不等”）． 【答案】不等 【分析】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式 有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当 时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根．上述结论反过来也成立．利用根的判别式进得判断即可． 【详解】解：∵， ∴ 该方程有两个不相等的实数根． 故答案为：不等 【题型二 判断含字母的一元二次方程的根的情况】 例题：（2024·河南商丘·三模）关于x的一元二次方程 的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由m的值确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据分别对应的是有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴有两个不相等的实数根， 故选：A 【变式训练】 1．（2023·广东汕头·一模）若，则关于x的方程的实数根的个数为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．计算根的判别式，根据k的取值范围，得到判别式的取值范围，即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴ ， 因为， 所以， 故方程有两个不相等的实数根， 故答案为：2． 2．（23-24九年级下·北京·阶段练习）关于的一元二次方程根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】 本题考查了一元二次方程根和系数的关系，非负数的性质，解题关键是掌握方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．．利用根的判别式，得到，再结合偶次方的非负性，即可得到答案． 【详解】解：， ，，， ， ， ， 即方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 【题型三 由方程根的情况确定字母的值或范围】 例题：（2024·河南商丘·二模）若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及解一元一次不等式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此列式求解即可． 【详解】解：∵方程没有实数根， ∴， 解得， 故选D． 【变式训练】 1．（23-24九年级下·山东淄博·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，掌握一元二次方程根的判别式的运用是解题的关键． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∴ 解得，， 故答案为： ． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有实数根”是解题的关键．根据二次项系数非零，结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：，且， 即，， 且， 故答案为：且． 【题型四 由根与系数的关系求代数式的值】 例题：（2024·天津武清·三模）若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系，直接利用根与系数的关系对各选项进行判断即可，若，是方程的两个根， 则，． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， 故选：D． 【变式训练】 1．（2024·云南昆明·三模）已知和是一元二次方程的两个实数根，则（    ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 利用根与系数的关系，可得出，将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：∵和是一元二次方程的两个实数根， ， ， 故选：D． 2．（2024·四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为，，则，．先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， ． 故答案为：． 【题型五 由根与系数的关系求方程的另一个根】 例题：（2024·河南平顶山·三模）关于的一元二次方程的一个根是，则该方程的另一个根为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据“若，是一元二次方程（）的两根时，”，先求出两根之积，再求出另一个根即可，熟练运用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴该方程的两根之积， 该方程的另一个根， 故选：A． 【变式训练】 1．（2024·河南周口·三模）已知关于x的方程的一个根是1，则另一根为（   ） A．1 B．2 C．3 D．-2 【答案】B 【分析】把代入，转化为m的方程，结合一元二次方程根与系数的关系，求解即可．本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 【详解】解：把代入， 得， 解得， ∴， 设另一个根为， 根据题意，得， 故选：B． 2．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）若一元二次方程有一个根为2，则另一根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 由一元二次方程有一个根为2，另一根为，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根为2，另一根为， ∴， 解得，， 故答案为：． 【题型六 根与系数关系中的新定义问题】 例题：（2024九年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）对于字母m、n，定义新运算，若方程的解为a、b，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，，根据新运算，列出代数式，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵方程的解为a、b， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：10． 【变式训练】 1．（2017·江西宜春·一模）定义新运算“※”，规则：a※b=ab-a-b，如1※2=1×2-1-2=-1．若x2+x-1=0的两根为x1,x2,则x1※x2＝ ． 【答案】0 【详解】首先根据一元二次方程的韦达定理可得：=-1，=-1， 则根据新的定义法则可得： 原式=-1-(-1)=0. 故答案为0 【点睛】本题主要考查的就是韦达定理的应用以及对于新定义型的题目的理解，同学们在应用韦达定理的时候一定要知道对于一元二次方程 (a 0)的两根x1 和 x2，则满足x1+x2 = ，x1x2 = ，对于新定义型的题目，我们必须要明白新定义的计算法则，然后根据新的计算法则来进行代入求值． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程__________（填“是”或“不是”）“倍根方程”． (2)若一元二次方程是“倍根方程”，则__________． (3)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则，，之间的关系为__________． 【答案】(1)不是 (2)2 (3) 【分析】（1）根据“倍根方程”的定义即可得出结论； （2）根据倍根方程的定义以及根与系数的关系即可求出答案； （3）设与是方程的解，然后根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】（1），， 解得和， 故一元二次方程不是“倍根方程”． （2）由题意可设：与是方程的两个根， ∴，， ∴，； （3）设与是方程的解， ∴，， ∴消去得：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程以及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“倍根方程”的定义． 【题型七 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】 例题：（2024·山东德州·二模）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】17 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．先利用一元二次方程根的定义得到，则可化为，再根据根与系数的关系得，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是一元二次方程的实数根， ， ， ，是一元二次方程的两个实数根， ， ． 故答案为：17． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程根系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和一元二次方程的知识解答．根据关于x的方程有两个不相等的实数根，，可以得到a的取值范围，再根据得出，利用根与系数的关系得出，，再利用分类讨论的方法求出a的取值范围，本题得以解决． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，， ∴， 解得， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 当时，解不等式得：， ∴； 当时，解不等式得：， ∴此时无解； 综上分析可知：． 故答案为：． 2．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，韦达定理，熟悉掌握此公式是解题的关键． （1）利用根的判别式进行运算求解即可； （2）利用韦达定理表示出，，化简后，代入运算即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 即的取值范围为； （2）∵，是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得． 一、单选题 1．（2024·湖南益阳·三模）已知方程的两个实数根分别为，，则式子的值等于（   ） A． B．0 C．2 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；由题意易得，然后展开代入求解即可． 【详解】解：由可得：， ∴； 故选B． 2．（2024·山东菏泽·三模）已知关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A．，且 B．，且 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查根据方程根的情况求参数．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．分类讨论：当时，方程的解为，满足题意；当时，根据一元二次方程根的情况确定其判别式，从而即可求解． 【详解】解：当时，原方程为， 解得：，满足题意； 当时， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得：． 综上可知，． 故选C． 3．（2024九年级下·全国·专题练习）关于x的一元二次方程有实数根，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 即的取值范围为． 故选：A． 4．（23-24八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程的实数根有（    ） A．1个 B．2个 C．0个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，掌握判别式是解题的关键．计算出方程的进行判断即可，当时，方程有两个实数根，时，方程无实数根． 【详解】解：， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 5．（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则         ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的知识，掌握一元二次方程解的概念和计算方法，根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的解，把代入可判定命题①②；根据根的判别式可判定命题③；根据方程的根进行验证即可判断命题④；由此即可求解． 【详解】解：命题①，当时，一元二次方程为， ∴是方程的解，即方程有实数解， ∴，原命题为真命题； 命题②，当时，一元二次方程为，当时，一元二次方程为， ∴联立方程组得， ∴解得，， ∴，原命题为真命题； 命题③，一元二次方程有两个相等的实根， ∴， ∵，则， ∴， ∴当时，方程有两个不相等的实根；当时，方程无实根， ∴原命题是假命题； 命题④，一元二次方程的一个根式， ∴， ∴，则， ∵， ∴， 若是根，则， ∴， ∴原命题为真命题； 综上所述，是真命题的有①②④，共3个， 故选：B ． 二、填空题 6．（23-24九年级上·吉林白城·期末）关于x的一元二次方程根的判别式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，难度较低，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．将a、b、c的值代入根的判别式即可解答． 【详解】∵ ∴，， ∴． 故答案为：． 7．（2024·吉林长春·一模）当时，关于的方程根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：关于的方程， ∴， ∵， ∴， ∴关于的方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 8．（2024·广东佛山·三模）关于x的方程的两根都是正整数且，则方程的两根是 ． 【答案】2，24 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，设方程的两根为，根据根与系数的关系得出，根据，得出，整理得出，根据方程的解为正整数，求出结果即可． 【详解】解：设方程的两根为，则 ． ∵， ∴， ∴， 得，或． 解得：，或． ∴方程的两根为：2，24． 故答案为：2，24． 9．（2024·浙江杭州·三模）已知a、b为实数，且满足，，则 ． 【答案】13 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，注意：解答此题需要分类讨论．根据已知条件推知、是方程，即的两个根，然后通过解方程求得①，；②，；最后将所求的代数式转化为完全平方和的形式，并将①②分别代入求值． 【详解】解：、为实数，且满足，， ，， 、是方程，即的两个根， 或； ①当，时，，即； ②当，时，，即，不合题意； 综上所述，； 故答案为：13． 10．（2024·甘肃定西·三模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式的意义，解题的关键是记住：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义结合根的判别式的意义列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得，且， 故答案为：且． 三、解答题 11．（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知，关于x的一元二次方程．试判定该方程的根的情况． 【答案】原方程总有两个不相等实根 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据结合当时一元二次方程有两个实数根，当时一元二次方程有一个实数根，当时一元二次方程没有实数根，进行作答即可． 【详解】证明： 不论k取何实数，总有 ∴ ∴原方程总有两个不相等实根． 12．（2024·江苏盐城·二模）已知：，是方程有两个实数根．求出下列代数式的值 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． （1）根据根与系数的关系可得，，再将所求代数式变形，最后代入求解即可； （2）根据题意可得，，推出，再将所求式子变形，最后代入求解即可． 【详解】（1）解：，是方程有两个实数根， ，， ； （2），是方程有两个实数根， ， ， 13．（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根为，且，求m的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据根的判别式得出，据此可得答案； （2）根据根与系数的关系得出，，代入得出关于的方程，解之可得答案． 本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，． 【详解】（1）证明： ， ∵ 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系，得，， 由，得， 解得． 14．（2024·浙江杭州·二模）已知关于的方程． (1)若方程的一个实根是3，求实数的值． (2)求证：无论取什么实数，方程总有实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查一元二次方程的根，根的判别式： （1）将代入方程，进行求解即可； （2）求出判别式的符号，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，得：， 解得：； （2）∵， ∴ ； ∴无论取什么实数，方程总有实数根． 15．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可； （2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可． 【详解】（1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$